Метод второго порядка

Для минимизации / используем метод второго порядка [c.112]

Последовательность матриц Я,- в этом случае определяется характером применяемого метода, причем Я,- могут зависеть от производных функции f х) не выше первого порядка. Методы второго порядка допускают зависимость Я,- в (1,43) от вторых частных производных минимизируемой функции. Например, классический метод Ньютона соответствует выбору Я,- = т. е. [c.27]

Б. Методы второго порядка [c.268]

Начнем рассмотрение с метода Ньютона [148], являющегося основой для построения различных методов второго порядка. [c.268]

В методах первого порядка вектор направления обычно определяется из соотношения (1,41). В этом случае последовательность матриц Я определяется характером применяемого метода, причем в формировании Я участвуют производные функции / (х) не выше первого порядка. Методы второго порядка допускают зависимость Я,-в выражении (I, 42) от вторых частных производных минимизируемой функции. Например, классический метод Ньютона соответствует выбору Не = т. е. [c.17]

Сравнительные расчеты, проведенные на тестовых функциях, нока. зывают, что метод второго порядка намного успешнее справляется с оврагами , чем методы нулевого порядка и методы первого порядка с линейной сходимостью (см., наиример, [125, с. 112]). [c.181]

Комбинированные алгоритмы. В ряде случаев, когда поиск минимума одним ка1 им-либо методом сильно замедляется вдали от минимума функции, можно применять комбинированные алгоритмы. При этом в каждой точке вычисляются два направления, например метода наискорейшего спуска и метода второго порядка. Затем ищутся минимумы на каждом направлении. За следующую начальную точку выбирается наиболее глубокий минимум по направлению. В работе [131] используется два вида направлений первого порядка с линейной сходимостью и направление МНО. Естественно, что комбинировать проще всего одношаговые методы. [c.182]

После решения системы линейных уравнений (VII,45) необходимо вернуться к переменным s по формуле, обратной к выражению (VI 1,44). Новые значения параметров можно рассчитать по уравнению (VII,9). Итак, соотношения (VII,45)—(VII,49) позволяют организовать итерационный поиск минимума функции отклонений д.чя центрированной нелинейной модели методом второго порядка. Если не вычислять М< , а ограничиться матрицами и получается центрированный (и масштабированный) вариант метода [c.189]

Метод второго порядка с одним вычислением матрицы Якоби на шаг интегрирования [c.21]

При применении методов спуска первого порядка, в частности важной задачей является создание более экономных способов определенпя частных производных критерия по варьируемым параметрам, чем метод соответствующих разностей. Аналогично для использования методов второго порядка надо иметь эффективные способы расчета вторых производных от критерия по всем варьируемым параметрам. [c.38]

Ранее были подробно описаны прямые методы первого порядка решения этой задачи, поэтому мы здесь их коснемся кратко, уделив основное внимание прямым методам второго порядка и непрямым методам. [c.59]

ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА [c.80]

Интересно, что если вернуться к задаче поиска экстремума функции Г и подставить в систему (111,96) вместо /, их значения из равенства (111,93), то получим систему уравнений (111,82). Следовательно, метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений, примененный к задаче поиска минимума, совершенно идентичен методу Ньютона, описанному на стр. 80. Таким образом, в данном случае прямой метод второго порядка совпадает с непрямым методом. [c.84]

В разд. 7.2 отмечалось, что методы второго порядка основаны на нелинейном поведении электрохимической ячейки в электрической цепи. Первым из этих методов подробно обсуждается переменнотоковая полярография на второй гармонике, в которой сигнал ячейки изучается на удвоенной основной частоте. На рис. 7.4, 7.6, 7.32, 7.33 и 7.36 уже приводились примеры как общих, так и фазочувствительных полярограмм или вольтамперограмм на второй гармонике (методы с частотой 2/) и очевидно, что сохраняются все особенности метода на основной частоте (метод с частотой 1/). Действительно, почти все рассуждения применительно к методам на основной частоте легко распространяются на 2/-вариант, но с учетом того, что временная шкала короче (2/, а не /) и что, хотя ток невелик, но и ток заряжения, который ведет себя как линейный элемент цепи (см. разд. 7.2), чрезвычайно мал. Общим выводом из этих двух особенностей является то, что метод второго порядка чрезвычайно чувствителен при определении обратимо восстанавливающихся или окисляющихся веществ, но дает малые токи на единицу концентрации для веществ, участвующих в необратимых электродных реакциях. Принимая это во внимание, мы обсудим только уни- [c.474]

Уже рассмотренный метод второй гармоники является легко осуществимым расширением варианта на основной гармонике. Имеет ли интермодуляционный метод или метод фарадеевского выпрямления какие-либо преимущества перед методом переменнотоковой полярографии на второй гармонике — вот тот вопрос, с помощью которого нужно оценивать другие методы второго порядка. Теория для каждого метода второго порядка предсказывает, что для обратимого процесса форма волны подобна второй производной переменнотоковой полярограммы, так что [c.477]

Что касается разработки аппаратуры для интермодуляционного метода, то ясно, что необходимость в двух источниках сигналов синусоидальных волн вместо одного является недостатком. Кроме того, очевидно, что при выполнении измерений должны быть выполнены дополнительные операции по сравнению с методом второй гармоники, так как рассматриваются два генератора вместо одного. Так как литература, относящаяся к аналитическим приложениям интермодуляционных методов 42, 61—64], не убеждает автора в том, что эти методы обладают преимуществами перед методом переменнотоковой полярографии на второй гармонике, то рекомендуется, чтобы химик-аналитик, желающий использовать методы второго порядка, основанные на синусоидальной форме волны, остановил свой выбор на методе второй гармоники, поскольку он является простейшим в осуществлении и использовании. [c.478]

Больщинство методов фарадеевского выпрямления [61, 65— 68] (обычно основанных на высокочастотных синусоидальных методах) нет необходимости обсуждать в этой книге, так как они обычно слишком неудобны для аналитической работы [9]. несмотря на то, что убедительно была продемонстрирована прекрасная их применимость для изучения кинетики электродных процессов [68]. Были предложены также методы, связанные с методами второго порядка. По-видимому, методы, использующие развертку постоянного потенциала, являются самыми многообещающими. Например, Броке [69] сообщил о методе, названном им демодуляционной полярографией , в котором высокочастотный синусоидальный сигнал, например, 100 кГц, модулируется по амплитуде низкочастотным синусоидальным сигналом (37 Гц). Сообщалось, что демодуляция синусоидального сигнала (37 Гц) таким обратимым электродным процессом, как восстановление кадмия, дает предел обнаружения 5-10- М. Предложена также усовершенствованная разновидность этого метода с использованием треугольного модулирующего поляризующего напряжения [70]. Однако даже этим способом не были получены данные, которые обнару- [c.478]

В настоящей работе рассматриваются различные варианты методов линейной экстраполяции. Применяя к отдельным рециркуляционным потокам методы экстраполяции второго и третьего порядков, можно достичь следующего уровня точности. Примером метода второго порядка, являющегося аналогом уравнения (11.3), может служить соотношение [c.275]

Проверка производилась в численном эксперименте путем решения прямой задачи сопла Лаваля в спрофилированных соплах методом второго порядка точности, изложенным в, 7-10. В качестве исходных данных брались координаты спрофилированных сопел получаемое распределение скорости вдоль стенки сопла сравнивалось с тем, которое служило исходным при решении задачи профилирования. Проверка проводилась для широкой серии контуров сопел и во всех случаях было получено хорошее совпадение. [c.121]

Проверка воспроизводимости решения была проведена путем решения прямой задачи сопла Лаваля численным методом второго порядка точности (см. 11). Полученное поле скоростей в таком сопле показало высокую степень равномерности потока. Средняя погрешность коэффициента скорости по контуру (исключая точки разрыва его кривизны) составила 0,67%. [c.122]

Таким образом, чередующиеся подрешетки могут рассматриваться как разновидность метода второго порядка, предназначенная для достижения обратимости. Этот подход (имеющий давние традиции в численном анализе) будет использован для анализа спиновых моделей Изинга в гл. 17. [c.159]

Для поиска точки минимума функции Ф применялся численный метод второго порядка (метод Ньютона [158]), согласно которому [c.244]

Метод второго порядка 156 [c.277]

Недостатком метода второго порядка является не только необходимость вычисления матрицы вторых производных, но и обязательная проверка ртой матрицы на положительную определенность. Поэтому интересны методы, которые обладают сходимостью, близкой к квадратичной, но не требуют вычисления вторых производных. [c.181]

Методы ДФП и МНО относятся к итерационным методам первого порядка со сходимостью, близкой к квадратичной. Методы минимизации Ньютона, МНО и ДФП минимизируют функцию Розенброка (VII,2) за 16—20 итераций при применении одинаковой процедуры поиска минимума па направлении. Это подтверждает, что в отношении упомянутой функции три указанных метода одинаково эффективны. Аналогичные результаты получены и для других тестовых функций. В отличие от метода второго порядка и МНО метод ДФП является многошаговым, поскольку при вычислении текущего направления используются сведения о предыдущих. Поэтому в матрице И накапливаются ошибки округления. Чтобы избежать этого и других отклонений от нормальной работы алгоритма ДФП, предложен ряд приемов, например вычисления с двойной точностью, масштабирование переменных, периодический возврат к единичной матрхще п др. [130]. [c.182]

С этой точки зрения более перспективныв, являются подходы, основанные на построении итерационных методов второго порядка. [c.58]

Новиков Е. А., Шитов Ю. А. Алгоритм пптегрировання жестких снстем на основе (т. /с)-метода второго порядка точности с численным вычнслениел матрицы Якоби.— Пренринт/ВЦ СО АН СССР Л 20. Красноярск, 1987.— 26 с. [c.66]

Левыкин А. И., Новиков Е. А. О (т, /с)-методе второго порядка точности для )ешения неявных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.-Нренринт/ВЦ СО АН СССР Л 768.— Новосибирск, 1987.— 17 с. [c.67]

В связи с тем, что многие задачи науки и техники сводятся к данной задаче, методы ее решения быстро развиваются в последнее время 9 вв. Эти методы можно разделить на два класса прямые и непрямые. Прямые методы конструируются непосредственно для решения задачи в форме (Н1,1) — (111,3). В зависимости от того, какого порядка производные функции /, ф и применяются в методе, они делятся на методы нулевого, первого и второго порядков. В методах нулевого порядка производные функций /, и не используются (например, релаксационный метод ). В методах первого и второго порядков применяются соответственно производные тех же порядков функций /, ф,- и г) . Непрямые методы используют уравнения, выран ающие необходимые условия экстремума . Правда, это разделение не очень четкое, поскольку прямые методы второго порядка в ряде случаев могут совпадать с непрямыми методами (см. ниже). [c.59]

Изложенный подход к решению задач оптимизации сложных схем с сосредоточенными управлениями (а также схем с р. п., в которых возможно появление особых управлений), основанный на идеях регуляризации позволяет избежать ветвления вычислительного процесса при решенни краевой задачи, неизбежного при использовании слабого принципа максимума в задачах с многоэкстремальнылш функциями Щ (и), и расширяет тем самым область применения методов второго порядка при решении задач оптимизации сложных схем. [c.255]

Сделаем несколько общих замечаний относительно сравнения методов решения оптимальных задач, основанных на принципе максимума, с методами первого порядка. В главе I отмечались пункты, по которым целесообразно производить сравнение методов (см. стр. 39). С точки зрения быстродействия все преимущества на стороне методов, основанных на принципе максимума, так как эти методы являются методами второго порядка, обладающими квадратичной сходимостью. Выше был рассмотрен пример определения оптимальной температурной последовательности для последовательной реакции (см. стр. 171). Решение задачи с помощью метода квази-пинеаризации потребовало трех-четырех итераций, а с помощью метода градиента — 49 итераций (см. стр. 173). [c.255]

Требования к объему памяти обычно оказываются выше для методов второго порядка, так как в методах первого порядка нужно запоминать лишь управления, а в методах второго порядка для решения проварьированного процесса надо запоминать, кроме того, значения фазовых переменных и переменных сопряженного процесса, а также временно хранить информацию, относящуюся к расчету проварьированного процесса. Однако, если расчет производных в методе первого порядка осуществляется с помощью сопряженного цроцесса по формулам ( 11,13), а это имеет смысл делать в большинстве случаев, то и в методе первого порядка требуется хранить в памяти фазовые переменные основного процесса, и разница в объеме запоминаемой информации становится менее значительной. [c.256]

Наконец, как нетрудно видеть, трудоемкость подготовки задачи существенно выше для методов второго порядка. В последних требуется аналитическое определение первых и вторых производных от функций, описывающих процесс в блоках схемы, решение краевой задачи для проварьированного процесса и т. д. [c.256]

Из рис. 7.41 видно, что в 2/-варианте Е 11 (обратимый случай) определяется просто и точно [59]. Это либо потенциал точки пересечения кривой с осью абсцисс, в которой ток равен нулю (фазочувствительный вариант), либо минимум (нефазочувствительный вариант). Вообще форма волны в методе второй гармоники или в других методах второго порядка такова, что она способствует проведению очень точных измерений требуемых параметров. Девэй и сотр. [60] описали оптимальные условия для измерения сигнала второй гармоники. [c.475]

Рейнмут [61] представил изящный обзор различных вариантов электроаналитических методов второго порядка. Этот обзор освещает терминологию, аналитическую значимость различных методов, а также кинетику электродных процессов. Согласно Рейнмуту [61], методы второго порядка можно связать с тремя хорошо известными формами искажения электрического сигнала, а именно с искажением второй гармоники, которое приводит к возникновению токов второй гармоники при наложении напряжения основной частоты, или наоборот с интермодуляционным искажением, которое приводит к возникновению суммы и разности составляющих частот, когда одновременно накладываются две частоты или больше с выпрямлением, которое приводит к возникновению постояннотоковых напряжений при наложении переменных токов, и наоборот. [c.477]

Железцов [71, 72] также описал теорию и аппаратуру переменнотокового полярографического метода с амплитудно модулированным синусоидальным напряжением с нижним пределом обнаружения меньше 5-10 М для кадмия. Несмотря на то, что Железцов предлагает метод, на порядок улучшающий чувствительность метода на второй гармонике, до некоторой степени) еще преждевременно ожидать, что этот метод будет использоваться при обычном аналитическом применении полярографии. Дальнейшие замечания относительно переменнотоковых методов, использующих один сигнал очень высокой частоты, а-другой сигнал низкой частоты (с регистрацией сигнала при более низкой частоте), будут приведены в разд. 8.2. Вообще можно представить себе значительно большее число вариаций методов второго порядка, но их вероятно, можно считать скорее экзотическими. Следовательно, в литературе должны появиться, убедительные данные в значительно более широком плане, чем просто предел обнаружения кадмия, прежде чем у химика-аналитика появится интерес к использованию этих методов в своей лаборатории. [c.479]

Синусоидальная переменнотоковая полярография — это один из самых широко используемых непостояннотоковых полярографических методов. Монография Брейера и Бауэра [7] дает обзор более ранних приложений в аналитической химии, из которого видно, что масштаб работ, выполненных до начала 1960-х годов, значителен. В отличие от работ, рассмотренных в их монографии, в современной литературе преобладает использование фазочувствительной переменнотоковой полярографии на основной частоте. Новые выпускаемые промышленностью переменнотоковые полярографы дают возможность использовать фазочувствительный вариант методов как на основной частоте, так и на второй гармонике. Приложения 2/-варианта, сейчас пока редкие, могут стать преобладающими в будущем. Широкое использование других методов второго порядка кажется менее вероятным. Тенденция к использованию фазочувствительной [c.484]

Радиочастотная полярография — другой вариант переменнотоковой полярографии, разработанный Баркером [5, 31, 32]. Чтобы применить измерение эффекта фарадеевского выпрямления в решении аналитических задач, он разработал полярографический метод, в котором синусоидальный радиочастотный (от 100 кГц до 6,4 МГц) сигнал (оь модулированный квадратной волной с частотой 225 Гц юг, налагается на развертку постоянного потенциала. Сигнал при частоте 225 Гц измеряется, как и в квадратно-волновой полярографии. Хотя сам Баркер представил этот метод как метод измерения составляющей постояннотокового выпрямления в присутствии обычного постоянного полярографического тока, но, как показал Рейнмут [33, 34], его можно рассматривать и как вариант интермодуляционной полярографии. Поэтому данный метод представляет собой еще один метод второго порядка, связанный с нелинейностью электрохимической ячейки. Форма волны налагаемого напряжения, очевидно, включает компоненты Фурье с частотами oi, Теоретические трактовки, использующие это определение, дают те же выражения, что и представленные Баркером, который показал, что ток получается таким же, как и ток в обычных переменнотоковых условиях, когда используют сигнал с амплитудой от пика до пика, равный потенциалу фарадеевского выпрямления при частоте шг с обратным знаком. [c.499]

Ha самом деле существуют некие формальные связи между обратимыми правилами, полученными посредством приемов ок->чрестности Марголуса, и правилами, полученными при использовании методов второго порядка (см. разделы 14.2, 14.3 и 17.7). [c.143]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология