Числовые характеристики случайных величин

Нормальное распределение наиболее часто используется в статистике. Оно является подходящей моделью в тех случаях, когда на критерий воздействует независимо друг от друга несколько факторов. Во многих ситуациях нормальное распределение используется как инструмент контроля выборки, представленной для статистической обработки. Если исходная информационная выборка отвечает плотности нормального распределения, к ней применимы средства дисперсионного анализа. При обработке любой выборки определяются числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание ц, дисперсия а, вариация V, среднее квадратичное отклонение л/ —это характеристики нормального распределения. [c.259]

Из сказанного вытекает необходимость введения новой числовой характеристики случайной величины, по которой можно судить о рассеянии возможных значений этой случайной величины. [c.274]

Числовые характеристики. Закон распределения дает исчерпывающую информацию о случайной величине поскольку она случайна, ничего большего, чем распределение вероятностей, о ней заранее сказать нельзя. Но для многих задач это —слишком сложная информация. Зачастую исследователю достаточно знать о случайной величине, какова она в среднем и насколько сильно ее значения разбросаны относительно этого среднего. Такие сведения содержатся в числовых характеристиках случайной величины. [c.52]

С понятием выборочной дисперсии неразрывно связано понятие числа степеней свободы. При постановке экспериментов на изменение случайной величины обычно накладываются определенные ограничения, обусловленные невозможностью постановки бесконечно большого числа опытов или задачами исследования. Если не учитывать эти ограничения, то выборочные числовые характеристики случайной величины будут вычислены с систематической (неслучайной) ошибкой. Понятие числа степеней свободы учитывает ограничения или связи, накладываемые в процессе исследования на изменение случайной величины. [c.12]

П1.4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН [c.581]

Для сжатого описания некоторых основных особенностей распределения вероятностей случайных величин служат числовые характеристики этих величин, наиболее употребительными из них являются математическое ожидание и дисперсия. Математическое ожидание является генеральной средней случайной величиной, т. е. это та точка, вокруг которой группируются возможные значения случайной величины. [c.114]

Числовые выражения случайных величин характеризуют некоторые частные свойства генеральной совокупности. В дальнейшем мы будем использовать две числовые характеристики математическое ожидание и дисперсию. [c.89]

Функция распределения F(x) - универсальная характеристика случайной величины, полностью определяющая ее с вероятностной точки зрения. Иногда достаточно использовать лишь числовые характеристики, отображающие наиболее существенные особенности распределения. Например, для указания среднего значения, около которого группируются все возможные значения случайной величины, используются характеристики положения математическое ожидание, мода, медиана. [c.33]

Числовую характеристику степени возможности появления какого-либо определенного события в определенных, могущих повторяться неограниченное число раз, условиях называют математической вероятностью случайного события. В нашем примере такими событиями являются температуры, лежащие в интервале. Относительные частоты значений г этих температур колеблются около определенного числа, называемого вероятностью Если п (число опытов) достаточно велико и будет увеличиваться дальше, то относительная частота будет приближаться к постоянной величине, которую называют математической вероятностью. Таким образом, вероятность события г соответствует пределу относительной частоты [c.244]

Наибольшее распространение получили методы первой группы. При этом используется понятие момента, заимствованное из теории вероятностей, согласно которой функция (кривая) распределения случайной величины может быть охарактеризована числовыми характеристиками (различными моментами). [c.56]

Однако практически часто нет необходимости описывать случайную величину исчерпывающим образом. Достаточно указать только отдельные числовые параметры, характеризующие наиболее существенные черты распределения. Эти отдельные числовые характеристики носят название моментов функции распределения. В подавляющем большинстве теоретических и экспериментальных исследований для описания распределений используют лишь два первых момента — математическое ожидание (среднее значение) и центральный второй момент (дисперсия). Полагая, что характер движения элементов жидкости в аппарате является статистическим по природе, важнейшей экспериментальной задачей должна быть оценка функций распределения времени пребывания. С учетом предыдущего эта задача сводится к определению двух наиболее важных числовых характеристик распределения среднего времени пребывания и дисперсии, хотя в общем случае могут определяться моменты и более высокого порядка [12]. [c.67]

В силу стохастической природы движения элементов потока время их пребывания в аппарате является случайной величиной. Дальнейший анализ экспериментальных кривых отклика возможен, если принять, что С-кривая характеризует плотность вероятности, а -кривая — интегральное распределение частиц потока по их времени пребывания. Основные свойства распределения случайной величины можно описать числовыми характеристиками, которые определяют наиболее [c.625]

Статистики — числовые характеристики свойств распределения и связи, вычисленные на основании выборок (частичных совокупностей) значений случайных величин. [c.266]

Расчет распределения времени пребывания частиц потока основан на статистическом понятии моментов и связан с распределением плотности вероятностей. Основные свойства распределения случайной величины можно описать несколькими числовыми характеристиками, которые определяют наиболее существенные особенности распределения. Такой системой характеристик являются моменты распределения случайной величины, которые систематизируются по трем признакам по порядку Р момента по началу отсчета случайной величины по виду случайной величины. [c.67]

Наиболее часто в приложениях математической статистики используют математическое ожидание (характеристику положения значений случайной величины на числовой оси) и дисперсию (или среднее квадратичное отклонение), определяющую характер разброса значений случайной величины. [c.14]

После нахождения необходимых числовых характеристик статистического распределения и построения полигонов распределения функции Р х) и гистограммы плотности распределения / х) делается предположение о возможном законе распределения случайной величины X. Рассматривается соответствие вида полигона и гистограммы статистического распределения основным законам теоретического распределения. Задача заключается в том, чтобы подобрать такой теоретический закон распределения случайных величин, который бы с наименьшими отклонениями соответствовал опытным данным. Если закон распределения случайной величины известен, то достаточно лишь определить параметры закона по статистическим данным эксплуатационной информации и определить их точность. [c.213]

I = lg г, где N — число циклов до разрушения при усталостных испытаниях г — время до разрушения при длительных статических испытаниях. Для оценки дисперсии мех. св-в используют также числовые характеристики, среди которых наибольшее значение имеют а — математическое ожидание (среднее значение) 02 — дисперсия а — среднее квадратическое отклонение у — коэфф. вариации случайной величины X. Математическое ожидание и дисперсия являются параметрами нормального распределения. Перечисленные характеристики носят название генеральных. Экспериментальные оценки генеральных характеристик (характеристик дисперсии мех. св-в) имеют то же наименование и обозначаются соответственно х, 8 , 8 и V. Их подсчитывают по ф-лам [c.374]

Основная задача оценивания статистических характеристик заключается в том, чтобы по ограниченной совокупности случайных значений величины, называемых выборкой, ориентировочно оценить числовые характеристики, закон распределения и интервал возможных значений как случайной величины, так и полученных оценок. [c.40]

Понятие математического ожидания. Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Однако часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной величины неизвестен. В таких случаях случайную величину изучают по ее числовым характеристикам. Одной из таких характеристик является математическое ожидание. [c.271]

Введение среднего квадратического отклонения объясняется тем, что дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности самой случайной величины. Например, если возможные значения некоторой случайной величины измеряются в метрах, то ее дисперсия измеряется в квадратных метрах. В тех случаях, когда нужно иметь числовую характеристику рассеяния возможных значений в той же размерности, что и сама случайная величина, и используется среднее квадратическое отклонение. [c.276]

Опытные значения признака X можно рассматривать и как значения разных случайных величин Х1, Х2, Х с тем же распределением, что и X, и, следовательно, с теми же числовыми характеристиками, которые имеет X. Значит, [c.299]

Первая важнейшая числовая характеристика определяет среднее значение случайной величины. Ее называют математическим ожиданием, или иногда просто средним значением. Математическое ожидание М(и), как нетрудно показать, является обобщением понятия среднее арифметическое. Оно получается сложением всех возможных значений случайной величины (от —оо до +оо), причем каждое значение умножается на соответствующую ему вероятность. Для дискретной величины [c.52]

Вторая числовая характеристика — дисперсия — определяет средний разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания (точнее, среднее значение квадрата разброса). Дисперсия О (11) вычисляется по следующим формулам [c.52]

Рассчитываемые по результатам выборочных измерений числовые характеристики не совпадают в точности с соответствующими характеристиками генеральной совокупности. Кроме того, они — величины случайные, так как случаен сам отбор измеряемых объектов. Две выборки из одной и той же генеральной совокупности дадут несколько различающиеся значения числовых характеристик. Выборочные характеристики являются не точными значениями, а оценками характеристик генеральной совокупности если источник случайности — ошибки измерений, то считают, что значения выборочных характеристик являются оценками истинных значений. [c.58]

Числовые характеристики. Вместо полного определения случайной величины в виде законов распределения вероятностей в при- [c.12]

Наиболее часто в приложениях математической статистики используют математическое ожидание — характеристику положения значений случайной величины на числовой оси и дисперсию (или [c.15]

Приведем еще некоторые сведения о часто встречающихся законах распределения вероятностей случайных величин и их числовых характеристиках [4, 5]. [c.11]

Основные свойства распределения случайной величины значительно проще можно описать несколькими числовыми характеристиками, которые с помощью чисел определяют наиболее существенные особенности распределения. Такой системой характеристик являются моменты случайной величины. [c.54]

Из рис. П-4 видно, что математическое ожидание, или среднее значение, является той числовой характеристикой, которая определяет центр группирования случайной величины. Центр-группирования часто принимают за начало отсчета, что равносильно переносу начала координат в точку ти . [c.56]

Кроме набора значений и их вероятностей случайная величина имеет ряд числовых характеристик, таких, как медиана, мода, математическое ожидание, дисперсия и др. [c.10]

Из закона нормального распределения следует, что основная масса случайных величин группируется вокруг некоторого наиболее вероятного значения ц величины л , числовая характеристика которого называется математическим ожиданием (см. выше) и обозначается М х . [c.18]

Числовые характеристики случайно величины имеют сле-дуюише зиачеиия [c.253]

Нетрудно видеть, что автор в определении считает реализацию опасности случайным явлением, не указывая на это явным образом. В этом случае риск опасности (как бы ни определять его - как частоту или как вероятность) есть числовая характеристика соответствующей случайной величины, используемой для описания данной опасности. В качестве простейшего примера возможного формального подхода рассмотрим случайную величину s - длительность периода безаварийной работы промышленного предприятия, областью определения которой служит множество режимов эксплуатацин за произвольное (возможно, бесконечное) время. Оказывается возможным явно вычислить функцию распределения этой величины Fj(t) = P(s t), предположив её независимость от предыстории функционирования промышленного предприятия (такое предположение является наиболее оптимистичным в отношении уровня безопасности). Хорошо известно [Феллер,1984], что существует единственное решение, удовлетворяющее сформулированному условию Fj(t) = 1-е Ч для t>0 p5(t) = 0 для КО, где q>0- постоянная это так называемое показательное распределение. Математическое ожидание Ms случайной величины s есть Ms = 1/q, что позволяет интерпретировать параметр q как среднюю (ожидаемую) частоту аварий, или риск аварий в смысле обсуждаемого определения. Вероятность аварии p.j, за период времени, не превосходящий Т, определяется, очевидно, как p,p = P(sфункциональная зависимость между вероятностью аварии и частотой ее возникновения (для фиксированного распределения) существует. - Прим. ред. [c.50]

Опасность влияния дефектов на работоспособность зависит от их вида и типа, а также от многих конструктивных и эксплуатационных факторов [21, 22]. Эти факторы детерминированы, т. е. относятся к конкретным конструкциям, дефеетам и технологическим процессам. В реальном производстве следует учитывать засоренносп, продукции дефектами, т. е. статистические показатели дефектности. К ним относят долю дефектных элементов в партии и долю брака или исправимых элементов с недопустимыми дефектами. Числовые характеристики появившихся дефектов можно считать случайными величинами. Для них справедливы вероятностные модели — статистические распределения. Например, размер появляюишх- [c.70]

Исследование вероятностной природы моделируемого процесса, определение законов распределения случайных величин и их основных числовых характеристик, необходимых для построения модели, осуществляются в результате обработки ститистической информации, отражающей функционирование объекта на предьщущих периодах планирования. [c.96]

Сетевая модель разработки, построенная на основе неизменных длительностей работ, называется детерминированной (предопределенной). В отличие от нее сетевая модель, учитывающая изменения длительности работ, называется стохастической. В ней все входные числовые характеристики (параметры) являются случайными величинами и естественно станввят- [c.373]

Мате.матнческое ожидание представляет собой некоторое среднее значение случайной величины. Дисперсия дает числовую характеристику степени рассеивания случайной величины. [c.89]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология