Алгебраическая неустойчивость

Невязкая алгебраическая неустойчивость [c.54]

Метод проб и ошибок наиболее распространен при решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако во многих случаях этот метод поиска начальных условий приводит к задаче с неустойчивым решением. Тогда единственно возможным методом решения краевых задач на АВМ становится метод конечных разностей, приводящий к алгебраическим уравнениям. Моделирование же последних связано с большими трудностями и значительными погрешностями. Поэтому, несмотря на ряд очевидных достоинств, применение аналоговых машин для целей математического моделирования химических процессов из-за указанных причин является весьма незначительным по сравнению с цифровыми вычислительными машинами. [c.12]

Инженерный расчет основывается на решении уравнений математической модели. Математическая модель является в определенном смысле аналогом исследуемой системы, и ее свойства должны быть адекватны свойствам системы. Простые модели могут быть представлены алгебраическими уравнениями. Однако для описания динамических свойств объекта чаш,е пользуются дифференциальными уравнениями. Степень сложности модели, оправдываемую содержанием задачи, не всегда легко оценить с первого взгляда. Например, при изучении стационарных состояний казалось бы нет оснований включать время в уравнения. Однако устойчивость или неустойчивость стационарного состояния — это динамическое свойство системы. Поэтому вопросы устойчивости решаются с помощью нестационарных моделей. [c.13]

Анализ применяемых численных методов решения контактных задач показывает, что в некоторых вариантах возможны такие вычислительные трудности по сравнению с решением классических краевых задач со смешанными граничными условиями, как нарушение положительной определенности систем алгебраических уравнений, появление неустойчивости их решения из-за плохой обусловленности, применяется численная реализация некорректно поставленных задач. Здесь предлагается алгоритм решения задачи контакта деформируемых тел, свободный от указанных недостатков, дающий в ряде случаев более быструю сходимость по сравнению с применяемыми методами. В качестве иллюстрации рассмотрено решение задачи контакта шероховатых тел с нелинейной податливостью шероховатого слоя. [c.141]

Характерное время установления фазового равновесия т очень мало, тем не менее заменить уравнение (7.4в) алгебраическим нельзя, поскольку F a, S) — многозначная функция и имеет неустойчивую ветвь. Таким образом, модель (7.4), строго говоря, является трехмерной. Она, однако, сильно упрощается, если принять во внимание следующие обстоятельства. [c.148]

Уравнения системы (11.115) содержат малый параметр г при производной по времени. Это значит, что характерное время изменения соответствующих концентраций с,, (г = 5 + 1,. . ., 5) значительно меньше характерного времени процесса t. Член с производной по времени в уравнениях (11.115) может быть значительным только в течение короткого начального периода быстрого изменения концентраций неустойчивых веществ. После этого последние выходят на квазистационарные значения, медленно изменяющиеся со временем по мере изменения концентраций устойчивых веществ, которые входят в медленную подсистему (11.114). Отбрасывая член с производной в уравнениях (11.115), получаем систему алгебраических уравнений [c.89]

Численные исследования уравнения (6.9) проводились при рд=, 25р , р = 0 МПа для значений параметров в интервале =0,5+ 0,9/ , //о =0,001 + 0,01, т = 0,001 + 1. Анализ показал, что алгебраическое уравнение (6.10) всегда имеет три действительных корня. Число нулей в правой полуплоскости определяется значениями параметров Ар = р - рк- Мо При Ар не более 0,5 МПа и т не более 0,001 линейная система всегда асимптотически устойчива при любом т. Однако в рассматриваемом нами диапазоне изменения параметра Ар линейная задача оказывается всегда неустойчивой. Дело в том, что при этих условиях уравнение (6.10) имеет хотя бы один положительный корень. Более того, при увеличении значений параметров Ар и т наблюдается рост всех корней с переходом их через нуль, т.е. рост инкремента неустойчивости. Характер неустойчивости изменяется от типа седло-узел (+,-,-), (+,+,-) к типу неустойчивый узел (+,+,+). [c.195]

К настоящему времени возможность алгебраической неустойчивости обнаружена в расчетах и для других течений в круглой трубе [S hmid, Henningson, 1994], свободном сдвиговом течении [Farrell, [c.61]

На первый взгляд кажется, что алгебраическая неустойчивость обусловлена взаимодействием между различными модами, что невозможно в линейной системе. На самом деле это взаимодействие связано с выбором начальных условий или, вернее, подбором такой суперпозиции неортогональных и зачастую почти линейно зависимых мод в начальный момент времени, которая бы инициировала процессы установления в системе, сопровождающиеся временным ростом энергии суммарного возмущения [Henningson, 1991 Reddy et al., 1993]. Если такое малое начальное возмущение представлено суперпозицией почти линейно зависимых собственных функций, то их исходные амплитуды будут велики. Поскольку эти волны развиваются независимо и, как правило, имеют разные фазовые скорости, при t Ф О они перестают гасить друг друга, что приводит к временному росту. В течении, подверженном стохастическому воздействию, например при повышенной степени турбулентности в пограничном слое или на входе в канал, естественным образом могут возникать возмущения, энергия которых способна сильно нарастать в ограниченный промежуток времени. [c.62]

Еще одна сложность связана с тем, что канал на входе должен иметь устройство, обеспечивающее плавное втекание рабочей среды внутрь канала с целью снижения уровня фоновой турбулентности и предотвращения докритического перехода, обусловленного алгебраической неустойчивостью или возмущениями конечной амплитуды [Itoh, [c.100]

Первое требование заключается в том, чтобы весь вы-чпслительный процесс в целом был устойчив. Оно относится как к самой разностной схеме, так и к методу решения соответствующей системы алгебраических уравнений. Основные определения были даны выше в гл. 2—4. Для разностных схем, аппроксимирующих уравнения Навье — Стокса, причин неустойчивости, однако, больше, чем для простых модельных уравнений, рассмотренных в упомянутых главах, причем в ряде случаев явления вычислительной неустойчивости трудно отличить от возможного сложного поведения решепий. [c.173]

Химики используют в своих рассуждениях мысленные образы, структурные формулы (СФ), структуры Кекуле, диаграммы ORTEP. Однако в меньшей мере используется основная математическая структура этих конструкций. Нашей целью будет разработка алгебраических и топологических характеристик такой структуры первоначально для квантовой химии (молекулы, стадии молекулярных реакций), затем в известной степени для химической кинетики и динамики (нахождение возможных путей, механизмов, определение их стационарных состояний, устойчивости, колебаний). Для квантовой химии, т. е. микрохимии , будут разработаны правила с целью получения обычным путем основных электронных характеристик молекул [система уровней молекулярных орбиталей (МО), реакционная способность, устойчивость к искажениям] и в некоторых математических классах непосредственно из структурных формул или диаграмм ORTEP. На макрохимическом уровне, т. е. при нахождении всех математически возможных путей синтеза, механизмов, при разработке правил стадия/соединение, связывающих число реагентов, продуктов, интермедиатов, катализаторов, автокатализаторов с числом элементарных реакционных стадий в химической смеси и затем с динамическими неустойчивостями, будут использоваться представления иного типа — реакционные схемы, являющиеся графами с двумя типами линий и двумя типами вершин [I]. [c.73]

На данном этапе не имеет смысла детально останавливаться на причинах и следствиях тех трудностей, которые могут встретиться. Исследователю достаточно знать, что неустойчивости цри решеннп алгебраических систем уравнений можно избежать путем использования методов, с которыми хорошо знакомы специалисты по програл -мированию. Следует твердо помнить, что такая неустойчпвость не может быть интерпретирована как характеризующая физическое состояние реальной изучаемой системы. Колебательное решение может отражать поведение физической системы лишь тогда, когда математическая модель содержит дифференциальные уравнения. [c.35]

Дополнительная вариативность в условиях устойчивости и режимах переноса возникает также вследствие того, что не равные друг другу граничные температуры и I2 (рис. 13.5.1) приводят к существенно различным стратификациям плотности и режимам устойчивости в различных точках поперек слоя жидкости. Для различных значений температур ti и I2 ( i > 2) на рис. 13.5.1 стратификация поперек слоя может оказаться потенциально неустойчивой (область U), устойчивой (область S) либо той и другой одновременно (область SU). Для оценки возникающих при этом возможностей рассмотрим отдельно лищь процесс переноса тепла. На рис. 13.5.1, а различные пары температур ti > I2, соответствующие индексам от а до е, располагаются на кривой изменения плотности, которая имеет экстремум. При значениях ti и 2, лежащих с одной стороны вершины кривой и,, кроме того, достаточно далеких от точки (пары температур а и й), можно с достаточной степенью точности применять обычный анализ, используя для р подходящее алгебраическое значение. При этом режим, соответствующий паре температур а, является потенциально неустойчивым, тогда как для пары b — устойчивым. В то же время для пар end нижняя часть слоя будет устойчивой, а верхняя — потенциально неустойчивой. Естественно, что аналогичные эффекты могут возникать и при 2- [c.222]

Рассмотрим теперь решение системы (6). Попытка решать её прямим методом, т.е. с применением только суммирующих усилителей показывает, что система (6) решается неустойчиво, небольшие отклонения переменных от значений, которые удовлетворяют уравнениям, приводят к настолько большим изменениям на выходе суммирующих усилителей, что они выходят из режима нормальной работы. Этого не происходит, еоли заменить алгебраическую систему соответствующей системой дифференциальных уравнений. При этом, установившиеся значения переменных являются решением системы (б). Таким образом, фактически решается нестационарный процесс,т.е. уравнение в частных производных. [c.455]

Стационарные состояния находят, решая алгебраические трансцендентные уравнения, выражающие баланс тепла и вещества в реакторе. Не все стационарные состояния могут быть устойчивыми. Устойчивость обычно исследуют по поведению малых возмущений температуры и концентрации, накладываемых на стационарные значения соответствующих величин. Если со временем возмугцение растет, то стационарное состояние будет неустойчивым. Особый случай стационарного состояния — колебательный режим, т. е. незатухающие периодические изменения режима, обусловленные-внутренними особенностями функционирующей системы. Подробно вопросы устойчивости химического, и в частности полимеризационного, реактора рассмотрены в работах Б. В. Вольтера с сотр. [c.349]

В настоящем разделе приводится краткое описание созданных в Институте катализа теоретических подходов и вычислительных средств идентификации и анализа сложных кинетических моделей. В первую очередь, хотелось бы остановить внимание на двух новых идентификаторах, предназначенных соответственно для обработки кинетических экспериментов, описываемых системой дифференциальных уравнений и системой алгебраических уравнений. Идентификаторы дополнены методами регуляризации неустойчивых оценок, методами апостериорного анализа их надежности. Указанные методы призваны улучщить структуру модели и служат для дискриминации различных гипотез. [c.81]

Если начинать рассмотрение с некоего эквивалентного генератора достаточно произвольной структуры, которому присущи оба вышеуказанных аспекта некорректности решения обратной задачи, то можно вьь делить два основных подхода, обеспечивающих преодоление указанных трудностей. Первый заключается в том, что исходный генератор заменяют дискретным эквивалентным генератором, причем последний выбирают с достаточно малым числом параметров, при котором гарантируется устойчивое решение обратной задачи. Условно можно этот подход подразделить на два этапа сначала сам по себе переход от произвольного генератора к дискретному устраняет физическую неоднозначность затем дальнейшее упрощение структуры эквивалентного генератора с соответствующим уменьшением числа параметров устраняет неустойчивость решения по отношению к случайным ошибкам. Следует отметить, в частности, что переход к дискретному описанию генератора в виде совокупности токовых диполей (или токовых мультиполей) устанавливает однозначную зависимость между электрическим и магнитным полями данного генератора. После дискретизации генератора обратная задача формулируется как система линейных алгебраических уравнений, которая фактически представляет собой дискретный аналог интегральных уравнений типа (3.153) и (3.164). Неизвестными величинами в уравнениях являются параметры генератора, известными - измеренные значения электрического потенциала и (или) магнитной индукции, а коэффициенты задаются как известные характеристики, зависящие от принятой структуры среды (для их определения может потребоваться решение соответствующей прямой задачи). Устойчивость решения повышается благодаря тому, что число уравнений (равное числу точек измерения или независимо измереннйхх величин) может значительно превышать число неизвестных параметров генератора. При таком методе в качестве измеренных величин можно использовать электрический потенциал и магнитную индукцию по отдельности или совместно. Недостаток этого [c.265]

Одновременно были проведены также расчеты с профилями, состоящими из сочлененных прямолинейных сегментов. В этом случае процедура обращения матрицы несколько упрощается. Такие профили в силу их чрезвычайной гибкости легко приспособить к обширному набору различных условий. Для пристеночной области используются различные аппроксимации приближенное соответствие профилей их куэи-товским аналогам и точное соответствие этой модели для касательных напряжений и тепловых потоков. Использование в расчете большого числа (порядка 20) сегментов обеспечивает получение достаточно надежных и близких к точным решений. Однако в силу явного характера метода интегрирования Рунге — Кутта дальнейшее уменьшение интервалов поперек слоя неизбежно потребует еще большего сокращения шага в направлении вниз по течению, чтобы избежать неустойчивости счета. Затраты машинного времени тогда резко возрастают, несмотря на относительные алгебраические упрощения. [c.21]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология