Преобразования и элементы симметрии

Рассмотрим свойства преобразований точки (х, у, г) в Рпта, соответствующих последовательно перечисленным выше восьми элементам симметрии [c.371]

Преобразование координат, приводящее к идентичному расположению ядер атомов молекулы, называют операцией симметрии. Геометрическое место точек, которые при операциях симметрии переходят в идентичное расположение ядер атомов в пространстве, называют элементами симметрии (табл. 2). [c.19]

Кроме элементов Симметрии и операций симметрии, приведенных в табл. 2, следует указать на тождественное преобразование Е. Тождественное преобразование равносильно тому, что система из равновесной конфигурации ядер атомов вообще не подвергалась преобразованию. [c.19]

Преобразование координат, приводящее к идентичному расположению ядер атомов молекулы, называют операцией симметрии. Элементы симметрии — это вспомогательные образы (точка, прямая линия, [c.16]

Кроме элементов симметрии и операций симметрии, приведенных в табл. 2, следует указать на тождественное преобразование Е. Тождественное преобразование равносильно тому, что система из равно- [c.17]

Преобразования и элементы симметрии [c.40]

Большинство перечисленных в п. 2 элементов симметрии и связанных с ними преобразований симметрии представляют [c.48]

Координаты точек в кристаллическом пространстве даются в долях параметров ячейки, координатные оси направлены вдоль ребер ячейки. При преобразовании и выборе ячейки, не удовлетворяющей условиям, указанным для решеток Браве, изменяется как символ пространственной группы, так и координаты атомов в ячейке, хотя пространственное расположение атомов и набор элементов симметрии при этом не меняются. В ряде случаев изменение порядка, в котором выбраны оси решетки, приводит к изменению символа пространственной группы. Это имеет место в группах ромбической и моноклинной сингонии. Б ромбической сингонии обозначение трех векторов элементарной ячейки через а, Ь, с является произвольным и обозначения их могут быть выбраны в любом порядке Ьас, ab, сЬа и т.д. Поэтому иногда в оригинальных работах приводится символ пространственной группы, отличающийся от табличного, хотя пространственная группа одна и та же. [c.61]

Группа матриц, действие которых на базис из данных функций совпадает с действием элементов симметрии на этот же базис, называется представлением точечной группы симметрии в данном базисе. Чтобы продемонстрировать зависимость представления группы от базиса, рассмотрим преобразование -функций операциями симметрии группы Сги (табл. 5.4) и выпишем матрицы преобразований группы Сгв в базисе -функций [c.172]

Таблица 5.6. Преобразование -функций элементами симметрии группы Сзи

Можно составить упрощенную волновую функцию каждого из этих состояний, а затем рассмотреть преобразование этих функций элементами симметрии. Поступим иначе разложим прямое произведение EgX g на НП группы Ол. [c.185]

Кристаллы имеют дополнительные элементы симметрии — Трансляционные. Трансляцией называется такое пространственное преобразование, при котором перемещения всех точек одинаковы. Наличие трансляционной симметрии у кристалла приводит к образованию энергетических зон электронов, что, в свою. очередь, определяет многие свойства кристалла, в частности его проводимость. [c.73]

Пусть (Са а)—матрица некоторого ортогонального преобразования координат, причем физические свойства непрерывной системы таковы, что матрица кинетических коэффициентов остается неизменной после преобразования. В этом случае говорят, что непрерывная система имеет элемент симметрии, соответствующий указанному преобразованию. [c.143]

В качестве примера можно упомянуть систему предыдущего раздела. Она обладает элементом симметрии, если при заданном преобразовании (Са а) имеем [c.143]

Как видно, наличие элементов симметрии накладывает ограничения на значения кинетических коэффициентов, и в этом и состоит в обшем содержание принципа Кюри. Конкретные следствия в данном случае можно установить, если рассмотреть ряд частных ортогональных преобразований. [c.144]

Элементы симметрии (все точечные группы имеют элемент тождественного преобразования) одна ось Сг и две [c.120]

Элементы симметрии с одинаковыми характерами можно объединить в классы. Рассмотрим, например, преобразование р-функций атома азота в молекуле ЫНд под влиянием элементов симметрии группы Сз (рис. 46). Элементы симметрии группы Сз запишем в виде , 2Сд, За , т. е. два поворота вокруг оси третьего порядка Сз и С (на 120 и 240°) объединим в один класс 2Сз, а отражения в трех вертикальных плоскостях симметрии — в класс Зз . [c.116]

Помимо перестановочной есть и другая симметрия определенные конфигурации тождественных ядер приводят к симметричному потенциальному полю, в котором движутся электроны и которое не меняется при поворотах в пространстве, отражениях в тех или иных плоскостях, зеркальных поворотах, инверсии всего пространства и т.п. Коль скоро потенциальная поверхность вводится в системе координат, начало которой находится в центре масс, то обычно все эти преобразования пространства совершаются так, чтобы центр масс при них не менял своего положения. Это означает, что все элементы симметрии, с помощью которых осуществляются преобразования, оставляют центр масс неизменным. Другими словами, рассматриваются операции, образующие точечные группы симметрии. [c.446]

Применение того или иного элемента симметрии есть операция симметрии. В соответствии с этим элементы симметрии также называют операторами симметрии. Результатом операции симметрии является симметрическое преобразование. Строгие определения относятся к геометрической симметрии, но они нам понадобятся только в качестве путеводной нити. В нашем рассмотрении главным образом негеометрических видов симметрии мы будем следовать этим определениям на качественном уровне, т. е. в духе тех идей, которые упоминались во Введении . [c.39]

Иногда в литературе (см., например, [41]) различают симметрические преобразования первого и второго рода. Операции первого рода также называют четными операциями. Например, операция идентичности эквивалентна двум последовательным отражениям в плоскости симметрии. Это есть четная операция, или операция первого рода. Простое вращение также относится к операциям первого рода. Поворот с зеркальным отражением приводит к появлению левых и правых составляющих, и это будет операция второго рода. Простое отражение - тоже операция второго рода, так как ее можно представить в виде зеркально-поворотной операции вокруг оси первого порядка. Простое отражение связано с существованием в фигуре двух энантиоморфных компонент. Некоторые простые примеры, заимствованные у Шубникова [41], приведены на рис. 2-63. В соответствии с вышеупомянутым определением хиральность характеризуется отсутствием элементов симметрии второго рода. [c.74]

Если особая плоскость ленты неполярна, то лента двусторонняя. В целом ленты имеют 31 класс симметрии [2], из которых 7 характеризуют только бордюры. Рис. 8-11, а показывает бордюр, порожденный переносом мотива из листьев. Рис. 8-11,6 является двумерной лентой, характеризуемой плоскостью скользящего отражения. Она содержит перенос на половину периода трансляции и отражение в плоскости чертежа. Листовые узоры на рис. 8-11 параллельны узорам из черных треугольников. Новый элемент симметрии иллюстрирует рис. 8-И,л это винтовая ось второго порядка, 2,. Соответствующее преобразование представляет собой перенос на половину периода трансляции и поворот на 180". Все классы симметрии лент (их число равно 31), составляющие [c.368]

Молекула имеет центр симметрии I. если прямая линия, проведенная от любого атома через центр молекулы, пересекает эквивалентный атом, расположенный на равном расстоянии от центра. Центр симметрии (или центр инверсии) есть элемент симметрии, а соответствующая операция — инверсия через центр, при которой половина молекулы может быть получена из другой половины. Действие операции инверсии состоит в преобразовании координат (х, у, г) в координаты (—х, —у, —г). Операцию инверсии можно представить как [c.408]

Симметрические преобразования или элементы симметрии, им соответствующие, являются математическими образами, допускающими [c.22]

Эта повторяемость схематически может быть описана при помощи трансляций — симметрических преобразований, характеризующих параллельный перенос всей структуры. Элементом симметрии, отвечающим новому симметрическому преобразованию, будет ось трансляции. Для точной характеристики периодичности кристалла необходимо указать направление трансляций и их величину. Надо всегда иметь в виду, что в литературе термин трансляция используется как для обозначения симметрического преобразования, так и элемента симметрии. [c.53]

При добавлении этих элементов к элементам симметрии конечных кристаллических многогранников Е. С. Федоров путем сложения всех возможных симметричных преобразований в структуре кристалла вывел 230 пространственных групп симметрии— 230 геометрических законов симметрии, к одному из которых принадлежит симметрия любого кристаллического вещества. [c.50]

Точечные группы симметрии. Поскольку у молекул может быть не один, а несколько элементов симметрии, их удобнее классифицировать по точечной группе симметрии. Набор всех операций симметрии объекта образует его группу симметрии. Если при этих преобразованиях остается неподвижным центр тяжести фигуры, то группа симметрии называется точечной. Известны четыре типа точечных групп симметрии, которые представлены в табл. 8.1. [c.18]

В таблицу характеров группы К(3) входят только характеры тождественного преобразования н операции вращения. Все произвольные вращения относительно любой оси имеют одинаковые характеры это означает, что группа содержит бесконечное число вращений С(ф). В таблице характеров указано только одно такое вращение. В таблицу характеров группы 0(3) должны входить еще характеры других операций. В конечных пространственных группах симметрии (или точечных группах, как их принято называть) имеется пять типов операций симметрии (см. гл. 13). Двумя из них являются тождественное преобразование Е и операция вращения (иначе — собственного вращения) С( ). Кроме того, имеются еще инверсия, обозначаемая символом I, отражение в плоскости а, а также несобственное вращение 8 ф). Несобственное вращение включает обычное вращение, которое сопровождается отражением в плоскости, перпендикулярной оси вращения. (Другое определение несобственного вращения — вращение, сопровождаемое инверсией.) Число элементов симметрии а и 5 ф) также бесконечно. Инверсия эквивалентна несобственному вращению в том частном случае, когда угол вращения равен 180°. Отражение эквивалентно несобственному вращению, когда угол вращения равен нулю. Следовательно, двух типов операций достаточно для того, чтобы породить остальные операции рассматриваемой группы. [c.60]

Каждому элементу симметрии точечной группы можно сопоставить матрицу, выбранную таким образом, чтобы операции между отдельными матрицами удовлетворяли требованиям (6.3) — (6.6) и, следовательно, соответствовали операциям симметрии. Набор матриц для всех операций симметрии образует представление группы Г. Существует бесконечно большое число таких наборов, связанных друг с другом эквивалентными преобразованиями (приводимые представления). Особое значение имеют неприводимые представления, к которым относятся такие матричные представления, которые не приводятся эквивалентным преобразованием к блок-даагональ-ному виду. [c.189]

Группа матриц, действие которых на базис из данных функций (например, р-функций) совпадает с действием элементов симметрии на этот же базис, называется представлением точечной группы симметрии в данном базисе. Табл. 15 умножения элементов симметрии группы С2а справедлива для элементов симметрии и их представлений-матриц. Набор четырех матриц Е, С а, сто образует представление группы С в базисе р-функций. Можно получить представление группы gj, в базисе пяти d-функций. В табл. 18 показано преобразование -функций поддейстнием операций симметрии груп- [c.113]

Центр симметрии или инверсии обозначается в виде 1. Соответствующее комбинированное применение поворотной оси второго порядка вместе с гглоскостью симметрии можно представить одним, более сложным, преобразованием симметрии. Такой элемент симметрии называется зеркально-поворотной осью второго порядка и обозначается как [c.57]

Предсказывая возможность протекания химической реакции ио этому методу, рассматривают два момента. Во-первых, возможность перехода электрона с одной орбитали на другую. Во-вторых, исследуют нормальное колебание, определяющее возможность протекания реакции. В обоих случаях привлекаются соображения симметрии. Такой подход является радикальным и имеет что-то схожее с методами Пирсона и Вудворда - Хоффмана. Некоторые особенности этих методов включены в рассмотрение на строгой теоретико-групповой основе. Сначала в рамках полной группы симметрии всей реагирующей системы проводится анализ преобразования как молекулярных орбиталей (электронное строение), так и координат смещения (колебательный ггроцесс). Исследуются все.пути нарушения симметрии в системе и не пренебрегают ни о ним элементом симметрии, который сохраняется на пути химической реакции. В этом методе корреляционные диаграммы называются диаграммами соответствия , чтобы их не смешивать с аналогичными построениями в методе Вудворда-Хоффмана. [c.323]

Для молекулярно-орбитального описания пары сближающихся орбиталей п и 71 двух отдельных молекул ие подходят, так как прн отражении в горизонтальной зеркальной плоскости а орбнталь одной молекулы, переходит в орбнталь другой молекулы, что не является симметрическим преобразованием. Молекулярные орбитали должны быть либо симметричны, либо антисимметричны по отношению к любому элементу симметрии нары сближающихся молекул. Следовательно, нам необходимо построить групповые орбитали ансамбля из двух молетсул этилена (см. гл. 2, раздел 2.6.1.6). [c.1878]

Др. группа ограничений связана с наличием в непре-рьшиой системе элементов пространств, симметрии. Их влияние на характер протекания неравновесных процессов и кинетич. коэф. составляет содержание т. наз. принципа Кюри, согласно к-рому элементами симметрии определяются правила преобразования декартовьк компоиеит потоков и сил при ортогональных преобразованиях координат. Для изотропных систем, вследствие принципа Кюри, не может существовать перекрестных явлений между неравновесными процессами, принадлежащими к разным тензорным группам, т.е. не может возникнуть, напр., под влиянием скалярной силы векторный поток и наоборот. Линейные соотношения могут связывать термодинамич. силы и потоки лишь одинаковой тензорной размерности. [c.538]

Зеркально-поворотная ось шестого порядка Ле показана на рис. 20, в. Точка 1 после поворота на 60° еще не совпадает с точкой 2. Для их совпадения ее необходимо затем отразить в плоскости чертежа, тогда она из верхней части сферы переместится в нижнюю и совпадет там с точкой 2. (Точки, нахопя-щиеся на верхней полусфере, обозначены кружками, на нижней — крестиками.) При этой же операции точка 2 после поворота фигуры на 60° окажется под точкой 5, с которой она совпадает только после отражения в плоскости чертежа. При последующем симметрическом преобразовании точка 3 совпадает с точкой 4, 4с5, 5 биб i. В результате фигура совместится сама с собой. При полном повороте (на 360°) совмещение фигуры самой с собой произойдет 6 раз. Надо обратить внимание, что фигура в не имеет отдельно ни оси 6-го порядка, ни плоскости симметрии она имеет одну зеркально-поворотную ось шестого порядка. Одновременно этот элемент симметрии содержит в себе ось третьего порядка и центр симметрии. Так, при элементарном повороте вокруг оси Ьь и последующей инверсии точка 1 совместится с точкой 6, 6 с 5 и т. д. Следовательно, зеркально-поворотная ось шестого порядка является одновременно инверсионной осью третьего порядка, т. е. Ле = Л. [c.21]

В рассматриваемой 7 -модели двойниковые компоненты связаны двумя последовательными преобразованиями симметрии поворотом вокруг граничной системы осей 2 и 21 и отражением в системе плоскостей 1120 , перпендикулярных к осям. Результирующими двойникующими элементами симметрии на микроскопическом уровне будут центры инверсии, расположенные в виде ромбоэдрической сетки между двойниковыми компонентами на пересечении системы плоскостей (1120) и осей 2 и 2[ со сдвигом на Да (см. рис. 23). Таким образом, согласно 7 -модели бразильские двойники в а-кварце относятся к категории инверсионных двойников. Это согласуется с их макроскопической симметрией, поскольку 32т = 32/. [c.103]

Выше уже указывалось (разд. 3.5), что произвольный трехмерный физический объект может иметь операции симметрии следующих пяти типов тождественное преобразование Е собственное вращение Сп, зеркальное отражение а инверсия I несобственное вращение Для собственного и несобствейного вращений индекс п указывает порядок вращения, т. е. равен результату деления 2п на угол вращения. Все физические объекты остаются инвариантными при тождественном преобразовании Е. Объекты, обладающие какой-либо симметрией, оказываются неотличимыми от исходного состояния после действия операций симметрии других типов. Геометрические точки, прямые или плоские, относительно которых осуществляются операции симметрии, называются элементами симметрии. Например, ось, вокруг которой осуществляется вращение, плоскость, в ко- [c.266]

Рассмотрим несколько примеров. Молекула гране-бута диен а имеет четыре операции симметрии. Наличие тождественного преобразования тривиально. Мы уже упоминали о вращении на 180°, которое обозначается символом Сг. Как у любой плоской молекулы, отражение в плоскости молекулы является операцией симметрии. Оно обозначается символом Он, где индекс /г указывает, что отражение осуществляется в горизонтальной плоскости (перпендикулярной оси вращения, которая рассматривается как вертикальная ось). Эта операция не изменяет положения всех атомов молекулы. (Заметим, однако, что она приводит к изменению знаков всех базисных ря-функций.) Инверсия всех координат в точке начала отсчета, выбранной в центре молекулы, тоже является операцией симметрии. Эта операция приводит к такой перестановке индексов атомов, как операция Сг. (Она изменяет не только индексы, но и знаки базисных ря-функ-ций.) В данном конкретном случае система имеет по одному элементу симметрии (тождественное преобразование, ось, плоскость и точка), соответствующему каждой операций симметрии. Группа симметрии, состоящая из этих элементов, Е, С2, I, б , называется группой Сгй. Все элементы симметрии бутадиена пересекаются в точке инверсии. Все элементы симметрии- любого объекта должны пересекаться в некоторой точте поэтому п 9-странственные группы симметрии индивидуальных объектов часто называют точечными группами. Группы, симметрии, используемые для описания кристаллов и других систем, обладающих повторяющейся трансляционной симметрией, называются пространственными группами. Здесь мы сосредоточим внимание на точечных группах симметрии объектов молекулярного типа. [c.267]