Хаос, динамические модели

Динамические модели хаоса [c.134]

Таким образом, для колебаний уровня Каспийского моря характерна не только внешняя непредсказуемость, создаваемая климатическими изменениями, но и внутренняя, обусловленная неустойчивой динамикой водного баланса. В связи с этим подчеркнем, что в нелинейной динамической системе с тремя состояниями равновесия возможен хаос даже при детерминированном внешнем воздействии. Имея нелинейную модель колебаний уровня, можно объяснить резкое увеличение времени релаксации моря в определенном диапазоне отметок уровня. На основе решения дискретного уравнения нетрудно построить две реализации случайного процесса (см. рис. 2.2). [c.88]

Оказалось, что для имитации на компьютере сложной фрактальной формы суш ествуют довольно простые правила, по которым можно воспроизвести ее образование по законам хаоса. Хаотическое поведение является на самом деле отражением глубоких закономерностей динамической организации сложных систем. Предложенные сегодня модели детерминированного хаоса, возможно, представляют собой простейшие правила хаотизации и в этом смысле могут рассматриваться в качестве первых базовых моделей хаоса. Ясно, что здесь мы находимся лишь в начале пути в изучении роли хаоса в природе и в самоорганизации биологических систем. [c.116]

Вторая часть курса лекций включает в себя введение и четыре из семи разделов курса Турбулентность модели и подходы (три первых раздела Основы , Хаос в динамических системах и Полуэмпирические модели вошли в первую часть курса). В четвертом разделе излагаются модели однородной и изотропной турбулентности, начиная с теории Колмогорова и кончая современными моделями перемежаемости в развитой турбулентности. Пятый раздел посвящен некоторым специальным турбулентным потокам. Рассмотрены особенности поведения двумерной турбулентности и турбулентности, вызванной силами Архимеда. В шестом разделе излагаются модели, основанные на применении специальных функциональных базисов, названных иерархическими, и дается краткое изложение вейвлет-анализа, с примерами его применения к гидродинамическим системам. Последний, седьмой раздел посвящен каскадным моделям турбулентности -простейшим моделям развитой турбулентности, доказавшим свою эффективность в моделировании свойств турбулентности в инерционных интервалах при очень высоких числах Рейнольдса. [c.2]

Курс состоит из двух частей. Первая часть включала три главы 1.Основы, 2.Хаос в динамических системах, 3.Полуэмпирические модели. Первая глава содержала базовые сведения об уравнениях движения идеальной и реальной жидкости и краткий обзор методов и некоторых результатов исследования устойчивости гидродинамических систем. Во второй главе обсуждались методы и подходы теории динамических систем, позволившей значительно углубить понимание процессов перехода от детерминированного поведения к хаотическому. Третья глава кратко знакомила с подходом Рейнольдса к описанию средних полей в развитых турбулентных течениях и вытекающими из него полуэмпирическими моделями турбулентности. [c.4]

На рис. (5.2) приведена экспериментальная кривая колебания численности мух и личинок в популяционном ящике. Исследование соответствующей модели (рис. 5.3) показало, что для возникновения неустойчивости и нарастающих колебаний необходимо, чтобы время развития от яйца до взрослой особи (запаздывание) было больше, чем время естественной смерти (Т > Иг). В других моделях хаотических колебаний было установлено, что амплитуда очередной вспышки численности прямо пропорциональна интервалу между вспышками (регулярный хаос). Возможно, существование сверхвспышек насекомых в природе указывает на то, что динамический режим таких популяций -"регулярный хаос". [c.57]

Кроме простых автоколебаний, т.е. осцилляций с четко выделенным периодом и амплитудой, в каталитических реакциях может наблюдаться и более сложное динамическое поведение, когда колебания носят нерегулярный характер ( хаос ). Для описания таких сложных изменений во времени скорости гетерогенных реакций в [363,364,413,414] предполагается наличие воздействия реакционной среды на катализатор, что приводит к нелинейностям типа е . Представляется, что для интерпретации химического хаоса в рамках детерминированных кинетических моделей могут быть использованы и простые модели, продемонстрированные выше, а также модели реакций, протекающих на разных видах активных центров (см. [465] и главу 3 настоящей монографии). В первом случае может быть предложен следующий механизм, составленный из стадий типа (2.1.18), (2.1.20) [c.133]

Полиморфизма не существует, устойчиво состояние с р =Р = О, состояние с р = Р = 1 неустойчиво. 4. Полиморфизма не существует, устойчиво состояние с р = = Р = 1, состояние с р = Р = 0 неустойчиво. Отсюда следует, что в этой модели не может существовать ни циклов, ни хаоса . Интуитивно ясное, это утверждение может быть строго доказано с использованием теорем общей теории динамических систем ). [c.169]

Книга посвящена анализу эффектов самоорганизации — возникновения, развития и гибели макроскопических структур в неравновесных открытых физико-химических системах. Рассмотрены аналогии между явлениями самоорганизации и фазовыми переходами в равновесных системах. Кратко обсуждены проблема зарождения турбулентности и динамические модели хаоса. Р1з-ложена теория автоволновых процессов в активных средах. Проанализировано влияние флюктуаций внешних полей на кинетику неравновесных химических реакций. Книга содержит также обзор экспериментального материала по явлениям самоорганизации в различных физико-химических системах. [c.2]

Эта модель интересна тем, что она имеет различные периодические решения и в ней возможен стохастический режим, причем зарождение динамического хаоса происходит через каскад бифуркации удвоения периода предельных циклов (по сценарию Фейгенбаума) [4]. [c.143]

Выдвинутая синергетикой концепция самоорганизации служит естественно-научным уточнением принципа самодвижения и развития материи. В противовес классической механике, синергетика рассматривает материю как массу, приводимую в движение внешней силой. В синергетике выявляется, что при определенных условиях и системы неорганической природы способны к самоорганизации. В отличие от равновесной термодинамики, признавшей эволюцию только в сторону увеличения энтропии системы, то есть беспорядка, хаоса и дезорганизации, синергетика впервые раскрыла механизм возникновения порядка через флуктуации, то есть отклонения системы от некоторого среднего состояния. Флуктуации усиливаются за счет нерав-новесности, расшатывают прежнюю структуру и приводят к новой из беспорядка возникает порядок. Самоорганизующиеся процессы характеризуются такими диалектическими противоречивыми тенденциями, как неустойчивость и устойчивость, дезорганизация и организация, беспорядок и порядок. По мере выявления общих принципов самоорганизации становится возможным строить более адекватные модели синергетики, которые имеют нелинейный характер, так как учитывают качественные изменения. Синергетика уточняет представления о динамическом характере реальных структур и систем и связанных с ними процессов развития, раскрывает рост упорядоченности и иерархической сложности самоорганизующихся систем на каждом этапе эволюции материи. Ее результаты имеют большое значение для установления связи между живой и неживой материей, а также раскрЕлтия процессов возникновения жизни на земле [179-185]. [c.169]

Простейшая модель такого рода, описывающая двумерную (валиковую) конвекцию тремя переменными, известна как модель Лоренца. Две из этих переменных — амплитуда поля скоростей, соответствующего системе валов, и амплитуда поля температурного возмущения с тем же пространственным периодом. Третья переменная — амплитуда гармоники температуры, которая является второй в разложении вертикальной зависимости и нулевой в разложении горизонтальной зависимости. Она описывает, таким образом, однородное по горизонтали температурное возмущение, ответственное за возникновение температурных пофаничных слоев вблизи горизонтальных границ слоя. Численное исследопапис этой системы позволило Лоренцу [132] впервые обнаружить странный аттрактор в ее фазовом пространстве и явление динамического хаоса и открыть тем самым новую эпоху в исследовании динамических систем. Аналогичные системы, содержащие большее число амплитудных переменных — например, систему, рассмотренную в [13]] — иногда называют обобщеииьши моделями Лоренца. [c.81]

Значительный прогресс в понимании природы и свойств турбулентности произошел в последние десятилетия благодаря успехам теории динамических систем, позволившим понять как хаотическое поведение возникает в детерминированных системах. Этим результатам посвящена вторая глава, в которой приводятся базовые сведения из теории динамических систем и обсуждаются некоторые приложения. Вводится понятие фазового пространства и даны примеры фазовых портретов некоторых простых динамических систем. Обсуждаются особенности эволюции консервативных и диссипативных систем. Для диссипативных систем вводится понятие аттрактора, обсуждаются свойства аттракторов стохастических систем. Излагаются краткие сведения из теории фракталов, дается понятие обобщенной размерности и описаны алгоритмы определения размерности аттракторов стохастических систем. Даны основы теории бифуркаций, рассмотрены некоторые методы исследования перехода к хаосу и характреистики динамических систем при периодическом и хаотическом поведении (сечения Пуанкаре, показатели Ляпунова, энтропия Колмогорова, спектры Фурье). Описаны и обсуждены основные сценарии перехода от порядка к хаосу сценарий Ландау, сценарий Рюэля и Таккенса, субгармонический каскад. В заключение главы рассматриваются примеры гидродинамических систем, демонстрирующих хаотическое поведение. Проведен подробный анализ поведения модели Лоренца, уравнения которой выведены в первой главе. Рассмотрена также простейшая модель генерации магнитного поля Земли (динамо Рикитаки), воспроизводящая эффект случайных перебросов направления магнитного поля. Показаны и обсуждены также результаты [c.5]

В данной главе мы остановимся на базовых понятиях теории динамических систем, рассмотрим основные виды бифуркаций и основные сценарии перехода от упорядоченного движения к хаосу. Мы подробно разберем свойства системы Лоренца, не только сыгравшей важнейшую роль в становлении науки о хаосе, но и имеющей самое прямое отношение к теме нашего курса. Далее мы приведем пример еще одной динамической системы, имеющей отношение к гидродинамическим системам - это простейшая модель земного динамо Рикитаке. В завершение будут приведены некоторые результаты лабораторного исследования стохастизации конвективного движения в замкнутой полости. [c.43]

Во второй главе мы видели, насколько полезными оказались маломодовые динамические системы для понимания путей перехода от детерминированных движений к хаосу. В этой главе мы познакомимся с простейшими моделями развитой турбулентности, по сути, также представляющими собой динамические системы, но относительно высокой размерности (несколько десятков обыкновенных дифференциальных уравнений). [c.109]

Обратимся теперь к развитой Пригожиным в 1970-1980-е годы нелинейной термодинамике неравновесных процессов, важнейшими составными частями которой являются теории диссипативных систем и бифуркаций. На первый взгляд может показаться, что рассмотренные на ее основе системы существенно отличаются от выбранной системы структурной организации белков. Конвекционные ячейки Бенара, когерентное излучение лазера, турбулентное движение жидкости, реакция Белоусова-Жаботинского, модель Лотке-Вольтерра, описывающая взаимоотношения между "хищником и жертвой", - все это открытые диссипативные структуры. Динамические процессы перечисленных и подобных им неравновесных макроскопических систем, действительно, приводят при достижении условий, превышающих соответствующий критический уровень, к спонтанному возникновению из беспорядка высокоорганизованных пространственных, пространственно-временны х и просто временных структур. Однако во всех случаях поддерживание возникшего из хаоса порядка в стационарном режиме оказывается возможным только при постоянном энергетическом и/или материальном обмене между окружающей средой и динамической системой. Совершающийся в такой открытой системе неравновесный процесс вдали от положения равновесия связан с диссипацией, т.е. с производством энтропии, или, иными словами, с компенсируюпщм это производство потреблением негэнтропии из окружающей среды. Перекрытие внешнего потока негэнтропии автоматически приводит к прекращению системой производства энтропии и, как следствие, распаду созданной диссипацией структуры. У открытых диссипативных систем аттрактором является не равновесное состояние, а расположенное далеко от него состояние текущего равновесия. [c.462]

Бурно развивающийся раздел теории динамических систем изучает возникновение хорошо описанных коллективных явлений - упорядочение, турбулентность, хаос, нарушение симметрии, фрактальность и др. в системах, состоящих из большого числа частиц, взаимодействующих друг с другом нелинейно цели исследований и их математический аппарат здесь больше похожи на присущие макроскопической физике и материаловедению. Клеточные автоматы обеспечивают богатую и непрерывно растущую коллекцию типичных моделей, в которых эти явления могут быть изучены относительно легко [66, 15, 5]. Систематическое использование клеточных автоматов в этом контексте энергично проводилось С. Вольфрамом [70-73, 43] его сборник статей по теории и применениям клеточных автоматов [74] содержит обширную библиографию. [c.15]

Для анализа особенностей процессов неравновесной фильтрации газированной жидкости в нелинейной области задача решалась численно. Расчеты показали, что при определенных значениях параметров (отношения вязкостей жидкой и газовой фаз, перепада давления и времени релаксации) в области фильтрации газированной нефти возникают периодические во времени изменения давления и насыщенности. Изменение этих параметров приводит к потере устойчивости предельного цикла и возникновению квазипериодического движения, переходящего затем в хаотическое. Применение процедуры Паккарда-Такенса показывает, что наблюдаемый хаос является детерминированным и минимальное число динамических переменных, необходимых для описания колебаний в фильтрационном потоке, равно трем, что соответствует предложенной модели фильтрации. [c.11]