Сходимость Ньютона

Явная разностная схема при неустойчивости матрицы Гесса. В случае неположительно определенной или вырожденной квадратичной формы применение метода Ньютона — Рафсона невозможно. Для того чтобы это оказалось возможным в качестве М обычно используют такую матрицу, которая 1) являясь положительно определенной, обеспечивает уменьшение на траектории системы (3.161) 2) будучи неким аналогом матрицы обеспечивает хорошую сходимость минимизации. Рекомендуется [93, 101] опреде-р [c.216]

Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого или второго порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона—Рафсона, обладающим квадратичной сходимостью. Методам этой группы свойственна высокая чувствительность к начальному приближению. [c.135]

МОЙ памяти. Использование итерационных методов (а они составляют большинство методов вычислительной математики) отвечает требованиям минимизации занимаемой памяти, однако не всегда обеспечивает требуемое быстродействие. Метод должен обеспечивать, во-первых, сходимость при любом начальном приближении и, во-вторых, с приемлемым быстродействием. Далеко не много методов удовлетворяют этим требованиям. Например, метод релаксации в общем случае обеспечивает сходимость решения при любом начальном приближении, но весьма и весьма медленно. Методы же типа Ньютона—Рафсона обладают квадратичной сходимостью, но не при любом начальном приближении. В связи с этим одной из сложных проблем при использовании итерационных методов является обеспечение сходимости решения в широком диапазоне изменения параметров процесса. [c.261]

Для оценки скорости сходимости решения по методу Ньютона рассмотрим итеративный метод вычисления квадратного корня X = У А. [c.192]

Таким образом, метод обладает квадратичной сходимостью. Блок-схема алгоритма расчета по методу Ньютона представлена на рис. 33. [c.193]

После достижения сходимости метода Ньютона, когда условия материального баланса выполняются, можно вычислить весь равновесный состав по уравнениям [c.27]

Как видно из таблицы, больщинство методов одновременно решают систему нелинейных уравнений математического описания взаимосвязанных колонн разделения. Однако некоторые процедуры расчета в отдельности обеспечивают одновременную сходимость системы общим 0-методом. При этом, если колонны рассчитывают отдельно, для обеспечения общей сходимости применяют методы разрывных уравнений, блочной релаксации и/или одновременной коррекции. Сходимость достигается использованием комбинации метода релаксации или демпфирующего фактора с методом Ньютона или его модификациями. [c.237]

Численные методы для решения систем нелинейных уравнений щироко известны и подробно описаны в литературе. Традиционно задачи разделения решаются методом Ньютона или его комбинацией с методом крутого спуска, которые требуют хорошего начального приближения. Во всех тех случаях, когда имеется хороший вектор начальных приближений, что типично для простой задачи разделения, метод Ньютона позволяет найти решение с квадратичной скоростью сходимости. В случаях, когда метод Ньютона не работает, он модифицируется для снижения количества расчетов, однако модифицированный метод Ньютона не всегда работает. [c.261]

К сожалению, начиная с x 0,6 как начального приближения для определения j l,0 = х , метод Ньютона не дает сходимости. [c.267]

Несмотря на то, что применение термодинамических гомотопий значительно увеличивает область сходимости по сравнению с методом Ньютона, для увеличения надежности алгоритмов при моделировании сложной системы взаимосвязанных колонн разделения, теплообменников и клапанов наилучшим будет применение комбинации функций термодинамической гомотопии и дифференциальной гомотопии. [c.276]

На рис. 5.16 показаны траектории сходимости для всех случаев, приведенных в табл. 5.3, как для метода Ньютона с линейным поиском, так и для алгоритма с использованием методов гомотопии. [c.281]

Рис. 5.16. Сходимость метода Ньютона и обобщенного алгоритма для четырех случаев разделения (табл. 5.2)

На каждом временном шаге алгоритм требует решения системы алгебраических уравнений с нелинейной правой частью. Мы рассмотрим метод простой итерации и метод Ньютона — Канторовича и покажем их сходимость при достаточно малых т. [c.130]

Поэтому большее значение должны приобрести метод Ньютона и его модификации. Действительно, для выпуклой квадратичной функции независимо от ее размерности метод Ньютона должен дать решение за один шаг. Отсюда можно полагать, что и для произвольных функций, близких к квадратичным, скорость сходимости указанного метода будет меньше зависеть от размерности, чем скорость сходимости методов сопряженных направлений. Правда, при этом необходимо преодолеть затруднения, о которых уже говорилось в книге (см. с. 33). [c.261]

Если функция / (х) не квадратичная, то при некоторых дополнительных предположениях метод Ньютона сходится к точке минимума х для любых хо, достаточно близких к х, с квадратичной скоростью сходимости. Таким образом, метод Ньютона характеризуется высокой скоростью сходимости. Вместе с тем он обладает рядом недостатков [c.268]

Модификации метода Ньютона можно подразделить на две группы к первой относятся методы, уменьшающие количество вычислений на каждой итерации, ко второй — методы, увеличивающие область сходимости метода. [c.269]

Перейдем теперь ко второй группе методов. Часто используемый прием — это соединение метода Ньютона с одним из методов, имеющих более широкую область сходимости, например, с методом градиента. Тогда вначале работает метод градиента, а метод Ньютона применяется на последнем этапе минимизации, когда с помощью метода градиента уже получено хорошее начальное приближение. [c.269]

В общем случае направления метода Ньютона рк = G gk не дают направления спуска. Для сходимости модифицированного метода Ньютона (7), (8), (9) илп (7), (8), (10) при любом ха обычно требуется положительная определенность матрицы С. Поскольку это не всегда выполняется, в работах [92, 149, 150] вместо матрицы С вводят матрицу С, обладающую указанным свойством, [c.270]

Если имеется хорошее начальное приближение, метод Ньютона сходится быстро. Однако при плохом приближении метод Ньютона либо плохо сходится, либо вообще расходится. В последнем случае часто улучшает сходимость метода модификация [c.34]

Матрицы, входящие в правую часть этой формулы, имеют одинаковую форму представления они получены в результате умножения вектора на свой транспонированный вектор. Ранг подобных матриц, очевидно, равен единице. Так как ранг суммы матриц не превосходит суммы рангов ее составляющих, то при р < п — 1 ранг матрицы (х ) оказывается меньшим п, т. е. она является вырожденной. Если на нижнем уровне для минимизации функции а(- ) применяется метод Ньютона [см. выражение (1,43)], то в общем случае эффективность его для рассматриваемой ситуации значительно снижается [81, с. 79—86] вместо квадратичной скорости сходимости можно гарантировать лишь линейную скорость, характерную для обычного градиентного метода. Следовательно в целом эффективность алгоритма метода уровней, используемого совместно с методом Ньютона для выполнения безусловной минимизации, должна снижаться по мере приближения значения параметра л к л. Отсюда следует также, что в общем случае метод уровней целесообразно применять лишь для локализации решения задачи на условный экстремум, в частности задавать начальные приближения для х и [Л, достаточно близкие к х, х, нецелесообразно, Последний из упомянутых моментов часто проявлялся при расчетах на ЭВМ с использованием на нижнем уровне других квадратичных методов безусловной минимизации. [c.122]

Очевидно, что достаточно вычислить два интеграла в формуле (3.107), чтобы затем получать решения для любого а. практически без дополнительных вычислительных затрат. Таким образом, в процессе вычислений фактически проводятся лишь итерации алгебраического уравнения (3.108), которое решается методом Ньютона. Выбор этого метода обусловлен тем, что при а = 1 аппроксимирующий потенциал является разложением исходного потенциала в ряд Тейлора до второго члена и при малых приращениях дает удовлетворительное приближение. Следовательно, а должно быть близко к 1. Известно, что если в начальном приближении мы находимся недалеко от корня, то метод Ньютона обладает квадратичной сходимостью. Использование уравнения (3.107) дает возможность записывать необходимые в методе производные по параметру а в аналитическом виде. й [c.81]

На рис. 1-4 показано применение способа Ньютона для нахождения положительного корня х = 2 + 2 / 2), который удовлетворял бы уравнению (1,8). Простые итерации в этом случае не дают решения способ Ньютона, наоборот, обеспечивает быструю сходимость до искомого результата. Кроме того, очевидно, что если начальное значение х лежит вправо от х =- 2, то способ Ньютона дает сходимость при значении корня х = = (2+2 /2). В случае, когда начальная величина х лежит влево от X = 2, этот способ дает сходимость при корне х = = (2—2У 2). Если взято начальное значение х = 2, способ Ньютона оказывается непригодным, так как f (2) = 0. Если же, наконец, в окрестности значения искомого корпя оказывается точка перегиба, указанный способ может не дать сходимости . [c.19]

Расчет следует начинать с входа в циркуляционную трубу, задавшись потоком жидкости, и продолжать вычисления, поочередно прибавляя и вычитая изменения давления. При попытке рассчитать процесс теплопередачи для первого ряда труб теплообменника возникает дополнительная трудность. Ввиду того что по условию задачи моделирования должны задаваться лишь условия на входе, выходная температура и эффективная движущая сила в этих трубах неизвестны. Поэтому необходимо выполнить двойную итерацию следует задать, во-первых, температуру газа на выходе и, во-вторых, температуру газовой смеси непосредственно за каждым рядом труб, чтобы можно было рассчитать эффективную разность температур в трубах. Приняв значение температуры газа на выходе, необходимо добиваться сходимости по температуре поочередно для каждого ряда труб. Таким образом, программа включает три основных итерационных цикла по массовой скорости потока воды, по выходной температуре газа и по средней температуре — движущей силе — для каждого ряда труб. Кроме того, имеются такие программы расчета средней температуры, с помощью которых можно определять различные физические свойства или получать решения других трансцендентных уравнений (например, уравнения Коулбрука для коэффициента трения в однофазном потоке, приведенные в работе Кауфмана [95]). К счастью, используя метод секущих по температурам, расчет выходной температуры можно осуществить за три-четыре итерации. Метод Ньютона — Рафсона, применяемый для обеспечения сходимости по скорости потока воды, требует от четырех до шести итераций, если приближенное значение потока не было известно из предыдущего цикла вычислений. Все прочие итерационные процедуры также основаны на методе сходимости Ньютона — Рафсона. Расчет общего перепада давления во всем контуре для одного приближения по скорости потока, выполняемый по этой программе на вычислительной машине IBM-7040, занимает примерно [c.193]

Принципиальная возможность расчета и перспективность использования азеотропно-экстрактивной ректификации была показана в работе [481, где предложена и схема алгоритма, основанная на методике релаксации. Однако основная задача состоит в разработке эффективной процедуры решения системы уравнений материального баланса, поскольку, обладая устойчивой сходимостью, метод релаксации весьма времеемок. Позднее был предложен комбинированный метод, основанный на методах релаксации и трехдиагональной матрицы [791. Другим подходом является использование метода Ньютона—Рафсона для решения системы уравнений материального баланса [801. И все же в виду сложности задачи основное внимание до сих пор уделяется разработке алгоритмов сведения материального баланса при отборе одной из фаз со ступени разделения или расслаивании целевых продуктов в гравитационных декантаторах. Но этим не исчерпываются особенности ректификации с расслаиванием жидких фаз. Большие возможности этого процесса заключаются в перераспределении потоков отдельных фаз внутри колонны на специальных устройствах [811 для создания необходимого температурного режима, а также изменения условий протекания процесса. [c.355]

Методы второго типа — это методы градиента, наискорейшего спуска, Ньютона—Рафсона и их модификации. Методы третьего типа, связанные с вычислением вторых производных, не находят широкого применения из-за трудностей вычисления вторых производных. Здесь можно упомянуть лишь метод Флетчера—Пауэлла, который является методом первого порядка, но использует оригинальную аппроксимацию вторых производных Дэвидона, чем обеспечивает более высокую скорость сходимости, чем градиентные методы. [c.179]

Наряду с рассмотренными имеются также и другие поисковые процедуры (так, например, метод Дэвидона — Флетчера — Пауэлла, метод Гаусса-Ньютона и др.). Методам численного поиска посвящена обширная литература [128—131], где детально освящены такие вопросы, как выбор направления движения, движение при наличии ограничений, сходимость процедуры и т. д. [c.325]

Матричные методы, составляющие большинство известных методов расчета массообменных аппаратов и их комплексов, можно разделить на две группы по способу линеаризации балансовых соотношений. К первой группе относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность с предьщущих итераций. Типичным примером является метод Тиле и Геддеса, реализованный в матричной форме. Для него характерны трехдиагональная структура мат эицы системы уравнений баланса, простота хранения коэффициентов системы уравнений. Однако, являясь по скорости сходимости методом первого порядка, он в ряде случаев обладает слишком медленной скоростью сходимости или вообще не обеспечивает решения. Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона-Рафсона. Эти методы обладают квадратичной сходимостью, однако весьма чувствительны к начальному приближению. [c.79]

Приведенные в таблице методы позволяют решить широкий ряд задач для взаимосвязанных систем разделения, в том числе для систем, приведенных на рис. 5.2, однако при этом авторы не выделяют те задачи, для которых предлагаемые ими методы не работают. Общеизвестно, что метод Ньютона и квазиньюто-новские методы могут не сходиться при решении задач разделения из-за сильных неидеальностей температурного профиля или равновесных соотношений. Поэтому в [16] (см. табл. 5.1) предпринята попытка объединить сфатегию блочной релаксации с методом Ньютона для увеличения области сходимости, что однако не позволило решить все проблемы. [c.237]

Пусть первые два шага процедуры по методу Ньютона приводят к коррекции в г и из г в г (см. рис. 5.13). Пусть также d = - г к 2 = z - г (где d, 2 - длина 1-го и 2-го шага коррекции Ньютона соответственно z , - результаты 1-го и 2-го шага коррекции Ньютона соответственно), тогда отношение а = d2/d, согласно теореме Ньютона - Канторовича, будет не больше 1/2, если у находится в области квадратичной сходимости метода Ньютона. Обозначим 0 угол между последующими единичными тангенсами, как показано на рис. 5.13, т. е. 9 = = ar os((i/ ) M ). [c.274]

К итерационным методам решения систем нелинейных уравнений относятся метод простой итерации и такие его разновидности с улучшенной сходимостью, как метод модифицированной итерации метод доминирующего собственного значения (DEM) [21 ] и обобщенный метод доминирующи.х собственных значений (GDEM) [22] метод Ньютона и его модификации различные разновидности метода секущих, в частности, методы Вольфа, Барнза, Бройдена, методы с памятью и др. [c.67]

Для решения этого уравнения отиосительно переменной Тср воспользуемся методом Ньютона. В табл. 111.18 показана сходимость итерационного процесса. В качестве начальных приближений взяты значения Тср = 100 и Тср = ПО К. Результаты вычислений [c.100]

Методы решения систем нелинейных уравнений можно р азбить на три группы. К первой относятся метод простой итерации и его модификации, а также методы, ускоряющие сходимость простой итерации (методы DEM [22], GDEM [23]) ко второй — метод Вольфа и его модификации [3, с. 35 1, с. 84] к третьей — квази-ньютоновские методы. Здесь мы рассмотрим только метод Ньютона и квазиньютоновские методы решения систем нелинейных уравнений, идейно очень близкие к методу Ньютона и квазиньютоновским методам оптимизации. В дальнейшем будем говорить, что метод обладает р-шаговым свойством линейного окончания, если он обеспечивает решение системы линейных уравнений при числе шагов, не превышающем р. [c.29]

Система (II, 6) должна быть близка к линейной это условие будет выполняться, если начальное приближение находится достаточно близко от решения системы (И, 6). Действительно, при этих условиях шаг в соответствии с (II, 14), (II, 23) будет почти ньютоновским, примененным к системе, близкой к линейной, а, как мы видим, метод Ньютона дает решение системы линейных уравнений за один шаг. При невыполнении этих условий трудно ожидать хорошей сходимости метода. А поскольку при плохом начальном приближении второе условие часто не вьшолняется, то и метод в этих случаях сходится не очень быстро. И, действительно, типичная картина зависимости нормы правых частей системы от номера итерации проиллюстрирована на рис. 9. Вначале достаточно долго наблюдается очень медленная сходимость, и только в конце итерационного процесса норма начинает очень быстро уменьшаться, т. е. сверхлинейная сходимость появляется только в конце итерационного процесса, когда выполняются оба условия, матрица Я становится близкой обратной матрице Якоби, а система (II, 6) вследствие близости итерационной точки к точке решения становится близкой к линейной. [c.71]

Xfe < 1), т. е. размер окрестности г= х — х удовлетворяет неравенству г < (mlR). Отсюда, чем больше значение константы Липшица R для VlPa (х), т. е. чем больше значения штрафных коэффициентов а , i = 1,. .., р, тем меньше размер окрестности, где скорость сходимости последовательности Хи к х становится сверхлинейной, т. е. где метод Ньютона обладает высокой эффективностью. [c.123]

Как только будет получено постоянное значение величины SUMY, последняя сравнивается с единицей. Если сумма концентраций равна единице в пределах допустимой ошибки, то полученная температура отвечает условиям равновесия в противном случае вновь корректируется температура и выполняется еще одна итерация по температуре. Последующие уточнения температуры производятся по способу Ньютона . В программе предусмотрен соответствующий контроль сходимости решения. [c.61]

Затем переменная ЗиМХ сравнивается с единицей, и если она не равна последней, то вместе со своей предыдущей величиной она используется для расчета нового значения температуры по способу Ньютона. Как и в предыдущей программе, здесь предусмотрен контроль на сходимость решения по методу Ньютона. Если сумма концентраций компонентов жидкой фазы равна единице в пределах допустимого отклонения, значит найдены равновесные значения температуры и состава и основная программа вызывает подпрограмму вывода для печати результатов. Для расчета равновесия тех же компонентов в других условиях необходимо повторить [c.63]

Сходимость способа Ньютона — Рафсона рекомендуется исследовать путем непосредственного применения этого метода к решению различных задач, стояш их перед исследователем. Следует изучить использование различных начальных значений переменных. Если интерес представляют только положительные значения корней, а при промежуточном приближении получаются отрицательные значения перемеьных, необходимо предусмотреть возможность выбора новых значений переменных для следующего приближения. Как уже указывалось, целесообразно непосредственное испытание способа в отношении сходимости, так как труднее аналитически доказать сходимость или несходимость способа Ньютона — Рафсона для данной системы уравнений, чем найти конкретные условия, при которых получалась бы сходимость до желаемого результата для одних начальных условий и несходимость для других. [c.22]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология