Ньютона Рафсона сходимость

По методике Ньютона — Рафсона сходимость [c.380]

Явная разностная схема при неустойчивости матрицы Гесса. В случае неположительно определенной или вырожденной квадратичной формы применение метода Ньютона — Рафсона невозможно. Для того чтобы это оказалось возможным в качестве М обычно используют такую матрицу, которая 1) являясь положительно определенной, обеспечивает уменьшение на траектории системы (3.161) 2) будучи неким аналогом матрицы обеспечивает хорошую сходимость минимизации. Рекомендуется [93, 101] опреде-р [c.216]

Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого или второго порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона—Рафсона, обладающим квадратичной сходимостью. Методам этой группы свойственна высокая чувствительность к начальному приближению. [c.135]

МОЙ памяти. Использование итерационных методов (а они составляют большинство методов вычислительной математики) отвечает требованиям минимизации занимаемой памяти, однако не всегда обеспечивает требуемое быстродействие. Метод должен обеспечивать, во-первых, сходимость при любом начальном приближении и, во-вторых, с приемлемым быстродействием. Далеко не много методов удовлетворяют этим требованиям. Например, метод релаксации в общем случае обеспечивает сходимость решения при любом начальном приближении, но весьма и весьма медленно. Методы же типа Ньютона—Рафсона обладают квадратичной сходимостью, но не при любом начальном приближении. В связи с этим одной из сложных проблем при использовании итерационных методов является обеспечение сходимости решения в широком диапазоне изменения параметров процесса. [c.261]

Критерий сходимости — постоянство фазовых составов (см. п. 7 блок-схемы (рис. 6.11), установленное путем последовательных расчетов мольных долей пара. Сумма мольных долей автоматически равна единице из расчета коэффициента фазового разделения /3, который определяется по методике Ньютона — Рафсона или ей подобной. [c.332]

После этого из уравнения (10.105) посредством метода Ньютона — Рафсона находят уточненные значения X, а в дальнейшем уточненные значения мольных долей находят из уравнения (10.102). В противном случае математическая последовательность определения X и у1 продолжается до достижения удовлетворительной сходимости. Для оценки сходимости отношения материальных балансов уравнения (10.98) можно использовать в форме [c.500]

Если уравнение (111.102) является хорошим отображением 5 (и) и условия сходимости выполняются, то метод Ньютона — Рафсона позволяет быстро находить минимум. В противном случае точка + — и 4- Ь з может оказаться дальше от минимума, чем При этом решение будет либо расходиться, либо приведет в овраг. В частности, если корни уравнений расположены достаточно близко друг от друга, условие 3 сходимости метода нарушается и итерационный процесс начинает колебаться между значениями ц(з + 1) и и до бесконечности, не сходясь ни к одному значению корней. [c.174]

ЭТОМ функции, с которыми необходимо иметь дело, разлагаются в ряд Тейлора и рассматриваются только члены первого порядка [4, 11, 12, 16, 27—30]. Иногда с целью улучшения сходимости принимают во внимание члены второго порядка (приближение Ньютона-Рафсона) об эффективности такого приема имеются противоречивые сведения [15, 31]. Другой общеупотребительный метод (хотя и не столь часто применяемый в последнее время) — метод совмещения кривых, разработанный Силленом с сотр. [7, 21, 32—34]. Сумма квадратов ощибок 5 вычисляется сначала для начального набора констант устойчивости К, а затем пересчитывается для наборов Кь получаемых изменением с данным шагом Ы. Таким путем находят 72( +1)( + 2) значений 5 (п — число констант устойчивости, подлежащих уточнению) и используют их для построения поверхности второго порядка (параболической). Точка Ко минимума этой поверхности служит исходным значением для следующей итерации. Оба метода имеют определенные достоинства и в некоторых аспектах преимущества один перед другим-[7, 31], но главной проблемой как этих, так и других программ остается надежность сходимости. [c.89]

Поскольку методы сопряженных направлений за К шагов имитируют один шаг метода Ньютона — Рафсона, они, вообще говоря, обладают квадратичной скоростью сходимости. Однако это их свойство проявляется лишь в достаточной близости к экстремальной точке. В случае расчета стабильных структур использование известной структурной информации позволяет достаточно хорошо выбирать начальное приближение. Известные значения силовых постоянных (из эксперимента или из родственных расчетов) можно использовать при задании начального приближения для матрицы А (A 5iG ) в методах переменной метрики. Интересной особенностью градиентных методов сопряженных направлений является их эквивалентность в случае выпуклой квадратичной функции [234], когда они приводят к одной и той же последовательности сопряженных направлений. Но для произвольных функций, особенно вблизи точек перегиба, разные методы приводят к разным результатам. Наибольшей устойчивостью, по-видимому, обладают методы переменной метрики, но в задачах с очень большим числом переменных необходимость работы с матрицей высокого порядка может приводить к затруднениям тогда следует пользоваться более простыми методами параллельных касательных или сопряженных градиентов. Предварительно полезно улучшить начальное приближение с помощью метода скорейшего спуска. [c.116]

Метод параллельных касательных, обходясь без дорогостоящего вычисления вторых производных, практически не уступает в скорости сходимости методу Ньютона — Рафсона, но... нет метода без недостатков. Скорость сходимости резко уменьшается, если минимумы на направлениях вычисляются неточно, особенно в процедуре (2.121). С другой стороны, точное определение минимума на прямой обходится слишком дорого — для этого уже недостаточно описанной выше квадратичной интерполяции. [c.134]

Несмотря на хорошие свойства точности и устойчивости, практическое использование неявных методов типа Рунге—Кутта является еще весьма и весьма ограниченным. Причины этого заключаются в больших вычислительных затратах на шагах интегрирования. Из (П7.8) видно, что для вычисления ki требуется организовать итерационный процесс. Простой итерационный процесс является малоэффективным при решении жестких задач, так как он приводит фактически к такому ограничению на размер шага, что и явные методы. Поэтому возникает необходимость использования метода Ньютона—Рафсона или какой-либо его модификации. Это, в свою очередь, приводит к необходимости обращения матрицы размерности тхМ, что соответствует скалярным произведениям. Некоторого сокращения вычислительных затрат достигают за счет Ьи — разложения итерационной матрицы, а также за счет использования одной и той же матрицы на нескольких шагах интегрирования. Это оправдано тем, что итерационная матрица не влияет на порядок точности численной схемы и поэтому необходимость в ее направлении возникает только при значительном замедлении сходимости итерационного процесса. [c.276]

При промежуточных значениях Гоо оба предельных случая не дают правильного решения. Его можно получить лишь численным методом. Процедуру расчета можно упростить с помощью, например, методики Ньютона—Рафсона, применяемой для ускорения сходимости решения. [c.67]

Члены, связанные с конвективным переносом,, всюду равны нулю, т. е. О, и в конечно-разностных уравнениях равны нулю. Для проведения расчетов в этих координатах необходимо аккуратно определять состояние потока на каждом временном шаге б/. Это достигается применением итерационного алгоритма Ньютона — Рафсона, на каждом шаге которого из уравнения (4.65) определяется поправка к начальному приближению Ф. Процесс продолжается до достижения заданной относительной точности по всем переменным бф/ф = = 10- Вследствие нелинейности исходных дифференциальных уравнений итерации могут расходиться, если шаг по времени слишком велик, и нужно предусмотреть уменьшение шага, скажем, вдвое, если сходимость за заданное число итераций не достигается. С другой стороны, для сокращения времени расчета необходимо по возможности увеличивать шаг по времени в пределах отмеченных ограничений. Удобно поэтому начинать расчет с малых значений Ы (скажем, 10 с) и постепенно увеличивать Ы (примерно на 10 %), если на данном шаге достигается сходимость за определенное число итераций. [c.87]

В большинство общепринятых алгоритмов метода наименьших квадратов для расчета констант устойчивости входит уравнение (5.9) алгоритмы основаны на методах Ньютона — Гаусса — Рафсона. Эти методы подразделяются на две группы в зависимости от способа, которым обеспечивается уменьшение суммы квадратов 5 на каждой итерации. В первой группе масштабная корректировка или оптимизация поправочного вектора выполняется таким образом, чтобы обеспечить максимальное уменьшение S на каждой итерации. Это безусловно обеспечивает сходимость. [c.91]

Принципиальная возможность расчета и перспективность использования азеотропно-экстрактивной ректификации была показана в работе [481, где предложена и схема алгоритма, основанная на методике релаксации. Однако основная задача состоит в разработке эффективной процедуры решения системы уравнений материального баланса, поскольку, обладая устойчивой сходимостью, метод релаксации весьма времеемок. Позднее был предложен комбинированный метод, основанный на методах релаксации и трехдиагональной матрицы [791. Другим подходом является использование метода Ньютона—Рафсона для решения системы уравнений материального баланса [801. И все же в виду сложности задачи основное внимание до сих пор уделяется разработке алгоритмов сведения материального баланса при отборе одной из фаз со ступени разделения или расслаивании целевых продуктов в гравитационных декантаторах. Но этим не исчерпываются особенности ректификации с расслаиванием жидких фаз. Большие возможности этого процесса заключаются в перераспределении потоков отдельных фаз внутри колонны на специальных устройствах [811 для создания необходимого температурного режима, а также изменения условий протекания процесса. [c.355]

Методы второго типа — это методы градиента, наискорейшего спуска, Ньютона—Рафсона и их модификации. Методы третьего типа, связанные с вычислением вторых производных, не находят широкого применения из-за трудностей вычисления вторых производных. Здесь можно упомянуть лишь метод Флетчера—Пауэлла, который является методом первого порядка, но использует оригинальную аппроксимацию вторых производных Дэвидона, чем обеспечивает более высокую скорость сходимости, чем градиентные методы. [c.179]

Матричные методы, составляющие большинство известных методов расчета массообменных аппаратов и их комплексов, можно разделить на две группы по способу линеаризации балансовых соотношений. К первой группе относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность с предьщущих итераций. Типичным примером является метод Тиле и Геддеса, реализованный в матричной форме. Для него характерны трехдиагональная структура мат эицы системы уравнений баланса, простота хранения коэффициентов системы уравнений. Однако, являясь по скорости сходимости методом первого порядка, он в ряде случаев обладает слишком медленной скоростью сходимости или вообще не обеспечивает решения. Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона-Рафсона. Эти методы обладают квадратичной сходимостью, однако весьма чувствительны к начальному приближению. [c.79]

Сходимость способа Ньютона — Рафсона рекомендуется исследовать путем непосредственного применения этого метода к решению различных задач, стояш их перед исследователем. Следует изучить использование различных начальных значений переменных. Если интерес представляют только положительные значения корней, а при промежуточном приближении получаются отрицательные значения перемеьных, необходимо предусмотреть возможность выбора новых значений переменных для следующего приближения. Как уже указывалось, целесообразно непосредственное испытание способа в отношении сходимости, так как труднее аналитически доказать сходимость или несходимость способа Ньютона — Рафсона для данной системы уравнений, чем найти конкретные условия, при которых получалась бы сходимость до желаемого результата для одних начальных условий и несходимость для других. [c.22]

Виды уравнения. Помимо уравнений, разрешимых относительно давления, в табл. 1.9 приводятся также полиномиальные уравнения, разрешимые относительно объема и критической сжимаемости. Уравнения приведенного вида удобны тем, что их можно сравнивать с другими уравнениями. Способ нахождения корней полиномиальных уравнений проиллюстрирован в примере 1.3. Конкретный вид уравнения зависит от выбора пары трех переменных. Уравнения (9) и (10) (см. табл. 1.9) для Лиг предложены Редлихом и Квонгом для решения этих уравнений практически всегда применима прямая итерация для ускорения сходимости можно прибегнуть к методу Вегштейна. Корни полиномиальных уравнений легко находят методом Ньютона — Рафсона, приравнивая вначале сжимаемость пара к единице, а сжимаемость жидкости — к нулю. Кроме того, все три корня можно установить методом Кардана. Для ЭВМ фирмы Не у1е11-Раскагс разработана программа нахождения действительных и комплексных корней полиномиальных уравнений. В примере 1.13 показано применение этой программы для определения корней уравнения для пропилена в определенном интервале давлений насыщения. [c.54]

Из-за высокой нелинейности уравнение Бенедикта — Уэбба — Рубина использовать сложнее, чем кубические уравнения, которые можно аналитически разрешить относительно объема или сжимаемости. Метод Ньютона — Рафсона, как правило, дает удовлетворительные результаты. Процедура проведения расчетов по этому методу подробно описана в работе [380]. Еще один метод, который всегда, хотя и медленно, приводит к сходимости, предложен Тангом [674]. [c.70]

Поскольку система уравнений обычно включает несколько нелинейных уравнений, приходится прибегать к методам аппроксимации. Этой проблеме уделялось много внимания в связи с многореакционным равновесием, так как при этом может наблюдаться плохая сходимость на промежуточных стадиях последовательных приближений корней и могут появляться отрицательные мольные доли. При этом были использованы приведение уравнений к линейным системам перед или в ходе применения метода Ньютона — Рафсона, линейное [c.491]

Сравнение метода последовательно соединенных реакторов с методом Ньютона — Рафсона показывает, что последний требует начальных оценок количеств всех компонентов и что сходимость в весьма заметной степени зависит от этих оценок. В одном из примеров приведенных авторами [477] процесс из семи реакций адекватно устанавливается после восьми циклов, при этом результаты сравнимы с полученными путем минимизации энергии Гйббса. [c.492]

Метод совместного решения стехиометрических уравнений Бринклей). В нескольких варантах этого метода требуется совместное решение ряда уравнений, число которых равно числу химических веществ плюс единица. Применяются прямая итерация, метод Ньютона — Рафсона и различные методы оптимизации. Скорость и даже возможность сходимости часто в значительной степени зависят от первоначальных оценок, которые должны быть согласованы с материальными балансами химических элементов. Очевидный метод приравнивания содержания всех компонентов к нулю, кроме трех или четырех, которые можно ввести в уравнение материального баланса при его рассмотрении, не всегда удовлетворяет. Метод, использующий число генераций глубины протекания всех реакций, качественно описывается Голубом и Вонкой [57]. [c.501]

В целом метод Ньютона — Рафсона тзсмотря на его очевидные преимущества в смысле сходимости, является весьма трудоемким, так как требует вычисления не только первых, но и вторых производных. [c.174]

ОСНОВНОМ является модификацией метода Ньютона — Рафсона. Имеются указания на плохую сходимость этих алгоритмов [2, 29, 31, 35, 38] и в связи с этим на необходимость хорошей начальной оценки параметров [2, 7, 29, 32]. Как бы то ни было, авторы полагают, что исследователи, имеющие дело с определением констант устойчивости, уделяют недостаточное внимание методам, используемым в других областях. Так, при конструировании оптических линз в течение нескольких лет успешно применялся алгоритм, основанный на методе ослабленных наименьших квадратов [44—47, 60, 61] Марквардта. Проблемы в этой области имеют много общего с вычислением констант устойчивости, поскольку и в том, и в другом случае существует большое число подлежащих оценке параметров, которые могут быть в различной степени коррелированы. С обычными проблемами больших поправок и плохой сходимости сталкивались [44] до того, как был предложен алгоритм Марквардта. Этот метод успешно использовался для решения практических задач, таких, как уточнение силовых постоянных [62, 63] или подгонка уравнений, описывающих хроматограммы [43]. Было проведено численное сравнение различных алгоритмов минимизации функции на примерах необычных [64] и рядовых задач [65]. Оказалось, что методы Марквардта и Флетчера — Пауэлла наиболее доступны, причем первый даже несколько предпочтительнее благодаря его успешному практическому применению. Это особенно справедливо для случая, когда ослабляющий множитель неизвестен и определяется не эмпирически, а специально рассчитывается для каждой итерации [66] или для каждого параметра на каждой итерации. [c.93]

В колонных аппаратах за основу алгоритмов расчета по ступеням равновесия для многокомпонентных систем экстракции чаще всего принимают метод Ньютона—Рафсона, использующий кусоч-ио-линейную аппроксимацию нелинейных уравнений математической модели. Решение осуществляется матричным методом на интервале, где справедлива линеаризация. Описание алгоритма проектного расчета многокомпонентной экстракции по ступеням равновесия дано Рохе [55]. Данный алгоритм использован для решения задачи разделения смеси ацетона и этанола с помощью экстракции двумя растворителями — хлороформом и водой в колонне с 15 ступенями. Расчет многокомпонентного равновесия проводился по трехчленному уравнению Маргулеса. Описанный алгоритм имеет двойной цикл итераций внутренний итерационный цикл заключается в расчете профиля концентрации при заданных граничных условиях, внешний цикл заключается в коррекции составов продуктов на выходе из колонны, удовлетворяющих регламенту. Коррекция осуществлялась за счет изменения расходов растворителей. Для достижения сходимости внутреннего цикла требовалось от трех до семи итераций, тогда как для получения заданного состава понадобилось 14 коррекций по расходам растворителей. Высокая скорость сходимости метода подтверждена работой А. В. Измайлова и Ю. Г. Мицкевича [56]. [c.391]

Расчет следует начинать с входа в циркуляционную трубу, задавшись потоком жидкости, и продолжать вычисления, поочередно прибавляя и вычитая изменения давления. При попытке рассчитать процесс теплопередачи для первого ряда труб теплообменника возникает дополнительная трудность. Ввиду того что по условию задачи моделирования должны задаваться лишь условия на входе, выходная температура и эффективная движущая сила в этих трубах неизвестны. Поэтому необходимо выполнить двойную итерацию следует задать, во-первых, температуру газа на выходе и, во-вторых, температуру газовой смеси непосредственно за каждым рядом труб, чтобы можно было рассчитать эффективную разность температур в трубах. Приняв значение температуры газа на выходе, необходимо добиваться сходимости по температуре поочередно для каждого ряда труб. Таким образом, программа включает три основных итерационных цикла по массовой скорости потока воды, по выходной температуре газа и по средней температуре — движущей силе — для каждого ряда труб. Кроме того, имеются такие программы расчета средней температуры, с помощью которых можно определять различные физические свойства или получать решения других трансцендентных уравнений (например, уравнения Коулбрука для коэффициента трения в однофазном потоке, приведенные в работе Кауфмана [95]). К счастью, используя метод секущих по температурам, расчет выходной температуры можно осуществить за три-четыре итерации. Метод Ньютона — Рафсона, применяемый для обеспечения сходимости по скорости потока воды, требует от четырех до шести итераций, если приближенное значение потока не было известно из предыдущего цикла вычислений. Все прочие итерационные процедуры также основаны на методе сходимости Ньютона — Рафсона. Расчет общего перепада давления во всем контуре для одного приближения по скорости потока, выполняемый по этой программе на вычислительной машине IBM-7040, занимает примерно [c.193]

Матричные методы расчета колонн многокомпонетной ректификации. Выделение этой группы методов возможно и несовсем правомерно, т,ак как, например, при использовании релаксационных методов задача также может быть сведена к решению систем линейных алгебраических уравнений методами матричной алгебры [227—250]. Впервые матричные методы в расчетах процессов ректифик,ации были использованы в работах [227, 228, 229], при этом системы уравнений, описывающие распределение температур, составов и величин потоков пара и жидкости по ступеням (разделения, решались независимо друг от друга методом Гаусса [238—243]. Матричные методы р,асче-та в свою очередь. различаются по двум основным признакам— методу решения систем уравнений математического описания, записанных б матричной форме, и используемым методом снижения размерности реш,аемой системы уравнений. Так был предложен метод сведения нелинейной системы уравнений к линейной, что вполне возможно при использовании метода Тилле—Гедеса для расчета распределения составов и метода Ньютона—Рафсона для определения температур на ступенях разделения [239]. Следует отметить, что реал.из,ац ия матричных методов, особенно в сочетании с методом Ньютона—Рафсона, требует использования ЭВМ с колоссальным объемом оперативных запоминающих устройств (необходимость хранения матриц коэффициентов систем уравнений и матриц величия частных производных от системы уравнений м,атематического описания по всем итерируемым переменным). Некоторое сокращение-размерности системы уравнений математического описания возможно лишь для случая расчета процессов ректификации идеальных смесей [228], но введение учета неидеальности смеси приводит к увеличению размерности задачи до первоначальной. Предлагалось также в сочетании с матричным методом расчета использовать концепцию реальной ступени разделения при введении заданной постоянной величины к. п. д. Мерфри [230]. Позднее матричные методы получили развитие в целом ряде работ [230—245]. В связи с широким использованием в расчетах процессов химической технологии методов квазилинеаризации эти методы нашли широкое применение и в расчетах процессов ректификации многокомпонентных смесей [241, 238, 239]. Так, например, метод квазилинеаризации позволяет существенно улучшить характеристики сходимости матричных методов расчета [237]. В пос- [c.56]

Программное обеспечение задачи расчета (колонн многокомпонентной ректификации и их комплексов состоит из следующих основных частей подсистема анализа физико-химических данных (подсистема расчета потоков-связей в комплексе колонн подсистемы расчета колонн и вывода результатов расчета. В основу метода расчета колонн положен потарелочный метод Тиле-Гедеса, сформулированный в мат ричной форме (системы уравнений математического описания приводятся к. тридиагональной форме). Для ускорения сходимости итерационных расчетов используется модифицированный метод 0-коррекции [265—268] или метод Ньютона-Рафсона [265— [c.72]

В работе 89] дано описание алгоритма проектного расчета многостадийных противоточных процессов. Метод основан на использовании понятия равновесной стадии, которой ставится в соответствие реальная ступень контакта фаз, причем конструкция контактного устройства подбирается таким образом, чтобы была обеспечена эффективность стадии, которая рассчитывается заранее. Указанный алгоритм не рассчитан на учет обратного перемешивания между стадиями, но позволяет рас-считыцать многокомпонентные системы с нелинейной равновесной зависимостью. В основу алгоритма положен метод Ньютона-Рафсона, использующий кусочно-линейную аппроксимацию нелинейных уравнений математической модели процесса, в которую входят ра вновесная зависимость, покомпонентный и общий материальные балансы на стадиях, суммирующие уравнения (сумма мольных долей всех компонентов на каждой стадии равна единице) и баланс энтальпий или энергетический баланс. Кусочно-линейная аппроксимация позволяет получить решение стандартным матричным методом в пределах интервала, в котором справедлива линеаризация. Данный алгоритм использован для решения задачи разделения смеси ацетона и этанола с помощью экстракции двум растворителями — хлороформом и водой В экстракционной колонне с 15 ступенями разделения. Расчет многокомпонентного равновесия проводился по трехчленному уравнению Маргулеса. Описанный алгоритм имеет двойной цикл итерации- внутренний итерационный цикл, который заключается в расчете профиля концентрации по обеим фазам при заданных расходах обоих растворителей, и внешний итерационный цикл, который заключается в выборе составов продуктов на выходе из колонны, удовлетворяющих регламенту, путем коррекции по расходам растворителей. Для достижения сходимости внутреннего итерационного цикла требуется от трех до семи итераций, тогда как для получения заданного состава продуктов требовалось 14 коррекций по расходам одного или обоих растворителей. [c.128]

Необходимо отметить, что сходимость но Ньютону — Рафсону до искомого значения наблюдается в том случае, если применяется следующая методика расчетов. В качестве первого значения Ч " берется Ч [если в нитании содержатся однофазные тяжелые компоненты, Ч определяется по уравнению (И,46)]. [c.41]

Сходимость этого простого итерационного метода очень слаба для больших относительных значений X-, а когда значения Х иХ одного порядка, то этот метод может оказаться пе сходящимся при некотором выборе компонентов. Более сильную вычислительную процедуру дает метод Ньютона — Рафсона [7, стр. 178, 187]. Уравнепие (2.28) мон ет быть паписано в виде [c.73]

При использовании автоматических вычислительных машин рекомендуется применять метод Ньютона—Рафсона. Когда пользуются настольными вычислительными машинами, то [14] для получения быстрой сходимости последовательных приближений мо кет оказаться полезным графический метод он заслуживает п])едпочтепия также в том случае, когда вычислители пе знакомы с методом Ньютона—Рафсона. Метод заключается в построении молярной доли (ординаты) -й зависимой составной части по молярной доле (абсциссе) той же составной части, полученной из предыду-ш,ей итерации. При равновесии точки лежат на прямой у = х, проходящей под углом 45° к оси абсцисс. Сначала определяются равновесные концентрации две подобные последовательные точки определяют прямую, пересекающую прямую у = хв точке, которая дает лучшее приближение, чем каждая из двух точек. Три такие точки определяют кривую, пересекающую прямую у = х в точке, которая даст еще лучшее приближение. Система значений, определепных таким образом, может быть использована вместе с уравнением (2.28) при определении значений молярных долей компонентов для следующей итерации. [c.74]

Первую группу образуют градиентные методы. Хотя главным условием является нахождение точки, в которой первые производные по конформационным переменным равны нулю, а вторые производные больше нуля, некоторые методы ие требуют ЯВ1ЮГ0 вычисления производных. Эти методы можно рассматривать как семейство процедур, отличающихся спосо бом преобразования /+1 — Е( (здесь I и 1+1 отвечают соседним точкам конформациоиного пространства) для вычислении производных в точке I и выбора конформации Х+ь Метод наискорейшего спуска является одним из самых простых, но пользуется большой популярностью в конформационных расчетах в связи с хорошей сходимостью результатов. Недостатком метода считается его невысокая скорость. Метод Ньютона — Рафсона отличается большей сложностью и требует вычисления вторых производных, тем ие менее в настоящее время подобные методы используются достаточно часто. Метод Флетчера — Ривса позволяет обходиться без вычисления вторых производных, а информацию о кривизне энергетической поверхности получают с помощью использования квадратичных форм приближения. Методы Давидона [9] и Флетчера — Пауэлла [11] используют преимущества как процедуры Ньютона — Рафсона, так и процедуры Флетчера — Ривса. Перечисленные методы достаточно эффективны, но имеют недостаток поиск прекращается в любом из локальных минимумов. Действительно, выход из минимума невозможен ввиду принципиальных особенностей алгоритмов указанного типа. [c.579]

Прямая итерация предусматривает следующее подстановка пары I° по методу Рафсона — Ньютона — Скэтчарда в первом уравнении дает I в левой части уравнения, последующая подстановка ( ) в правой части уравнения (2) дает и так до полной сходимости. В настоящем примере, однако, прямая итерация не дает достаточной сходимости, и, чтобы улучшить ее, используют метод Вегштайна. Вычисления начинают с того, что для 2 = 0 находят при помощи итерации по Вегштайну е из уравнения (3), подставляют найденное значение е в уравнение (2), находят при помощи итерации по Вегштайну из этого уравнения 2 = 0,0063 и возвращаются к уравнению (4) и повторяют операцию, как это показано в таблице. [c.493]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология