Моменты распределения времен пребывания

Прежде всего ясно, что не все молекулы, входящие в реактор с временем контакта 0 = Vlq, проведут в нем одинаковое время 0. Вследствие интенсивного перемешивания некоторые из них пройдут реактор почти мгновенно. Именно нз-за того, что такие молекулы вносят очень малый вклад в химическое превращение, объем реактора идеального смешения приходится делать большим. Чтобы найти функцию распределения времени пребывания в реакторе, можно поставить следующий эксперимепт. В момент i = О в реактор впрыскивается короткий импульс нейтрального трассирующего вещества и измеряется концентрация этого вещества в выходящем из реактора потоке. Если концентрация в момент t равна с (г), то количество молекул, выходящих пз реактора в течение малого промежутка времени от i до i - - dt, будет пропорциональное (i) dt. Общее число молекул, вышедших из реактора, пропорционально [c.198]

Исходя из этого выражения, легко найти статистические моменты распределения. В частности, среднее время пребывания в реакторе и дисперсия у, 2 определяются формулами [c.279]

Статистические моменты распределения легче всего найти, дифференцируя по р логарифм характеристической функции. Нетрудно видеть, что все семиинварианты распределения равны сумме соответствующих семиинвариантов для каждого реактора цепочки. В частности, среднее время пребывания в [цепочке реакторов вд и дисперсия у, 2 равны [c.280]

Первый момент характеризует среднее время пребывания частиц в аппарате. Второй момент (дисперсия) определяет разбросанность значений функции распределения относительно среднего времени пребывания, Третий момент описывает асимметрию при скошенности функции распределения. Указанные моменты используются для непосредственного расчета продольного перемешивания в промышленных аппаратах. [c.185]

Применяя последовательно п раз формулы (IV, 523) и (IV, 524), найдем состояние системы в любой момент времени т. Вектор S n) описывает распределение времени пребывания частицы в системе. Координата S n) вектора 5(л) характеризует распределение времени пребывания частицы в к-и ячейке, а 5 (и)Дт — вероятность того, что частица будет находиться в к-й ячейке в период времени между (и+1)Дт и лДт. Таким образом, 5 (м) и Дт представляют собой отклик к-и ячейки на импульсное возмущение. Координата Sa i (п) определяет распределение времени пребывания всей системы, а координата Sn (л)— вероятность выхода частицы из системы за время пАх и является интегральной оценкой распределения времени пребывания или откликом системы на ступенчатое возмущение [c.450]

Формы кривых Р 1), Е ( ) и I (Ь) для потоков различного типа приведены в работах [2, М. Большинство реальных систем, за исключением потоков с неоднородностями типа застойных зон, байпасирования, рециркуляции и т. п., по неравномерности распределения времени пребывания занимают промежуточное положение между двумя крайними идеальными системами системой идеального вытеснения (поршневой поток) и системой идеального перемешивания. В потоках поршневого типа частицы среды проходят один и тот же путь с одинаковой скоростью, так что время пребывания всех элементов среды в аппарате одно и то же. Система идеального перемешивания характеризуется тем, что частицы, поступающие в аппарат извне, в каждый данный момент времени мгновенно распределяются по всему объему аппарата равномерно. [c.205]

К наиболее важным параметрам, связанным с данными функциями распределения, в первую очередь следует отнести средние характеристики этих распределений среднее время пребывания потока в аппарате г средний возраст частиц 1 среднее время ожидания г и общее среднее время пребывания 1 , получающееся усреднением времени пребывания всех частиц внутри системы. Для определения указанных параметров необходимо рассмотреть систему в произвольный фиксированный момент времени 1 , относительно которого следует начать счет времени, т. е. принять ta=0. Частицы, содержащиеся в системе, вошли в нее до момента о-За период времени от —Дi до о в систему вошло количество потока, равное ( Д , где — объемная скорость потока. Доля Р (г) этого количества имеет время пребывания меньше, чем t, и, таким образом, уже покинула систему к рассматриваемому моменту времени. Отсюда общий вклад в систему к моменту tg=Q за счет предыдущего периода от до 1 составит объем [ —Р ( )] Q t. Полный объем системы V в этот момент времени равен сумме всех элементарных вкладов за счет всей предыстории системы [c.206]

Нулевой момент соответствует площади под кривой распределения и для нормированной функции распределения равен единице. Первый момент характеризует среднее время пребывания частиц в аппарате. Второй центральный момент (дисперсия) определяет разброс значений функции распределения относительно среднего времени пребывания. Третий, центральный, момент описывает асимметрию или скошенность функции распределения. Четвертый момент характеризует островершинность или крутизну этой функции и т. д. Указанные моменты используются также при [c.214]

Здесь начальный момент нулевого порядка Мо соответствует общему количеству введенного в поток индикатора. Начальный момент Мю определяет среднее время пребывания потока в аппарате ЛГю=г. Центральный момент второго порядка Ма характеризует дисперсию или разброс элементов потока по времени пребывания в аппарате относительно среднего значения Ма=о2. Центральный момент третьего порядка определяет асимметрию функции распределения Мд=р. . Момент характеризует островершинность или крутость кривой распределения и т. д. [c.335]

Данные, представленные в табл. 7.1, позволяют проследить связь между моделью с застойными зонами и обычной диффузионной моделью, для которой подобная таблица была получена в работе [16] (см. табл. 7.2). Из табл. 7.1 видно, что выражения для первых двух моментов распределения отличаются от соответствующих выражений табл. 7.2 членами, содержащими скорость обмена и относительный объем застойных зон. Интересно отметить, что для принятого механизма обмена среднее время пребывания потока в системе с застойными зонами не зависит от скорости обмена и формулы для его определения совпадают с выражениями, полученными для обычной диффузионной модели. Так, переходя к размерному времени I, имеем [c.372]

Впоследствии авторами данного пособия был разработан и реализован новый метод исследования - метод моментов функции распределения времени пребывания по длине пути жидкости , исключающий использование трудоемких методов -установившегося состояния и отсечки, что позволяет более чем на порядок сократить время эксперимента и повысить его точность. [c.108]

Первый член в уравнениях (IX, 46) отражает прохождение потока через активную зону аппарата. При этом среднее время пребывания Второй член в уравнениях (IX, 46) характеризует байпасный поток, в данном случае функция Дирака показывает, что импульс имеет единичное значение в момент времени = О и нулевое значение в любые моменты времени, отличные от нуля. Сама модель и характерные для нее функции распределения приведены на рис. 1Х-37. [c.288]

Для математического описания распределения времени пребывания жидкости в общем случае снова составим уравнение материального баланса по индикатору. Пусть за бесконечно малый промежуток т между произвольным моментом времени т и (т + йх) из аппарата выйдет количество индикатора йМ. Если концентрация индикатора в выходящем потоке равна с, то за время йх поток уносит из аппарата с Qdx индикатора. Следовательно [c.121]

При идеальном вытеснении жидкости (или любой другой фазы) все частицы имеют одинаковое время пребывания, равное среднему времени пребывания /ср. Следовательно, плотность распределения времени пребывания есть б-функция f(t)=6(t — /ср). Переходя к безразмерному времени т =///ср, получим ф(т) = = б(т—1). Для всех моментов i функции ф можно записать 1 = 1. Очевидно, что для всех центральных моментов выполняется равенство ц = 0. [c.288]

Применяя последовательно п раз формулу (111,67), найдем состояние системы в любой момент времени т. Вектор Е (п) описывает распределение времени пребывания частицы в системе. Координата (п) вектора Е (п) характеризует распределение времени пребывания частицы в А -ой ячейке, (и) Ат — вероятность того, что частица будет находиться в к-ой ячейке в период между (п — 1) Ат и п Ат, т. е. является откликом к-ой ячейки на импульсное возмущение. Координата е]у-1 (п) характеризует распределение времени пребывания для всей системы, а координата (п) отвечает вероятности выхода частицы из системы за время п Ат и является интегральной оценкой распределения времени пребывания или откликом системы на ступенчатое возмущение [c.271]

Плотность распределения ф(т) найдем, исходя из физического смысла элемента вероятностей ф(т)<1т это доля от общего жидкостного потока время пребывания которой сосредоточено в промежутке от т до т -Ь дт. Если в начальный момент (х = = 0) мысленно пометить элементы в верхнем (входном) сечении пленки (это отвечает импульсному вводу трассера), то через отрезок времени ха = Х/и а рабочую зону покинут элементы, движущиеся на границе пленки с газом. При увеличении времени сверх Х5 из РЗ будут уходить элементы, движущиеся ближе к стенке. К некоторому моменту х РЗ покинут все элементы правее сечения у при этом на расстоянии у от стенки скорость м> рассчитывается по формуле (з), так что речь идет о моменте времени х = L/w. Если времени дать приращение дх, то за это время элементарный расход жидкости, покидающей поперечное сечение РЗ толщиной д> , составит д V. [c.659]

Центральный момент второго порядка назьшается дисперсией С-кривой и служит характеристикой разброса распределения времени пребывания относительно среднего значения Т. Второй центральный момент И 2 можно выразить через значения второго начального момента и среднее время пребывания Г следующим образом [c.70]

Значения истинного времени пребывания т определяют экспериментально, вводя в реактор какой-либо индикатор и отмечая моменты его входа и выхода. По числу частиц, вышедших из реактора за время меньшее и большее, чем 0, можно построить кривые распределения времени пребывания то. Исследования произведены как для одиночного аппарата, так и для каскада реакторов. Результаты обработаны статистическими методами на основе теории вероятностей. [c.52]

Если предположить, что перед началом работы аппарат полностью загружен материалом, то через некоторое время б после начала работы (ввод твердой фазы и псевдоожижающего агента) распределение частиц выгружаемого продукта по времени пребывания в аппарате будет выглядеть так, как это показано на рис. 1-18. Здесь наличие линии при т = 6 указывает на отсутствие в аппарате частиц, время пребывания которых в аппарате было бы больше В. Доля материала 5(6), которая находится в аппарате время 6, или количество частиц начальной загрузки, которое еще не успело покинуть слой к моменту т = 9, определится как разность между всем расходом (он принят за единицу) и долей расхода, количественно выражаемой площадью под кривой рп( 1) [c.52]

Среднее время пребывания -t p (S) материала, выходящего в момент б вычисляется как момент кривой распределения, причем доля расхода 5(6) соответствует сосредоточенной силе в точке t = 6 [c.52]

Факторами, которые влияют на флокуляцию практически одинаково в лабораторных и производственных условиях, являются время реакции (время пребывания), распределение энергии перемешивания, свойства раствора и концентрация реагентов. При этом, поскольку сопоставляются непроточная и проточная системы, сравнение времени пребывания оказывается затруднительным. Сложно определить и средний расход энергии на перемешивание на единицу объема реактора в процессах, зависящих от потока. Трудно также количественно отразить пристеночные эффекты, концентрационные флуктуации и градиенты концентрации. Можно ли пренебречь этими эффектами во все моменты времени, будет выяснено лишь после тщательной оценки конкретной ситуации. [c.175]

В поставленной выше задаче предполагалось, что рассматривается реактор идеального смешения, все частицы реакционной смеси в объеме которого равноправны и находятся в одинаковых условиях. Вероятность выхода любой частицы из реактора одинакова и не зависит от момента попадания частицы в реактор. Время пребывания частиц т — случайная величина. Нетрудно показать, что при сделанном допущении ее плотность распределения имеет вид [c.51]

Надо подчеркнуть, что совокупность частиц после их полного вымывания из первых к ступеней отличается по своим вероятностным характеристикам от совокупности частиц, покидающих к-т ступень каскада в некоторый фиксированный момент времени. Плотность распределения вероятностей времени пребывания для частиц этой последней совокупности, которую мы будем обозначать Ф I), вообще говоря, не совпадает с (<). Это ясно видно на примере импульсной загрузки время пребывания всех частиц, покидающих к-ю ступень каскада в любой фиксированный момент времени, вообще не является случайной величиной, так как оно одинаково для всех частиц [c.18]

Между тем, распределение по времени пребывания для частиц на выходе из к-ш ступени, характеризуемое величиной плотности Ф (О, определяет состояние продукта на выходе в любой момент времени и имеет поэтому первостепенное значение для описания технологического процесса. Заметим, что интересующая нас характеристика Ф (О по своему смыслу есть не что иное, как величина дроби, знаменатель которой равен числу частиц, покидающих /с-ю ступень за время (11, а числитель — числу тех из них, время пребывания которых в системе заключено между и < + 1. Чтобы получить эту характеристику, рассмотрим систему в некоторый момент времени 1 . [c.18]

Чтобы найти долю нерастворившегося компонента в этих частицах, нужно знать плотность их распределения по времени пребывания t в каскаде. Ясно, что время пребывания t имеют те и только те из рассматриваемых частиц, которые в момент = О, находясь в г-й ступени, имели время пребывания t — ij . Поэтому Ф,- (i) = = Ф, (/ - ij). [c.243]

Перейдем к описанию особенностей использования метода моментов при определении коэффициентов математических моделей структуры потоков. Заметим, что применение метода моментов для определения коэффициентов математической модели структуры потоков не зависит от того, является ли аппарат открытым или закрытым . Следует однако учитывать, что для закрытого аппарата моменты функции отклика 0вых( ) характеризуют моменты распределения времени пребывания частиц в аппарате — среднее время пребывания и дисперсию, а для открытого аппарата моменты выходных кривых — формально введенные величины. [c.285]

Для функции распределения времени пребывания, получаемой при импульсном вводе трассера в поток на входе его в аппарат и регистрации отклика на выходе потока из аппарата, первый начальный момент представляет собой среднее время пребыва- [c.56]

Рассмотрим некоторый момент времени f, предшествующий моменту t. За интервал времени ( , i -f-Ai ) в аппарат поступит количество трассера, равное L Bx(t )At. Часть частиц трассера успеет покинуть аппарат до момента t, часть останется в аппарате еще некоторое время, а какое-то число частиц выйдет из аппарата в промежуток времени t, i-f-Ai). Это число легко выразить через плотность распределения времени пребывания число частиц трассера, поступивших в аппарат за время Af и вышедших из него за время At, равно LQax t )At f t — t )At. Просуммировав это выражение по всем промежуткам At, получим, что общее число частиц трассера, покидающих аппарат в промежутке времени Aif, равно Очевидно, что это же [c.281]

T. e. при импульсном вводе трассера концентрация на выходе из аппарата пропорциональна плотности распределения времени пребывания. Этот результат имеет простое физическое объяснение. Если в момент i = 0 в аппарат ввели какое-то количество М трассера, то частицы, покидающие аппарат в момент t, имеют время пребывания, точно равное t. Поделив количество трассера 0вых(ОД . покидающего аппарат в промежутке времени + Ai), на общее количество М трассера, получим долю частиц, время пребывания которых лежит в интервале t, т. е. [c.282]

Этот результат также легко интерпретировать частицы, выходящие из аппарата в момент времени t, имеют время пребывания не больше t. Доля этих частиц, равная 0вых(О/0о. и есть функция распределения времени пребывания. [c.282]

Таким образом, могут быть найдены две основные характеристики процесса плотность распределения времени пребывания, или С-кривая, и интегральная оценка распределения времени пребывания, или i -KpHBan. По этим характеристикам можно определить среднее время пребывания частицы в системе и дисперсию распределения (первые и вторые моменты) [c.271]

При расчете реальных аппаратов по приведенным уравнениям необходимо введение соответствующих нонравок на степень не-идеальности потока. Для получения информации о характере течения потока в реакторе необходимо проследить путь каждого элементарного объема при его движении через аппарат. Для этого следует установить распределение частиц по времени их пребывания в аппарате. Это осуществляется экспериментально искусственным нанесением возмущений, например введением в ноток реагентов трассера (краска, радиоактивный изотоп, флуоресцирующее вещество и т. п.) и снятием так называемых кривых отклика, показывающих зависимость концентрации трассера на выходе из реактора от времени. Например, если было нанесено так называемое импульсивное возмущение — мгновенное введение трассера в поток, поступающий в реактор идеального вытеснения, через некоторое время то будет обнаружен мгновенный выход всего трассера и затем сразу же снижение его концентрации до нуля (рис. 44, а). Это объясняется тем, что в реакторе идеального вытеснения все частицы движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью, т. е. время пребывания их одинаково. Таким образом, индикатор движется по длине реактора неразмы-ваемым тончайшим слоем и сигнал, получаемый на выходе в момент То, в точности совпадает с сигналом, введенным на входе в реактор при т = 0. Если порцию индикатора, например краски, ввести в реактор идеального смешения( рис. 44, б), то она сразу же равномерно окрасит всю жидкость, находящуюся в реакторе, концентрация ее будет одинакова во всем объеме и соответствовать концентрации на выходе из реактора. Далее концентрация краски в реакторе и на выходе из него будет постепенно убывать, поскольку она выносится выходящим потоком. [c.116]

Качество распределения можно характеризовать моментом полуплощади по кривой р ( г) относительно линии т = Тср. Чем плотнее кривая рп(т) прилегает к линии т = Тср, тем меньше разница во времени пребывания отдельных частиц в аппарате и тем меньше рассматриваемый момент. При делении величины момента на среднее расходное время пребывания получаем безразмерное число характеризующее качество распределения частиц твердого материала по времени их пребывания в аппарате [c.51]

Поскольку мгновенная концентрация, регистрируемая детектором, пропорциональна числу частиц, выходящих из колонки в данный момент времени, то в хроматографии выходную кривую можно рассматривать как плотность вероятности распределения времени выхода молекул анализируемого вещества. В этом случае момент первого порядка, как уже указывалось, представляет собой абс-циеау центра тяжести выходной кривой, т, е. среднее время пребывания молекул исходного вещества в колонке (т1/ото = ц). Эта величина в общем случае отличается от принятого в хроматографии определения времени удерживания tя [c.40]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология