Решение уравнений. Стационарный режим системы

Если система уравнений (I, 8) имеет конечные вещественные положительные решения, то при соблюдении условий, выведенных в нашей работе [11], мы будем иметь стационарный режим протекания реакции. По истечении краткого начального периода концентрации всех промежуточных продуктов станут весьма близки к квазистационарным значениям X и в дальнейшем будут меняться лишь по мере изменения концентраций исходных веществ. Если конечные положительные вещественные решения системы (I, 8) отсутствуют, то реакция будет протекать нестационарным образом. При этом концентрации активных промежуточных продуктов, а с ними и скорость реакции будут возрастать со временем. Если считать концентрации исходных веществ постоянными, то это возрастание будет неограниченным. Фактически предел ему будет положен израсходованием запаса исходных веществ. [c.13]

Решение уравнений. Стационарный режим системы [c.140]

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ СИСТЕМЫ [c.141]

При постоянной температуре теплоносителя Тс распределение концентраций реагентов и температуры по длине реактора определяется решением системы уравнений ( 111.38), ( 111.39) с граничными условиями СДО) = С, д, Т (О) = Т , заданными на входе аппарата, т. е. решением задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Известно, что в случае, когда правые части уравнений зависят от переменных непрерывным образом, задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений всегда имеет единственное решение (см., например, [2]). Более того, это решение всегда устойчиво, так как в реакторе идеального вытеснения возмущение стационарного режима в некотором сечении реактора не влияет на реагирующую смесь в соседних сечениях и любое бесконечно малое возмущение вымывается из реактора за конечное время, не успевая разрастись до макроскопических размеров. Таким образом, всегда имеется единственный устойчивый стационарный режим реактора идеального вытеснения. [c.336]

Обычно необходимо рассчитать стационарный режим при различных значениях управляющих переменных и. Различают два режима расчета системы (II, 6) при изменении переменных и. В первом случае расчет системы (II, 6) проводится для небольшого числа значительно отличающихся одно от другого значений управлений и. Во втором случае проводится многократное решение системы (II, 6) для многих значений вектора и, мало отличающихся одно от другого. Типичный пример такого случая — это решение задачи оптимизации ХТС, когда переменные и меняются в соответствии с некоторой стратегией поиска, и при каждом значении и приходится решать уравнения (И, 6), описывающие стационарный режим схемы. Ко второму случаю сведется также решение систем нелинейных уравнений методом продолжения по параметру, а также решение систем нелинейных уравнений на каждом шаге интегрирования при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений каким-либо неявным методом. Рассмотрим отдельно эти случаи, поскольку учет их специфики может существенно повысить эффективность процедуры расчета системы (И, 6). [c.71]

Приведенная система уравнений (11,63) — (II, 71) при сделанных выше предположениях полностью описывает стационарный режим работы колонны и может быть использована для решения различных задач математического моделирования. , [c.72]

Если можно найти такое е, что при Д0 < е и Дх <е решение задачи (3.26) Д0, Дх - г О, то стационарный режим 0 , x устойчив. Для этого необходимо, чтобы корни характеристического уравнения системы (3.26) имели отрицательные вещественные части, что выполняется при условиях [c.98]

Решение системы уравнений ( 1.227), ( 1.228), определяющее стационарный режим трубчатого реактора, зависит от начальных условий — концентраций и температуры на входе —и постоянных параметров, входящих в расчетные уравнения. При этом, если кинетические функции Г повсюду непрерывны, бесконечно малые изменения значений граничных условий и постоянных параметров приводят к бесконечно малым изменениям температур и концентраций в каждом сечении реактора, т. е. решение системы ( 1.227), ( 1.228) повсюду дифференцируемо по граничным условиям и параметрам (23]. Производные решения системы уравнений ( 1.227), ( 1.228) по граничным условиям и параметрам и являются мерой чувствительности стационарного режима трубчатого реактора к изменению этих величин. Если какой-либо параметр, влияющий на решения. [c.296]

Среда, заполняющая аппарат, является сложной колебательной системой, которую можно представить совокупностью простых систем. Процесс внутри аппарата при включении источника. характеризуется как вынужденными, так и собственными колебаниями, после затухания которых устанавливается стационарный режим. При выключении источника звука система, выведенная из положения равновесия, совершает только собственные колебания. С точки зрения волновой теории внутренний объем аппарата является сложной колебательной системой с распределенными параметрами, после возбуждения звуковым импульсом в этом объеме совершаются собственные затухающие колебания. Решение волнового уравнения для давления р показывает, что в прямоугольном объеме V со сторонами 1 , 1 образуются стоячие волны вида [c.189]

В тех случаях, когда внешнее температурное возмущение не выходит на стационарный режим и условие (3.291) нарушается, для улучшения сходимости приближенного решения выбор оптимальной системы базисных координат производится следующим образом. В качестве первой координатной функции с точностью до постоянного множителя берется решение уравнения (3.290) для периода квазистационарного режима. Например, при линейном подъеме температуры на границе [ф (Fo) =Го(1+Р0 Fo) ] положим [c.152]

Отметим одно важное свойство обш их решений уравнений (4. 11), основанных на использовании нелинейных уравнений химической кинетики (4. 35) и (4.36) при определенных значениях параметров системы эти решения для достаточно больших промежутков времени преобразуются в более простые асимптотические выражения, описываюш,ие либо режим параллельного переноса неизменной по форме (стационарной) границы зон ионов, либо прогрессивно размывающуюся по равновесным законам границу [ ]. Можно показать, что условие существования асимптотического решения, описывающего параллельный перенос, тождественно равновесному условию обострения границ зон ионов, а условие существования другого асимптотического решения — равновесному условию размывания границы зон ионов (см. предыдущий параграф). [c.292]

При фиксированных значениях параметров процесса концентрации реагентов и температура в реакторе определяются совместным решением уравнений (VII.2), (VII.5) или (VII.7), (VII.8). Легко заметить, что эти уравнения полностью эквивалентны уравнениям материального и теплового балансов на внешней равнодоступной поверхности катализатора (см. раздел III.3). Согласно полученным там результатам, при определенных условиях система уравнений материального и теплового балансов может иметь несколько решений, соответствующих однозначно заданному набору характерных параметров процесса. Появление множественных режимов возможно в случае, когда реакция ускоряется одним из ее продуктов или тормозится одним из исходных веществ, а также в случае экзотермической реакции со значительным тепловым эффектом. В этих условиях при плавном изменении температуры исходной смеси или теплоносителя температура реактора изменяется скачком в критических точках перехода между режимами поэтому па графике зависимости Т от Т появляется характерная гистерезисная петля (как па рис. III.4). Заметим, что, в отличие от процессов на внешней поверхности зерна, при проведении процесса в реакторах идеального смешения возможна ситуация, когда не только промежуточный, но и один из крайних режимов становится неустойчивым. Рассуждения, основанные на анализе стационарных уравнений, которые привели к условию неустойчивости (III.51), доказывают только неустойчивость промежуточного режима, но еще не свидетельствуют об устойчивости тех режимов, для которых неравенство (III.51) не удовлетворяется. Более того, существует область значений параметров процесса, в которой имеющийся единственный стационарный режим реактора [c.277]

Положения равновесия этого уравнения соответствуют средним значениям стационарных решений задачи (У.34). Поэтому, если при некотором наборе значений параметров положение равновесия 0 скачком перейдет в положение равновесия 02 > 01, следовательно, система (У.35) скачком переходит в высокотемпературный режим, что соответствует тепловому взрыву системы. [c.171]

Блок-схема программы расчета одного стационарного распределения концентраций представлена на рис. 50. Сначала вводятся исходные данные, характеризующие свойства компонентов разделяемой смеси и режим работы колонны. Затем принимается начальное распределение концентраций по высоте колонны, равное составу питания, и вычисляются с использованием уравнений (10—55) константы фазового равновесия. Полученные данные используются для определения коэффициентов системы (10—56), которая может быть решена одним из методов решения систем линейных уравнений, например методом исключения. Поскольку начальное приближение задано произвольно, полученные значения Xj,J для каждого из компонентов не будут удовлетворять условиям (10—57), т. е. сумма концентраций на каждой из тарелок не будет равна единице. [c.271]

Система уравнений (111.27) — (111.30) слишком сложна, чтобы можно было получить ее обш ее нестационарное решение. Существенным облегчением является то, что, как уже указывалось выше, при движении концентрационной волны вдоль слоя шихты может образоваться стационарный фронт, движущийся с постоянной скоростью Ыц ( режим параллельного переноса ). В теории идеальной хроматографии [28] образование стационарного фронта связывают с нелинейностью изотермы. Шай и сотрудники показали, что стационарный фронт может возникать и при линейной изотерме в результате убывания скорости в направлении потока. Убывание скорости следует из уравнения (111.29), так как везде да д1 0 и ди дх С О внутри фронта. [c.123]

В работе [50] представлены результаты численного расчета-течения около полубесконечной вертикальной плоской пластины при ступенчатом изменении ее температуры. Были использованы уравнения движения, неразрывности и энергии без привлечения обычных приближений пограничного слоя. Все конвективные члены были опущены и было получено решение для малых т. Затем полученное решение было использовано для интегрирования полной системы уравнений, включая конвективные члены. Приближенно считалось, что момент времени,-когда максимальная скорость в пограничном слое достигает установившегося значения, совпадает с моментом достижения стационарного состояния. Был сделан вывод, что в воздухе одномерный режим занимает очень короткое время. [c.437]

Возможны и такие нарушения режима, при которых совокупность уравнений баланса системы в принципе допускает стационарное (не зависящее от времени) решение, но это стационарное состояние оказывается неустойчивым. При этом малые случайные отклонения от стационарного режима могут неограниченно возрастать (неустойчивость в большом ) и аппарат пойдет в разнос . Может оказаться, что эти отклонения будут ограниченными по амплитуде (неустойчивость лишь в малом ) и режим работы будет носить колебательный характер с допустимым для практики диапазоном изменения параметров. [c.30]

Нестационарный тепловой режим РЭА. Выше было показано, что при анализе стационарного теплового режима для системы не более трех тел /г З возможно получить достаточно простые рабочие формулы, опираясь на точное решение (3.51) системы трех алгебраических уравнений. Нестационарные температуры описываются системой обыкновенных дифференциальных, уравнений (3.46) — (3.48) и даже для п=3 решения получаются крайне громоздкими и необозримыми, для п 4 точное аналитическое решение системы уравнений становится проблематичным. В этих случаях можно воспользоваться приближенными решениями, полученными па основе метода эффективного тела. [c.181]

Заключительные замечания. Проведенное исследование управления для двухфазной модели процесса в псевдоожиженном слое, состоящей из гиперболической системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными, подтвердило, что выбранная форма обратной связи в виде функционала от решения с соответствующим образом подобранными интегральными ядрами обеспечивает стабилизацию пеустойчт1вого решения. Наряду с этим, если, например, запас устойчнвостп для стационарного режима недостаточен для уверенного ведения процесса, то данный метод управления позволяет увеличить запас устойчивости введением обратной связи и расширить область допустимых возмущений, при которых система не переходит в другой стационарный режим. [c.126]

Для достаточно сложных химических процессов, включающих простые химические реакции второго или более высоких порядков, система алгебраических уравнений, получающаяся путем приравнивания к нулю производных от газодинамических переменных, может иметь несколько решений. Это означает, что при заданных параметрах модели может существовать несколько различных стационарных режимов. В этом случае тот или иной режим будет реализовываться в зависимости от того, каковы начальные значения газодинамических переменных. Каждому стационарному режиму соответствует та область начальных значений газодинамических переменных, при которой этот стационарный режим может быгь достигнут. [c.211]

Безуспешные попытки рассчитать самые сложные и, вероятно, наиболее важные проекты, с одной стороны, и наличие крупных и быстродействующих вычислительных машин, с другой, привели к развитию методов дифференциальных уравнений или подходу к проблеме с точки зрения неустановившихся режи- мовзо. 31 Эквивалентным является метод определения переходного режима колонны от момента ее запуска до достижения состояния равновесия з решением системы конечноразностных уравнений (по одному для каждой тарелки колонны). Стационарный результат представляет собой условие работы колонны, необходимое для расчета. Несмотря на громоздкость, этот метод может с успехом применяться во многих случаях, которые невозможно решить ни одним из алгебраических методов путем последовательного приближения. [c.175]

У —[Ь (г — 1)] /, 2 -V г — 1 при i оо начинается конвективное движение жидкости, возникают стационарные ячейки Бенара (рис. 7.16, б). Наконец, при а>Ь-1-1иг>а(а + + > 4- 3)/(о -Ь 1 — Ь) решение не выходит ни на стационарный, ни на периодический режим. Такое решение показано на рис. 7.16, Ь. Таким образом, система из трех уравнений (7.20) описывает стохастические процессы без введения каких-либо флюктуирующих сил. Решение, показанное на рис. 7.16, Ь называют странным аттрактором. Аттракторы — это множество значений, на которые система выходит при оо. Поскольку до модели Лоренца аттракторы обычно представляли как множество изолированных особых точек или замкнутых кривых на фазовой плоскос- [c.321]