Решения уравнения диффузии для стационарных процессов

У1П.2. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ [c.215]

Значение градиента концентрации компонента в мембране находят решением дифференциального уравнения диффузии, которое получено при различных граничных условиях на поверхности мембраны [6]. В частности, для плоской мембраны в стационарном процессе градиент концентрации постоянен в сечении мембраны, если коэффициент диффузии D [c.242]

Как и прежде, будем считать, что скорость массообмена капель с потоком лимитируется процессом диффузии во внешнем потоке. Тогда распределение концентрации в потоке определяется решением уравнения стационарной конвективной диффузии с граничными условиями постоянства концентрации вдали от капель и полного поглощения растворенного вещества на их поверхностях. [c.70]

Расчет неравновесных потоков представляет достаточно сложную задачу, так как требует совместного решения уравнений газодинамики, термодинамики и кинетики релаксационных процессов. По этой причине при рассмотрении неравновесных явлений часто ограничиваются случаем одномерного стационарного течения идеально-газовой смеси. Обычно не учитывают вязкость, теплопроводность и диффузию. Процессы внутреннего переноса у стенки каналов исследуют обычно в приближении пограничного слоя, полагая при этом, что роль пограничного слоя сводится к уменьшению поперечного сечения канала. Методы расчета пограничного слоя при наличии химических реакций изложены в работах [368—373]. [c.119]

Решение уравнения (V.165) может быть получено при рассмотрении нестационарного процесса диффузии в предположении, что рассматривается область кристалла, в которой на процесс массопереноса начальные условия влияния не оказывают. При этом предполагается, что не-стационарность процесса вызывается лишь изменением парциальной плотности легирующих примесей на фронте кристаллизации в зависимости от времени. При выполнении условия (V.164) ошибка в расчетах по формуле (V.165) не будет превышать 1% по сравнению с расчетами тех же процессов диффузии по формуле (V.163). [c.194]

Приведенные примеры свидетельствуют об эффективности сочетания методов теории теплового режима горения с аэродинамическим расчетом, проведенным на основе решения уравнений переноса без источников. Как и в ряде других случаев,, сочетание различных методов исследования значительно расширяет круг рассматриваемых вопросов и позволяет более полно отразить физическую сущность процесса. Обобщение аэродинамической теории на случай соизмеримых скоростей реакции и диффузии делает возможным исследование не только самого процесса стационарного горения, но его устойчивости. Эти вопросы приобретают исключительно большое значение в связи с постоянной тенденцией к дальнейшей интенсификации процесса горен в различных технических устройствах. [c.23]

Следуя [21], приведем количественную теорию, учитывающую продольную диффузию в стационарном процессе извлечения растворенного вещества из сферических частиц. Для единообразия решения уравнения [c.461]

Далее Льюис и Эльбе сделали попытку расчета реальных стационарных процессов, но весьма частного случая, когда диффундируют только частицы одного типа. С этой целью была взята та же система обыкновенных линейных уравнений, как и в теории Шилова. Эта система уравнений учитывает цепные превращения частиц, но не учитывает диффузию. Если один из Дц представить в виде разности Оц — к, то решение системы линейных уравнений типа Шилова для стационарного случая может быть представлено в виде [c.98]

КИМ образом, в рассматриваемой системе практически наблюдается только диффузия, В результате протекания тока концентрация у поверхности электрода снижается до Св, а в устье капилляра она всегда поддерживается равной Со. Таким образом, для стационарного процесса уравнение (В.9) имеет решение [c.19]

В данном примере оба диффузионных процесса — диффузия исходного вещества и диффузия продукта реакции — происходят в растворе. Для рассматриваемых примеров необходимо решение следующих двух уравнений, вытекающих из условия стационарности [c.155]

Количество тепла, выделяющееся на поверхности, определяется макроскопической скоростью реакции, в частности в диффузионной области — скоростью диффузии. Количество тепла, отводимое от поверхности, определяется условиями теплоотдачи. Стационарная температура поверхности, которая установится, когда скорость теплоприхода сделается равной скорости теплоотвода, зависит, таким образом, от соотношения между скоростью реакции и интенсивностью теплоотдачи, и при вычислении этой стационарной температуры необходимо одновременно учитывать как процессы диффузии, так и процессы теплопередачи. Очевидно, что при решении рассматриваемой задачи нам потребуются уравнения теплопроводности и диффузии при одновременном про- [c.390]

Все рассмотренные закономерности относятся к стационарной диффузии, описываемой первым законом Фика. Для решения ряда задач теоретической и прикладной электрохимии требуется знание особенностей протекания процесса нестационарной диффузии и, кроме того, условий перехода от нестационарного режима диффузии к стационарному. Общим дифференциальным уравнением нестационарной диффузии является второй закон Фика [c.308]

В другой модели, развитой Дж. Пауэрсом [174], наоборот, принимается, что скорость диффузии в твердой фазе в процессе противоточной кристаллизации, как и в других кристаллизационных процессах, по сравнению со скоростью диффузии в жидкой фазе пренебрежимо мала. Отсюда следует, что большое влияние на чистоту получаемого продукта должен оказывать эффект разделения, имеюш,ий место в кристаллизаторе колонны при образовании твердой фазы, т. е. при разделении смеси, компоненты которой образуют непрерывный ряд твердых растворов, достигаемая степень очистки не должна превышать величины а. Поскольку в своих же опытах автор получил значительно большую степень очистки, он сделал вывод, что общий эффект разделения в кристаллизационной колонне, по-видимому, обусловлен многократной перекристаллизацией кристаллов, движущихся в противотоке с жидкостью. Но при перекристаллизации состав кристаллов по высоте колонны уже не будет постоянным. С целью описания этой зависимости Дж. Пауэрс использовал систему дифференциальных уравнений материального баланса, решением которой ПОЛУЧИЛ выражения для оценки эффекта разделения в кристаллизационной колонне, работающей в стационарном состоянии. [c.199]

В дальнейшем Семеновым, Сорокиным и др. были сделаны попытки обобщить теорию для стационарных процессов, учитывая взаимные преобразования частиц в ходе цепной эстафеты, которые не привели, однако, к разработке достаточно общ,его метода. Первые шаги в направлении построения более точной теории были сделаны Сорокиным и др. ). Было показано, что учет дезактивации на стенках может быть проведен на основе решения уравнения диффузии с дополнительным членом, учитывающим размножение частиц одного типа (к сожалению, при этом не учитывались взаимные цепные преобразования част1щ). Если Р[и) есть скорость образования (размножения) активных частиц в данном элементе объема при отсутствии диффузии, а ОДа есть скорость накопления в данном элементе объема диффундирующих частиц, то полная скорость изменения концентрации а в данном элементе объема будет иметь вид [c.96]

Специальные решения уравнений одномерного стационарного распространения пламени. Попытки количественного решения уравнений распространения пламени совершенно естественно начались с простого случая одномерного и стационарного распространения, иллюстрируемого на рис. 25. Самая ранняя из таких попыток принадлежит Маллару и Ле-Шателье [6J. Эти авторы считали распределение темнературы в зоне горения точпо таким же, как это изображено на рис. 25, и предположили, что точка перегиба Т, температурной кривой представляет собой температуру воспламенения , ниже которой химическая реакция не происходит. Процессы диффузии в этой ранней работе, естественно, не рассматривались, и поэтому можпо было составить следующее уравнение, описывающее сохранение энергии в плоскости Xj, соответствующей температуре Ту [c.200]

Весьма общим случаем электродной реакции является электролиа, при котором химическая поляризация сочетается с концентрационной. В этом случае при протекании электрохимической реакции электрическая энергия затрачивается на преодоление химической и концентрационной поляризации. Количественный расчет плотности тока при такой реакции представляет математическую трудность. Избежать последнюю можно различными приемами. Так, в работе [1] Горбачевым затруднение преодолено таким образом, что величина плотности тока на поверхности пластинчатого электрода, полученная из решения уравнения диффузии без конвекции, умножалась на множитель, учитывающий химическую поляризацию. В другой работе Горбачев рассматривает электродную реакцию, как консекутивную, причем объемный перенос вещества и его разряд на электроде рассматриваются, как последовательные стадии. В режиме стационарности скорости этих последовательных стадий равны. Это означает равенство сил тока, соответствующих этим стадиям. Для выражения скорости диффузионно-миграционной стадии процесса электролиза на вращающемся дисковом электроде Горбачев принимает эмпирическую формулу вида [c.47]

Тур и Марчелло [231] рассматривали пленочную и пенетращюнную теории как крайние случаи процесса переноса, для которых в формулах коэффициента массоотдачи показатель степени при коэффициенте диффузии принимает предельные значения, равные 1 и 0,5, соответственно. Они считали, что в реальных условиях значения показателя степени могут колебаться между этими величинами. Предложенная ими пленочно-пенетрационная модель также основана на идее обновления поверхности турбулентными вихрями, но с более гибким учетом периода обновления. При малых временах пребывания вихря на поверхности процесс массопередачи нестационарен (пенетрационная теория), тогда как при больших временах успевает установиться постоянный градиент концентраций и наблюдается стационарный режим (пленочная теория). Для произвольных значений времен обновления модель учитьгеает оба механизма массопередачи — стационарный и нестационарный. Математическая формулировка пленочно-пенетрационной модели сводится к решению уравнения (4.12) при условии, что постоянное значение концентрации задается не на бесконечность, как в модели Хигби, а на конечном расстоянии от поверхности тела. Величина этого расстояния, как правило, неизвестна, и не указаны какие-либо надежные модели ее определения. [c.175]

Задача описания нелинейной диффузии очень сложна, и ни один из известных математических методов прямо неприложим к ее решению. Теория такого рода процессов предложена в последнее время только для стационарного дискового электрода мозаичного типа, т. е. впрессованного в бесконечную плоскость из неактивного материала (рйс. 4.5). Строгое решение удалось получить К. Аоки и Ж- Остер-Янг, которые применили к этой системе метод Винера Хопфа, обычно используемый для описания нелинейных процессов переноса тепла. Анализ показал,что для контролируемого диффузией процесса хроноамперометрическая кривая постепенно отклоняется от кривой, описываемой уравнением Котрелла для линейной диффузии, и приближается к кривой, характерной для сферической диффузии. В общем случае связь тока, текущего на мозаичный электрод со временем t), прошедшим от начала электролиза, выражается соотношением [c.139]

Приближенный расчет концентраций от наземных источников может быть выполнен на основании аналитических или численных решений уравнений турбулентной диффузии. Однако особенности этих решений заключаются в том, что при неблагоприятных метеорологических условиях, таких как приземная инверсия температуры и ослабление скорости ветра до нуля, концентрация примеси неограниченно возрастает на всех расстояниях от источника и, следовательно, нельзя определить предельное значение выброса, при котором приземная концентрация не будет превышать ПДК. Это происходит потому, что для описания рассеяния выбросов от наземных источников в условиях устойчивой стратификации атмосферы и малой скорости ветра нельзя использовать решение стационарного уравнения диффузии в этих условиях. Следует учитывать нестацио-нарность процесса перемешивания. Необходимо также учитывать ограниченность времени существования неблагоприятных метеорологических условий и времени действия самого источника. [c.96]

Чижек, Корыта и Коутецкий [79, 80], а также Коутецкий и Корыта [154] в общем виде показали, что этим соотношением можно воспользоваться как граничным условием при решении уравнения дифференциальной диффузии для вещества В. При этом получается система дифференциальных уравнений, аналогичная системе для случая необратимых электродных процессов. Таким образом, вышеприведенные работы показали, что скорость химической реакции сказывается только в реакционном слое, в то время как вне этого слоя имеет место равновесие химического процесса (Ь — аа = 0). Этот метод был использован Мацудой, Гурвицом и Гирстом (см. ниже) для решения задачи о влиянии двойного слоя электрода на скорость предшествующей химической реакции. Коутецкий [161 решил уравнения (22) и (26) методом безразмерных параметров. В случае быстрой химической реакции [условие (26)], когда устанавливается стационарное состояние между скоростью химической реакции и диффузией вещества, а о > 1, отношение мгновенного кинетического тока и к диффузионному определяется функцией [c.325]

С помощью модели (тОЕМ шцутся стационарные решения уравнений теплопроводности (соответственно уравнений диффузии) и уравнений движения несжимаемой жидкости. Модель М1МЕ(т позволяет решать граничную задачу с начальными условиямк и таким образом исследовать развитие процесса во времени. [c.114]

Обращаясь к. эндотермическому процессу, мы видим (рис. III. 3), что прямая 4 всегда пересекается с кривой р(Т р) лишь в одной точке и соответствующее стационарное состояние устойчиво. Эндотермический процесс устойчив при всех обстоятельствах действительно, снижение температуры приводит к уменьшению скорости реакции, останавливающему дальнейшее падение температуры аналогичным образом система возвращается к первоначальному состоянию и при случайном повышении температуры неравенстно (III. 67) при /г<0 выполняется тождественно. Ясно, что переход эндотермического процесса во внешнедиффузионную область весьма маловероятен. Вопрос об учете изменения температуры поверхности в эндотермическом процессе, тормозимом внешней диффузией, сводится к совместному численному решению уравнений (III. 66) и (III. 17). [c.139]

Диффузионное распространение пламени в изотермических условиях. При невыполнении условия подобия поля температур и поля концентра-ци1 1, как и условия стационарности концентраций промежуточных веществ, при вычислении нормальной скорости пламени даже в тех случаях, когда механизм реакции известен, возникают большие трудности, связанные с кеобходимостью решения в достаточной мере сложной системы дифференциальных уравнений. И лишь в предельном случае изотермического распространения пламени, обусловленного чисто диффузионным механизмом, задача снова упрощается и в ее простейшем виде сводится к решению одного уравнения диффузии Единственный случай распространения пламени при постоянной температуре (практически совпадающей с температурой стенок реакционной трубки) был наблюден и изучен В. Г. Воронковым и Н. Н. Семеновым [49] на примере весьма бедной смеси паров сероуглерода СЗг с воздухом, содержащей 0,03% СЗг. Изотермичность процесса в данном случае обеспечивалась малым количеством выделяемого реакцией тепла (адиабатический разогрев указанной смеси составляет 15°), вследствие чего все выделяемое тепло отводилось к стенкам, и реакция шла при температуре стенок реакционной трубки. На рис. 198 показаны измеренные В. Г. Воронковым и Н. Н. Семеновым область самовоспламенения указанной смеси (кривая 1) и область распространения пламени (кривая 2). Как видно, в условиях опытов этих авторов пламя распространяется нри температурах 50—150°С, которые примерно на 100° ниже температур самовоспламенения смеси при соответствующих давлениях. Из этого следует, что термический фактор в данном случае [c.618]

Поскольку уравнение (IX. 34) описывает прп наличии движущейся печи наложение двух противоположных факторов — размывающего (диффузия) и стягивающего (движущееся температурное поле), то при больших значениях времени должен установиться стационарный процесс. Поэтому будо1г искать решение в виде волны X = X — wt. [c.170]

Рассмотрим сначала [17] случай больших скоростей потока, который позволяет пренебречь эффектами продольной диффузии. При этом процесс размытия полосы определяется только кинетикой сорбции. В ки-нетическои области также возможно образование стационарных фронтов, что позволяет (как уже указывалось в главе III, стр. 123) значительно упростить математическое описание, воспользовавшись стационарными решениями уравнений материального баланса (III.27) и (III.28) и кинетики сорбции [c.160]

Примером подобных реакций могут служпть автокаталитические реакции, в которых продукты реакции являются катализаторами этой же реакции. В случае автокаталитических реакций быстрый отвод продуктов реакции может уменьшить ее скорость. Напротив, при медленном отводе продуктов система уравнений диффузии и граничных условий (9,11) и (9,12) может не иметь решений. Это означает, что вблизи поверхности реакции происходит непрерывное накопление продуктов последней, катализирующих и ускоряющих процесс, так что стационарное протекание реакции невозможно. [c.65]

Для того чтобы сделать возможный определение коэффициентов внутренней диф узии, когда последние маскируются внешней диффузией, а также для описания диффузии в неоднородной среде, автором был предложен новый подход к описанию процессов диффузии /5/, заключающийся в теоретическом вычислении связи среднего времени десорбции с коэф циентами диффузии в ионите и растворе, размером частиц ионита, толщиной эффективного диффузионного слоя в растворе на границе с частицей и другими параметрами. Для экспериментального определения среднего времени десорбции X, как легко видеть, должна быть вычислена площадь на графике зависимости -5 1 от времени, где а(0) - начальное количество ионов в зерне ионита перед десорбцией < )- количество ионов, оставшихся к моменту времени t после начала десорбции. (Начальное распределение ионов предполагается равномерным). Для теоретического вычисления X можно использовать два метода решение уравнения для среднего времени достижения границы, либо метод стационарного потока. Оба метода приводят к решению обычного дифференциального уравнения (в то время как для определения хода кинетики сорбции или десорбции требуется решение более сложного уравнения.в частных производных). Методом стационарного потока эта задача была решена в работе /б/. Здесь мы дадим более простой вывод. Представим себе стационарный процесс диффузии, при котором по всему объему сферической частицы ионита вводятся ионы (а ионов на I см /сек), которые поглощаются на внешней стороне диффузионной пленки. Распределение концентрации тяоъ(с) описывается тогда [c.41]

Коэффициент пропорциональности при Е для стационарного процесса превращения органической среды и диффузии всех компонентов при преобразовании кинетического уравнения (6.8) войдет в состав константы скорости, и оно примет вид уравнения реакции второго порядка. Для нестационарных процессов и прн непрерывном изменении состава органической среды в фазе ионпта решение уравнения (6.8) практически невозможно, [c.163]

В ранних работах были получены некоторые стационарные решения па основе принятых предположений о механизме реакции. Однако недостаток знаний о химической кинетике по да1 ал возможности ввести падежные утверждения о реакциях внутри зоны горотгия в систему необходимых предположений сделанные предполо/1 ения годи.пись лишь для первого подхода к решению дифференциального уравнения, так как процессы диффузии не принимались ] о шимание. Характерно, что деление зоны горения на зону нредварительного подогрева и зону реакции считалось соответствующим понятию температуры воспламенения, обладаюп ,ей некоторой физической значимостью. [c.201]

В описанных выше методах исследования электродов в стационарном состоянии на систему воздействуют повторяющимися импульсами потенциала определенной формы. Для получения данных о кинетике переноса заряда через полимерные слои связанных редокс-частиц на модифицированных электродах нередко используют и отдельные ступенчатые изменения потенциала, В экспериментах этого типа наложенный на стационарный электрод в фоновом электролите начальный потенциал скачком меняется до конечного потенциала Ef-, соответствующий этому ток регистрируют как функцию времени. На рис. 13.10 показан типичный переходный ток электрода с тиони-новым покрытием в 0,05 моль/л серной кислоте. Наложение ступеньки потенциала приводит к изменению окислительно-восстановительного состояния модифицирующей пленки, причем при малых временах основной вклад в измеряемый ток вносит заряжение емкости, а при больщих-фарадеевский процесс в пленке. Следовательно, сигнал определяется диффузией в пленке и по существу идентичен току в случае тонкослойной ячейки. Использование преобразования Лапласа при решении уравнения второго закона Фика применительно к пленке толщиной Ьдает следующее выражение для переходного тока [67] [c.188]

Альтернативный способ определения скорострг роста состоит в том, чтобы измерить эффективные коэффициенты распределения элемента меледу кристаллом и расплавом, а затем применить уравнение, выведенное Бартоном и др. 1[47]. Эти авторы решили одномерное стационарное уравнение диффузии, выражающее условие сохранения массы растворенного вещества в направлении, перпендикулярном границе кристалл — расплав. Граничные условия решения в жидком слое, непосредственно окружающем кристалл, диффузия представляет единственный процесс массопереноса, в то время как вне этого слоя концентрация элемента в л<идкости сохраняется иа одном и том л е уровне за счет конвективного перемешивания. Окончательный вид этого уравнения следующий [c.207]

Нестапионарность катализатора. Под воздействием изменяющегося состава реакционной среды катализатор не остается неизменным. Помимо химических стадий взаимодействия реагирующих веществ имеют место физические процессы на поверхности (перенос реагирующих веществ между различными центрами, поверхностная диффузия адсорбированных атомов и молекул, растворение и диффузня в твердом теле веществ — участников реакции, структурные и фазовые превращения) [30, 31, 32]. Не-стационарность состава катализатора весьма своеобразно ирояв-ляется в кипящем слое, где частицы непрерывно перемещаются в поле переменных концеитрации. При этом каждая частица в отдельности непрерывно изменяет свои каталитические свойства, никогда не приходя в равновесне с окружающей реакционной средой. Хотя усредненные за достаточно большой период времени свойства катализатора остаются неизменными и реактор в целом работает стационарно, его выходные характеристики могут существенно отличаться от рассчитанных с исиользованием стационарных кинетических уравнений. Для построения нестационарной кинетики каталитического процесса необходимо выявить параметры состояния катализатора, определяющие скорость реакции, закономерности их изменения под воздействием реакционной смеси, разработать методы измерения пли расчета этих параметров в ходе нестационарного эксперимента. Не меньшие трудности возникают при разработке и решении математической модели, отражающей изменение параметров состояния по глубине пленки активной массы в зерне, случайно перемещающемся по высоте слоя. [c.62]

Коэффициенты диффузии легко находятся из решения эт0) 0 уравнения при постоянных граничных условиях. В наших экспериментах процесс диффузии протекал при переменных граничных условиях (в замкнутом объеме). Расчеты, проведенные для начальной стадии процесса, когда его можно условно считать стационарным, показали, что коэффициент диф< зузии ПАВ типа неонол 2В-1317-12 в воде равен О.З Ю" м сут, а в пластовых нефтях Башкортостана с индексом аномалий вязкости около 10- на 1...2 порядка меньше. [c.15]

До сих пор мы рассматривали процессы, при которых в соответ-ствутащим образом выбранной системе отсчета диффузионные патоки оказываются постоянными. При этом стационарная многокомпонентная диффузия без инерционных сил описывается системой (IV,49) или (1У,50), в которой уравнение для каждого компонента первого порядка по концентрации (или парциальному давлению) этого компонента. Постоянство диффузионных потоков сильно облегчает решение системы. Однако такой метод применим лишь к ограниченному классу задач, а именно к стационарным одномерным задачам без источников и стоков. Под одномерностью подразумевается такая симметрия задачи, когда все величины зависят только от одной пространственной координаты. [c.206]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология