Решения уравнения диффузии для стационарного потока

Точное решение этих уравнений возможно для стационарных условий в неподвижной среде или ламинарном потоке при постоянном коэффициенте диффузии и линейном характере зависимости от концентрации вещества, т. е. для реакций нулевого и первого порядков. Кроме того, для решения уравнения (I. 17) требуется знание распределения скорости потока в пограничном слое. Последнее условие выполнить особенно трудно, поэтому найти решение уравнений диффузионной кинетики удается только для некоторых простых случаев [7]. [c.19]

До сих пор при вычислении потоков диффузии мы полагали, что радиус поглощающего центра постоянен во времени. Однако стационарным уравнением для потока диффузии можно пользоваться и тогда, когда радиус поглощающего центра достаточно медленно изменяется со временем, а именно когда за время порядка изменение Н мало. Последнее условие соблюдается обычно при росте и испарении капель в воздухе. Поэтому выведенными здесь уравнениями для стационарных потоков диффузии пользуются в теории испарения капель [5]. При этом принимают, что над поверхностью капли имеется насыщенный пар, упругость которого соответствует температуре капли. Температуру капли определяют из условия, что поток тепла к капле равен количеству тепла, затрачиваемому на испарение жидкости в единицу времени. Тепловой поток к капле находят решением уравнения теплопроводности. [c.70]

Предположим, что осаждение на сфере идеальное, т. е. каждое столкновение частицы со сферой приводит к захвату частицы. Коэффициент броуновской диффузии )ьг = кТ/% ЦШр, где — радиус частицы, намного меньше коэффициента молекулярной диффузии, поэтому диффузионное число Пекле Ред= Па/Оы 1. В силу этого неравенства (см. раздел 6.5) диффузионный поток частиц на сферу можно найти из решения стационарного уравнения конвективной диффузии при условии малости толщины диффузионного пограничного слоя. При этом частицы можно рассматривать как точки, а уравнение диффузии примет вид [c.222]

Решения уравнения диффузии для стационарных задач определяют зависимость концентрации и градиента концентрации от координат. С их помощью получаются выражения для потока и общего количества вещества прошедшего через слой. [c.216]

Используя соответствующие решения уравнения диффузии, Дай-нес и Баррер показали, что индукционный период непосредственно связан с коэффициентом диффузии О. Данные о скорости достижения стационарного состояния потока часто можно легко получить сравнительно простыми экспериментальными методами. Измерения [c.198]

Здесь 1)о = + в, как было в случае коагуляции. Стационарное решение уравнения диффузии дает тогда для потока молекул А к одной из молекул В [c.41]

Законы Фика и решение уравнений диффузии. Существование градиента концентрации в расплаве или твердом теле, однородных в других отнощениях, в общем случае порождает поток соответствующего элемента или химического вещества в направлении, противоположном градиенту. В стационарном состоянии суммарный поток / через плоскость пропорционален изменению концентрации (дС дх) вдоль перпендикуляра к плоскости [c.190]

Если электрод имеет конечные размеры, то решение уравнений стационарной диффузии усложняется, так как из-за наличия краевых эффектов приходится учитывать потоки диффузии также вдоль координат г/и 2. Практический интерес представляет нестационарная диффузия к сферическому электроду радиусом г . При этом удобно воспользоваться сферической системой координат, в которой оператор Лапласа имеет вид [c.189]

Общий теоретический подход при анализе динамики внутреннего переноса заключается в решении уравнений, описывающих одновременное протекание массопереноса и химической реакции в порах. Рассмотрим [15, с. 129] наиболее простой случай — реакцию в сферической грануле радиуса г — при следующих допущениях гранула находится в изотермических условиях диффузия в пористой структуре подчиняется первому закону Фика и характеризуется постоянным по всей грануле эффективным коэффициентом диффузии Оэфф, форма которого зависит от условий массопередачи внутри поры (кнудсеновское, объемное или вынужденное течение) в реакции участвует один реагент А, она необратима и ее истинная кинетика описывается степенной функцией концентрации вещества А, т. е. скорость реакции равна ks , где — истинная константа скорости на единицу поверхности катализатора система находится в стационарном состоянии, т. е. изменение массовой скорости потока в результате диффузии, (например, к центру гранулы) равно скорости реакции внутри поры. В рамках этой модели получено аналитическое выражение для т] [c.88]

Как и прежде, будем считать, что скорость массообмена капель с потоком лимитируется процессом диффузии во внешнем потоке. Тогда распределение концентрации в потоке определяется решением уравнения стационарной конвективной диффузии с граничными условиями постоянства концентрации вдали от капель и полного поглощения растворенного вещества на их поверхностях. [c.70]

Расчет неравновесных потоков представляет достаточно сложную задачу, так как требует совместного решения уравнений газодинамики, термодинамики и кинетики релаксационных процессов. По этой причине при рассмотрении неравновесных явлений часто ограничиваются случаем одномерного стационарного течения идеально-газовой смеси. Обычно не учитывают вязкость, теплопроводность и диффузию. Процессы внутреннего переноса у стенки каналов исследуют обычно в приближении пограничного слоя, полагая при этом, что роль пограничного слоя сводится к уменьшению поперечного сечения канала. Методы расчета пограничного слоя при наличии химических реакций изложены в работах [368—373]. [c.119]

Число столкновений частиц радиусов 72, и в единицу времени при диффузионном механизме их сближения равно потоку частиц радиуса на частицу радиуса Л,. Если предположить, что диффузионное равновесие устанавливается намного быстрее, чем концентрационное, то задача сводится к решению стационарного уравнения диффузии в силовом поле [27] [c.256]

Частота столкновений капель радиусом с каплей радиусом Е равна диффузионному потоку /(, определяемому из решения стационарного уравнения диффузии, которое в сферически симметричном случае имеет вид [c.389]

Решение уравнения стационарной диффузии (5.2) в виде (5.12) и (5.16) не является вполне строгим, так как противоречит основному положению стационарной диффузии, которое заключается в том, что диффузионный поток вещества через любую концентрическую с каплей (кристаллом) сферическую поверхность с радиусом Яа есть величина постоянная. В уравнениях (5.12) и (5.16) диффузионный поток не постоянен, а пропорционален соответственно и г. Поэтому уравнения (5.12) и (5.16) с той или иной степенью точности могут быть применены только в незначительных пределах изменения линейных размеров частиц для квазистационарного роста и растворения (испарения) кристаллов и капель. [c.113]

Так как мы имеем здесь дело с диффузионно-контролируемыми реакциями, метод нахождения констант скоростей реакций а, Ь, 1 и 2 основан, как и ранее, на решении стационарного уравнения диффузии (IX.14) при разных граничных условиях и на нахождении четырех диффузионных потоков, номера и направления которых указаны цифрами и стрелками на рис. XI.11. [c.170]

Методы теоретического вычисления среднего времени сорбции или десорбции при постоянном значении коэффициента диффузии были описаны в работе [2]. Для вычисления среднего времени сорбции или десорбции могут быть использованы два метода метод стационарного потока и решение уравнения, определяюш,его среднее время достижения границы. Мы покажем, что величина т может быть сравнительно просто вычислена и для неоднородной среды, в которой локальные коэффициенты диффузии и коэффициенты сорбции являются функциями координаты. [c.304]

Это значит, что данное соотношение является соответствующим уравнением баланса нейтронов для мультиплицирующей среды в стационарном состоянии в односкоростном приближении (ср. с уравиеиием (5.134)]. Решения кинети- (еского уравнения представляют собой теперь также решения уравненпя диффузии (правильнее, стационарного волнового уравнения, или уравнения Гельмгольца). Наоборот, решения диффузионного уравнепия будут точно также удовлетворять кинетическому уравнению в случае бесконечной среды. Решения диффузионного уравнения для конечной геометрии пе удовлетворяют кинетическому уравнению, однако, если решение относится к областям, далеким от границы, оно будет приближенно удовлетворять кинетическому уравнению. В этих областях угловое распределение потока близко к изотропному, и результаты диффузионной теории могут давать хорошее приближение пространственного распределения нейтронов. [c.270]

Существуют два основных метода определения коэффициента Оэ для капиллярно-пористых материалов. Первый состоит в создании стационарного диффузионного потока целевого компонента при постоянных значениях концентрации компонента на внешних поверхностях исследуемого капиллярно-пористого образца. Для образца материала плоской формы в случае стационарного потока компонента дифференциальное уравнение диффузии упрощается д С йу — Решение такого уравнения при граничных условиях первого рода С л =о = С1 и С х=Ь = 2, где Ь — поперечный размер образца в направлении х потока целевого компонента, имеет очевидную линейную форму С (х) = = С — С — 2)x L, что после дифференцирования дает выражение для потока диффундирующего компонента = = Оз(С,-С2)/1. [c.57]

При рещении стационарной внешней задачи в приближении диффузионного пограничного слоя уравнение конвективной диффузии (4.42) преобразовывалось к виду (4.96) и функция тока раскладывалась в ряд Тейлора по степеням V = 1—/ . В качестве граничного условия по в гипотетически предполагалось, что концентрация в лобовой точке в =тг) равна концентрации набегающего потока. В данном приближении удалось получить решение только для д <б (1) ид > 1 - формулы (4.121) и (4.122). [c.202]

Поток окислителя /об, входящего в мембрану, может быть найден из решения уравнения стационарной диффузии вещества. Для области 0< < р с краевыми условиями [c.54]

Выразив поток окислителя внутрь шариков нз решения уравнения стационарной диффузии с учетом условий (3.17) через [c.58]

На примере диффузии в стекающую пленку покажем, что эти модели приводят к идентичным результатам. В пленочной модели система координат фиксирована в пространстве, и диффузия поэтому протекает стационарно. Выражение для потока получается решением уравнения [c.5]

Чтобы установить связь между коэффициентом диффузии О и подвижностью частиц В, рассмотрим стационарное распределение концентраций, получающееся, когда полный поток частиц (1.2) равен нулю. Положим, что сила направлена в сторону уменьшающихся значений х, и обозначим Р = Mg. Решение уравнения (1.2) дает [c.6]

Метод стационарного режима может быть реализован с капиллярно-пористым материалом цилиндрической формы. Дифференциальное уравнение стационарной диффузии в цилиндрических координатах имеет вид сРС/йг + (1С/(1г)/г = 0. Решением этого уравнения является логарифмический профиль концентрации, а диффузионный поток через цилиндрическую стенку, определяемый законом Фика и дифференцированием логарифмического профиля, записывается следующим образом [c.58]

До сих пор говорилось о стационарной скорости химической реакции, которая реализуется при определенном взаимном расположении молекул. Если молекулы распространены в пространстве каким-либо иным способом, скорость будет также отличной и зависящей от времени. Рассмотрим случай равномерного распределения реагирующих молекул в пространстве, когда оба типа молекул распределены по объему случайным образом. Скорость химической реакции будет равна потоку диффузии при г = Я. Решение диффузионного уравнения при граничном условии (8.1) дает Для потока диффузии [c.42]

До сих пор мы рассматривали процессы, при которых в соответствующим образом выбранной системе отсчета диффузионные потоки оказываются постоянными. При этом стационарная многокомпонентная диффузия без инерционных сил описывается системой (IV,49) или (IV,50), в которой уравнение для каждого компонента первого порядка по концентрации (или парциальному давлению) этого компонента. Постоянство диффузионных потоков сильно облегчает решение системы. Однако такой метод применим лишь к ограниченному классу задач, а именно к стационарным одномерным задачам без источников и стоков. Под одномерностью подразумевается такая симметрия задачи, когда все величины зависят только от одной пространственной координаты. [c.206]

Это решение может быть получено из стационарного уравнения диффузии (6.1) при дгс1д1 = 0. Из уравнения (6.3) видим, что около поверхности поглощающего центра имеется пониженная концентрация частиц. Заметим, кстати, что при решении двумерной задачи о соударении частиц на поверхности стационарного распределения концентраций при i оо не получается. Поток диффузии I к поглощающей сфере [c.31]

Для решения задачи о стационарном движении барьера удобно считать, что он неподвижен, а жидкая фаза вместе с адсорбционным слоем набегает на барьер. Набегающее вещество адсорбционного слоя соскребается с поверхности раствора барьером, и некоторая часть его диффундирует навстречу набегающему потоку. Под стационарным подразумевается режим, когда поток набегающего на барьер вещества пи уравнивается его диффузионным потоком Пс1п / ф, т. е. пи = -Оёп/с1у. Здесь п — поверхностная концентрация (адсорбция по Ленгмюру), являющаяся искомой функцией расстояния у от поверхности барьера, и — линейная скорость потока и I) — коэффициент поверхностной диффузии ПАВ. Решение этого уравнения дает формулу [c.587]

Рассмотрим сначала [17] случай больших скоростей потока, который позволяет пренебречь эффектами продольной диффузии. При этом процесс размытия полосы определяется только кинетикой сорбции. В ки-нетическои области также возможно образование стационарных фронтов, что позволяет (как уже указывалось в главе III, стр. 123) значительно упростить математическое описание, воспользовавшись стационарными решениями уравнений материального баланса (III.27) и (III.28) и кинетики сорбции [c.160]

Для того чтобы сделать возможный определение коэффициентов внутренней диф узии, когда последние маскируются внешней диффузией, а также для описания диффузии в неоднородной среде, автором был предложен новый подход к описанию процессов диффузии /5/, заключающийся в теоретическом вычислении связи среднего времени десорбции с коэф циентами диффузии в ионите и растворе, размером частиц ионита, толщиной эффективного диффузионного слоя в растворе на границе с частицей и другими параметрами. Для экспериментального определения среднего времени десорбции X, как легко видеть, должна быть вычислена площадь на графике зависимости -5 1 от времени, где а(0) - начальное количество ионов в зерне ионита перед десорбцией < )- количество ионов, оставшихся к моменту времени t после начала десорбции. (Начальное распределение ионов предполагается равномерным). Для теоретического вычисления X можно использовать два метода решение уравнения для среднего времени достижения границы, либо метод стационарного потока. Оба метода приводят к решению обычного дифференциального уравнения (в то время как для определения хода кинетики сорбции или десорбции требуется решение более сложного уравнения.в частных производных). Методом стационарного потока эта задача была решена в работе /б/. Здесь мы дадим более простой вывод. Представим себе стационарный процесс диффузии, при котором по всему объему сферической частицы ионита вводятся ионы (а ионов на I см /сек), которые поглощаются на внешней стороне диффузионной пленки. Распределение концентрации тяоъ(с) описывается тогда [c.41]

Ограничимся всплытием пузырька при Ке 1. Тогда режим обтекания пузырька вязкий и распределение скоростей обусловлено решением задачи в стоксовом приближении. Для предельно разбавленного раствора диффузионное число Пекле Ред 1, и при движении пузырька на его поверхности образуется диффузионный пограничный слой, в котором происходит основное изменение концентрации диффундирующего компонента. Нерастущий пузырек всплывает с постоянной скоростью, и распределение концентрации растворенного в жидкости вещества описывается стационарным уравнением конвективной диффузии. Решение соответствующей диффузионной задачи для твердой частицы и для пузырька с незаторможенной поверхностью при Ке 1 дают следующие выражения для диффузионного потока на частицу [c.565]

Схема анализа. Записывается снстема дифференциальных уравнений в частных производных для движения и молекулярной диффузии. Уравнения движения, выраженные через скорость возмущения, наложенного на первоначально стационарную систему, сперва линеаризуют при условии, что поток в среде можно считать вязким. В этой форме уравнения движения решаются отдельно от диффузионных, так как молекулярная диффузия оказывает влияние на поток только через межфазное граничное условие непрерывности танген-щшльиых напряжений. Поскольку время входит в уравнения только в виде производных, в решении содержится экспонента времени. [c.214]

Характер влияния на Я коэффициентов диффузии в подвижной и стационарной фазах следует из ранее приведенных уравнений для Яг и Яз. Среди параметров, характеризующих технику эксперимента при хроматографическом разделении веществ, главным является размер и форма частиц насадок. Диаметр частиц или толщина пленки неподвижной фазы определяют длину диффузионного пробега вещества к границе раздела фаз. Очевидно, что чем меньше размеры частиц, тем меньше диффз ионные ограничения, но всегда существует нижняя граница размеров частиц, определяемая проницаемостью слоя насадки в хроматографической колонке для подвижной фазы. В свою очередь проницаемость колонки для одной и той же подвижной фазы зависит не только от диаметра частиц, но и от высоты колонки. Получается замкнутый круг. Чем меньше К , тем больше требуется 7У,фф. Для получения необходимого числа Л/эфф следует или уменьшить Н до соответствующего значения при сохранении длины колонки, или увеличить ее длину при сохранении Я. Оба требования выполнимы только до определенных пределов, ниже которых колонки оказываются непроницаемыми для подвижной фазы при допустимом давлении. Одновременным решением проблем снижения диффузионных ограничений со стороны стационарной фазы и обеспечения необходимой проницаемости колонок для подвижных фаз, явилось создание пленочных и поверхностно-пористых сорбентов, позволяющих без существенного уменьшения размеров частиц и соответственно без принципиального увеличения сопротивления колонки потоку подвижной фазы в произ- [c.185]

Электроны, образованные в результате ионизации газа, удаляются из разрядной зоны путем диффузии к стенкам камеры. Стационарное состояние достигается в том случае, когда скорости генерации и потерь электронов сравняются. В таких условиях пространственное распределение концентрации электронов определяется из уравнения неразрывности. Решение этого уравнения для диффузионного механизма потерь с одновременным учетом потока газа в трубке описал Ромиг [3] результаты решения представлены на рис. 1.9. Параметром кривых служит = иЬ1П, где и — линейная скорость газа, Ь — половина длины зоны разряда, ) — коэффициент диффузии электронов. [c.20]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология