Дисперсия распределения генеральная

Дисперсию генеральной совокупности сг2 нормально распределенной случайной величины можно оценить, если известно распределение ее оценки — выборочной дисперсии . Распределение выборочной дисперсии можно получить при помощи распределения Пирсона или распределения. Если имеется выборка и независимых наблюдений х,, х ,х над нормально распределенной случайной величиной, то можно показать, что сумма [c.47]

Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения. Выборочная средняя и дисперсия. [c.153]

Гипотеза, формулируемая для статистической проверки, может относиться к параметрам предполагаемого распределения генеральной совокупности (например, к среднему р или дисперсии (т нормального распределения). Критерий для проверки такой гипотезы о параметрах называется параметрическим критерием. Однако не всегда можно сказать заранее, какая именно функция распределения имеет место. Поэтому были разработаны методы проверки, позволяющие сравнить распределения, причем не зная их параметров или формы. Такие критерии, основанные на сравнении функций распределения (а не параметров), называются непараметрическими критериями. Они имеют определенные преимущества по сравнению с параметрическими благодаря меньшим требованиям к их применению, большему диапазону возможностей и часто большей простоте реализации [12]. Конечно, нужно считаться и с часто более низкой точностью этих критериев по сравнению с параметрическими. [c.116]

Предполагаем, что обе выборки из нормально распределенной генеральной совокупности. Величины дисперсии а и математического ожидания ц не известны. Нужно определить, соответствуют ли выборки одному нормальному распределению. Гипотеза Но, которую необходимо подтвердить, имеет двойной тест Ц = Ц2 и О] = 02. Степень соответствия математических ожиданий определяется по /-критерию, среднеквадратичных отклонений — по Р-критерию. Решение приведено на рис. 6.6 и 6.7. [c.269]

Параметры распределения случайных величин — постоянные величины, входящие в закон или функцию распределения. (В принципе, постоянными являются только параметры генеральных совокупностей). Параметры при неизвестном законе или функции распределения характеризуют, хотя и не так полно как последние, центр рассеяния — математическое ожидание и интенсивность или степень рассеяния — дисперсию. [c.816]

При этом дисперсия распределения (генеральная дисперсия) определится из выражения [c.204]

Здесь — генеральная дисперсия распределения, а 5 — экспериментальная дисперсия проб, определяемая из выражения [c.192]

Из нормально распределенной генеральной совокупности взяли две выборки объемом П1 и П2, полагая, что этого вполне достаточно. Подсчитали дисперсии 1 н 2 со степенями свободы Д = П1 — 1 и /2 = П2 — 1 и составили отношение [c.60]

При обработке наблюдений обычно не удается получить эмпи- рическую функцию распределения. Даже простейший анализ условий проведения опытов позволяет с достаточной степенью уверенности определять тип неизвестной функции распределения. Окончательное уточнение неизвестной функции распределения сводится к определению некоторых числовых параметров распределения. По выборке могут быть рассчитаны выборочные статистические характеристики (выборочное среднее, дисперсия и т. д.), которые являются оценками соответствующих генеральных параметров. Оценки, [c.24]

Величина X в генеральной совокупности является случайной и, как правило, подчиняется нормальному закону распределения. Например, статическая прочность материала определенной марки имеет некоторое среднее значение X и дисперсию о, составляющую около 10% от X. Разброс связан не только с погрешностью измерения X, а также со случайным изменением свойств материала. Будем считать, что дисперсия для генеральной совокупности известна и при выборочном контроле требуется оценить среднее значение X и сопоставить его с X. [c.46]

Оценка качества смешения производится по статистическим критериям, сущность которых заключается в сравнении статистических характеристик реальной смеси с характеристиками идеальной смеси. Принимается, что вероятность присутствия в отобранной пробе частиц диспергируемой фазы равна плотности биноминального распределения. Генеральная дисперсия рас- [c.55]

Если математическое ожидание нормально распределенной генеральной совокупности известно (Mj - ц),ю выборочная дисперсия определяется выражением [c.25]

В наиболее распространенных случаях, когда объем выборки мал, вместо неизвестной генеральной дисперсии <т используют выборочную дисперсию 8 , а вместо нормального распределения — -распределение Стьюдента. [c.430]

При распределении концентраций в пробах, соответствующем закону биномиального распределения, дисперсия распределения а (генеральная дисперсия) определяется по формуле [c.166]

В практических расчетах округляют множитель 4,46 до 5 (что соответствует р = 0,96). Отклонения с вероятностью р<0,04 будем считать практически невозможными. Отсюда следует каково бы ни было распределение генеральной совокупно сти случайной величины X с дисперсией Ох, отклонение от генерального среднего больше чем на Ъох практически невозможно (см. формулу (11.120) для оценки коэффициента эксцесса). [c.75]

Из нормально распределенной генеральной совокупности взято две выборки объемом и Пз- Подсчитывают дисперсии 5 и 2 со степенями свободы = П1 — 1 и /2 = Пг — 1 и составляют отношение [c.59]

Для выборки из нормально распределенной генеральной совокупности дисперсия среднего арифметического X достигает минимального теоретического предела, т. е. X является эффективной оценкой математического ожидания. Дисперсия среднего арифметического значения меньше дисперсии любых других оценок математического ожидания — медианы, моды, полусуммы наибольшего и наименьшего значений выборки и др. Так, для двух оценок математического ожидания М Х — среднего арифметического X и медианы — дисперсии имеют следующий вид [c.302]

При этом генеральная дисперсия распределения дается выражением [c.123]

Учитывая эти обстоятельства, для конструирования целевой функции проведем следующие рассуждения. Пусть при фиксированной температуре Ti имеется ряд независимых наблюдений давления Рзц 1 = 1,.. Ь), полученных с использованием одной и той же аппаратуры и методики измерений. В этом случае набор Рдц можно рассматривать как выборку значений случайной величины Рз из генеральной совокупности с нормальным законом распределения, математическим ожиданием М (Рд ) = Р. и дисперсией Ор1. Отметим, что в силу (1) величины Р,- и Ор1 являются функциями температуры Г,-, точное значение которой нам неизвестно, однако мы можем его трактовать как математическое ожидание случайной величины Гд , распределенной нормально с дисперсией Ог- [c.99]

В этом выражении f(j ) — функция распределения вариант по вероятности попадания в интервал от д до л + dx-, параметр ц является среднеарифметическим (далее для краткости — средним) по всей совокупности измерений или генеральным средним-, при п - -> оо и отсутствии систематических ошибок ц становится равным истинной измеряемой величине. Отклонение x — л есть единичная абсолютная ошибка измерения параметр называют дисперсией, корень квадратный из дисперсии о — стандартным или среднеквадратичным отклонением-, чем о меньше, тем кучнее располагаются варианты около генерального среднего, тем уже вероятный интервал, в котором находится истинное значение х. Площадь под кривой Гаусса в пределах п = 1 до с равна единице. Так как измерения при п- оо неосуществимы, то неизвестны ни д., ни [c.6]

Чем меньше число степеней свободы, тем менее надежной характеристикой генеральной дисперсии является выборочная дисперсия 5 . При нормальном распределении появление больших погрешностей менее вероятно, чем малых, поэтому при уменьшении числу параллельных проб вероятность появления больших погрешностей уменьшается. Неучет этого приводит к необъективному, заниженному значению погрешности. Эта ненадежность, связанная с числом определений (параллельных проб), учитывается /-распределением Стьюдента, в котором предусматривается большая вероятность появления больших погрешностей, а малых меньше, чем в нормальном распределении. [c.129]

Неравенство Чебышева используется в тех случаях, когда распределение результатов и случайных ошибок анализа заведомо отличается от нормального. С помощью этого неравенства удается получить загрубленные статистические оценки для генерального среднего л по выборочному среднему х, если известно значение генеральной или по крайней мере выборочной дисперсии. [c.96]

Объяснить значение фундаментальных статистических терминов дискретная и непрерывная случайная величина, генеральная совокупность, плотность вероятности, функция распределения случайной величины, моменты функции распределения, среднее, дисперсия, объем выборки, выборочное распределение, выборочные параметры. [c.416]

Показано, что если имеется несколько выборочных совокупностей из и результатов, являющихся составными частями одной генеральной совокупности, случайные величины которой распределены нормально с параметрами fl и <7 , то средние х этих выборок подчиняются также закону нормального распределения с параметрами fi и jn. Отсюда дисперсия среднего [c.47]

Наиболее сложной задачей является определение качества смешения. В качестве критериев качества смешения предлагают применять степень отклонения распределения компонентов от случайного. Они основаны на использовании статистических величин. По мере приближения смеси к случайной выборочная дисперсия (фактическая) приближается к предельному значению генеральной дисперсии (теоретической), т. е. индекс смешения [c.38]

Пусть требуется сравнить две различные по величине оценки стандартных отклонений 1 и 2 со степенями свободы Д и /г. Надо решить, лежит ли различие между 1 и 2 в границах возможных случайных колебаний (см. разд. 5.3), т.е. можно ли оба значения и 2 рассматривать как оценку одной и той же дисперсии генеральной совокупности с нормальным распределением. Проверяемая (параметрическая) гипотеза, следовательно, такова (т = (Т2 =. Если данное предположение выполняется, то отношение следует -распределению (см. [c.116]

Из теории вероятности [8] известно, что средние значения х для ряда выборок из одной и той же генеральной совокупности будут подчиняться также нормальному закону распределения, как и генеральная совокупность среднее значение распределения х будет совпадать с X, а дисперсия средних значений а (л) будет тем меньше, чем больше объем п выборки а (л) —а 1п. [c.46]

Распределение среднего значения х нормального распределения гри известном генеральном среднем р. и известной генеральной дисперсии ст является нормальным распределением с /ЛО [c.221]

Эффективные оценки являются наилучшими оценками параметра в в смысле минимума дисперсии. Однако получение таких оценок не всегда возможно. Более широкий класс оценок, чем эффективные, составляют достаточные оценки. Достаточность связана с объемом информации, содержащимся в выборке и необходимым для принятия решения относительно параметра в генеральной совокупности. Оценка параметра в называется достаточной, если условное распределение р(хь Хг,. .., х в = с1) (где с1 — конкретное значение статистики в ) не зависит от неизвестного параметра в для всех возможных значений 0 . [c.30]

Зияние генеральной дисперсии Ох позволяет оценивать математическое ожидание даже по одному наблюдению. Если для нормально распределенной случайной величины X в результате экспе-[)имепта получено значение Х, то доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью р=1—р имеет вид [c.37]

Оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины. При отсутствии грубых и систематических ошибок математическое ожидание случайной величины совпадает с истинмым результатом наблюдений. Поэтому оценка математического ожидания имеет важное значение при обработке наблюдений. Легче всего оценить математическое ожидание при известной дисперсии генеральной совокуиности (см. гл. II, 8). [c.41]

Случайные отклонения при малом числе опытов. На практике экспериментатор выполняет не бесконечно большое число опытов, а довольно малое (2—10), и имеет дело не с генеральной, а с выборочной совокупностью вариант (см. табл. 7.3). При этом распределение случайных ошибок подчиняется уже не закону Гаусса, а /-распределению, имеющему ту же форму, что и кривая Гаусса, но с большей величиной а. При этом /-критерий (или иначе ко- эффициент Стьюдента — Фише- "щ ра) зависит от доверительной е вероятности (Р) и числа опытов минус 1 (р = п.—1). Последнее представляет собой число степе- ней свободы и вводится тогда, когда неизвестно истинное значе- ние, а рассчитывается среднее X, поэтому при расчете дисперсии выборочной совокупности (5 ) в знаменателе ставится л—1. [c.135]

В основе микростатических оценок нормально распределенных случайных величин лежит распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики выборочной совокупности ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки или число степеней свободы выборки = п — . Применение распределения Стьюдента для оценки неизвестного среднего ц нормальной случайной величины х основано на следующем. Пусть х, х , Хп — независимые наблюдения (результаты анализа) нормальной случайной величины X с неизвестными наблюдателю средним р, и дисперсией (т . Вычислим соответствующие выборочные параметры j и 5 и составим дробь t — х — р,) /5. Эта Дробь имеет рас- пределение Стьюдента с = п—1 числом степеней свободы. Сравним величину I с аргументом функции Лапласа и. Если ыл — мера отклонения среднего результата анализа от математического чэжидания р, в единицах генерального стандартного отклонения [c.92]

Рассмотрим две нормально распределенные выборочные совокупности результатов анализа объемами щ и п , полученные независимыми методами. Очевидно их выборочные дисперсии 5 и 51 не будут совпадать между собой. Однако различие между ними может носить только случайный характер, поскольку они являются приближенными оценками одной и той же общей для обеих выборок генеральной дисперсии а . В таком случае результаты обеих выборок можно считать равноточными. С другой стороны, различие дисперсий может быть обусловлено значимой причиной, например, снижением уровня шумов за счет стабилизации источника возбуждения (спектральный ана-iиз) или экранирования регистрирующей ячейки (потенциомет-рия) в одной серии определений в отличие от другой. Очевидно, выборочные совокупности результатов анализа в этом случае не будут равноточными. [c.104]

Если повторить один и тот же эксперимент п раз, мы получим выборку — серию из п независимых, идентично распределенных значений Х1,Х2,...Хп случайной величины X (нижний индекс соответствует номеру эксперимента). Любая функция случайных величин есть тоже случайная величина. Рассмотрим некоторую функцию 2(Х), аргументами которой служит серия из п значений Х1,Х2,... Хп случайной величины X. Эта функция является новой случайной величиной, распределение которой связано с распределением X и порождается им. Распределение величины 2 в этом случа называется выборочным распределением. Два важных примера функции 2(Х)—эгго выборочное среднее X и выборочная дисперсия Отметим, что необходимо строго различать выборочные параметры (например, X или з ) и генеральные параметры (соответственно, /х и <т ). [c.422]

Проанализировав п образцов, мы получим выборку из п независимых случайных величин Хг,Х2,... Хп, характеризующихся некоторой функцией распределения. Из этих данных можно оценить значение некоторого параметра распределения т (например, среднего /х или дисперсии ст ), используя соответствующую функцию Т Х) от результатов измерений она называется оценша-телем. Величина Т(Х) — также случайная она имеет свою собственную функцию распределения, среднее и дисперсию. Примером оценивателя может служить выборочное среднее, описанное в разд. 2.4. Разумеется, для каждой конкретной выборки мы получим свое значение реализацию) величины Т она называется оценкой. От надежных оценок требуется, чтобы вероятность их близости к истинному значению оцениваемого параметра была высокой. В идеальном случае центром распределения Т должно быть значение т, т. е. Е(Т) = г. Оцениватель, удовлетворяющий этому требованию, называется несмещенным. Как отмечено выше, Е(Х) = /х и Е з ) = поэтому выборочные среднее и дисперсия — несмещенные оценки соответствуюш,их генеральных параметров. [c.429]

Если предположить, что при нормальном распределении данных в двух выборках их генеральные дисперсии равны (а, = о1 нулевая гипотеза), то отношение выборочных дисперсий должно подчиняться распределению Фишера-Снедекора (10.8). Поэтому проверка равенства дисперсий сводится к проверке попадания статистики в допустимые пределы, которые табулированы для разных уровней значимости. Если Е > Еа, нулевая гипотеза о равенстве дисперсий должна быть отвергнута. [c.235]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология