Собственные функции и распределение вероятност

Рассмотрим теперь еще раз, как зависит характер собственных функций и вероятность обнаружения электрона на определенном расстоянии от ядра от главного п и побочного I квантовых чисел. Рис. 2.14 представляет собой графики ряда собственных функций атома водорода, а на рис. 2.13 приведены соответствующие кривые 4яг 1 ) , дающие распределение вероятности обнаружения электрона на разных сферах, описанных вокруг атомного ядра. [c.41]

Собственную функцию, удовлетворяющую уравнениям этого типа, называют нормированной к единице или, кратко, нормированной. Любое решение волнового уравнения может быть нормировано путем умножения или деления на постоянную величину, и, как легко видеть, результат нормировки также является решением волнового уравнения. Например, если функция <р координат ж, г/ и 2 удовлетворяет уравнению (4.17) и интеграл функции распределения вероятности, взятый по всему трехмерному пространству, равен с, то нормирующий множитель будет и, следовательно, нормированная собственная функция выразится как Так как является постоянной величиной, не [c.38]

Особенности собственных функций. Радиальная составляющая функции о, ф) или радиальная функция Р г) задается квантовыми числами пи/. Указанные квантовые числа характеризуют функцию радиального распределения вероятности пребывания [c.53]

Каждому значению энергии (собственному значению) уравнения Шредингера соответствует волновая функция (собственная функция), квадрат которой дает распределение вероятностей для определен- [c.25]

Собственная функция ф атома или молекулы не имеет физического смысла. В отличие от этого ее квадрат представляет собой плотность вероятности нахождения электрона в определенной части пространства (распределение электронной плотности). Волновая функция нормируется таким образом, чтобы вероятность нахождения электрона во всем пространстве составляла 1 (одноэлектронные волновые функции называют орбиталями). Расчеты показывают, что орбитали а-электронов сферически симметричны, орбитали /7-электронов по форме подобны гантелям, а для -электронов найдено более сложное распределение в пространстве. Кроме того, существуют гибридные орбитали, например s/J зр , зр. [c.22]

В уравнении (1.6) величина Е является параметром. Значения параметра Е, при которых уравнение (1.6) имеет рещение, называются собственными значениями этого уравнения, а соответствующие этим значениям выражения для волновой функции называют собственными функциями уравнения. Каждому собственному значению энергии соответствует определенная собственная функ ция, характеризующая вероятность распределения частиц при данном значении энергии. [c.7]

Если в /-Й группе имеется g собственных функций, т. е. если группа имеет -кратное вырождение, то элементов в этой группе может быть распределено различными способами. Общее число собственных состояний или квантовых уровней для л элементов, которое является мерой вероятности Р этого частного распределения, определяется выражением [c.166]

Наблюдаемые величины, характеризующие атомные системы, могут быть двух типов 1) величины, значения которых определены точно, например энергия, которая для любой ограниченной системы имеет только дискретные (квантованные) значения, и 2) величины, для которых в результате любого измерения можно определить по распределению вероятности лишь среднее значение ). Если наблюдаемая величина, характеризуемая оператором относится к первому типу, то это означает, что волновые функции системы, являющиеся собственными функциями гамильтониана, есть так ке и собственные функции оператора т. е. [c.97]

Проанализировав п образцов, мы получим выборку из п независимых случайных величин Хг,Х2,... Хп, характеризующихся некоторой функцией распределения. Из этих данных можно оценить значение некоторого параметра распределения т (например, среднего /х или дисперсии ст ), используя соответствующую функцию Т Х) от результатов измерений она называется оценша-телем. Величина Т(Х) — также случайная она имеет свою собственную функцию распределения, среднее и дисперсию. Примером оценивателя может служить выборочное среднее, описанное в разд. 2.4. Разумеется, для каждой конкретной выборки мы получим свое значение реализацию) величины Т она называется оценкой. От надежных оценок требуется, чтобы вероятность их близости к истинному значению оцениваемого параметра была высокой. В идеальном случае центром распределения Т должно быть значение т, т. е. Е(Т) = г. Оцениватель, удовлетворяющий этому требованию, называется несмещенным. Как отмечено выше, Е(Х) = /х и Е з ) = поэтому выборочные среднее и дисперсия — несмещенные оценки соответствуюш,их генеральных параметров. [c.429]

Второй температурный эффект, связанный с сечениями, имеет место в области высоких энергий и особенно важен для ядер, которые обладают резко выраженными резонансами, например для ядер топлива. Хотя для большинства таких материалов вблизи тепловой энергии зависимость близка к 1/г , отклонением от закона ilv уже нельзя пренебречь более того, во многих случаях эти материалы имеют также резонансы, расположенные близко к теиловой области. Эти характеристики войдут не только в температурный коэффициент параметров тепловой группы, но и в температурный коэффи-и,нент таких величин, как вероятность нейтрону избежать резонансного захвата, в которую входит интеграл от сечения, вычисленный по всей надтепло-вой (резонансной) области. Собственно говоря, сечения в надтепловой области для такпх функций должны вычисляться из интегрального соотношения вида (4.182), которое учитывает тепловое движение ядер. Температурная. зависимость сечеиия в быстрой области описывается функцией распределения [см. уравнение (4.172)], в которую входит и температура среды Гдт. Так что изменения Ття вызывают изменение ЯЛ п, следовательно, величин, зависящих от сечений в быстрой области. Это явление, называемое эффектом Допплера, будет рассмотрено в связи с зависимостью вероятности избежать резонансного захвата от температуры. [c.219]

Таким образом, описание стационарного состояния электрона в водородоподобном атоме дает атомная орбиталь — одноэлектронная волновая функция, характеризуемая совокупностью трех квантовых чисел п, / и /И/. При помощи ее можно рассчитать распределение электронной плотности в атоме и определить форму электронного облака вероятности. Атомные орбитали, являющиеся собственными функциями уравнения Шредингера, ортонорм 1лррваны, т. е. подчиняются условию (3.12) [c.23]

А различия в значениях квантового числа т/ при одних и тех же п и / обозначены нижними индексами справа от букв. Для графического представления атомных орбиталей (зависимость Ф от г, 9 и р) требуется четырехмерное пространство, что практически невозможно. Поэтому в соответствии с табл. 1 разобьем полную собственную функцию на радиальную и угловую части и воспользуемся двумя типами графической зависимости. Вероятность нахождения электрона на различных расстояниях от ядра можно наглядно выразить при помощи так называемого графика радиального распределения. Это мера нахождения электрона в сферическом слое между расстояниями г и г + г от ядра вдоль линии с заданными значениями углов в и /р. Объем, лежащий между двумя сферами, имеющими радиусы г и г + г, равен 4жг г1г, а вероятность пребывания электрона в этом элементарном шаровом слое пропорциональна 4 гг2[Л (г)]2, На рис. 13 приведено радиальное распределение величины 4ят2[Яп (г)]2, которая характеризует плотность вероятности нахождения электрона на различных расстояниях от ядра. [c.31]

Рис. 86. Собственные функции (пунктирные кривые) и распределение плотности вероятности (сплошные кривые) анагармо-нического осциллятора для и = О, I, 2 и 3.

Формула (83) дает точное решение нашей задачи, и при малых п (число атомов в критическом зародыше) ее можно использовать для вычисления вероятности / (0- Главная трудность в решении основной системы уравнений (83) заключается в определении собственных значений. В настоящее время имеются численные методы решения [147] и оценки границ собственных значений [148, 149]. Однако для малых времен функция распределения / близка к нулю, а слагаемые в правой асти уравнения (83) велики. Поэтому при вычислении вероятности fn t) с заданной относительной погрешностью указанные слагаемые приходится вычислять с большим числом значащих цифр. В то же время значительный интерес представляет поведеййе системы в начальной стадии, когда процесс зародышеобразования является, как правило, нестационарным. [c.33]

Переход от стационарного состояния к автоколебательному режиму, индуцированный внешним шумом, изучался в работе [27]. В этой работе была рассмотрена модель Лоренца (см. (4.5.1)) при значениях параметров, когда она еще не обладает собственным хаотическим поведением, а имеет два устойчивых стационарных состояния l ж Сявляющиеся устойчивыми узлами-фокусами, так что малые отклонения от них затухают с осцилляциями. Чтобы учесть тепловые флюктуации, в правые части уравнения (4.5.1) вводились дельта-коррелированные случайные функции (шумы), и получающаяся система исследовалась на ЭВ1И. Было обнаружено, что при малых интенсивностях шумов стационарное распределение вероятности имеет максимумы в точках и g, где были расположены устойчивые стационарные состояния детерминистической модели. Если, однако, увеличивать интенсивности шумов, то при превышении некоторого критического значения происходит качественная перестройка функции распределения. В точках i и С2 стационарное распределение вероятности достигает теперь уже минимума, и они окружены кольцевыми максимумами вероятности. Рассмотрение траекторий движения системы под воздействием внешнего шума Показало, что она совершает возмущенные периодические колебания, проводя почти все время в области кольцевых максимумов вероят- [c.209]

Во многих случаях при проведении измерений не стремятся к получению детальной формы сигнала, а только характеристического параметра (см. разд. 7.3.4). Так, например, в сигналах постоянного тока цель измерения состоит в определении амплитуды, при синусоидальных сигналах — в определении амплитуды, частоты и фазы по отношению к опорному сигналу, при импульсном сигнале — в измерении пиковой амплитуды, площади импульса и временного расположения по отношению к опорному сигналу. Рассматриваемый параметр А имеет свое собственное статистическое распределение, определяемое маргинальной функцией плотности вероятности р А). Однако действительные значения А на выходе измерительной системы, предназначенной для измерения А, имеют иное распределениа Рт А ,) вследствие влияния разнообразных явлений — источников шума, фона, искажений и дрейфа. Шум сглаживает и расширяет распределение без изменения его среднего значения, на которое могут влиять другие причины. [c.533]

Строгое математическое описание корреляции [28] приводит иногда к неожиданным на первый взгляд результатам. Так, например, в только что рассмотренном примере расчета Гайтлера — Лондона—Уонга молекулы Н 2 функция РП , Гг), как оказывается, всюду равна нулю, что свидетельствует о наличии сильной корреляции, которая запрещает находиться близко друг от друга электронам с одинаково направленными спинами. Всюду/ (гь Гг) = = —1, и отсюда следует, что фермиевская корреляционная дырка точно по форме совпадает с распределением электронной плотности для электронов со спинами вверх Р1 (Г1) она отличается от нее только знаком. В случае двухэлектронной системы такая корреляция характерна для волновой функции, которая является спиновой собственной функцией с квантовыми числами 5=М=0. Очевидно, оба электрона не могут иметь одинаково направленные спины, так как это повело бы к триплетной функции. Поскольку ясно, что произведение Р1 (Г1)Р1(Г2) не равно нулю, то соответствующий корреляционный множитель совершенно необходим получается так, что каждый электрон может иметь ненулевую вероятность для направления спина вверх (или вниз), но корреляционный множитель гарантирует, что оба спина не будут одинаковы в один и тот же момент времени. Точка зрения, в которой спины классически интерпретируются просто как некоторые индексы частиц, была развита в работе [16]. Очевидно, что предстоит еще проделать немалую работу, чтобы стало возможным получить связную физическую картину корреляционных эффектов в молекулах. [c.136]

Итак, мы получили значение энергии и соответствующую функцию г ) для атома водорода. Такие значения энергии называют собственными значениями, а отвечающие им 1 5-функции — собственными функциями. Ниже будет показано, что решения уравнения Шредингера имеют несколько собственных значений и собственных функций. Рассмотрим сначала полученное нами собственное значение. Величина Е — отрицательная, следовательно, это энергия, которая выделяется при связывании электрона. Значения т, е и к известны, поэтому мы можем вычислить энергию, соответствующую нашему решению, Е = —13,5 эВ. Это энергия основного состояния атома водорода. Полученное значение хорошо согласуется с экспериментальным значением энергии ионизации атома водорода. Этому собственному значению энергии отвечает распределение вероятности, описываемое экспоненциальной функцией. Следует обратить внимание на следующее. Вероятность W того, что электрон находится в некотором элементе объема йт, пропорциональна Рассмотрим сферическую оболочку с радиусом г и толщиной с1г (лучше всего представить себе кожуру апельсина). Известно, что объем такой сферы равен 4пгЧг. Следовательно, пропорциональна и, таким образом, учитывая уравнение (15а), пропорциональна [c.56]

Из теории дифференциальных уравнений в частных производных следует, что только при определенных значениях входящего в уравнение параметра Е можно найти однозначное, конечное и постоянное решение. Эти величины Е называются собственными значениями дифференциального уравнения. Встречающаяся в уравнении Шредингера общая энергия системы Е представляет собой подобное собственное значение. Соответствующие решения дифференциального уравнения (так называемые собственные функции f) занимают при описании атомных процессов место стационарных орбит старой модели атома по Резерфорду—Бору. Положение движущегося электрона как функции времени теперь не может быть указано точно величина у> , квадрат собственной функции, представляет собой вероятность нахождения электрона в определенном месте. Эта фу11кция характеризует, следовательно, в известном смысле распределение плотности заряда электронного облака , которое можно представить как бы непрерывно размазанным в пространстве. [c.15]

СКИХ уровней, энергии которых могут быть определены при детальном анализе атомных спектров. Отсюда следует, что в волновой модели атома должны быть квантованные энергетические уровни, точно так же как в атомных моделях, построенных по экспериментальным данным. В волновой механике квантованное энергетическое состояние называют собственным значением. Итак, для каждой собственной функции существует соответствующее собственное значение. Интерпретация этого термина довольно сложна. Она основана на аналогии со светом (имеющим также волновую природу), интенсивность которого в данной точке пропорциональна квадрату амплитуды световой волны в этой точке. Аналогично интенсивность электронной волны пропорциональна г з . Однако эта идея сама по себе дает довольно мало информации, и поэтому приходится прибегать к одному из двух следующих способов ее интерпретации. Согласно первому из них, предполагается, что электрон движется вокруг ядра по пути, который не обязательно имеет сферическую симметрию. В этом случае 1)3 представляет собой величину, характеризующую зависящее от времени распределение отрицательного заряда вокруг ядра. Эту динамическую модель электрона довольно трудно себе представить, и она может быть заменена на эквивалентную статическую модель электрона в виде облака отрицательного заряда, распределенного (не обязательно сферически) вокруг ядра, причем плотность заряда в любой элементарной ячейке пространства dxdydz) будет пропорциональна йх йу йг). Эквивалентность этих двух моделей становится очевидной, если представить себе, что ноло-/кения движущегося электрона будут отмечаться точками в пространстве в течение значительного промежутка времени. Плотность точек на этом графике будет выглядеть как облако статического заряда. Согласно второй интерпретации 113 (использование которой более оправдано именно в этой интерпретации, поскольку в ней не принимается, что электрон размазан в пространстве), электрон рассматривается как частица и вероятность его наблюдения в любой точке в канадый момент пропорциональна величине я)) для этой точки. Обе интерпретации полезны. В последней отражен принцип неопределенности Гейзенберга, согласно которому невозможно точно описать и местонахождение электрона в атоме и его энергию (или момент) в одно и то же время. Так, если точно известна энергия уровня, на котором находится электрон, то нельзя проследить его точную орбиту (подобную предложенной Бором). Вместо этого для данного энергетического уровня существует атомная орбиталь несколько размытой формы, определяемой значением вероятности для всех ее точек. Такая орбиталь, обычно обозначаемая как АО, принимает определенную форму, лишь если пренебречь теми ее областями, где вероятность нахождения электрона очень мала. С другой стороны, интерпретация по типу модели облака заряда является несравненно более полезной при наглядном изобрал<ении химической связи. [c.33]

Но квадрат этой функции равен квадрату исходной ipu = i>ii. Поэтому антисимметричная функция, казалось бы, тоже прпгодна для описания состояния электрона в молекуле. При применении этой функции перестановка двух электронов не изменяет распределения вероятности нахождения электронов в пространстве состояние системы не меняется. Но, в действительности, описание, содержащее только указания, где находится электрон еще не исчерпывает всех характеристик электрона. Электрон обладает собственным моментом количества движения,. характеризуемым спином, [c.108]

Если все значения 1 <0, то f p, х, I) экспоненциально сходится к нулю прп <- > (например, в случае процесса с поглощением . При этом наибольший интерес представляет главный члеп разложения (7.2), соответствующий максимальному собственному значению Яшах- При достаточно больших I форма плотности распределения вероятности /(р, а , I) определяется собственной функцией, отвечающей наибольшему собственному значению. Асимптотически при 1 форма распределения неизменна и плотность уменьшается с постоянной скоростью Атах [c.336]

Оггределепие Яшах и соответствующей собственной функции является важной задачей, решение которой позволяет представить асплштотический характер поведения плотности распределения вероятности. Например, при совместном действли отбора и выборочных колебаний генных частот, приводящих, как известно (см. 5), рано ПЛН поздно к генетической однородности популяции, Яшах характеризует асимптотическую скорость достижения гомозиготности, а соответствующая собственная функцпя — асимптотическую плотность распределения частот аллелей среди еще сегрегирующих полиморфных популяций. [c.336]

Анализ граничных точек для одномерного процесса генного дрейфа (см. 10.5) показывает, что границы являются поглощающими. Решение прямого уравнения Колмогорова методом Фурье записывается в виде ряда по собственным функциям с экспоненциально убывающими во времени коэффициентами. При <х> плотность распределения вероятности асимптотически определяется главным членом разложения, уменьшающимся с наимень-meii скоростью [c.364]

Более подробно это будет обсуждаться в разд. 2.4.) Такая формулировка средних величин поразительно схожа с формализмом квантовой механики, задаваемым через функцию состояния . Более того, как мы видели, уравнения, которым удовлетворяют и имеют одинаковую математическую структуру. Аналогия простирается и далее. Ранее мы нашли, что решение уравнения Лиувилля можно выразить через ряды по собственным состояниям оператора Л, т. е. по функциям ехр (— сОпО X X фп (р, ч) (см. уравнение (2.64)). Каждая такая функция, будучи решением уравнения Лиувилля, представляет возможное независимое состояние системы. Для многомерных периодических систем расширенные собственные состояния ехр ( Есог г )-фп (01,. . 0N) становятся связанными с собственными колебаниями такой системы. Задача с начальными данными, решение которой дается выражением (2.101), иллюстрирует значение элементов матрицы (п 1 бЛ 1 п ). Коэффициент — это распределение собственных состояний, характеризуемых вектором п. Элементы (п 1 бЛ 1 п ) пропорциональны вероятности того, что взаимодействие бЛ индуцирует переход от множества п к множеству п. Для очень слаб1ых взаимодействий, когда е, имеют место только переходы первого порядка тогда как если 8 значительно, то и переходы второго порядка будут вносить вклад в скорость изменения (0). В переходах второго порядка бЛ означала индуцирует изменение от п" до п, а затем от п до п. [c.77]

Согласно принципам волновой механики, квадрат собственной волновой функции (т. е. орбитали) представляет собой вероятность нахождения электрона в данной области пространства, или среднюю электронную плотность. Величину я-электронной плотности на низшей орбитали можно определить просто возведением в квадрат функции ф1. В верхней части рис. 9 схематически изображено распределение в пространстве квадрата этой функции. На рисунке отчетливо видно, что электроны на орбитали ф1 чаще всего находятся около центральных атомов углерода. В противоположность этому, электроны на орбитали фг (нижняя часть рис. 9) сосредоточены в основном вблизи концевых атомов. Сумма ф и Фз распределена в пространстве равномерно вокруг всех четырех атомов углерода, т. е. я-электронная плотность полностью делокализо-вана по всему углеродному скелету молекулы. [c.17]

С известными ограничениями (см. стр. 204) эффекты Яна Теллера и Реннера можно рассматривать как качественные аспекты обратной задачи вблизи точки вырождения или псевдовы-рождения. Ее более полное выражение дается системой уравнений (VI. 13). Собственные значения этой системы дают уровни энергии системы, а функции Xi(Q). будучи подставлены в выражение (VI.14), позволяют определить распределение ядерной плотности или вероятности той или иной конфигурации ядер. Дальнейшее обсуждение этой важной задачи дается при анализе приложений (главы VII—X). [c.224]