Классическая статистика идеального газа

В классической статистике Больцмана макросостояние системы, например, любого идеального газа характеризуется числом фигуративных точек в различных ячейках фазового пространства. Для характеристики микросостояний в этой статистике необходимо указать также, фигуративные точки каких именно молекул находятся в тех или иных ячейках. Иными словами, молекулы считаются различимыми и обмен местами двух молекул, находящихся в различных ячейках, не изменяя макросостояния, даст новое микросостояние. [c.186]

Как указывалось, статистика Больцмана правильна лишь при идеальных газах и справедлива для вогсоких температур. Кроме того, при использовании формул этой статистики мы полагали в соответствии с классической механикой, что энергия молекулы изменяется непрерывно. Между тем в главе IV уже указывалось, что квантовая механика приводит к дискретному набору уровней атомной системы. Описывать такие системы целесообразнее на основе статистики Гиббса. Таким образом более общей статистикой, верной для любых систем и условий, является статистика Гиббса. Особенно важно, что она описывает реальные системы при наличии взаимодействия молекул. [c.291]

IV. КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [c.87]

НО справедлив лишь при не очень низких температурах и то лишь в отношении поступательного и вращательного движений. Закон, однако, строго вытекает из классического распределения Больцмана для частиц идеального газа при описании движения молекул уравнениями классической механики. Как мы увидим позднее, ограниченная применимость закона равнораспределения — прежде всего результат того, что классическое описание движения молекул далеко не всегда допустимо (в особенности это относится к колебаниям ядер), и необходимо учитывать квантовые закономерности (правда, поступательное движение может быть описано классическим образом практически во всех случаях). Кроме того, оказывается, что классическая статистика Больцмана является лишь приближением, которое выполняется не для всякого идеального газа. Например, к электронному газу в металле даже при обычных условиях статистика Больцмана неприменима (см. гл. VHI о квантовых статистиках идеального газа). [c.107]

Специфические свойства металлов высокие электро- и теплопроводность вплоть до абсолютного нуля, универсальная связь между двумя указанными характеристиками и др. — определены наличием в металле свободных нелокализованных электронов, электронного газа. В первом приближении этот газ можно считать идеальным. Особенность электронного газа состоит в том, что он не подчиняется классической статистике Больцмана и должен быть описан квантовой статистикой, относящейся к частицам с полуцелым спином, фермионам. [c.177]

Обсуждая пределы применимости классической статистики, мы считаем газ идеальным при всех рассматриваемых условиях. Допускается, что и при высоких плотностях взаимодействие между частицами пренебрежимо мало. [c.176]

Необходимо помнить, однако, что выведенные в настоящей главе соотношения и, в частности, равенство (IX.25) представляют результат использования классической статистики. Поэтому зависимость (IX.25) и другие зависимости при 7 — О, которые будут выведены далее, следует рассматривать лишь как результат экстраполяции свойств классического идеального газа до абсолютного нуля температур. [c.205]

Неравенство (УП1.19) определяет пределы применимости классической статистики для идеального газа любой природы (в частности, это могут быть одно-, двух и многоатомные газы), В случае двух- и многоатомных газов при расчете химического потенциала надо, однако, учесть не только вклад поступательного движения молекул, как это было сделано при выводе формулы (VIII.28), но также вращательный и колебательный вклады (см. гл. IX). [c.177]

Отметим, однако, что рассуждение о свойствах классического идеального газа при Т О чисто абстрактное, так как, во-первых, все молекулярные газы вблизи абсолютного нуля конденсируются, и, во-вторых, классическая статистика перестает выполняться. Тем не менее такие рассуждения полезны, по крайней мере в отношении вращательного и колебательного вкладов, которые сохраняются. и для молекул в кристаллических телах (хотя и в измененном виде). [c.225]

Роль статистической механики в теоретическом обосновании методов расчета термических свойств газов аналогична роли актуарной статистики. Исходя из законов статистической механики нельзя предсказать время жизни отдельной частицы можно лишь оценить среднее время жизни большого числа частиц. При использовании мощного аппарата статистической механики необходимо, во-первых, знать, можно ли применять для описания распределения энергии частицы по различным степеням свободы и распределения энергии между молекулами законы классической механики или поведение частиц системы нужно рассматривать с точки зрения квантовой механики, и, во-вторых, необходимо знать способы усреднения или распределения энергии между различными состояниями частиц. Несмотря на то что квантовая механика лучше описывает энергетические свойства молекул, в некоторых случаях, когда энергетические уровни молекул полностью возбуждены и расстояния между дискретными уровнями малы по сравнению с величиной кТ, классическая механика позволяет также достаточно точно рассчитать термодинамические свойства веществ. Статистический расчет можно значительно упростить, если рассматривать координаты и моменты различных степеней свободы молекулы как независимые, а рассматриваемым молекулам приписать свойства частиц идеального газа. [c.48]

Зто означает, что теплоемкость идеального газа при постоянном объеме есть величина постоянная, не зависящая ни от температуры, ни от плотности газа. По классической статистике теплоемкость одного моля всех одно-, двух- и многоатомных газов равна соответственно [c.28]

Применение суммы состояний в ее наиболее общей форме позволяет легко находить выражения для различных термодинамических свойств, приложимые к молекулам всех типов. При этом должно соблюдаться лишь условие приложимости классической статистики, которое справедливо при обычных температурах и давлениях для систем, состоящих из слабо взаимодействующих частиц. Это означает, естественно, что система должна состоять из идеального или практически идеального газа. Покажем теперь, как применяется этот общий метод для вывода важнейших термодинамических функций. [c.442]

Эти формулы перестанут быть справедливыми только при таких низких температурах или высоких плотностях, когда станет уже существенным квантование поступательной энергии и вместо классической статистики Больцмана нужно будет пользоваться квантовой статистикой Бозе или Ферми ( вырождение идеального газа). Практически с подобными условиями в химической термодинамике никогда встречаться не приходится. [c.373]

Такое определение, как отметил Ы. Н. Боголюбов, справедливо лишь в классической статистике для идеального газа, и его нельзя рассматривать в качестве общего определения температуры. Наиболее общим определением температуры является определение ее как модуля канонического распределения, если состояние равновесное, или модуля приближенно канонического распределения, если состояние мало отличается от равновесного. Если жо состояние сильно отличается от статистически равновесного, то понятие температуры, вообще говоря, неприменимо [8, стр. 58]. [c.305]

Для идеального газа (см. главу Уравнения состояния ), подчиняющегося классической статистике, и = с пТ, где С1 , - теплоемкость моля [c.313]

С учетом квантовых закономерностей рассмотрим свойства простейшей статистической системы — идеального газа (чисто классическое описание см. в гл. IV). Как мы отмечали, результаты, полученные с помощью классической теории, не вполне удовлетворительны, в особенности для низких температур. Закон равнораспределения энергии, вытекающий из классической теории идеального газа, имеет лишь ограниченную область применимости. Получить более строгие результаты можно, исходя из тех общих соотношений, которые были выведены в гл. VII для квантовых систем. Учтем квантовомеханические закономерности движения на молекулярном уровне и введем квантовые статистические суммы молекул. Однако особенности квантовой статистики, связанные с принадлежностью частиц к классу фермионов или бозонов, принимать во внимание не будем. В гл. VIII было показано, что это вполне допустимо для молекулярных газов. По существу будем пользоваться статистикой Больцмана для случая дискретного ряда состояний [см. (VIII.21)]. Введем лишь в выражение для статистической суммы газа поправку на неразличимость частиц в виде множителя 1/yV . [c.226]

Принятое в классической статистике представление о различимости частиц является эмпирическим допущением, которое оправдывается опытом при применении ее к идеальным газам. Применение статистики Больцмана к фотонному н электронному газам приводит к ряду несоответствий между теорией и опытными данными . Для правильного решения задачи о распределении энергии излучения раскаленного тела по участкам его спектра Бозе и Эйнштейн применили к фотонному газу другой способ подсчета микросостояний, в основу которого noлoжиJ[и [c.168]

Конкретное вычисление термодинамической вероятности зависит от дальнейших допущений об областях и частицах. По классической статистике Больцмана размер областей неопределенен, а частицы различимы. В квантовых статистиках частицы считаются неразличимйми, а области фазового пространства предполагаются состоящими из малых ячеек, размер которых определяется законами квантовой механики. В дальнейшем будем рассматривать преимущественно идеальные газы, находящиеся при достаточно высоких температурах. Для этих целей можно в основном пользоваться статистикой Больцмана. [c.103]

Прежде чем перейти к дальнейшему иАаожению закона Максвелла—Больцмана, необходимо указать на прпближенн я и допущения, сделанные при его выводе. Во-первых, было принято, что молекулы отличимы одна от другой,—это обстоятельство более подробно будет рассмотрено ниже при изложении квантовой статистики. Во-вторых, применение формулы Стирлинга для разложения в ряд предполагает, что все очень велики. Наконец, было сделано молчаливое допущение, что как п , так и являются непрерывными функциями. Такое допущение вполне приемлемо, если /г,- всегда велико, а кванты энергии малы, что, в частности, справедливо в случае поступательной энергии. Общая справедливость закона распределения, по крайней мере в рамках классической механики, установлена тем обстоятельством, что вполне возможно вывести точно такое же уравнение другими методами, не прибегая к сделанным здесь приближениям. Разумеется, следует помнить, что отождествление величины з,. с величиной действительной энергии молекулы в г-той ячейке .-пространства в каждом отдельном случае предполагает отсутствие сил, действующих между молекулами. Таким образом, предполагается, что системы состоят из идеальных газов, так как только в таких газах полностью отсутствуют межмолекулярные силы. Однако закон распределения Максвелла—Больцмана может применяться и к системам, несколько отклоняющимся от идеального состояния, причем ошибка не будет особенно серьезной. [c.366]

В этой главе мы переходим к изучению равновесной статистической термодинамики макромолекулярных цепей — полимеров. Этому предмету посвящены многочисленные исследования, продолжающиеся в течение нескольких десятилетий. Изложению наиболее существенных результатов посвящен ряд монографий. Большой вклад в исследование конфигурационной статистики полимеров, внесенный ленинградской школой, и весьма полный обзор достижений других советских и иностранных авторов нашел свое отражение в монографиях [14, 15]. В первых классических работах Куна [16], Гута и Марка [17] полимерные цепи считались состоянщми из статистически независимых элементов, что аналогично рассмотрению идеального газа в теории газов. Учет коллективных эффектов в приближении взаимодействия ближайших соседей был сделан в работе Волькенштейна и Птицына [18]. Их методу предшествовали методы Изинга [19], Крамерса и Ванье [20]. Задача, которую мы ставим перед собой, ограничивается тем, каким образом задачи конфигурационной макромолеку-лярной статистики могут быть выполнены методом, изложенным в предыдущей главе. [c.50]

Согласно статистике Бозе-Эйнштейна распределение отличается от классического преобладанием частиц с малыми энергиями. Однако при высоких температурах, когда А велико, можно прене,-брегать единицей в знаменателе тогда распределение пропорционально фактору Больцмана (а) и статистика Бозе-Эйнштейна совпадает с классической. Это совпадение наступает при тем более низких температурах, чем больше масса и меньше концентрация частиц. Для идеального газа статистика Бозе-Эйнштейна дает иное более сложное уравнение состояния, чем известное уравнение ри = ИТ, к которому приводит классическая статистика Однако различия существенны лишь для таких низких температур (область вырождения газа), при которых экспериментальная проверка нового уравнения состояния еще невозможна, так как отклонения от идеального газового состояния перекрывают различие между обоими уравнениями состояния. [c.416]

Выроасдение таза. Давление газа, подчиняющегося статистике Бозе—Эйнщтейна, может быть определено из величины энергии с помощью соотношения Р = 2Е13У, приложимого к классическому идеальному газу. Желательно, однако, показать, что уравнение сохраняет справедливость и в условиях, когда применяется квантовая теория. Это можно доказать различными способами, однако достаточно привести следующее простое, хотя и не вполне строгое, доказательство. В основе его лежит использование известного термодинамического уравнения [c.403]

Таким образом, давление идеального газа, подчиняющегося статистике Бозе—Эйнштейна, явно отлично от величины давления классического идеального газа, равной НТ1У. [c.404]

Отметим некоторые особенности бозонных и фермионных газов. Так, наличие минус единицы в законе распределения (6.73) ведет к тому, что внутренняя энергия и давление идеального бозонного газа должны быть меньше, чем U и р газа, подчиняющегося классической статистике. Далее, если при высоких значениях энергии член Ве - велик по сравнению с единицей и число /V будет таким же, как и у классического газа, то при малых роль единицы в знаменателе (6.73) возрастает. Число молекул на низких уровнях энергии будет для газа Бозе — Эйнштейна больше соответствующего числа для газа классического. Иначе говоря, у бозонного газа имеется тенденция [c.226]

Выражение для химического потенциала идеального одноатомного газа, записанное в несколько иной фэрме, было уже получено ранее, при обсуждении пределов применимости классической статистики [формула (VIII.28)]. [c.238]

Другое следствие применения вместо классической статистики квантово-механической состоит в появлении в В постоянного члена, не зависящего от межмолекулярного взаимодействия даже в идеальном газе, подчиняющемся статистике Бозе-Эйнштейна, должно иметь место кажущееся притяжение между частицами. [c.68]

Для описания свойств идеального газа вполне корректно можно применять закон распределения Максвелла-Больпмана. Конпентрапия электронов в металле в 10 раз больше, чем конпентрапия атомов в газе при нормальных условиях. Заполнение вакантных электронных состояний происходит при действии принпипа Паули. Поэтому для электронов в металле классическая статистика не является правильным приближением. В применении к электронам квантовая статистика требует включения таких положений, как [c.196]

Л5)г.ЯЫ[Уг1Г,) при изотермическом процессе, когда Г=0 К, не равно нулю и, во-вторых, при Г- 0 К энтропия стремится не к постоянной величине, а к —сс. Это указывает па то, что при низкой температуре идеальный газ должен вести себя не по уравнению Клапейрона—Менделеева и закону Ск=сопз1, а иначе. Такое отклонение идеального газа от классических газовых законов (получаемых из классической статистики) называется вырождением. [c.96]

Итак, зонная теория выясняет квантовые состояния электронов (состояния с определенным квазиимпульсом р и номером зоны 5, см. (1.16)), дает принципиальный алгоритм вычисления закона дисперсии гз р) без учета взаимодействия между электронами и обосновывает квазиклассический подход, главное в котором — возможность замены квазиимпульса импульсом, пользование функцией гз р) как кинетической энергией, использование классических уравнений движения (1.35) с учетом сложной периодической зависимости скорости от импульса (г1 = г (р)). Если добавить к этому утверждение, что электроны подчиняются статистике Ферми — Дирака, т. е. представляют собой идеальный ферми-газ, то мы имеем законченную платформу для вывода всех равновесных свойств металла (тепловых и магнитных). Введение столкновений электронов с колебаниями решетки, друг с другом и с любыми нарушениями периодичности кристалла (с атомами внедрения, с дислокациями и т. п.) позволяет построить теорию кинетических свойств металла (электро- и теплопроводности, гальвано- и термомаг-нитпых явлений и др.). [c.18]