Доверительные интервалы и оценка их величины

В основе статистических оценок нормально распределенных случайных величин по выборочным параметрам лежит распределение Стьюдента, связывающее три важнейших характеристики выборочной совокупности — ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки п (или число степеней свободы выборки / = [c.833]

Грубые ошибки из ранжированного ряда исключают, оставшиеся значения используют для определения среднего арифметического случайной величины, дисперсии выборки и нахождения доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения. [c.15]

Табличное значение Рт бл рассчитывается в зависимости от числа степеней свободы для максимального и минимального значений оценки дисперсий адекватности и табличной величины доверительного интервала. [c.142]

Статистические критерии позволяют определить, соответствует ли установленным нормам изготовленная продукция, и поэтому широко используются при оценке показателей выпускаемых масел, смазок и т. п. Это требует проведения серии параллельных опытов и оценки дисперсии измеряемой величины , причем, как отмечено выше, чем больше число параллельных измерений, тем меньше доверительный интервал, определяемый по критерию Стьюдента. Например, с вероятностью 95% этот интервал [c.21]

Экспериментальная оценка дефектности шарового крана из-за возможного нарушения неплотности выполняется с использованием комплекса приборов по схеме, представленной на рис. 41. Измерения вибраций трубопровода проводятся за клапаном в сторону направления потока газа. По результатам измерений определяются средние уровни вибраций и доверительный интервал измеренной величины. [c.269]

Это нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и стандартным отклонением, равным единице, носит название нормированного стандартного распределения. Оно описывает все частные виды нормального распределения с любыми параметрами р. и а. Поэтому сопряженные между собой критерии статистической оценки (доверительные интервал и вероятность) всех случайных величин могут быть сведены в единую таблицу, Обычно в зтой таблице (табл, XIV. 1) против [c.827]

Таким образом, если бы был известен закон распределения оценки а, задача определения доверительного интервала решалась бы просто. Рассмотрим в качестве такого примера построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной случайной величины X с известным генеральным стандартом, равным Сл. [c.41]

Отклонение значения С в какой-либо экспериментальной точке от постоянного значения является свидетельством некорректности данных. Очевидно, для значений С существует некоторый доверительный интервал, обусловленный офаниченной точностью экспериментальных данных (точностью измерения температуры, давления, состава). Поэтому желательно иметь оценку максимально возможной величины отклонения значения С в зависимости от точности снятия экспериментальных данных. [c.54]

При отсутствии систематических ошибок оценку правильности определения проводят вычислением доверительного интервала, внутри которого с заданной степенью, надежности Р лежит истинное значение определяемой величины [c.187]

Приводимые в таблицах по статистике верхние 5 %-е точки могут быть непосредственно использованы при проверке гипотез о том, что найденная величина только меньше (или только больше) некоторого установленного значения (односторонняя оценка, см. уравнение 8.22). В задачах другого типа требуется проверять гипотезы о равенстве найденной величины некоторому установленному значению или же устанавливать границы доверительного интервала [двусторонняя оценка, см. уравнение (8.23)]. Поскольку в этом случае возможен выход проверяемой величины как за верхнюю, так и за нижнюю границу доверительного интервала, для сохранения суммарного 5%-го уровня значимости следует пользоваться приводимыми в статистических таблицах верхними 2,5%-ми точками. В дальнейшем мы будем указывать уровень значимости а = 0,05 или а/2 = 0,025 в соответствии с односторонней или двусторонней оценкой. Такая запись показывает, что в обоих случаях реально обеспечивается суммарный 5 %-й уровень значимости, однако читатель должен понимать, что в соответствии с укоренившимся способом построения статистических таблиц при обращении к ним в первом случае он должен руководствоваться уровнем значимости 0,05, а во втором — 0,025 (табл. 8.1, 8.2). [c.168]

Расчет и оценка надежности результатов анализа. Корректное решение задачи химического анализа, помимо основного результата, обязано содержать оценку надежности полученного результата с помощью статистического критерия — доверительного-интервала (интервал возможных вариаций искомой величины) при заданной надежности (доверительная вероятность). Кроме этого, необходимо указывать кратность (повторность) определений и характер оценки погрешности (погрешность в оценке единичного анализа, погрешность определения среднего значения, погрешность метода). И, наконец, если имеется возможность объективной оценки систематической погрешности (см. гл. П), необходимо оценить правильность выполненного анализа. [c.21]

Степень возможной близости оценки Т к генеральному (неизвестному) параметру т можно выразить количественно, если найти вероятность того, что значение Т лежит в некотором интервале т к, где к — некоторая константа. Заметим, что вероятность того, что Т принадлежит интервалу т /с, такая же, как и вероятность того, что т принадлежит интервалу Т к. Интервал Т к случайный (поскольку Т —случайная величина). Каждая отдельная реализация этого интервала называется доверительным интервалом, а его граничные значения — доверительными пределами. Вероятность Р = (1 — а) того, что (случайный) доверительный интервал содержит т, называется доверительной вероятностью, а величина а — уровнем значимости. Как правило, а полагают равным 0,05, реже 0,01 и еще реже 0,001. Таким образом, если а = 0,05, это означает, что с вероятностью 95% интервал Т /с содержит значение т. Чем выше доверительная вероятность, тем шире соответствующий ей доверительный интервал. При Р —> 1 доверительный интервал расширяется неограниченно. [c.429]

Задача интервального оценивания состоит в определении по данным выборки числового интервала, относительно которого с заранее выбранной вероятностью можно утверждать, что внутри интервала находится оцениваемый параметр. Точечные оценки не дают информации о точности конкретной величины. Интервальная оценка позволяет с высокой вероятностью искать истинное, но не известное значение параметра распределения генеральной совокупности. Интервальное оценивание особенно необходимо при малом числе наблюдений. Доверительный интервал наблюдения можно представить следующей зависимостью [c.262]

Если случайная однородная выборка конечного объема п получена в результате последовательных измерений некоторой величины А, имеющей истинное значение ц, то среднее этой выборки X следует рассматривать лишь как приближенную оценку А. Достоверность этой оценки характеризуется величиной доверительного интервала для которой с [c.205]

Когда имеются результаты нескольких независимых определений эквивалентных доз, их можно объединить с целью получения более точной оценки для 0 /0 и более узкого доверительного интервала для этой величины. При этом пользуются приближенными формулами (точные формулы весьма громоздки) [c.232]

Как упоминалось выше, при отсутствии сведений о законе распределения возможна только приближенная оценка процентилей. С этой целью п значений совокупности располагают в порядке возрастания их величин и находят первое значение, порядковый номер которого больше 0,95 , и первое значение, порядковый номер которого тс меньше 0,95м. Приближенно 95-й процентиль (двусторонний) находят путем интерполяции в диапазоне от т то до т -го значений ряда. Можно определить и соответствующий доверительный интервал. Даже для приближенной оценки 95-го процентиля необходимо выполнить некоторое минимальное число измерений. Так, при п = 5 величина Ми равна 5 (поскольку 0,95-5 = 4,75) и найденное приближенное значение процентиля будет мало отличаться от наивысшего значения. По этой же причине при малом числе измерений на приближенную оценку процентиля могут очень сильно влиять случайные значения. [c.41]

Цель количественного анализа — получение информации о количественном составе исследуемого материала. Чтобы избежать недоразумений при оценке полученного результата анализа, следует указать соответствующую ошибку (см. разд. 2.2). Ошибки физических измерений нельзя переносить непосредственно на методы аналитической химии, так как в аналитической химии измерения чаще всего играют второстепенную роль на фоне многочисленных нарушений хода химических реакций. Для характеристики возникающей ошибки может служить доверительный интервал [уравнение (3.11)]. Расчет этой величины для конкретных условий химического анализа и примеры ее применения для описания качества анализируемых продуктов изложены в данной главе. [c.97]

I ый интервал при данной доверительной вероятности определяет точность оценки. Величина доверительного интервала зависит от доверительной вероятности, с которой гарантируется нахождение параметра а внутри доверительного интервала чем больше вели- пна р, тем больше и величина Ер (т. е. чем с большей надежностью хотим гарантировать полученный результат, тем в большем интерва- 1е значений он может находиться). Увеличение числа опытов проявляется в сокращении доверительного интервала при постоянной доверительной вероятности или в повышенип доверительной вероят- 10сти при сохранении доверительного интервала. Обычно на прак- ике фиксируют иа определенном уровне значение доверительной вероятности (0,9, 0,95 или 0,99) и исходя из этого определяют до-иерительный интервал результата /р. При построении доверительного интервала решается задача об абсолютном отклонении. [c.36]

При вычислении регрессии исходят их того, что значения х близки к безошибочным (с. 167). Для данной постановки вопроса это не подходит. Поэтому во вычисляется с завышением. При оценке ошибки на основе связанного с этим значением доверительного интервала ДУ существует поэтому достаточная надежность. Ясно, что применять такие коррелированные величины-заменители надо с определенной осторожностью. И здесь должна соблюдаться основная заповедь, что надежность обеспечения качества не должна страдать из-за сокращения затрат на проведение анализов. [c.237]

Одна из основных задач аналитика при оценке случайных погрешностей химического анализа — нахождение функции распределения, которой описываются экспериментальные данные. Из математической статистики следует, что случайная величина считается заданной, если известна функция ее распределения. Эта функция может быть представлена функциональной зависимостью или графически. Данные большинства аналитических определений при наличии генеральной совокупности результатов химического анализа подчиняются закону нормального распределения (распределение Гаусса). Однако закон нормального распределения неприменим для обработки малого числа измерений выборочной совокупности (п < 20). Для обработки таких выборок в химическом анализе используют распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики ширину доверительного интервала, соответствуюш ую ему вероятность и объем выборки. Прежде чем рассматривать распределение Стьюдента и его применение для обработки данных химического анализа, остановимся на некоторых основных характеристиках выборочной совокупности. [c.269]

Оценка в тем точнее, чем меньше для заданного у окажется Д. Из соотношения (2.29) следует, что вероятность того, что доверительный интервал (в - Д в +А) со случайными границами накроет известный параметр в, равна у. Величину А, равную половине ширины доверительного интервала, назьшают точностью оценки, а вероятность у - доверительной вероятностью (или надежностью) оценки. [c.30]

Непараметрическая статистика. Если о законе распределения случайной величины ничего не известно, некоторые оценки можно получить методами непараметрической статистикн. Таким методом, в частности, является метод построения Доверительного интервала для генерального среднего при помощи неравенства Че- [c.74]

Вероятность а называется доверительной вероятностью, а интервал значений случайной величины (х — Ах). .. (х -Ь Ах) — доверительным интервалом. Ширигга доверительного интервала характеризует точность, а доверительная вероятность — надежность 7=1 — а оценки величины а с иомош,ью среднего з шчeния х. Обычно ограничиваются доверительной вероятностью 0,9 или 0,95 (у 0,1 или 0,05). [c.15]

Из изложенного видно, каким образом можно рассчитать необходимое число опытных точек, чтобы оценки, полученные в результате обработки, имелп желаемую достоверность, либо определить эту достоверность (доверительный интервал и вероятность) по анализу уже имеющегося экспериментального материала. Поскольку среднеквадратичная погрешность выборки ав бывает неизвестна до проведения эксперимента и его обработки, для расчета необходимого числа опытов N на стадии планирования эксперимента этой величиной следует задаться с последующим уточнением после обработки экспериментального материала. [c.274]

Все перечисленные характеристики ошибок измерений еще ничего не говорят о надежности полученных результатов. Наиболее точную оценку величины ошибок дает доверительный интервал или доверительные фаницы в сочетании с доверительной веро5ггностью. [c.277]

Обе эти величины 5 и а применимы к интерпретации результатов химического анализа, а их значения являются объективной мерой отклонения результатов от среднего значения, т. е. характеризуют случайные погрешности анализа. Существенно, однако, отметить, что из двух введенных стандартных отклонений только последнее является величиной постоянной, т. е. может служнть-параметром функций распределения и однозначно определять-вероятности случайных погрешностей анализа. Величина 5 органически связана с числом параллельных анализов /г и, следовательно, оценки случайных погрешностей с ее помощью должны быть опосредованы через величину п. Кроме того, ввиду недостатка информации о характере распределения для выборок малого объема статистические оценки возможных ошибок (погрешностей) с помощью выборочного стандартного отклонения должны носить более неопределенный характер, чем посредством генерального параметра а. Как будет показано ниже, это приводит-к тому, что заданной ширине доверительного интервала погрешности, оцененной через 5, отвечает меньшая доверительная вероятность в сравнении с оценкой через о. [c.76]

В основе микростатических оценок нормально распределенных случайных величин лежит распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики выборочной совокупности ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки или число степеней свободы выборки = п — . Применение распределения Стьюдента для оценки неизвестного среднего ц нормальной случайной величины х основано на следующем. Пусть х, х , Хп — независимые наблюдения (результаты анализа) нормальной случайной величины X с неизвестными наблюдателю средним р, и дисперсией (т . Вычислим соответствующие выборочные параметры j и 5 и составим дробь t — х — р,) /5. Эта Дробь имеет рас- пределение Стьюдента с = п—1 числом степеней свободы. Сравним величину I с аргументом функции Лапласа и. Если ыл — мера отклонения среднего результата анализа от математического чэжидания р, в единицах генерального стандартного отклонения [c.92]

Поэтому возникает необходимость оценивать погрешность среднего арифметического, т. е. = Хор — А. Так как Л остаетея величиной неизвестной, оценка Д производится величиной доверительного интервала = = 2бр, который с заданной вероятностью р накроет истинное значение А (рис. 1-6) [c.42]

Однако, использование характеристик вытеснения на длительный прогнозный период может приводить к значительным погрешностям определения параметров отборов, особенно при невысокой обводненности продукции в предпрогнозный период. Точность прогноза зависит от периода предыстории, длительности прогноза, точности настройки модели по предыстории. При возрастании периода прогноза увеличивается доверительный интервал прогнозных значений. Величина этого интервала зависит также от точности настройки модели по предпрогнозному периоду. Предполагается для определения оценки надежности прогноза и определения критического значения прогнозного периода воспользоваться методами математической статистики. [c.165]

Спектральный анализ радиолокационных данных. Рассмотрим другой пример, иллюстрирующий метод, изложенный в разд 7 3 3 На рис 7 16 показана выборочная корреляционная функция отраженного радиолокационного сигнала, изображенного на рис 5 1 На рис 7 17 приведены выборочные оценки нормированного спектра, полученные с помощью окна Бартлетта при 2, = 16, 48 и 60 для ряда, состоящего из N = 448 членов Частотный диапазон обозначен от О до 0,5 гц, поскольку настоящий диапазон несуществен Мы видим, что при = 16 выборочная оценка плавная и не выявляет пика, существование которого можно было бы ожидать из-за осцилляций корреляционной функции При = 32 (этот случай не показан на рисунке) появляются вполне различимые пики приблизительно на частотах / = 0,07 гц и 0,25 гц Увеличение Ь до 48 выявляет эти пики очень наглядно, и далее видно, что при увеличении до 60 спектр меняется мало Поэтому было взято значение = 60, для которого эквивалентная ширина полосы частот равна 1,5/60 = 0,025 гц, и выборочная оценка на каждой из оцениваемых часгот имеет 3 448/60 22 степени свободы, что является приемлемой величиной Доверительный интервал при = [c.45]

Чтобы избежать ошибки в оценке доверительного интервала, используют распределение Стьюдента (student - студент), которое описывает поведение случайной величины Х в условиях малых выборок. В этом случае доверительный интервал определяется как [c.12]

Подчеркнем еще раз, что величина доверительного интервала сама по себе позволяет охарактеризовать лишь случайную составляющую неонределенности. Оценка систематической составляющей представляет собой самостоятельную задачу. [c.13]

Для решения этой задачи можно использовать уже извесшый нам подход, описанный вьш1е (с. 10) и основанный на интервальной оценке неопределенности величины Г. Доверительный интервал для среднего, рассчитанный по формуле Стьюдента (16), характеризует неопределенность значения Г, обусловленную его случайной погрешностью. Поэтому если величина а входит в этот доверительный интервал, утверждать о значимом различии между Гий нет оснований. Если же величина а в этот интервал не входит, различие между х на следует считать значимым. Таким образом, полуширина доверительного [c.16]

Надешость оценки ш определяется ее доверительным интервалом - окрестностью около оценки в. накрывающей с заданной вероятность ) истинное значение параметра я. Величина доверительного интервала определяется соотношение [c.123]

Для оптимизации условий биосинтеза амфотерицина В культурой A t. nodosus на синтетической среде применен (Папутская, Полатовская, 1972) метод крутого восхождения Бокса и Уилсона. На первом этапе были поставлены опыты в соответствии с матрицей дробного факторного эксперимента ДФЭ2 1 (табл. 56), произведен расчет коэффициентов регрессии с целью определения направления градиента, показывающего, как необходимо изменить значение изучаемых факторов для увеличения синтеза амфотерицина В. При статистической оценке значимости коэффициентов регрессии был вычислен доверительный интервал (10,1), два фактора оказались незначимыми. Каждый из последующих опытов (№ 17— 21) отличался от предыдущего значениями факторов на величину рассчитанного шага. В результате проведенной работы удалось оптимизировать питательную среду и увеличить синтез амфотерицина В со 100 мкг/мл на ранее подобранной синтетической среде до 900 мкг/мл на среде 18. [c.168]

Каждое вычисленное стандартное отклонение надо рассматривать как случайную величину, а это значит, что при повторении опыта получаются разные числовые значмия 6. Поэтому возникает вопрос об ожидаемом максимальном значении при Р. Установление доверительного интервала для оценки 6 имеет такое же значение, как и построение доверительного интервала для среднего значения х. Если обозначить верхнюю границу такого интервала символом бо, то f — распределение (см. разд. 3.3.2) дает следующее соотношение [c.90]

Вероятность Р называется доверительной вероятностью она характеризует надежность полученной оценки. Интервал /р — а бр назьшается доверительным интервалом. Границы интервала а -=а - бр и а"=а - -+ Ер называются доверительными границами. Доверительный интервал при данной доверительной вероятности определяет точность оценки. Величина доверительного интервала зависит от доверительной вероятности, с которой гарантируется нахождение параметра а внутри доверительного интервала чем больше величина р, тем больше и величина р (т. е. чем с большей надежностью хотим гарантировать полученный результат, тем в большем интервале значений он может находиться). Увеличение числа опытов проявляется в сокращении доверительного интервала при постоянной доверительной вероятности или в повьииении доверительной вероятности при сохранении доверительного интервала. Обычно на практике фиксируют на определенном уровне значение доверительной вероятности (0,9, 0,95 или 0,99) и исходя из этого определяют доверительный интервал результата /р. При построении доверительного интервала решается задача об абсолютном отклонении [c.41]