Решение диффузионного уравнения

Рассмотрим теперь вторую стадию адсорбции (t>ti), т. е. когда происходит заполнение всего зерна. Решение диффузионного уравнения (2.1.97) на этой стадии имеет вид [c.62]

Метод интегральных тождеств. Опишем метод построения разностных уравнений на основе интегральных тождеств, которым удовлетворяет точное решение дифференциального уравнения. Впервые метод интегрального тождества был предложен Г. И. Марчуком [1, 3] для численного решения диффузионного уравнения с разрывными коэффициентами. В работе [7] дан более общий метод построения интегральных тождеств, использующий вспомогательные дифференциальные операторы, которые допускают обращение в явном виде на каждом интервале разностной сетки и учитывают те или иные особенности дифференциального оператора исходной задачи. Частный случай такого подхода применялся в [10] при построении схем высокого порядка точности для одномерного уравнения теплопроводности. [c.145]

Если обе смежные области состоят из диффузионных материалов, то для оценки альбедо можно использовать выражения для составляющих плотности потока. В качестве примера рассмотрим плоский источник мощностью д , помещенный па поверхности полуограниченной пластины. Если начало координат находится в плоскости источника, общее решение диффузионного уравнения имеет вид (5.56) [c.138]

Можно видеть, однако, что е является также решением диффузионного уравнения для размножающей среды (5.134) и (7.226). [c.320]

В этом разделе приводятся лишь некоторые частные решения диффузионного уравнения, которые имеют практическое значение для экспериментального исследования диффузии низкомолекулярных веществ в полимерах. [c.15]

В зависимости от соотношения диффузионного и химического сопротивлений возможны три режима реагирования диффузионный, кинетический и переходный. Из них первые два являются предельными. При решении диффузионного уравнения гетерогенная реакция учитывается введением соответствующего граничного условия, отражающего локальный сток переносимого компонента. [c.385]

Аналогичное выражение (5.132) мы получим и при решении диффузионного уравнения (5.12), выведенного для случая, когда толщина диффузионного слоя бесконечно мала по сравнению с размером кристалла. [c.116]

Решение диффузионных уравнений методом факторизации (прогонки). [c.289]

В данном расчете принимается равной нулю. В этом случае решение диффузионного уравнения для инжектированного вещества имеет вид [c.112]

В общем случае непосредственные аналитические методы решения диффузионного уравнения (1.43) при переменных Оэ, [c.143]

Граничные условия, необходимые для решения диффузионного уравнения (2.94), выражают однородность концентрации во входном сечении пленки, непроницаемость твердой стенки, по которой стекает пленка, и закон сохранения массы (2.84) на межфазной поверхности [c.34]

Следовательно, решение диффузионного уравнения свелось к задаче на собственные значения. Далее ограничимся рассмотрением случая, когда массоперенос лимитируется транспортом вещества в жидкой фазе. Тогда граничные условия (4.4) и (4.5) примут вид [c.74]

При замедленной стадии переноса заряда концентрация деполяризатора на поверхности электрода определяется константой скорости ke, а при наложении развертки напряжения — еще и скоростью развертки его. В началь ных условиях при решении диффузионных уравнений появляется член, содержащий константу ke [c.26]

Как было показано в работе [70], это соответствует частному случаю решения диффузионных уравнений, когда член erf, включающий i., может быть разложен в ряд [erf у = (2/тт ) (у)]. В работах [71, 72] получены другие выводы о механизме растворения и осаждения при образовании каломели, но эллипсометрические исследования открывают новый аспект в понимании этой проблемы. [c.429]

Вращательная релаксация. (Обмен R—Т.) Передача вращательной энергии при молекулярных столкновениях, а така е превращение вращательной энергии в поступательную и обратно является весьма эффективным процессом. Поэтому его можно отделить от поступательной релаксации только при определенных ограничивающих условиях. Расчет среднего квадрата переданной энергии для вращательно-поступательного обмена энергией (см. 14) показывает, что условие ((ДЯ) ) (кГ) выполняется в двух случаях при большой величине отношения момента инерции молекулы к моменту инерции сталкивающейся пары и при большой частоте вращения со (условие сог 1, где т — время столкновения). В этих случаях вращательная релаксация описывается уравнением (12.11). Однако простое решение уравнения (12.11) удается получить только в первом случае, для которого АЕ у — Е - Во втором случае сложная зависимость <Д > от не позволяет найти аналитическое решение диффузионного уравнения и оно до сих пор остается неисследованным. Что касается общего случая [<(Д ) > (кГ 1, то для него известны лишь решения задач с грубыми модельными функциями (см. [334, 16]). [c.141]

Здесь 1°— плотность тока. обмена а — коэффициент переноса. Выражение для Са (х t) может быть найдено из решения диффузионного уравнения (2.38а) с начальным и граничным условиями (2.39а) — (2.40а). Второе граничное условие получим, сочетая (2.43) и (2.52) [c.67]

Определения коэффициентов продольного переноса D ) производили в работах [4] и [7] метод был усовершенствован и погрешности были доведены до 5—7%. При 17—23° (как и в динамических опытах) были определены D для обеих кислот при движении их водных растворов через стеклянный порошок с различными диаметрами зерен и удельными скоростями потоков. При этом снимали выходные кривые. Для расчета D мы пользовались решением диффузионного уравнения (10) [c.269]

Определение концентрационных профилей в жидкостных соединениях включает решение диффузионного уравнения (77-10) или (82-2) вместе с первым уравнением задачи 4-4 и уравнением материального баланса (69-3), а также с учетом уравнения электронейтральности (69-4) и условия нулевого тока. [c.152]

Решение диффузионного уравнения имеет вид [57] [c.303]

Это значит, что данное соотношение является соответствующим уравнением баланса нейтронов для мультиплицирующей среды в стационарном состоянии в односкоростном приближении (ср. с уравиеиием (5.134)]. Решения кинети- (еского уравнения представляют собой теперь также решения уравненпя диффузии (правильнее, стационарного волнового уравнения, или уравнения Гельмгольца). Наоборот, решения диффузионного уравнепия будут точно также удовлетворять кинетическому уравнению в случае бесконечной среды. Решения диффузионного уравнения для конечной геометрии пе удовлетворяют кинетическому уравнению, однако, если решение относится к областям, далеким от границы, оно будет приближенно удовлетворять кинетическому уравнению. В этих областях угловое распределение потока близко к изотропному, и результаты диффузионной теории могут давать хорошее приближение пространственного распределения нейтронов. [c.270]

Решение диффузионных уравнений зависит от начального распределения диффундирующих частиц, граничных условий и геометрической формы образца и часто сопряжено с математическими трудностями. [c.410]

Если М Моэ больше 0,4, решение диффузионного уравнения для процесса сорбции можно записать в виде [c.200]

Если же Z)g нельзя считать постоянным, то аналитические решения диффузионных уравнений затруднительны, и обычно используют численные методы с применением ЭЦВМ. [c.91]

Решение диффузионных уравнений зависит от начального распределения диффундирующего вещества, граничных условий и геометрической формы образца и часто связано со значительными математическими трудностями. Решения для некоторых, наиболее распространенных случаев можно найти в специальной литературе [29, 68, 69]. [c.39]

Решение диффузионного уравнения (I1I.7) для начальных условий, заданных в виде 5-функции от p=<7p(i = 0), т. е. функция Грина для уравнения (Ш.7), удовлетворяющая начальному условию [c.77]

Движение сегментов описывается диффузионным уравнением, которое получается из рассмотрения уравнения равновесия совместно с уравнением неразрывности. ]Диффузионное уравнение описывает распределение вероятностей положения сегментов. Для простейшего случая низкомолекулярного тела можно найти общее решение диффузионного уравнения. Примером такого решения является теория Дебая, описывающая поляризацию диэлектриков вследствие поворотов полярных молекул в электрическом поле. В этой теории ориентация молекулы по отношению к направлению [c.302]

Для макромолекулы, находящейся в поле различных сил, диффузионное уравнение получается очень сложным. Поскольку нельзя пренебречь силами, связанными с изменениями потенциальной энергии, движения сегментов цепи оказываются координированными. Кестнер основываясь на работах Кирквуда с сотрудниками дал общую форму диффузионного уравнения и получил из него формулы, описывающие явления механической и диэлектрической релаксации в растворах полимеров. Однако до настоящего времени не найдено точного решения диффузионного уравнения для полимерных систем. [c.303]

Решение диффузионного уравнения для стационарного распределения концентрации было получено в 11. Там было показано, что концентрация зависит только от расстояния до поверхности диска у, но не от координат г и ср. В силу этого будем предполагать, что и распределение потенциала зависит только от расстояния до диска. Таким образом, предстоит найти решение уравнений (51,18) и (51,9), в которых концентрация и потенциал зависят только от у, [c.290]

Эти равенства определяют для различных п значения с, которые входят в решение для G(t) [см. соотношения (5.105)]. Следовательно, решение диффузионного уравнения (5.98) в форме (5.101) для каркдой величины п = 0, 1,. .. будет выглядеть следующим образом [c.142]

Элементарным решением этого уравнения является е , где собственное значение В вычисляется пз соотпошепия (7.224). Было также показано, что это решение удоплетворяет стационарному волновому (диффузионному) уравнению (см. 7.4,ж). Далее, единственным решением диффузионного уравнения (5.134), которое сферически симметрично и всюду ограничено, является [ср. с уравнением (5. 139)] [c.273]

Таким образом, общее решенпе интегрального уравнения (8.82) [см. уравнение (7.225)] будет также удовлетворять диффузионному уравнению (7.226). Единственным конечным всюду и сферически симметричным решением диффузионного уравнения является [c.320]

Решение диффузионного уравнения для случая внутридиф-фузионной кинетики зависит от формы зерна. [c.154]

Влияние емкостного тока на хронопотенциометри-ческие кривые рассматривалось рядом авторов [83— 86]. Роджерс и Мейтес [85] использовали числовое рещение диффузионных уравнений Фика. Де Вриз [83], Ольмстед и Никольсон [84] и Драчка [86] получили решение диффузионных уравнений с учетом емкостного тока в виде интегральных уравнений, которые приводились к числовому виду и решались на электронно-вычислительной машине. [c.61]

С другой стороны, мы попытались применить к полученным экспериментальным результатам решение диффузионного уравнения, данное Диккелем в [91 для скорости обмена, контролируемой пленочной диффузией, чтобы сравнить применимость этих двух формул для обмена в 0,05 и. растворах. Если из уравнений для прямой РН + Ме п обратной ЯМе+Н реакций обмена исключить 1, то становится возможным разрешить их относительно Он /О Ме. [c.8]

Зависимость адсорбции от потенциала проявляется при высокой адсорбируемости веществ. Под влиянием адсорбции изменяются параметры полярограмм (пики токов, потенциалы пиков и ширина полупика). Из уравнения (У.14) при Ер = Еа° получаем выражение, характеризующее сдвиг потенциала адсорбционного пика относительно Еу,. При решении диффузионных уравнений для процесса обратимого переноса заряда,, осложненного адсорбцией, вводятся новые адсорбционные параметры, характерные для методов с разверткой потенциала аР/ЯТ, р, Ф. [c.78]

По существу определение коэффициентов диффузии заключается в измерении серии мгновенных значений I, V и с (тидс/ду). Затем, подбирая константы теории, подгоняют оптимальным образом подходящее к данным экспериментальным точкам решение диффузионного уравнения. Эти константы являются известными функциями П и различных геометрических и физических параметров, характеризующих эксперимент далее уже непосредственно определяют В. [c.130]

Таким образогй решение диффузионных уравнений (2) на аналоговых машинах существующего типа нужно признать затруднительным. [c.458]

Тейлор [4], Голей [5 и другие занимались решением диффузионного уравнения, имея в виду три эффе1<та перенос Пуазейля, аксиальную и радиальную диффузии. [c.24]

Решение диффузионного уравнения (1.49) в описанных начальных и граничных условиях представляется в виде зависимости концентрации радиоактивных атомов в пластине от расстояния х и времени /. Обозначим концентрации обменивающихся атомов Мт и Л р (в атомов1см ], а объемы обменивающихся фаз Ут и Ур (в [c.35]

St = N-rlNj, Sp — Np/Np время т = Dt/г расстояние от поверхности пластины I = х/е. Обозначим отношение количеств обмени-, вающихся атомов V N VpNp через С. Если твердая фаза состоит из п одинаковых пластин объемом Ут, то С = пУтЛ /УрЛ р. В этих обозначениях решение диффузионного уравнения будет иметь вид [c.36]

Джексон и Бломгрен предположили, что поляризация обусловлена замедлением диффузии хлорид-ионов к аноду, которым приходится диффундировать через пористый слой Li l, а не только через объем раствора. Для проверки этой модели поляризации анода было найдено решение диффузионного уравнения для нестационарного состояния, а подстановка в полученное уравнение экспериментальных данных привела в конечном счете к определению коэффициента диффузии ионов С1 в слое хлорида лития. Расчет показал, что D имеет порядок величины 10 см сек, т. е. промежуточное между Л в растворе ( 10 см /сек) и в непористом твердом теле см /сек и меньше). Рассмотренная модель поляризации литиевого анода подтверждается следующим наблюдением при проведении аналогичного опыта с большим объемом электролита концентрационная поляризация такого типа не обнаруживается, поскольку весь образующийся хлористый литий растворяется. Если опыт осуществлять с электролитом, который насыщен по Li l, но перемешивается, то и в этом случае концентрационная поляризация не наблюдается. По окончании перемешивания электролита на дне ячейки виден Li l. Отсюда следует, что продукт держится на аноде непрочно. [c.86]

Яу и Малоне [14] рассматривают поперечную диффузию наряду с распределением пор в геле как основу механизма разделения полимера в хроматографической колонке. Поскольку нельзя учесть оба эффекта, они упрощают задачу, связывая разделение полимера по молекулярным весям только с поперечной диффузией, т. е, диффузией внутрь геля. Несмотря на такой приближенный подход, при этом удалось получить результаты, неплохо согласующиеся с экспериментальными данными. Указанные исследователи рассматривают стационарную систему и исходят из того, что концентрация молекул, продиффундировавших внутрь геля, может быть выражена в форме одномерного решения диффузионного уравнения Фика [c.92]

Потенш1альная энергия Vвключает потенциальную энергию деформации валентных углов и связей энергию внутреннего вращения и, наконец, энергию объемных взаимодеиствий 11 . Строгое решение диффузионного уравнения практически затруднено, поскольку V - это сложная нелинейная функция от декартовых координат звеньев цепи. Например, энергия и описывается короткодействующим потенциалом Леннард — Джонса (или подобным ему), зависящим от взаимных расстояний звеньев цепи. Другая трудность заключается в нелинейной зависимости тензора Озеена от координат звеньев цепи. [c.36]

Для вычисления средних компонент < < 11 г> необходимо иметь функцию распределения координат звеньев макромолекулы в потоке. Эта функция может быть получена из решения диффузионного уравнения (см. гл.1 ) в сдвиговом потоке. Решение подобной задачи для непотенциальных гидродинамических полей по необходимости требует модельного подхода. [c.196]