Ньютона решения

По-видимому, наиболее универсальным и удобным для применения ЭВМ является модифицированный метод Ньютона — Рафсона [123], сочетающий преимущества метода касательных и способа логарифмической линеаризации нелинейной части системы. В [26 ] предложена иная организация расчета, состоящая в том, что решение ищется не относительно самих неизвестных, а относительно поправок к ним До = которые и прини- [c.153]

Интересно, что если вернуться к задаче поиска экстремума функции Г и подставить в систему (111,96) вместо /, их значения из равенства (111,93), то получим систему уравнений (111,82). Следовательно, метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений, примененный к задаче поиска минимума, совершенно идентичен методу Ньютона, описанному на стр. 80. Таким образом, в данном случае прямой метод второго порядка совпадает с непрямым методом. [c.84]

Метод проб и ошибок связан не только с огромными потерями времени и сил при решении задач. Пожалуй, наибольший ущерб он наносит, не давая возможности своевременно увидеть новые задачи. Тут потери могут измеряться десятилетиями и даже столетиями. Менисковый телескоп, по признанию его изобретателя Максутова, мог быть создан еще во времена Декарта и Ньютона. Была потребность и была возможность создания такого телескопа. Задачу просто не увидели, до попыток решения дело дошло только в середине XX века. [c.17]

Методы решения задач динамики. При решении задач динамики механизмов, например при исследовании движения машинного агрегата или отдельных элементов машин, обычно применяют уравнения динамики в одной из трех форм второго закона Ньютона, уравнения кинетической энергии, уравнения Лагранжа второго рода. [c.43]

Метод Ньютона — Рафсона хорошо сходится во многих случаях, легко программируется он часто входит в стандартное математическое обеспечение современных ЭВМ. Но объем вычислений при использовании этого метода большой приходится вычислять в нескольких точках функции (для расчета каждой из них в исходной точке и численного расчета производных), а кроме этого требуется решение системы линейных уравнений. [c.107]

Однако макроскопические свойства системы могут быть выведены и иным путем — из анализа микроскопических свойств объектов и сил взаимодействия, существующих между ними. Наиболее простой и бесхитростный способ решения такой задачи состоит в том, чтобы, зная исходные данные (начальные условия), решить соответствующее уравнение связи для каждой частицы. Ситуация при этом носит достаточно общий характер — если объекты системы достаточно велики и подчиняются законам классической физики, то необходимо решать уравнения классической механики (Сравнения Ньютона) при знании начальных координат и импульсов каждого объекта если же речь идет о микрообъектах, подчиняющихся законам квантовой механики, то необходимо решать волновое уравнение Шредингера при знании начальных волновых функций и сил взаимодействия. Единственные затруднения такого прямолинейного анализа состоят в том, что, во-первых, число объектов в реальных системах весьма велико (например, при нормальных условиях Т = = 29.3 К, Р = 1 ат, в 1 см содержится N = 2,7-10 молекул — число Лошмидта, что означает необходимость решения 3-2,7-10 8-10 уравнений при 6-3-2,7 х X 10 5-10 значениях начальных условий) и, во-вторых, точные значения начальных условий неизвестны. Поэтому необходим иной подход [11]. [c.24]

Решение полученной системы уравнений ищут по методу Ньютона, алгоритм которого заключается в следующем. [c.263]

Рассматриваемая задача представляет собой двухточечную краевую задачу для системы дифференциальных уравнений первого порядка. Используем для решения метод Ньютона, а в качестве промежуточных звеньев в программе — модифицированный метод Эйлера для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и метод Гаусса для решения систем алгебраических уравнений. [c.309]

Для оценки скорости сходимости решения по методу Ньютона рассмотрим итеративный метод вычисления квадратного корня X = У А. [c.192]

В случае нелинейной системы дифференциальных уравнений для решения уравнения (7.9) можно воспользоваться методом Ньютона—Рафсона, (см. формулу (7.7)). Для этого найдем матрицу частных производных дО (Х")/ЗХ [c.272]

Выражение (9,2) вытекает из классического решения задачи теплопроводности стержня постоянного поперечного сечения (например, см. (28, с. 47—49]), если в уравнение Ньютона — Рих-мана [c.219]

Один из возможных методов совместного решения системы дифференциальных и алгебраических уравнений состоит в интегрировании системы дифференциальных уравнений с коррекцией по методу Ньютона—Рас )сона [28]. [c.146]

В настоящее время предложена модификация метода Ньютона, которая натребует вычисления на каждой итерации матрицы частных производных, но этот метод не всегда сходится. Метод Вольфа при достаточно хорошем начальном приближении сходится примерно с такой же скоростью, как и метод Ньютона. Метод Вольфа выгодно отличается от метода Ньютона тем, что не требует вычисления матрицы частных производных. Однако в этом методе для начала работы требуется иметь п+1 начальных приближений, что неудобно в общем по двум причинам. Во-первых, при большом п может потребоваться большая вычислительная работа. Во-вторых, получение +1 начальных приближений — довольно трудная задача. Они могли бы быть определены, например, путем простой итерации. Но простая итерация может расходиться, и тогда полученные приближения могут расположиться далеко от решения. А в методе Вольфа очень важно, чтобы п- - начальных приближений располагались достаточно близко от искомого решения. [c.94]

Распространенным способом решения системы нелинейных алгебраических уравнений является метод Ньютона — Рафсона, в основе которого используется линеаризация исходной системы в окрестности некоторого начального приближения с последующим уточнением решения. Линеаризация производится разложением функции в ряд Тейлора до членов первого порядка включительно. [c.301]

МОЙ памяти. Использование итерационных методов (а они составляют большинство методов вычислительной математики) отвечает требованиям минимизации занимаемой памяти, однако не всегда обеспечивает требуемое быстродействие. Метод должен обеспечивать, во-первых, сходимость при любом начальном приближении и, во-вторых, с приемлемым быстродействием. Далеко не много методов удовлетворяют этим требованиям. Например, метод релаксации в общем случае обеспечивает сходимость решения при любом начальном приближении, но весьма и весьма медленно. Методы же типа Ньютона—Рафсона обладают квадратичной сходимостью, но не при любом начальном приближении. В связи с этим одной из сложных проблем при использовании итерационных методов является обеспечение сходимости решения в широком диапазоне изменения параметров процесса. [c.261]

Рассмотрим алгоритм решения системы уравнения (7.116) по методу Ньютона— Рафсона. Представим систему уравнений (7.116) в виде [c.311]

Алгоритм основан на решении системы уравнений материального баланса с блочной матрицей коэффициентов методом Ньютона— Рафсона при аналитическом определении частных производных. [c.355]

Решение системы (18) естественно проводить методом Ньютона используя симметричную, положительно определенную матрицу производных [c.27]

Следующая часть задачи — определение координат точек Т — х проекций и их надежности. Температура фазового превращения твердое — жидкость находилась совместным решением соответствующих эмпирических уравнений двух- и трехфазных равновесий методом Ньютона. Начальным приближением служило рассчитанное значение температуры для предыдущего состава, а для крайних составов системы — либо графически найденное значение Г, либо взятая из литературы температура плавления соответствующего вещества. Разложением в ряд Тейлора в окрестности точки пересечения линий с использованием свойств независимых случайных ошибок получены формулы для дисперсии погрешности определения температуры Т — х проекции предлагаемым методом [c.156]

Численные методы для решения систем нелинейных уравнений щироко известны и подробно описаны в литературе. Традиционно задачи разделения решаются методом Ньютона или его комбинацией с методом крутого спуска, которые требуют хорошего начального приближения. Во всех тех случаях, когда имеется хороший вектор начальных приближений, что типично для простой задачи разделения, метод Ньютона позволяет найти решение с квадратичной скоростью сходимости. В случаях, когда метод Ньютона не работает, он модифицируется для снижения количества расчетов, однако модифицированный метод Ньютона не всегда работает. [c.261]

Масштабирование рекуррентного уравнения. Значения шага найденные методом Гаусса — Ньютона [решение уравнения (111.83)] не зависят от масштаба пространства 7 (иI, и , щ) искомых констант, т. е. являются инвариантными относительно линейных преобразований этого пространства. И наоборот, значения А , найденные методом градиента, в значительной мере не инвариантны к масштабу пространства констант. Поскольку метод максимального приближения является комбинированным, объединяя в себе как свойства метода Гаусса — Ньютона, так и свойства градиентных методов, то желательно пространство II (и , и ,. . ., щ) промас-штабировать. [c.170]

Метод Ньютона решения систем нелинейных фавнений. Метод Ньютона является итерационным методом. Обозначим через Р у 7 , Уп) точку, координаты которой удовлетворяют с11стеме (111,94), а через Р > y[il,. . , y i >) — точку, координаты Koxopoii лолучены в результате /-ой итерации. Введем соотношения [c.83]

Уравнение (III.57) определяет а следовательно, и j как функцию температуры. Соответственно К , левая часть уравнения (III.46), также может быть представлена как функция Т. Чтобы получить окончательный результат, нужно решить это трансцендентное уравнение путем проб и ошибок или с помощью более систематичного метода последовательных приближений, нанрнмер метода Ньютона. Приближенное графическое решение (которое может стать хорошей отправной точкой для более точных вычислений) можно получить, проведя на рис. III.4 прямую линию с наклоном 1//, где J— среднее значение (— АН)1Ср. Для жидкостей величина J мало меняется, и в большинстве случаев ее можно считать постоянной. Для газов J не будет постоянной, так как Ср — это теплоемкость единицы объема. Однако величина J" = pJ = (— АН)/(Ср1р) должна быть почти постоянной, так как Ср/р — теплоемкость единицы массы. Поэтому при расчете газовых реакций лучше пользоваться переменной — степенью полноты реакции, выраженной в молях на единицу массы, — так как для нее соотношение [c.55]

Существует несколько дгетодов численного решения подобных задач. Простейшим из них является метод Ньютона [8—12], который сводится к тому, что задаются начальные условия на одном из концов реактора. При этом, решая задачу Коши методом последовательных итераций, подбирают недостающие граничные условия на другом конце реактора. Однако в случае, когда система обладает большой чувствительностью, метод Ньютона требует значительного числа итераций, а иногда становится вообще неиршодным. В этом случае рационально использовать метод квазилипеариза-ции [13] или метод Вольфа [14, 15]. [c.118]

Для того чтобы показать на практике применотгае способа Ньютона К решению уравнений высших степеней, вернемся опять к определению равновесного состава газовой смеси, получающейся при дегидрировании и изомеризации циклогексана [c.150]

Для решения системы нелине11яых уравнений используют метод Ньютона-Рафсона [26], который предусматртает 1фи вычислении Н на каждой я-ой итерации расчёт 3 и(1 ) , из последнего усло- [c.22]

Неравновесная задача рассматривается в разд. 3.4, Что же касается равновесных и стационарных процессов (режимы 1 и 3), то практические детали реализации решения алгебраической системы (3.70) и задание конкретной кинетической модели как раз и определяют -все разнообразие известных подходов к анализу предельных явлений, позволяя в частных случаях получать различные асимптотики, поддающиеся аналитическому рассмотрению. Так, для случая 3 система (3.70) для механизма окисления водорода вида Г а = 1+—4+, 12, 14-, 15, 18+, 20+, 9- (М = = Нз, Оз), 11+(М = На, Оа) — см. табл. 2) впервые была рассмотрена в [57]. Подробный анализ этой модели, как и некоторых других, проведен в гл. 4. Заметим, что численное решение для случаев 1 и 3 можно реализовать любым способом, причем наиболее удобен пз них модифицированный метод Ньютона — Рафсона. [c.161]

Из методов этого класса наилучшим образом себя зарекомендовали некоторые модификации случайного поиска и метод Розенброка, хотя последний значительно уступает градиентным методам, например методу Ньютона или Дэвидона — Флетчера — Пауэлла [82, 95]. Самый большой недостаток прямых методов — их исключительная чувствительность к заданию начальных условий. Удачное задание начального приближения — это и есть такое задание, которое ведет к спуску именно в инфинум (3.157), а не к одному из локальных минимумов (3.156). В принципе это обстоятельство является отрицательным, затрудняя практическое решение, однако в методе случайного поиска именно оно используется для суждения о характере минимума. [c.221]

Вольфа более точен, чем метод Ньютона или метод квазилинеариза-цпи, однако,-ДЛЯ начала счета здесь требуется иметь ряд последовательных приближений к решению. [c.119]

Рассмотрим численное решение системы уравнений, описывающих гидро-иэомернзацию бензола (см. пример выше), методом Ньютона — Рафсона. Пусть/С 1=5,/С 2 = 1, /Пос Нв = 1. ОТоН2 = 3, тос Ни="гоС5Н9СНз = 0. 2/п/о=4. Тогда нужно определить и Ха из системы [c.108]

Принципиальная возможность расчета и перспективность использования азеотропно-экстрактивной ректификации была показана в работе [481, где предложена и схема алгоритма, основанная на методике релаксации. Однако основная задача состоит в разработке эффективной процедуры решения системы уравнений материального баланса, поскольку, обладая устойчивой сходимостью, метод релаксации весьма времеемок. Позднее был предложен комбинированный метод, основанный на методах релаксации и трехдиагональной матрицы [791. Другим подходом является использование метода Ньютона—Рафсона для решения системы уравнений материального баланса [801. И все же в виду сложности задачи основное внимание до сих пор уделяется разработке алгоритмов сведения материального баланса при отборе одной из фаз со ступени разделения или расслаивании целевых продуктов в гравитационных декантаторах. Но этим не исчерпываются особенности ректификации с расслаиванием жидких фаз. Большие возможности этого процесса заключаются в перераспределении потоков отдельных фаз внутри колонны на специальных устройствах [811 для создания необходимого температурного режима, а также изменения условий протекания процесса. [c.355]

Таким образом, математическое описание азеотропдой и. экстрактивной ректификаций с расслаиванием по жидкой фазе включает Л (ЗА + 4) уравнений (7.241), (7.242), (7.116) — (7.118) и М 6к + 4) неизвестных переменных ЪНк мольных долей компонентов в паре и жидких фазах, ЪЫ значений потоков пара и жидкости, а также N значений температуры по высоте колонны. Система уравнений математического описания является нелинейной и для ее решения воспользуемся методом Ньютона—Рафсона. С этой целью запишем уравнения (7.241) в виде [c.357]

Расчетные формулы для решения уравнения (7.3896) методом Ньютона при выражении коэффициентов активности по уравнению НРТЛ имеют вид [c.410]

При интегрировании конечно-разностными методами наибольшее распространение получили формулы, в которых решение аппроксимируется алгебраическими полиномами. В частности, формулы Ньютона — для интерполирования назад (формула 11— 29) используются в методе Адамса, а формулы Ньютона для интерполирования вперед (формула 11—28) — в методе Милна. Рассмотрим порядок получения формул интегрирования для дифференциального уравнения первого порядка [c.365]

В результате из необходимых условий экстремума при условиях (56) получено недостававшее нам ранее уравнение. Теперь можно решать систему уравнений (56), (8) относительно неизвестных 1п любым методом решения систем нелинейных уравнений. Мы воспользуемся методом Ньютона. Производйьхе от (56) но 1п Ь суть элементы / = 1, 2,. . ., т—2), а [c.178]

Матричные методы, составляющие большинство известных методов расчета массообменных аппаратов и их комплексов, можно разделить на две группы по способу линеаризации балансовых соотношений. К первой группе относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность с предьщущих итераций. Типичным примером является метод Тиле и Геддеса, реализованный в матричной форме. Для него характерны трехдиагональная структура мат эицы системы уравнений баланса, простота хранения коэффициентов системы уравнений. Однако, являясь по скорости сходимости методом первого порядка, он в ряде случаев обладает слишком медленной скоростью сходимости или вообще не обеспечивает решения. Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона-Рафсона. Эти методы обладают квадратичной сходимостью, однако весьма чувствительны к начальному приближению. [c.79]

Эти офаничения в основном были преодолены за счет применения алгоритмов одновременного решения всех уравнений с использованием итерационных методов линеаризации Ньютона, которые фуппировали уравнения по ступеням контакта. [c.236]

Приведенные в таблице методы позволяют решить широкий ряд задач для взаимосвязанных систем разделения, в том числе для систем, приведенных на рис. 5.2, однако при этом авторы не выделяют те задачи, для которых предлагаемые ими методы не работают. Общеизвестно, что метод Ньютона и квазиньюто-новские методы могут не сходиться при решении задач разделения из-за сильных неидеальностей температурного профиля или равновесных соотношений. Поэтому в [16] (см. табл. 5.1) предпринята попытка объединить сфатегию блочной релаксации с методом Ньютона для увеличения области сходимости, что однако не позволило решить все проблемы. [c.237]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология