Ньютона оптимальности

На рис. 198 приведена зависимость коэффициента к от критерия Ньютона. Оптимальная величина этого коэффициента соответствует минимальному значению отношения массы обечайки к суммарной площади отверстий. [c.265]

Программа позволяет генерировать системы уравнений и допускает использование различных подпрограмм. Она состоит из трех основных блоков, которые используются последовательно один за другим. Первый блок формирует уравнения из структуры ХТС в форме / (д ) = 0. Второй блок определяет оптимальную совокупность выходных переменных с учетом одного из критериев минимального числа итерируемых переменных или критерия чувствительности. Третий блок предназначен для решения систем уравнений (в том числе и уравнений для элементов ХТС с распределенными параметрами) методами простой итерации с модификациями или методом Гаусса— Ньютона. В этом же блоке имеются подпрограммы для оптимизации ХТС и расчета ХТС с учетом неопределенности некоторых параметров математических описаний ХТС. [c.108]

Методы первых и вторых производных Рассмотрим методы оптимизации без ограничений," использующие производные критерия оптимальности — сначала метод наискорейшего спуска на основе первых производных, а потом метод Ньютона на основе вторых производных. Хотя эти методы не очень эффективны для минимизации произвольных функций, рассмотрение их представляет интерес, поскольку они являются основой для методов сопряженных градиентов и переменной метрики. [c.208]

Метод наискорейшего спуска сходится слишком медленно, если целевая функция имеет овражный характер. Иногда он может вообще не сойтись за приемлемое время. В этом отношении более совершенны методы оптимизации, в которых используются вторые производные критерия оптимальности, например, метод Ньютона. [c.209]

Отметим, что метод Ньютона (см. У.86) в силу двух существенных недостатков ограниченно применяется в практических расчетах. Первый из них — это необходимость вычисления гессиана целесой функции в каждой точке. Поскольку критерий оптимальности обычно имеет довольно сложную форму, гессиан может быть вычислен только с помощью конечных разностей второго порядка- [c.210]

Наличие ограничений на фазовые переменные, как правило, значительно усложняет решение оптимальных задач. Существуют два пути решения задач с фазовыми ограничениями. Первый путь состоит в получении точных необходимых условий оптимальности и построении на их основе вычислительных процедур. Необходимые условия оптимальности при наличии фазовых ограничений получены в работе [19, с. 285—347], а также в работе [3, с. 130]. Использование метода Ньютона для построения вычислительной процедуры на основе указанных необходимых условий обсуждается в работе [23]. Однако считается, что вычислительные процедуры, найденные на основе необходимых условий для задач с фазовыми ограничениями, достаточно сложны и трудно применимы. Поэтому чаще применяется второй путь, при котором задача с фазовыми ограничениями посредством метода штрафов сводится к задаче без фазовых ограничений 24, 25]. Это делается таким образом. [c.118]

Какой же алгоритм лучше всего использовать для вычисления констант устойчивости Ответить на этот вопрос не просто, поскольку проблема оценки параметров нелинейным методом наименьших квадратов в целом сложна. Традиционно в этой области (за двумя исключениями [35, 36]) используется либо метод Гаусса — Ньютона с процедурой оптимального сдвига Хартли [50] или без нее, либо метод Силлена [7], который в [c.92]

Задание начального приближения. С точки зрения задания начального приближения метод Ньютона видимо имеет преимущество, поскольку при его применении должны быть заданы п чисел z (0), (г = га + 1,. . ., 2га), в то время как в методе квазилинеаризации требуется задать в качестве начальных приближений 2га функций (I = 1,. ... 2га). Если нет каких-либо дополнительных соображений, то безусловно значительно труднее задать правильно (т. е. близко к оптимальному решению) 2га функций 2 (0, ( = 1, . 2га), чем га чисел (0), ( = га - - 1,. ... 2 ,). [c.168]

Аналогично тому, как это было сделано для метода квазилинеаризации, можно показать, что и в методе Ньютона на каждом шаге поиска решается оптимальная задача для основного процесса, взятого в линейном приближении, с максимизируемым функционалом, взятым в квадратичном приближении. [c.249]

Соотношения (XII,3) и (XII,4) могут трактоваться как система уравнений для определения неизвестных промежуточных цен и 0 . Легко проверить, что число уравнений в этой системе равно числу неизвестных. Решение данной системы обеспечит выполнение соотношений (1,11), т. е. задача согласования входных и выходных переменных блоков схемы будет решена. Система уравнений (XII,3) и (XII,4) является системой конечных уравнений, для решения которых могут быть использованы метод Ньютона, метод Вольфа (см. стр. 83) и другие методы. Отметим еще раз, что для того чтобы подсчитать левые части этих уравнений, необходимо при фиксированных и найти оптимальные режимы всех блоков. [c.300]

Алгоритм Ньютона. В окрестности экстремальной точки скорость сходимости алгоритма проекции градиента падает, если условный градиент критерия оптимальности мал. Случайные погрешности счета приводят к изменению знака отдельных составляющих градиента. [c.149]

На рис. 107 приведена зависимость коэффициента к от критерия Ньютона. С помощью этой кривой определяется оптимальная величина к. Под последней понимается такое отношение —, при котором [c.259]

Рис. 107. Зависимость оптимальной степени перфорации к от критерия Ньютона Ме

Этот короткий рассказ можно начать с задачи о брахистохроне. Ее автором является Яков Бернулли, а решил ее, согласно математическому фольклору, сам Ньютон, отвлекшись на один вечер от повседневных забот директора монетного двора. В задаче требуется найти форму кривой скорейшего спуска в вертикальной плоскости, предполагая, что по этой кривой скользит без трения тяжелая точка. Метод, которым воспользовался Ньютон, оказался применимым к обширному кругу задач и положил начало вариационному исчислению и теории оптимального управления. Для нас, однако, важно, что Ньютон свел задачу о брахистохроне к решению некоторого дифференциального уравнения. Возникла ситуация, которую можно описать следующим образом. Были обнаружены задачи об оптимальном выборе функции, эквивалентные задачам о решении системы дифференциальных уравнений. Если основным объектом исследования являются дифференциальные уравнения (или их системы), то полезно помнить, что может существовать эквивалентная оптимизационная задача. Так, Лагранж показал, что в отсутствие трения все уравнения механики можно свести к одному типу оптимизационных задач. Это открытие получило название принципа наименьшего действия. Впоследствии данный принцип был распространен на уравнения Максвелла и на многие другие разделы физики. Таким образом, мы столкнулись с еще одним классом двуликих задач. [c.137]

Какой же из методов лучше всего использовать для определения оптимальных конформаций молекул По-видимому, нужно иметь комплекс программ, который непременно должен включать метод скорейшего спуска и квадратичный метод, желательно метод Ньютона — Рафсона или метод параллельных касательных. Если неизвестно, близко ли к минимуму находится нулевое приближение, то сначала следует сделать три — четыре градиентных спуска, а затем перейти на квадратичный метод. [c.135]

Нетрудно заметить, что задача (29) — (30) аналогична рассмотренной выше задаче оптимального сбалансирования экспериментальных данных с той разницей, что уравнения ограничений (30) нелинейны относительно переменных у. Нелинейная задача сбалансирования решается методом Гаусса-Ньютона. Как обычно в таких случаях, задается некоторое приближение переменных В качестве балансовой ошибки используют не величину f(y , к), а линейное разложение функции f в окрестности [c.88]

Условия оптимальности можно раскрыть, воспользовавшись теоремой Лейбница — Ньютона о дифференцировании определенного интеграла с переменным верхним пределом. Согласно этой теореме, искомая зависимость является непрерывной функцией этого предела, первообразной по отношению к подинтегральной функции, т. е. [c.60]

В этом случае метод Ньютона применяется к полной системе уравнений химического равновесия, состоящей из уравнений закона действующих масс, сохранения вещества и закона Дальтона (нормировки). Применяя метод Ньютона к этим уравнениям, получим систему уравнений, линейных относительно поправок А,. Оптимальным сочетанием выбора неизвестных (парциальные давления, мольные доли, логарифмы парциальных давлений и т. д.) и формы записи исходных уравнений можно представить наиболее простой вариант записи линеаризованных уравнений закона действующих масс в виде 1[17, 25, 772] [c.34]

В последние десять лет широкое распространение получил алгоритм численного интегрирования жестких систем ОДУ, предложенный Гиром [263, 264]. Алгоритм Основан на использовании линейных многошаговых методов, удовлетворяющих требованиям жесткой устойчивости [263]. При вычислении предиктора применяется алгоритм Корсика [352], использующий интерполяционный полином для вычисленных в предыдущих точках значений вектора решения. За счет этого легко осуществляется переход к новому шагу интегрирования, что обычно представляет определенные трудности при традиционной реализации многошаговых методов. Вычисление корректора, как правило, осуществляется методом Ньютона, причем для матрицы [Е—(ЗоЛА] (Е — единичная матрица, Л — текущее значение шага, /Зо — параметр метода, А — якобиан системы) используется LU-раз-ложение, что, как известно [183], позволя т наиболее эффективно решать возникающие линейные системы алгебраических уравнений. При решении задачи Коши методом Г ира в каждой точке выбирается оптимальный порядок метода, обеспечивающий наибольший возможный шаг интегрирования. [c.136]

Т1Щ0= 1,002-Па-с при 293 К и 8,902-10- Па-с при 298 К). Некоторые коллоидные системы (золи и суспензии с асимметричными частицами, эмульсии и др.) и растворы ВМВ не подчиняются уравнениям Ньютона и Пуазейля. Их называют аномально вязкими или неньютоновскими (рис. 24.2, кривая 2). На участке АВ течение отсутствует вследствие упругого сопротивления образовавшейся в растворах ВМВ структуры и система ведет себя как твердое тело. Когда давление станет больше ре, структура разрушается и система начинает течь на участке ВС. Разрушение структуры прогрессирует, эффективная вязкость падает с ростом давления и в точке С достигает постоянного минимального значения, соответствующего наиболее полному разрушению структуры и оптимальной деформации ВМВ. По наклону линейного участка СО находят наименьшую пластическую вязкость исследуемой системы [c.224]

Следует отметить, что решение задачи (25) на практике. может оказаться достаточно трудоемким, однако применение метола Ньютона 01фавдьшается большей скоростью сходимости по сравнению с описанными ранее градиентными методами. Метод Ньютона и его. модификации применяют обычно на завершающем этапе минимизации, когда те.м или иным. методо.м найдена точка. достаточно близко лежащая к оптимально.му значению х. Если же начальное приближение метода Ньютона выбрано не слишком удачно, то метод может зачастую расходиться. [c.23]

Однако так же, как и в методе Ньютона, мояшо доказать, что малыми смещениями бТр 1 и бТр можно пренебречь и считать, что оптимальные управления го (1) удовлетворяют соотношениям (VI,78) внутри интервала (-гр ], т Г )- Тогда, подставляя величины 2 ( ), (г = 1,. . ., 2п) и У) (1), (г = 1,. . г) из формул (VI,72) ж ц — = 6(д.у в формулы (VI,78) и учитывая уравнения ( 1,22), по- [c.163]

Все рассмотренные итерационные методы [простая итерация для расчета замкнутых схем (стр. 100), методы Ньютона и квазилинеаризации (стр. 142), модификация метода Ф. А. Черноусько и И. А. Крылова для расчета оптимальных режимов сложных схем (стр. 234)] можно представить в впде следующей общей итерационной процедуры [c.313]

Задача общего вида. Для задачи с любым из критериев оптимальности, собранных в табл. 11,1, и произвольным набором условий из табл. 11,2 справедлива связь (III-34) между функциями Лагранжа для основной и вспомогательной задач. Поэтому алгоритм Ньютона конечномерной задачи переносится на задачу общего вида с изменением лишь функции R. К критерию оптимальности I здесь выдвигается требование вьшуклости вверх в окрестности текущей точки поиска. Это требование аналогично условию (П1-32а) с той разницей, что матрица (III-32), куда вместо /о подставлено R (при Хц = 1), зависит от i и что условие (1П-32а) должно быть выполнено для почти всех t [О, Т). [c.151]

Гроггинс и Ньютон [24] провели сравнение свойств бензола, сероуглерода и о-дихлорбензола как растворителей при конденсации фтале-ного ангидрида с нафталином и хлористым алюминием. Сероуглерод не дает такого в1.1сокого выхода 2-(а-нафтоил)-бензойной кислоты, как бензол, и такой чистоты продукта, как о-дихлорбензол, при применении их в качестве растворителей. Последний позволяет применить низшую пропорцию растворителя и более низкую температуру реакции, чем бензол, дав я продукт той же степени чистоты. Оптимальные выходы 2-(а-нафтоил)-бензойной кислоты были по.пучены действием на нафталин хлористого алюминия, взятого в 10%-ном избытке против требуемого по молекулярному соотношению с фталевым ангидридом, вЗ—6объемах о-дихлорбензола при О—5°. [c.521]

Для эксперимента, представленного на рис. 5.23, 5, получены следующие результаты. Нулевое приближение, найденное по формулам (5.66) и (5.67), дает = 0,1996 Од = 8,75 10" см /с. Поиск минимума функции (5.61), проведенный методом Ньютона, на третьей итерации приводит к значениям = 0,1982 Од = 8,75 10 смУс. Оптимальные значения а и Од, полученные методом нулевого порядка за 10 итераций, равны аопт = 0,19794 О от = 8,33 10 см /с с дисперсией о = 0,82 10 , аопт = 0,029. [c.246]