Нестационарная теплопроводность пластины

Рис. 3.1. К постановке задачи при рассмотрении нестационарной теплопроводности пластины

Для проведения технических расчетов теплопроводности при нагреве и охлаждении тел при нестационарном режиме необходимо задаться следующими краевыми и упрощающими условиями 1) температурное поле одномерно, т. е. t = I х, г) 2) геометрические формы тела элементарно просты и представлены бесконечной пластиной, бесконечной длины цилиндром, шаром, нагреваемыми симметрично 3) физические свойства тела с, р, Я, а) не зависят от температуры 4) все точки тела в начале нагрева (охлаждения) имеют одинаковые температуры 5) газовая или жидкая среда, в которой тела нагреваются или охлаждаются, имеют во всех точках одинаковую и постоянную во времени температуру tъ 6) значение коэффициента теплоотдачи а между средой и телом постоянно во времени 7) тела нагреваются или охлаждаются одновременно со всех сторон (двухсторонний нагрев). [c.56]

Таблица 5. К нестационарной теплопроводности пластин толщиной 2 6 [коэффициенты для расчета охлаждения (нагревания)]

Первый вариант расчета, рассматриваемый в работе [99], по существу, сводится к использованию известного решения задачи о нестационарной теплопроводности в плоской бесконечной пластине (см. раздел IV. 5). Ввиду наличия хорошего контакта между трубой и насадкой принимают, что температура поверхности трубы равна температуре поверхности насадки (граничные условия первого рода). Далее, принимают, что температура поверхности насадки постоянна по его длине. В этом случае временная зависимость распределения температур описывается выражением (IV. 58). [c.332]

Как известно, решением дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности бесконечной" пластины, омыва- [c.50]

Таким образом, анализ показывает, что от числа Био существенно зависит вид температурного поля. Число Био играет роль безразмерного параметра, определяющего характер распределения температуры в теле в процессе его охлаждения или нагревания. Этот вывод мы получили из рассмотрения нестационарной теплопроводности пластины, но он справедлив и для тела произвольной формы. Число Био можно трактовать как отношение внутреннего термического сопротивления к внешнему, поскольку можно записать [c.99]

Начальный этап охлаждения или нагревания тел. Рассмотрим особенности процесса нестационарной теплопроводности пластины (см. 3.2) на начальном этапе ее охлаждения или нагревания. Решение этой задачи методом Фурье, как нам известно, представляется в виде бесконечного ряда частных решений. При очень малых числах Ро и больших числах Bi ряд сходится настолько медленно, что нахождение температурного поля становится практически не реализуемой задачей. Физически это объясняется тем, что толщина пластины (или ее половины), которая используется во всех частных решениях, в самом начале охлаждения не влияет на изменение температуры в поверхностном слое. Можно было бы рассмотреть частный случай решения для поверхностного (пограничного) слоя малой толщины, однако методом Фурье этого сделать нельзя. Получить физически обоснованное решение можно, если вместо пластины рассматривать полу-ограниченный массив. Рассмотрим решение задачи об охлаждении такого массива. [c.106]

Теоретические исследования краевых задач нестационарной теплопроводности для пластины, полого цилиндра и сферической оболочки при несимметричных граничных условиях третьего рода или смешанных условиях второго и третьего рода известными строгими аналитическими методами приводят к довольно громоздким математическим преобразованиям, а температурные поля внутри этих тел выражаются сложными функциональными рядами, что затрудняет внедрение найденных решений в практику тепловых расчетов. Представление температурного поля в простой аналитической форме в пределах допустимой точности особенно важно, когда решение краевой задачи теплопроводности является лишь промежуточным этапом при решении более сложных задач, таких, например, как определение термоупругих напряжений в элементах конструкций, или при поиске более эффективного решения обратных задач теплообмена. К числу таких аналитических методов в полной мере относится и приведенный ниже метод, разработанный автором. [c.111]

Уравнение (IV.6), описывающее нестационарную теплопроводность, является уравнением в частных производных. Интегрирование таких уравнений представляет значительные трудности. Наиболее простой случай — одномерный тепловой поток. К одномерным сводятся задачи, относящиеся к телам, ширина и длина которых значительно превосходят их толщину. Такие тела можно рассматривать как бесконечную пластину. Для этого случая температура является функцией только одной координаты (толщины) и при дг = О, т. е. при отсутствии источника теплоты [c.286]

Решение задач, связанных с нестационарным состоянием (нагревание или охлаждение), гораздо сложнее. В качестве примера рассматривается теплопроводность пластины при нестационарном [c.103]

Глава 3 посвящена приближенному аналитическому методу расчета нестационарной теплопроводности для одномерных и многомерных тел классических и неклассических форм. Введение параметра геометрической формы позволяет сформулировать и решить краевые задачи нестационарной теплопроводности для пластины, цилиндра и шара в виде одной задачи. Получены достаточно точные и простые по форме приближенные решения для функций температурного возмущения на поверхности этих тел (при граничных условиях первого, второго и третьего рода), изменяющихся по линейным, гармоническим, экспоненциальным и другим законам. [c.6]

Если в уравнении (1.27) положить 1=х1 Н (— т=0, то получим преобразованное уравнение теплопроводности (1.18) для неограниченной пластины толщиной 2Н (—Таким образом, уравнение нестационарной теплопроводности (1.27) объединяет три уравнения для пластины (т = 0), цилиндра (/п=1) и шара (т—2). В дальнейшем это позволит нам одной математической моделью сформулировать краевую задачу нестационарной теплопроводности для трех классических тел и построить для нее одно решение. [c.18]

Нестационарные задачи. Аналитические решения нестационарных задач теплопроводности получают, решая (1.3). При отсутствии внутренних источников тепла оно сводится к (1.4). Процедура аналитического решения очень похожа на использованную при решении двумерной стационарной задачи. Рассмотрим плоскую пластину, неограниченную в направлениях у и 2. Пусть координата х=0 соответствует одной поверхности плг.стины, а х=Ь — другой (т. е. толщина пластины равна Ь). В начальный момент вся пластина имеет однородную температуру 1о. Требуется определить распределение температуры в пластине, после того как ее поверхности мгновенно охлаждаются до =0. [c.20]

При решении строгими методами краевых задач нестационарной теплопроводности с граничными условиями первого рода для неограниченной пластины [91] получаем 12, = 3x2 4 2,4674011 [1 = [c.55]

Из трех сплошных классических тел только неограниченная пластина может быть рассмотрена как разделяющая конструкция двух различных сред. Поэтому решение задач нестационарной теплопроводности в полых цилиндрах и сферических оболочках при несимметричных обогревах представляет большой практический интерес для изучения теплопередачи в системе среда — стенка — среда. [c.111]

Выражение Л (Bii, Bi2), определяемое формулой (3.179), аппроксимирует функциональную зависимость от двух переменных Bij, Bis квадрата первого корня jx i характеристического уравнения для краевой задачи нестационарной теплопроводности внутри пластины при несимметричных граничных условиях третьего рода [45] [c.115]

Пусть операторно-следственная зависимость температуры 7 ( , Ро) от комплекса входных функций температурного возмущения ф1(Ро), ф2(Ро) и ( , Ро) для пластины (т=0), сплошного или полого цилиндра (т=1), шара или сферической оболочки (т=2) записывается как приближенное решение общей краевой задачи нестационарной теплопроводности [c.201]

Подобный анализ легко выполнить математически. Рассмотрим случай изготовления пластины толщиной б в форме с литником прямоугольного сечения. Время выдержки под давлением в ДЛЯ литника прямоугольного сечения нз условия нестационарной теплопроводности равно [c.219]

Концентрация на поверхности и концентрация на большом расстоянии от поверхности постоянны. Уравнение (35. 29) имеет обычный вид оно было уже решено в примере 21. 2 для нестационарной теплопроводности и в примере 32. 3 для нестационарной диффузии. Но в этих задачах речь шла о пластинах [c.509]

Используя уравнение нестационарной теплопроводности для пластины (5.119) при сохранении первого члена ряда этого уравнения, с учетом теплоты реакции отверждения находим изменение температуры внутренних слоев материала во времени [c.269]

В литературе по теории нестационарной теплопроводности [6] имеются вспомогательные данные, облегчающие практические расчеты по аналитическим решениям. Приводятся значения собственных чисел и коэффициентов рядов для задач об охлаждении (нагреве) тел разной, формы при их равномерном начальном прогреве (00= 1), а также графики, построенные по результатам расчетов температур в центре тел, на их поверхности и средних температур пластины, шара и цилиндра. Однако следует иметь в виду, что практические расчеты по таким графикам не отличаются высокой точностью, особенно в области значений безразмерной избыточной температуры 0, близких к нулю или к единице. Расчетные графики для определения температур некоторых внутренних точек тел приводятся в монографии [6]. [c.37]

Вторая категория характеризуется тем, что действие излучения приводит к изменению граничных условий. В качестве примера можно привести процесс нестационарной теплопроводности в твердом теле при излучении с поверхности при конвективном теплообмене граничные условия вдоль нагреваемой или охлаждаемой пластины могут меняться под влиянием излучения П—3]. [c.7]

В гл. V и VI были рассмотрены задачи нестационарной теплопроводности, в которых теплообмен между поверхностью тела и окружающей средой происходил в основном излучением. В практике тепловых расчетов встречаются задачи, в которых теплообмен между телом и окружающей средой происходит конвекцией. Если в задачах стационарного конвективного теплообмена применяются граничные условия третьего рода, то в задачах нестационарного конвективного теплообмена и в задачах стационарного теплообмена при точной формулировке проблем необходимо применять граничные условия четвертого рода. Например, при обтекании плоской пластины, в соответствии с теорией пограничного слоя, дифференциальное уравнение переноса тепла для жидкости можно написать так [c.363]

Б литературе по нестационарной теплопроводности (см., например, [3]) приводятся решения задач для тел классических форм (пластина, цилиндр) или для тел, форма которых может быть представлена комбинацией простьк тел (прямоугольный брус, цилиндр конечных [c.232]

Охлаждение находящегося в форме изделия происходит в основном за счет процесса теплопроводности. Поэтому при теоретическом анализе процесса охлаждения реальных изделий следует использовать результаты, полученные в теории нестационарных тепловых процессов [10, 11] (см. гл. IV). В настоящее время получено достаточно большое число решений уравнений теплопроводности для тел различной геометрической формы. В качестве примера можно рассмотреть задачу об охлаждении тонкой пластины. [c.450]

Рис. 3-13. Графический метод Шмидта [43] для разчета нестационарной теплопроводности в пластине при ее одностороннем охлаждении (одномерная задача)

Нестационарные задачи теплопроводности моделируются набором дискретных 7 С-цепочек. На рис. 1.6 показана трехконтурная модель для решения следующей задачи теплопроводности в плоской пластине. В начальный момент пластина имеет однородную температуру to, а затем ее поверхности мгновенно нагревают до температуры ti. Электрическим аналогом этой задачи является мгновенное подключение к цепи источника напряжения с последующей зарядкой конденсаторов. Задачи такого типа можно решать методами теории переходных процессов в линейных электрических цепях или на АВМ [И]. АВМ имеет два недостатка. Во-первых, в комплекте установки всегда имеется ограниченное число усилителей, в связи с чем и число / С-цепочек, используемых для решения задачи, ограниченно. Кроме того, АВМ необходимо градуировать относительно электрических параметров. При выборе масштабных множителей для пересчета от часов к секундам и от градусов температуры к вольтам необходимо следить за тем, чтобы ни один из усилителей не работал в режиме перегрузки, т. е. не попал под напряжение, превышающее максимально допустимое. [c.23]

Теоретическое исследование поставленных задач нестационарной теплопроводности для пластины (т = 0), цилиндра (т—1) и шара (т=2) при симметричных граничных условиях первого рода сводится к решению объединенного уравнения теплопроводностн (1.27) [c.48]

Тепло, получаемое внешней поверхностью нагреваемых изделий, постепенно проникает внутрь материала вследствие его теплопроводности и разности температур поверхности и внутренних слоев материала. Распространение тепла в твердых телах при их нагреве или охлаждении представляет собой неустановившийся (нестационарный) процесс и описывается для твердых тел уравнением Фурье. Для простоты напишем это уравнение для случая нагрева пластины, когда температурное поле определяется одной координатой х [c.169]

Приведены основные результаты экспериментальной работы, которая является частью более общего исследования по выявлению границ применимости классического дифференциального уравнения теплопроводности Фурье для описания процесса нестационарной теплопроводности дисперсных систем. Сравнение экспериментальиы.ч и расчетны.ч данных выполнено с привлечением известного решения задачи об охлаждении пластины в неограниченной сплошной среде при гранично.м условии рода. [c.183]

Нестационарная теплопроводность характеризуется изменением температурного поля тела во времени и связана с изменением энтальпии тела при его нагреве или охлаждении. Безразмерная температура тела 0 определяется с помощью числа Био Bi = a//A,, числа Фурье Fo= =ат//2 и безразмерной координаты, обозначаемой для пластины Х= = л /б, а для цилиндра R = rlro. Охлаждение (нагревание) тел происходит в среде с постоянной температурой /ж, при постоянном коэффициенте теплоотдачи а А, и а — теплопроводность и температуропроводность материала тела, / — характерный размер тела (/=б для пла- СТИНЫ, /=го для цилиндра), х. и г — текущие координаты соответственно для пластины и цилиндра. [c.28]

В прикладной инженерной теплофизике рассматриваются задачи при смешанных граничных условиях, когда на отдельных частях поверхности тела задается одно из условий (1.29) —(1.31), различных в каждой части поверхности. Например, тепловые расчеты стенок теплоограждающих конструкций, паропроводов и других деталей в форме пластины, полого цилиндра и шаровой оболочки приводят к решению задач нестационарной теплопроводности при смешанных граничных условиях, которые заданэтся в различных сочетаниях условий (1.29) — (1.31) на внутренней и внешней поверхностях стенки. [c.20]

Краевая задача нестационарной теплопроводности для уравнения (3.168) для пластины (т=0), стенки круглой трубы (т = 1) и сферической оболочки (т=2), омываемых двумя различными средами с переменными во времени температурами ф)(Ро), ф2(Ро), сводится к решени ю этого уравнения при следующих начальных и граничных условиях [c.112]

Аналитические методы решения задач нестационарной теплопроводности в большинстве случаев приводят к представлению температурных полей в виде бесконечного функционального ряда по собственным функциям соотвётствую-щен граничной задачи Штурма—Лиувилля. Для классических тел в форме пластины, сплошного и полого шара соб- твенными функциями являются тригонометрические функ-дни синуса и косинуса, а для цилиндра и стенки круглой [c.129]

В данном учебном пособии подробно рассматриваются решения задач нестационарной теплопроводности основных тел (полуогракиченное тело, неограниченная пластина, сплошной цилиндр, шар, полый цилиндр) несколькими методами (разделение переменных, операционные, интегральные преобразования Фурье и Ханкеля). Таким образом, читатель, знакомясь с особенностями каждого из применяемых методов, может в своей самостоятельной работе для решения поставленных задач выбрать наиболее простой метод, дающий наиболее эффективное решение, пригодное для инженерных расчетов. [c.3]

Решение задач нестационарной теплопроводности, когда температура является функцией времени и двух координат, представляет большие трудности. Только некоторые задачи могут быть решены методами, изложенными в данной книге. В частности, в гл. VI были рассмотрены задачи на нагревание цилиндра конечных размеров и трехмерной пластины при условии симметрии температурного поля относительно центра тела (симметричные задачи). Эти решения были получены как обобш,е-ние решений для неограниченного цилиндра и неограниченной пластины. [c.406]

Теория. В качестве введения разберем простейший случай нестационарной теплопроводности. Рассмотрим находящуюся при температуре 1 тонкую металлическую пластину с объемом V полная площадь поверхности пластины равна А, а толщина составляет — 2 г . Пластина со всех сторон окружена более горячим воздухом, температура которого В любой момен времени после начала нагрева пластины количество тепла dQ, передаваемого воздухом за короткое время с 0, зависит от величины поверхности пластины, разности температур воздуха и поверхности металла и коэффициента А, называемого коэффициентом теплоотдачи от окружающей среды к поверхности [c.56]

Антони [1] приводит аналитические решения нескольких задач одномерной нестационарной теплопроводности в простых и сложных пластинах при постоянной начальной (температуре и различных лраничных условиях. [c.60]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология