Время пребывания как случайная величина

Гидродинамическое перемешивание. Разброс значений истинных локальных скоростей потока приводит к тому, что время пребывания в реакторе с зернистым слоем является случайной величиной. Если на вход аппарата подать импульс трассирующего вещества, то на выходе получим более или менее размытую кривую изменения концентрации во времени, совпадающую с дифференциальной функцией распределения времени пребывания в слое. Аналогично, струя трассирующего вещества, введенная в какую-либо точку зернистого слоя, постепенно размывается по всему его сечению. Оба эти явления определяются гидродинамическим перемешиванием потока, или переносом вещества в продольном и поперечном направлениях. [c.218]

Действительно, время пребывания в реакционной зоне для отдельно взятой частицы (молекулы) является случайной величиной с плотностью распределения, математически аналогичной дифференциальной функции распределения я)з (т). Из кривой плотности распределения (рис. 8) следует, что для вошедшей в реактор частицы вероятность остаться там в интервале времени от т до т т равна ф (т)йт. Вероятность же выхода этой частицы из реактора [c.25]

Время пребывания частицы в аппарате — случайная величина. [c.170]

Вследствие перемешивания пульпы в камере машины непрерывного действия время пребывания частицы в аппарате (время флотации) — случайная величина, распределение которой характеризуется ненулевой дисперсией. Увеличение дисперсии ухудшает показатели флотации, в том числе снижается извлечение при неизменном среднем времени флотации, определяемом объемом камеры. Менее интенсивное перемешивание — одно из преимуществ колонных аппаратов по сравнению с импеллерными флотационными машинами. [c.215]

Каждый из моментов имеет определенный физический смысл. Нулевой момент - это площадь под кривой первый момент - характеризует среднее значение (среднее время пребывания), или математическое ожидание случайной величины времени пребывания. [c.67]

В реальных технологических аппаратах вследствие перемешивания фаз, а также неравномерности движения фаз по сечению аппарата время пребывания отдельных частиц фазы различно. Поэтому для каждой отдельно взятой частицы ее время пребывания есть случайная величина. Будем обозначать через время пребывания отдельных частиц в аппарате. [c.279]

В силу стохастической природы движения элементов потока время их пребывания в аппарате является случайной величиной. Дальнейший анализ экспериментальных кривых отклика возможен, если принять, что С-кривая характеризует плотность вероятности, а -кривая — интегральное распределение частиц потока по их времени пребывания. Основные свойства распределения случайной величины можно описать числовыми характеристиками, которые определяют наиболее [c.625]

Как известно [2], каждая случайная величина характеризуется функцией распределения Р ()= < t , которая является вероятностью того, что время пребывания частицы в аппарате меньше I. [c.279]

Ввиду того, что время пребывания в реакционной зоне т является случайной величиной, определяемой гидродинамикой про- [c.276]

При достаточно интенсивном перемешивании суспензий устойчивый турбулентный режим движения потока устанавливается практически во всем объеме реактора. Известно, что при турбулентном движении жидкости элементарные массы жидкй-сти хаотически перемещаются в объеме реактора вследствие непрерывного возникновения беспорядочных пульсаций скорости, имеющих различные амплитуды. Движение отдельного элемента объема (частицы твердой фазы) носит сложный характер. Любой элемент объема за сравнительно короткий промежуток времени может оказаться в любой точке реактора. В реакторах с идеальным перемешиванием вновь введенные частицы мгновенно и равномерно распределяются по всему объему аппарата [45]. Любая из находящихся в реакторе твердых частиц с равной вероятностью может оказаться в любой точке системы, т. е. частица в рассматриваемый момент времени может покинуть реактор, причем это относится и к частицам, которые только что были введены в аппарат. При этом существуют частицы, которые находятся в аппарате очень продолжительное время. Следовательно, время пребывания частицы в реакторе будет случайной величиной, которая может принимать любые положительные значения. [c.124]

Для того чтобы измерить случайную величину-время пребывания частицы потока в аппарате,-необходимо пометить ее таким образом, чтобы метка позволяла зарегистрировать моменты входа и выхода частицы из аппарата, и получить кривую изменения концентрации в потоке на выходе. Эту кривую называют выходной кривой, или кривой отклика. [c.82]

После этих ранних моделей предлагались все более и более сложные. Например, Данквертс предположил, что ошибочно считать время пребывания всех вихрей у поверхности одинаковым, в то время как эта величина распределена случайным образом. В этой модели [c.193]

В поставленной выше задаче предполагалось, что рассматривается реактор идеального смешения, все частицы реакционной смеси в объеме которого равноправны и находятся в одинаковых условиях. Вероятность выхода любой частицы из реактора одинакова и не зависит от момента попадания частицы в реактор. Время пребывания частиц т — случайная величина. Нетрудно показать, что при сделанном допущении ее плотность распределения имеет вид [c.51]

Теперь учтем сказанное выше при развиваемой постановке вопроса отдельные частицы для нас неразличимы. Для какой-то частицы на входе мы не можем предсказать, каким точно окажется -ее время пребывания. Но тогда время пребывания — величина случайная, и к ее анализу следует привлечь методы теории вероятности и математической статистики, рассмотренные в разделах 5 и 6. [c.148]

Таким образом, время пребывания I частицы в реакторе идеального смешения есть случайная величина, которая может принимать любые положительные значения О оо.При этом распределение частиц по времени пребывания имеет довольно своеобразный характер. [c.16]

Величины, которые в одних и тех же условиях опыта могут принимать разные значения, называют в математике случайными величинами. Таким образом, время пребывания частицы в аппарате есть случайная величина. Изучением случайных величин занимаются два больших раздела математики теория вероятностей и математическая статистика [121. [c.47]

Среднее время пребывания. Из теории вероятностей известно, что среднее значение случайной величины т определяется выражением [c.51]

X — безразмерное время, равное отношению времени г к времени полного растворения т (в том числе значения случайной величины х — безразмерного времени пребывания частицы в каскаде реакторов) а — порядок реакции [c.6]

Время пребывания как случайная величина [c.15]

Надо подчеркнуть, что совокупность частиц после их полного вымывания из первых к ступеней отличается по своим вероятностным характеристикам от совокупности частиц, покидающих к-т ступень каскада в некоторый фиксированный момент времени. Плотность распределения вероятностей времени пребывания для частиц этой последней совокупности, которую мы будем обозначать Ф I), вообще говоря, не совпадает с (<). Это ясно видно на примере импульсной загрузки время пребывания всех частиц, покидающих к-ю ступень каскада в любой фиксированный момент времени, вообще не является случайной величиной, так как оно одинаково для всех частиц [c.18]

Каково бы ни было распределение частиц по времени ввода в систему, питание системы можно рассматривать как сумму конечного или бесконечного числа импульсов. Поэтому время пребывания для частиц на выходе из /с-й ступени будет случайной величиной с некоторой плотностью распределения вероятностей Ф ( ), не совпадающей, однако, с Фд, (О- [c.18]

Мы подошли к центральному пункту наших рассуждений. Полученный результат является основой математического описания непрерывных процессов в каскаде реакторов. Уравнение (5.12) определяет долю нерастворившегося компонента в полидисперсном продукте на выходе из каскада реакторов как математическое ожидание кинетической функции этого продукта, если считать аргумент кинетической функции полидисперсного продукта случайной величиной с той же плотностью распределения вероятности, что и время пребывания отдельной частицы. С помош,ью уравнения (5.12) сложная задача о степени растворения полидисперсного продукта в [c.127]

Величина 0,- — среднее время пребывания частицы в г-й ступени каскада. Известно, что среднее значение суммы случайных величин равно сумме средних значений этих величин. Поэтому среднее время пребывания во всех п ступенях каскада 0 равно сумме средних времен пребывания в каждой из этих ступеней [c.28]

В непрерывном процессе дело обстоит несколько иначе. Вспомним, что каждую ступень каскада в общем случае характеризуют свои значения температуры и концентрации. Продолжительность периода, в течение которого протекало растворение частицы при некоторых значениях Г,- и С,-, совпадает со временем пребывания частицы в г-й ступени каскада. Таким образом, в непрерывном процессе понятие продолжительности периода полностью сохраняет свой смысл, но вместе с тем приобретает своеобразную особенность, обусловленную вероятностным характером распределения частиц по времени пребывания. Продолжительность -го периода в непрерывном процессе (т. е. время пребывания в -й ступени) есть случайная величина. Безразмерная продолжительность г-го периода х - = = в непрерывном процессе — не что иное, как безразмерное время пребывания частицы в -й ступени каскада, т. е. время пребывания, выраженное в долях времени полного растворения при технологических условиях -й ступени. Разумеется, безразмерное время пребывания Х , отличающееся от обычного времени 1,- лишь нормировочным коэффициентом т,-, также является случайной величиной, имеющей, как и 1,-, диапазон изменения О х,- <[оо. Тогда и аргумент X кинетической функции, равный сумме безразмерных времен пребывания, является случайной величиной — суммарным безразмерным временем пребывания частицы в п ступенях каскада [c.120]

Однако прежде чем перейти к решению этой задачи, постараемся понять, зачем нам понадобилось введение новой случайной величины— суммарного безразмерного времени пребывания х. Замена обычного времени пребывания 1 = 24 безразмерным временем пребывания X = 2 может показаться на первый взгляд малообоснованным усложнением. Это, разумеется, не так. Представим себе, что нам известно значение t случайной величины I, т. е. известно суммарное время пребывания частицы в каскаде реакторов. Поскольку в непрерывном процессе условия растворения дискретно изменяются от ступени к ступени, суммарное время пребывания 1 [c.120]

Монодисперсный продукт. Мы установили, что каждому фиксированному значению безразмерного времени соответствует строго определенная степень растворения отдельной частицы. Поскольку, однако, растворяющийся продукт состоит из большого количества частиц, мы не можем пока ответить на вопрос о состоянии этого продукта на выходе из каскада реакторов. Более того, по отношению к отдельной частице вопрос о степени растворения не представляет большого интереса. Степень растворения отдельной частицы — это дело случая каковы бы ни были условия растворения, всегда будут существовать частицы, пробывшие в системе достаточно долгое время и потому полностью растворившиеся но будут и такие частицы, которые покинули реактор очень быстро и потому почти не растворились. Ведь время пребывания частицы в каскаде реакторов — случайная величина, принимающая любые значения между нулем и бесконечностью. Поэтому о степени растворения отдельной частицы можно говорить лишь в вероятностном смысле. [c.123]

Теперь понятие времени пребывания представительной совокупности частиц приобрело вполне определенный смысл. Мы вправе отождествить его со временем пребывания любой частицы этой совокупности. Кроме того, число классов со временем пребывания в пределах от х до х dx пропорционально числу частиц с таким же временем пребывания, и поэтому распределение представительных совокупностей по времени пребывания ничем не отличается от соответствующего распределения отдельных частиц. Таким образом, мы приобретаем право говорить о времени пребывания представительной совокупности частиц "как о случайной величине, имеющей точно такие же вероятностные характеристики, как и время пребывания отдельной частицы. Тогда средняя доля нерастворившегося компонента в полидисперсном продукте на выходе из к-м ступени каскада есть не что иное, как математическое ожидание кинетической функции исходного полидисперсного продукта, откуда немедленно логически вытекает уравнение (5.12). [c.129]

Итак, сходство уравнений, определяющих долю нерастворившегося компонента в монодиснерсном и полидисперсном продуктах, отнюдь не случайно. Мы можем сформулировать, теперь уже без всяких оговорок, правило, имеющее первостепенное значение для теории непрерывных гетерогенных процессов в реакторах смешения доля нерастворившегося компонента в продукта на выходе из каскада реакторов есть математическое ожидание кинетической функции этого продукта. Аргументом кинетической функции является случайная величина х — суммарное безразмерное время пребывания в каскаде реакторов. Вопрос о том, к чему относится это время [c.129]

Сопоставление формул (5.16) и (2.18), а также (5.17) и (2.19) показывает, что величины их распределены по одному и тому же закону. Единственное различие состоит в значениях параметров в одном случае — это среднее время пребывания 0,-, а в другом — безразмерное среднее время пребывания а . Иначе и не может быть, потому что случайная величина I есть сумма к независимых случайных величин 1 , а случайная величина х есть сумма к независимых случайных величин х,-. Поскольку слагаемые tг и Х[ распределены но одному и тому- же закону, ясно, что и их суммы I и х должны иметь одинаковые законы распределения. [c.132]

Время пребывания частицы в аппарате — случайная величина. Из теории вероятностей известно, что, проведя опыты с импульс- [c.219]

Время пребывания отдельных элементов потока в аппарате является в общем случае непрерывной случайной величиной. Поэтому (его распределение имеет статистическую природу и [c.480]

Казалось бы, что первая задача легко выполнима. Среднее время пребывания в реакционной зоне (время контакта) равно частному от деления свободного объема реакционной зоны на объемную скорость потока. Однако не все молекулы реагирующего потока пребывают в зоне реакции одинаково долго. Различные части турбулентного потока, движущегося сквозь зерненый слой катализатора, обладают разными скоростями. Продольное перемешивание потока турбулентными вихрями и образование застойных зон в промежутках между твердыми частицзхми приводят к тому, что молекулы реагентов, вошедшие в реактор с потоком, достигают выхода через различные промежутки времени, более или менее отличающиеся от среднего значения. Время пребывания в реакционной зоне (время контакта) является, таким образом, случайной величиной, характеризуемой некоторой дифференциальной функцией распределения ф(т). Вид функции ф(т) определяет гидродинамический режим реактора. Чем большую роль в движении потока играют беспорядочные турбулентные пульсации, тем более размазана функция ф(т). Предельному случаю, когда турбулентное перемешивание отсутствует и время пребывания одинаково для всех молекул, отвечает режим идеального вытеснения. Другой предельный режим — идеального смешения — возникает, когда интенсивное перемешивание потока (чаще всего принудительное) приводит к выравниванию состава потока по всему реактору в этом случае для каждой молекулы вероятность того, что она покинет реактор, не зависит от времени, уже проведенного ею в реакционной зоне. Режим, промежуточный между [c.153]

Если счетать одну секцию в течение промежутка Ат, периодически действующим аппаратом, то при некоторых допущениях аналитические зависимости для кривых сушки могут быть использованы для расчета изменения влагосодержания частицы в данной секции. Поскольку время Ат, — случайная величина, то ее значение может быть определено путем розыгрыша величины у с последующим ее преобразованием в соответствии с действующей структурой потоков, определяющей распределение времени пребывания вещества в этой зоне. Например, для ячейки полного перемешивания, в качестве которой может быть принята одна секция аппарата с псевдоожиженным слоем, длительность Ат, может быть определена по формуле Ат, =-(т )1пу , где (т,) — среднее время пребывания потока в ячейке с номером г. [c.664]

Время пребывания в отдельной ячейке является случайной величиной с дифференциальной функцией распределения ф (т), которая определяется процессами перемешивания в отдельной ячейке в дальнейшем будем ее называть микрораспределением. Будем сначала считать все ячейки идентичными и, следовательно, имеюпщми одинаковую функцию микрораспределения ф (т) . При исследовании продольного перемешивания, очевидно, достаточно ограничиться [c.223]

Так как при сложении независимых случайных величин их семиинварианты складываются, семиинварианты функции распределения времени пребывания в слое Ф v (т) равны семиинвариантам микрораснределения, умноженным на число ячеек N по длине слоя. Первый семиинвариант равен среднему времени пребывания в слое 5 = (где — среднее время пребывания в отдельной ячейке). Второй семиинвариант равен дисперсии времени пребывания в слое и служит основной характеристикой процесса продольного перемешивания потока. Зная третий семиинвариант Ид, можно вычислить коэффициент асимметрии 8к = характеризую- [c.224]

При двух последовательных импульсах время пребывания частиц на выходе из /с-й ступени может иметь два значения, совтветству-ющих интервалам времени, прошедшим с моментов ввода каждой из импульсных загрузок. В этом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной, способной с определенными вероятностями принимать одно из двух значений. [c.18]

Индикатор как таковой нужен только для того, чтобы вьвделить частицы жидкости, вошедшие в аппарат в определенный момент времени. Время пребывания данной частицы жидкости в аппарате предсказать нельзя, это есть случайная величина. [c.623]

Время пребывания в реакционной зоне, или время контакта, для отдельно взятой молекулы является случайной величиной, распределенной по некоторому закону, описываемому дифференциальной функцией распределения ф(т). Вероятность того, что молекула, вошедщая в реактор, останется там в течение промежутка времени, заключенного в пределах т и т+Л, равна ф(т)йт поскольку вероятность когда-нибудь выйти из реактора равна единице (достоверности), ф(т) должна удовлетворять условию нормировки [c.191]

I Поскольку время пребывания частйц в проточном аппарате-см ёсйтеле t является случайной величиной, то и концентрация адсорбированного вещества в разных зернах a(r,t) различна, т. е. также является случайно величиной. Среднее математическое ожидание этой величины а [г) передаётся уравнением [c.212]

Однако для расчета гетерогенного процесса важно знать не только среднее значение случайной величины I (среднее время пребывания), но и законы распределения этой величины, которые существенно зависят от числа ступеней п. Эту зависимость мы рассмотрим на примере каскада, состоящего из п одинаковых ступеней, причем общий объем каскада будем считать фиксированным. Тогда вели-чйна 5 постоянна, и время пребывания частиц в каскаде удобно выражать в долях О . Другими словами, удобно ввести новую случайную величину у, представляющую соб ой безразмерное время пребывания в каскаде реакторов [c.28]

В нашем случае условия растворения во всех ступенях одинаковы Tj = %2 Т/г То- Очевидно, что тогда обычное суммарное время пребывания t в первых к ступенях каскада однозначно определяет долю нерастворившегося компонента на выходе из к-ж ступени эта доля равна оз t). Поскольку время пребывания t есть случайная величина, средняя доля нерастворившегося компонента на "выходе из к-ж ступени определяется как математическое он идание кинетической характеристики и (i) [c.237]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология