Семьи элементов симметрии

Аммиак, NHj. Этот пример рассматривается главным образом для того, чтобы показать построение вырожденных молекулярных орбиталей. Симметрия молекулы- j,, Для образования связей пригодны семь атомных орбиталей три 1.s-орбитали атомов водорода, одна 2л- и три 2р-орбитали атома азота, следовательно, должно образоваться семь М0. Атом азота занимает центральное положение, поэтому систему координат нужно выбрать так, чтобы его АО были расположены на всех элементах симметрии точечной группы j . Необходимая таблица характеров приводится в табл. 6-4. Орбитали 2я и 2р азота имеют симметрию Ау, а орбитали 2р и 2р . вместе принадлежат к неприводимому представлению Е. Из трех 1.s-орбиталей атомов водорода образуются групповые орбитали. Элементы симметрии точечной груп- [c.277]

При рассмотрении элементов симметрии структурных образований дисперсных систем можно взять за основу свойства кристаллов. Известно, что кристаллы построены из ионов, атомов или молекул, соединенных способом, обусловливающим внешний вид или морфологию кристалла. Можно предположить, что локальная симметрия составляющих кристалла может определять его общую симметрию. Причем все множество кристаллов может быть определено семью кристаллическими системами в зависимости от формы кубической, моноклинной, ромбической, тетрагональной, триклинной, гексагональной, ромбоэдрической. Очевидно, симметрия структурного образования формируется из общей симметрии расположения элементов этого образования, а также из собственной локальной симметрии этих элементов. По аналогии с морфологией кристаллов, можно рассматривать элементы структурного образования в виде элементарных ячеек. Следует специально отметить влияние на симметрию структурного образования собственной симметрии элементарных ячеек. Наличие собственной симметрии элементарных ячеек является фактором, ограничивающим число объектов симметрии структурного образования и разрешающим некоторые из них. [c.184]

Плоскости симметрии и различные типы осей (элементы симметрии) могут появляться в кристалле либо отдельно, либо в комбинации друг с другом. Согласно законам геометрии, возможны 32 комбинации элементов симметрии. Вследствие этого существуют 32 класса симметрии кристаллов, которые в свою очередь группируются в семь кристаллографических систем (сингоний). Последние характеризуются углами между кристаллографическими осями (которые выбирают так, чтобы они были параллельны ребрам кристалла) и отрезками, отсекаемыми одной гранью на осях координат. Кристаллографическая система, к которой принадлежит кристалл, определяется по углам между гранями. [c.110]

В 1857 г. А. В. Гадолин математически вывел все сочетания элементов симметрии, которые характеризуют кристаллические многогранники. Он показал, что по внешнему виду симметрии кристаллы разделяются на 32 класса, которые объединяются в семь систем кубическую, гексагональную, тетрагональную, три-гональную, ромбическую, моноклинную и триклинную. Каждая система имеет определенную совокупность элементов симметрии. Так, например, кристаллы кубической системы должны иметь три оси четвертого порядка, в кристаллах гексагональной системы — ось шестого порядка и т. д. Кристаллы германия и кремния относятся к кубической системе. [c.87]

В кристаллах могут быть лишь 32 простые совокупности элементов симметрии (Гадолин), именуемые простыми видами симметрии. Они разбиваются на семь групп, называемых сингониями. По внешним формам кристаллы относятся к одной из шести систем. Для описания этих форм принято выбирать оси координат вдоль направлений, параллельных ребрам кристалла и совпадающих с пово-ротными осями, если таковые имеются, причем указываются углы между осями и величины ребер по осям. На рис. 39 изображены некоторые формы кристаллов разных систем и направления осей координат в них. Положительным направлением считают для оси х вперед к читателю, для оси у — вправо от читателя и для оси г — вверх. [c.118]

Всего существует 17 классов симметрии односторонних плоских сеток (см., например, [2]). Они изображены на рис. 8-21 аналогично иллюстрации семи классов симметрии, присущих бордюрам (см. рис. 8-9). Приведены также наиболее важные элементы симметрии и координатные обозначения классов симметрии. Первая буква (р или с) в этом обозначении относится к группе трансляций. Следующие три позиции несут информацию о наличии различных элементов симметрии m - плоскость симметрии, 3-плоскость скользящего отражения, 2, 3, 4 или 6-поворотные оси. Цифра 1 или пустое место указывают на отсутствие элемента симметрии. Представления классов симметрии на рис. 8-21 в некотором смысле были навеяны иллюстрациями, содержащимися в книге Элементарная кристаллография Бургера [7]. Наряду с чисто геометрическими конфигурациями на рис, 8-21 представлены 17 венгерских вышитых узоров. Краткое описание их происхождения дано в пояснении к рисункам [8]. [c.377]

Характеристические элементы симметрии кристаллической структуры определяют вид элементарной ячейки, что позволяет отнести ее к одной из семи кристаллических систем. [c.394]

Эти семь кристаллических систем дают 32 различных класса симметрии или точечных групп к 230 пространственных групп, с которыми кристаллы могут быть сопоставлены. Классификация кристаллов по этим группам зависит от наличия определенных элементов симметрии. [c.92]

Классы симметрии или точечные группы объединяются сообразно со старшими в них осями симметрии в семь сингоний или систем, в свою очередь объединяемых в три категории по характеру и числу возможных единичных направлений (табл. 2.2). Каждой точечной группе присуща собственная кратность, составляющая произведение кратностей главных элементов симметрии группы. Кратности плоских узловых сеток кМ) общего положения, не совпадающего ни с каким из элементов симметрии, позволяют разделить точечные группы на голоэдрические, кратность грани общего положения которых сов- [c.52]

Простейший тип решетки, называемый примитивным (обозначается символом Р), соответствует каждой из семи приведенных выше систем и характеризуется точками, расположенными в углах элементарной ячейки. Этот тип решетки обладает максимальным числом элементов симметрии высшей точечной группы в каждой системе (1, 2/га ттт и т. д., см. табл. 1). Последние, конечно, отличаются друг от друга по их симметрии. [c.26]

На основании элементов симметрии были определены семь кристаллографических систем. Эти системы перечислены в табл. 6-2, из которой видно, что каждая система определяется наличием соответствующих осей симметрии. В последней колонке табл. 6-2 приведена характеристика параллелепипеда максимально возможной симметрии для соответствующей системы. Параметры параллелепипеда (длины ребер и углы между осями) указаны на рис. 6-23. [c.230]

Распределение кристаллов на семь кристаллографических систем, приведенное в табл. 6-2, основывается на наличии у кристалла тех или иных осей симметрии. Это позволяет структуры с различными видами симметрии относить к одной и той же системе. В кубической системе, например, полная симметрия, как было показано, включает 23 элемента. Однако к этой системе относятся и структуры не кубической формы, которые тоже обладают 23 элементами симметрии. В то же время есть структуры со значительно меньшим числом элементов симметрии, но имеющие четыре тройные оси симметрии, и поэтому также относящиеся к кубической системе. [c.233]

Симметрию молекулы бензола (рис. 1.20) можно целиком описать, сказав, что у нее есть ось шестого порядка, плоскость симметрии, перпендикулярная к оси, и плоскость симметрии, проходящая через ось. Но и здесь этим перечислением не исчерпываются все элементы симметрии молекулы. Присутствие трех таких элементов обусловливает наличие у молекулы центра симметрии, оси шестого порядка, шести осей второго порядка и семи плоскостей зеркального отражения. Наконец, такая тетраэдрическая молекула, как метан, имеет три инверсионных оси четвертого порядка, четыре оси третьего порядка и шесть плоскостей отражения, хотя и в этом случае для полной характеристики тетраэдрической системы можно не перечислять все эти элементы симметрии. На рис. 1.21 изображен метан, вписанный в куб. Рис. 1.17 и 1.19 помогут нам выделить различные элементы симметрии. Следует отметить, что тетраэдрическая молекула не обладает центром симметрии. [c.24]

Семь типов элементов симметрии [c.9]

Таким образом, допустимыми в кристаллах оказываются следующие семь независимых элементов симметрии [c.31]

Сложение независимых закрытых элементов симметрии приводит к 32 точечным группам или классам симметрии (рис. 205). Классы симметрии в соответствии с присутствующими в них осями могут быть объединены в семь сингоний (табл. 4). [c.346]

Точки плоскости можно связать друг с другом лишь семью различными элементами симметрии центрами симметрии (иначе—осями второго порядка 2), осями третьего, четвертого и шестого порядков, линиями симметрии (т), трансляциями (Т) и линиями скользящего отражения (g). Плоских групп симметрии значительно меньше, чем пространственных групп их всего семнадцать . [c.355]

Кристалл может обладать многими элементами симметрии, однако для его описания достаточно некоторого минимума элементов симметрии. Например, куб имеет центр симметрии, девять плоскостей симметрии, шесть осей второго порядка, четыре оси третьего порядка и три оси четвертого порядка. Однако для определения куба достаточно сказать, что он имеет четыре оси третьего порядка. Элементы симметрии кристаллической решетки образуют пространственную группу. Пространственные группы включают в себя два дополнительных элемента симметрии плоскость скольжения и ось кручения. При учете всех элементов симметрии получается 230 комбинаций пространственных групп симметрии. Кристаллическую систему можно также определить через ее координаты. Линии, проведенные параллельно сторонам элементарной ячейки кристаллической решетки и равные этим сторонам ячейки, являются координатами решетки с длиной а, Ь и с, образующими между собой углы а, р и у. Имеются семь основных кристаллических систем (синго-ний), которые можно описать как с помощью основных элементов симметрии, так и через координаты решетки. Они приведены в табл. 4.1. [c.48]

Как видно из табл. I, существуют различные виды элементарных ячеек, соответствующие семи кристаллографическим системам. Наименьшее число элементов симметрии для кристаллографических систем также дано в табл. I. [c.653]

Из символа пространственной группы Рпта (читается как Р—п—ш—а ) следует, что решетка этого типа относится к примитивной решетке элементами симметрии этой группы являются и-скольже-ние, перпендикулярное оси а, зеркальная плоскость, перпендикулярная оси Ь, и а-скольжение, перпендикулярное оси с. Условия, используемые при записи символов такого вида, и вытекающая из них информация сведены в табл. 17.1. В первом столбце приведены семь различных кристаллических систем наряду с симметриями точечных групп элементарной ячейки (т. е. симметрией, которой они обладали бы, если бы не было трансляции). В столбце характеристическая симметрия приведены те существенные элементы симметрии, которые делают кристалл единственным в своем роде по отношению к приведенным точечным группам. В столбце положение в символе точечной группы описаны условия записи этого символа и указан порядок (первичный, вторичный, третичный), в котором элементы симметрии перечислены в символе. В приведенном выше примере Рпта Р—символ решетки, а п, т и а соответственно первичный, вторичный и третичный символы. [c.367]

Если иметь в виду только внешнюю симметрию (макросимметрию) идеальных монокристаллов и, следовательно, исключить из рассмотрения элементы симметрии (винтовые оси и плоскости скольжения), присущие только пространственной решетке, то все кристаллы можно разделить на 32 кристаллографических класса, входящих в семь кристаллографических систем — син-гоний (табл. 1). [c.17]

В кристаллах могут быть лишь 32 простые совокупности элементов симметрии (Гадолии), именуемые простыми видами симметрии. Они разбиваются на семь групп, называемых сингопиями. По внешним формам кр1 -сталлы относятся к одной из шести систем. Для описания этих форм принято выбирать оси координат вдоль на- [c.146]

Элементарная ячейка — это часть кристаллической решетки, включающая все элементы симметрии, которы ми обладает данный кристалл В трехмерном простран стве она представляет собой параллелепипед Таким об разом, оси а и Ь определяют длину ребер в основании, а ось с — высоту параллелепипеда Углы а, р и характе ризуют сингонию ( сходноугольность ) кристаллической решетки В зависимости от равенства или неравенства этих углов между собой различают семь видов сингонии и четырнадцать типов элементарных ячеек (табл 6 1, рис 6 4) [c.81]

В зависимости от внешней формы и строения кристаллы делятся иа кристаллографические системы, или сингонии (син — сходный, гония — угол) Всего существует семь кристаллографических систем которые сгруппированы по набору элементов симметрии в три категории выс-шую, среднюю и низшзто К высшей категории относится только кубическая система Кристаллы, входящие в нее, в наборе элементов симметрии имеют несколько осей симметрии высшего порядка (п>2) К средней категории относятся уже три системы — тригональная (ромбоэдрическая), тетрагональная и гексагональная Кристаллы этих систем имеют лишь по одной оси симметрии высшего порядка К низшей категории относятся оставшиеся три системы— триклинная. моноклинная и ромбическая Кристаллы этих систем не имеют ни одной оси симметрии высшего порядка [c.236]

Каждая из семи сингоний имеет определенную минимальную необходимую симметрию, которой должен обладать любой реальный кристалл, чтобы его можно было отнести к данной син-гонпп. Триклинные крпста.тмы характеризуются осью 1 пли 1, моноклинные — осью 2 или 2, ромбические — тремя осями 2 или одной осью 2 и двумя осями 2, тригональные — осью 3 или 3, тетрагональные — осью 4 нли 4, гексагональные — осью 6 или 6 и кубические — четырьмя осями 3 или 3. Конечно, могут присутствовать и другие элементы симметрии, но, чтобы отнести кристалл к соответствующей сппгонии, этп минимально необходимые элементы симметрии должны быть обязательно. [c.11]

Дальнейший расчет всевозможных способов комбинации этах элементов симметрии — задача чисто математическая. Такой математический анализ был впервые проведен Хесселйм в 1830 г., который установил, что возможны 32 различных класса симметрии, известных под названием 32-точечных групп. Они представляют собой конечные в математическом смысле группы преобразований (в отличие от пространственных групп симметрии, которые содержат бесконечные группы преобразований). Эти классы называют точечными группами, так как преобразования всегда происходят при условии неподвижности одной фиксированной точки. Кристаллы обычно подразделяют на семь систем (сингоний) в соответствии с наиболее общепринятым выбором осей координат. В табл. 1 приведены 32 вида симметрии. [c.25]

Как было показано в разд. 1.5, в кристаллах имеются только тридцать две точечные группы. Другими словами, если ограничиться лишь поворотными и инверсионными осями порядков 2, 3, 4 или 6, можно найти только тридцать два возможных способа сочетания элементов симметрии. Однако эта величина получена без учета элементов симметрии, включающих трансляции. Если же учитывать также винтовые оси и плоскости скольжения, то окажется, что в кристаллическом состоянии возмолс-ны 230 различных комбинаций элементов симметрии. Эти комбинации известны как 230 пространственных групп. Они распределяются по семи кристаллическим сингониям так, как это показано в табл. 7.2. Некоторые из этих пространственных групп в реальных кристаллах встречаются редко или вовсе не встречаются, [c.148]

В заключение рассмотрим очень важный вопрос о сравнении (или корреляции) симметрии кристаллов с симметрией молекул, образующих структуру кристалла. Прежде чем рассмотреть возможные ответы на этот вопрос, вернемся вновь к проблеме симметрии в целом. В общем, чтобы описать положения всех атомов бензола СеНе, необходимо 3X12 = 36 координат. Однако в каждой молекуле бензола имеется большой набор элементов симметрии одна ось 6-го порядка, шесть осей 2-го порядка, семь плоскостей симметрии и центр симметрии. Порядок этой группы равен 24 (6X2X2), а атомов углерода всего шесть, поэтому каждый из них должен быть расположен на оси или в плоскости симметрии, так что симметрия непосредственного окружения каждого атома имеет порядок 4 = 24/6 то же самое относится к атомам водорода. В рассматриваемом примере оба типа атомов должны располагаться на осях 2-го порядка, через которые проходят две плоскости симметрии. [c.34]

На основе геометрического анализа было установлено, что существует 32 различные группы (или вида) элементов симметрии, которыми могут обладать кристаллы. В соответствии с этим все кристаллы делятся на 32 класса симметрии. Классы с общими характерными особенностями симметрии объединяются в системы, или сингонии. Существует семь кристаллических син-гоний. Каждая сингония характеризуется определенной группой элементов симметрии каждой сингонии соответствует геометрическая фигура, имеющая максимально возможную для данной сингонии симметрию. В табл. 1.1 приведены перечень сингоний и 32 класса симметрии. [c.17]

Симметрия внешней формы кристаллов является следствием симметрии пространственных решеток. Для того чтобы представить себе строение кристалла с заданной симметрией, найдем пространственное расположение атомов, которое относительно некоторой центральной точки имеет симметрию, соответствующую точечной группе. В качестве базисной ячейки решетки выберем такую, которая характеризует сингонию кристалла (табл. 1.1). Осуществляя вокруг каждого узла найденное пространственное размещение атомов, воссоздадим атомное строение кристалла. Следовательно, задача сводится к нахождению возможных расположений точек (атомов) в соответствующих местах геометрических фигур (элементарных ячеек), характеризующих32класса симметрии, которые удовлетворяют всем элементам симметрии этих фигур. Бравэ показал, что, исходя из" примитивных ячеек семи сингоний, размещая точки только по вершинам, а затем добавляя точки в центры граней или в центр ячейки, получают 14 решеток, обладающих заданной симметрией. [c.19]

Симметрия 14 пространственных решеток Бравэ соответствует симметрии 32 классов семи сингоний (рис. 1.7). Однако многие кристаллы имеют более низкую симметрию пониженная симметрия кристаллов может быть следствием только различного внутреннего расположения частиц (атомов), образующих узлы в решетке данного вещества. Пространственная решетка строится путем закономерного перемещения точек в трех непараллельных направлениях. При таком трансляционном распределении точек в пространстве кроме обычных элементов симметрии, установ- аенных для макроскопических геометрических фигур, возникают дополнительные элементы симметрии, характерные только для бесконечного пространства, образующего систему плоских сеток. [c.23]

Кристаллические структуры полуторных окислов 63X3 редкоземельных элементов можно подразделить на три группы. Окислы элементов от Ьа до N(1 имеют гексагональную структуру в которой атом металла координирован с семью атомамр кислорода, как в ЪхО . Окислы Зш, Ей и 0(1 имеют структуру с низкой симметрией [c.118]

В самом деле, на протяжении ряда церий — лютеций происходит достройка глубоколежащей Л -оболочки до ее максимальной емкости (32 электрона) путем последовательного включения 14 4/-электронов. Для Л -оболочки = 4 следовательно, 1 = 3, и т может принимать семь различных значений (от —3 до Ч-З), т. е. в совокупности появляется семь электростатически возможных орбит для /-электронов. Однако из-за наличия у электронов собственных спинов каждая из этих орбит может раздваиваться в итоге имеем четырнадцать орбит. Далее, можно предположить, что в атомах элементов, начиная с церия, первые семь орбит заполняются электронами с параллельно направленными спинами, так что у Ос1 достигается определенная электростатическая симметрия, некое завершение нодоболочки, чем и объясняется устойчивая конфигурация гадолиния. У элементов от тербия до лютеция остальные семь орбит заполняются электронами со спинами, антипар аллельными спинам первой семерки. На этом и основывается тонкая структура редкоземельного семейства это и обусловливает разделение его на две группы (цериевую п иттриевую в старом понимании), разумеется, при условии, что заполнение идет строго в соответствии с только что развитыми представлениями, а первый 4 /-электрон действительно появляется у церия. [c.104]

Тот факт, что некоторые молекулы или ионы, в которых у центрального атома в валентном уровне семь электронных пар (одна неподеленная и шесть связывающих, АХеЕ), имеют правильную октаэдрическую структуру, наталкивает на вопрос, не является ли неподеленная электронная пара стереохимически инертной. Эрч [10] предположил, что если неподеленная пара ns-электроиов центрального атома играет незначительную роль в связывании или совсем не принимает в нем участия, то она может занять разрыхляющую uig молекулярную орбиталь, не искажая 0 симметрию молекулы. Вполне возможно, что в атомах элементов, образующих такие частицы, а именно всех элементов последних периодов в высокой степени окисления и с относительно большим эффективным зарядом ядра, ns-электронные пары втянуты в элек- [c.318]

Особый интерес представляет замер тока при помощи секционных сборных катодов и анодов. Применение секционных электродов исследовал Манчелл. При измерениях с секционными катодами пли анодами необходимо, как подчеркивал Манчелл, особенно следить за тем, чтобы была обеспечена полная симметрия отдельных элементов. Если нет точной симметрии, то результаты измерений непригодны. Гейс применял аналогичный метод для исследования распределения тока при электролитическом полировании стали. Он проводил свои исследования в ячейке Хулла, имеющей разделенный на семь частей анод или катод (рис. 67). Частичный ток отдельных анодов он определил путем измерения падения напряжения на включенных сопротивлениях 0,1 ом. Для измерения служил вольтметр с сопротивлением 12 ом, исключающий все помехи при измерении тока. [c.113]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология