Уравнени Шредингера

Вычисление вероятности нахождения электрона в данном месте атома (молекулы) и его энергии — сложная математическая проб-лша. Она решается с помощью волнового уравнения Шредингера. у Волновое уравнение Шредингера. В 1926 г. Эрвин Шредингер предложил уравнение, получившее название волнового уравнения Шредингера, которое в квантовой механике играет такую же роль, какую законы Ньютона играют в классической механике. [c.13]

Уравнение Шредингера связывает волновую функцию з с потенциальной энергией электрона и и его полной энергией Е [c.13]

Поскольку точное решение уравнения Шредингера для более сложных молекул, чем Нг, невозможно, возникли различные приближенные методы расчета волновой функции, а следовательно, распределения электронной плотности в молекуле. Наиболее широкое распространение получили два подхода теория валентных связен (ВС) и теория молекулярных связей орбиталей (МО). В развитии первой теории особая заслуга принадлежит Гайтлеру и Лондону, Слетеру и Полингу, в развитии второй теории — Малликену и Хунду. [c.46]

Хотя проблема механической стабильности молекул может быть решена в принципе с помощью уравнения Шредингера, точные решения получены только для молекул Нз и Н+. Ниже будет рассмотрено несколько приближенных методов. [c.197]

Совершенно иная картина получается при рассмотрении вопроса с квантово-механической точки зрения. Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора приводит к системе волновых функций, которые являются математическим описанием состояния системы, и к ряду энергетических уровней, определяемых простым выражением [c.294]

Значение гармонического осциллятора как математической модели молекулы основано на двух фактах 1) эта модель является единственной колеблющейся системой, для которой может быть получено точное решение уравнения Шредингера 2) хотя ни одна реальная молекула не ведет себя подобно гармоническому осциллятору, почти для всех молекул эта модель является достаточно хорошим приближением, в особенности при небольшой энергии колебаний. [c.295]

Однако макроскопические свойства системы могут быть выведены и иным путем — из анализа микроскопических свойств объектов и сил взаимодействия, существующих между ними. Наиболее простой и бесхитростный способ решения такой задачи состоит в том, чтобы, зная исходные данные (начальные условия), решить соответствующее уравнение связи для каждой частицы. Ситуация при этом носит достаточно общий характер — если объекты системы достаточно велики и подчиняются законам классической физики, то необходимо решать уравнения классической механики (Сравнения Ньютона) при знании начальных координат и импульсов каждого объекта если же речь идет о микрообъектах, подчиняющихся законам квантовой механики, то необходимо решать волновое уравнение Шредингера при знании начальных волновых функций и сил взаимодействия. Единственные затруднения такого прямолинейного анализа состоят в том, что, во-первых, число объектов в реальных системах весьма велико (например, при нормальных условиях Т = = 29.3 К, Р = 1 ат, в 1 см содержится N = 2,7-10 молекул — число Лошмидта, что означает необходимость решения 3-2,7-10 8-10 уравнений при 6-3-2,7 х X 10 5-10 значениях начальных условий) и, во-вторых, точные значения начальных условий неизвестны. Поэтому необходим иной подход [11]. [c.24]

Для системы частиц массы т, движущихся в поле потенциальных сил и, волновое уравнение, известное как уравнение Шредингера [16], имеет вид [c.58]

Это уравнение лежит в основе квантовой механики и ее приложений. Оно называется временным уравнением Шредингера (1926 г.). [c.28]

Не следует думать, что мы изложили вкратце путь вывода этого уравнения из законов классической физики и формул де Бройля. Такой вывод невозможен, ибо квантовая механика — более общая теория и справедливость уравнения Шредингера доказывается его соответствием колоссальному фактическому материалу квантовой физики, а также его внутренним совершенством , т. е. согласованностью с общими физическими представлениями. Выше мы привели лишь некоторые наводящие рассуждения . Теперь немного об истории открытия этого уравнения. [c.28]

Рассмотрим систему, у которой оператор Гамильтона не зависит явно от времени. В этом случае волновое уравнение Шредингера (14) допускает разделение переменных [c.51]

Последнее уравнение называется стационарным уравнением Шредингера. Его решения 1 з (х, у, г) соответствуют состояниям системы, в которых энергия [c.51]

Итак, в нашем случае электрон движется вдоль оси. V в обоих направлениях (вперед и назад), но по условию задачи он не может находиться вне ямы, где и — оо, и потому его волновая функция 11з(л ) = 0 при лг О и л а. Найдем выражение для функции л1з(х) и энергии электрона внутри ямы, т. е. между точками О и а (область II на рис. 10). Уравнение Шредингера для этой области, если принять в ней и х) = О, имеет вид [c.53]

Более строго вид уравнения Шредингера для атома водорода В атомных единицах получается так. Сначала запишем это уравнение в обычных единицах [c.70]

Действительно, как было показано акад. В. А. Фоком в 1935 г., полная группа симметрии атома Н, объясняющая оба типа вырождения (по пг и по /), есть группа вращении четырехмерного шара 0(4). Для того чтобы связать теорию атома водорода с симметрией четырехмерного щара, Фок записал уравнение Шредингера не в обычном виде, а в особых, введенных им координатах, зависящих от компонент импульса электрона, причем число таких координат (размерность пространства Фока) равно четырем. [c.82]

Уравнение Шредингера для молекулярной системы примет тогда вид [c.110]

Зависимость волновой функции от двух наборов динамических переменных к н г) выражает тот факт, что движения электронов и ядер в молекуле строго говоря, связаны между собой. Но, как уже отмечалось, этой связью часто пренебрегают, полагая, что указанные виды внутримолекулярных движений мож-ной разделить, т. е. считать их как бы независимыми. Тогда подсистемы ядер и электронов будут характеризоваться каждая своей волновой функцией и своим уравнением Шредингера. Для электронной оболочки молекулы последнее может быть записано следующим образом [c.110]

Пусть адиабатический потенциал г Qi, Ск) нелинейной симметричной молекулы, являющийся формальным решением электронного уравнения Шредингера, имеет несколько пересекающихся в точке ветвей. (Для примера, на рис. 24 представлен случай двукратного вырождения, т. е. когда двум электронным состояниям Ф[ и Фг нелинейной симметричной молекулы отвечают в точке С одинаковые значения г , т. е. имеет место пересечение ветвей адиабатического потенциала). Тогда в этой точке потенциал не имеет минимума. Иными словами, для нелинейной симметричной многоатомной системы в случае электронного вырождения всегда найдутся такие ядерные смещения, для которых (дг дQ)Qo ф 0. [c.112]

Короче говоря, вблизи точки вырождения адиабатический потенциал минимума не имеет, но изменится ли от этого ядерная конфигурация, сказать заранее, без рассмотрения уравнения Шредингера для подсистемы ядер, нельзя. [c.113]

Сотрудником Института-Гайтлеру стать не довелось, но общение с Бором, Гейзенбергом И в особенности с О. Клейном, не прошло бесследно— вопросы квантовой теории все более интересовали его. Там (в Копенгагене — И. Д.) я начал одну статью, в дополнение к своим работам по физической химии, которая называлась Свободный пробег молекул и квантование молекулярных движений . Это исследование было посвящено изучению движения частиц с помощью уравнения Шредингера. [c.155]

Законы движения микрочастиц в квантовой механике выражаются уравнением. Шредингера, которое играет в ней ту же роль, что и законы Ньютона в классической механике. Как и законы Ньютона, это уравнение невозможно вывести из каких-либо более [c.18]

Уравнение Шредингера является дифференциальным уравнением в частных производных. Для стационарного состояния одной частицы оно имеет вид . [c.19]

Иа уравнения Шредингера находят полную энергию системы Е и зависимость функции г) (и ф ) от координат, т. е. распределение электронной плотности. Решение уравнения Шредингера для атомов и молекул всегда приводит к определенному набору дозволенных значений Е. Таким образом, теоретически выводится известное из опыта квантование энергии. Примечательно, что этот ре-.зультат получается из уравнения (1.24), которое само не содержит набора каких-либо чисел. Найдя Е и х,у,г), можно вычислить любые определяемые экспериментально характеристики рассматриваемой системы. [c.19]

Уравнение (1.24) применимо только в тех случаях, когда состояние системы не изменяется с течением времени, — это уравнение Шредингера для стационарных состояний. В общей форме уравнение Шредингера включает время. [c.19]

Строгое аналитическое решение уравнения Шредингера возможно только для одноэлектронных систем. В более сложных задачах применяют приближенные методы, которыми пользуется квантовая-химия. [c.20]

При решении уравнения Шредингера в данном случае пользуются полярной систс-мой координат, центр которой совпадает с ядром атома (рис. 1.5). Если в прямоугольной (декартовой) системе координат положение частицы задается координатами х, у и 2, то в полярной системе оно оиределяется радиусом-вектором г (расстоянием частицы от центра системы координат) и углами 0 (угол широты) и ф (угол долготы). [c.21]

Наличие трех степеней свободы приводит к тому, что в решении уравнения (1.24) появляются три величины, которые могут принимать только целочисленные значения — три квантовых числа они обозначаются буквами п, I и т . Эти величины входят в выран<е-ния как радиальной, так и угловой составляющих волновой функции. В самом общем виде результат решения уравнения Шредингера для атома водорода можно выразить записью [c.21]

Энергия электрона в атоме водорода зависит только от числа л решение уравнения Шредингера дает соотношение [c.26]

Как видно, получается то же выражение, что и в теории Бора ( см. уравнение (1.18)], 1ю в отличие -от последней квантовая механика приходит к этому результату путем решения уравнения Шредингера, не прибегая к произвольному предположению о возможности движения электрона по определенному набору орбит, задаваемому рядом целых чисел. [c.26]

Волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера, называется орбиталью. Соотношение волновых функций г() и 1 ) а также 4л для электрона с наименьшей энергие в атоме водорода но-Рис. 4. Волновые функции и плот- казано на рис. 4. Понятно, что иость вероятности для электрона ДЛЯ электрона С другой энерги-атома водорода с наименьшей энер- ей ВИД кривых буДеТ ИНЫМ, гией [c.14]

Современные методы исследования позволяют экспериментально определить пространственное расположение в веществе атомных ядер. Как указывалось выше, согласно квантовомеханическим представ-ленилм можно говорить лишь о вероятности нахождения электронов II поле атомных ядер. Данному пространственному размещению атомных ядер отвечает определенное распределение электронной плотности. Выяснить, как распределяется электронная плотность, по сути дела, и означает описать химическую связь в веществе, но для. этого, как известно, необходимо точное решение уравнения Шредингера, что осуществлено только для иона Иг, состоящего из двух протонов и одного электрона. [c.41]

Как уже указывалось, для молекулярного иона водорода Н2 можно по уравнению Шредингера точно вычислить энергию электрона и распределение электронной плотности. При расчетах элект-ронн(1Й плотности в молекуле предполагается, что ядра неподвижны. [c.45]

Простейшей молекулярной моделью, рассматриваемой при исслед<1 вании вращательных уронней энергии, является жесткая линейная система точечных масс, которые прсдстанляют собой атомы. Решение уравнения Шредингера для такой системы приводит к следующему выражению дли уровней энергии [c.306]

Ковалентная связь. Метод валентных связей. Мы уже знаем, что устойчивая молекула может образоваться только при условии уменьшения потенциальной энергии системы взаимодействующих атомов. Для описания состояния электронов в молекуле следовало бы составить уравнение Шредингера для соответствующей системы электронов и атомных ядер и найти его решение, отвечающее минимальной энергии системы. Но, как указывалось, в 31, для мно-гоэлсктронных систем точное решение уравнения Шредингера получить не удалось. Поэтому квантово-механическое описание строения молекул получают, как и в случае многоэлектронных атомов, лишь на основе приближенных решений уравнения Шредингера. [c.119]

Полученные Гейтлером и Лондоном (и впоследствии уточнен- ные другими исследователями) расчетные значения межъядерного расстояния и знергии связи в молекуле водорода оказались близки к экспериментально найденным величинам. Это означало, что нри ближения, использованные Гейтлером и Лондоном при решении уравнения Шредингера, не вносят суии стеенных ошибок и могун считаться оправданными. Таким образом, исследование Гейтлера и Лондона позволяло сделать вывод, то химическая связь в молекуле водорода осуществляется путем образования пары электронов с противоположно направленными спинами, принадлежащей обоим атомамДПроцесс спаривания электронов при образовании моле кулы водорода может быть изображен следующей схемой [c.121]

Волновое уравнение Шредингера (2.23) имеет две особенности во-первых, оно лппейно относительно волновой функции и, во-вторых, симметрично относительно обраш,ения времени. Второе свойство позволяет установить соотношения между сечениями и коэффициентанш скорости прямой и обратной реакций в процессах типа (2.3) или (2.9). Статистическое соотношение менэду сечениями называется принципом микроскопической обратимости, а статистическое соотношение между коэффициентами скорости — принципом детального равновесия. [c.60]

Первая из цикла статей под общим заглавием Квантование как задача о еобственньцс значениях поступила в редакцию Annalen der Physik 27 января 1926 г. В ней было дано так называемое стационарное уравнение Шредингера (см, далее). Последняя, четвертая, публикация цикла поступила в редакцию 21 июня 1926 г., в ней содержится приведенное выше временное уравнение, [c.32]

Уравнение Шредингера описывает состояния электрона, движущегося в трехмерном пространстве. При этом требования теории относительности никак не учитываются. Если же их учесть, то уравнение Шредингера следует заменить другим, релятивистским уравнением Дирака, из которого непосредственно вытекает существование у электрона собственного момента импульса, а следовательно, и собственного магнитного момента. Собственный момент электрона (S) называют также спиновым (от английского глагола to spin — прясть, плести, крутить(ся), вертеть(ся)) или просто спином. [c.57]

Рассмотрим уравнение Шредингера для некоторой микросистемы, энергетический спектр 1 оторой дно, кретен [c.68]

Возьмем далее вместо функции Ч ") , являющейся точным решением уравнения Шредингера, некую npo-извольную (или, как ее еще называют, пробную) функцию Ф. Впрочем, Ф не вполне произвольна, предполагается, что она зависит от тех же переменных й удовлетворяет тем же условиям, что и функции (в частности, ф полагается нормированной на 1). Тогда пробную функцию Ф можно разложить в ряд по собственным функциям гамильтониана Й [c.68]

Таким образом, результаты расчетов, выполненных по методу ОХФ, отличаются от результатов, полученных из точного решения нередятивистского уравнения Шредингера (разумеется, такие решения далеко не всегда известны). Эти отличия связывают с корреляционными эффектами, подразумевая под этим кулоновскую корреляцию. Так, электронная энергия, вычисленная в приближении ОХФ, отличается от истинной эл (которая может быть найдена экспериментально) на величину корр [c.186]

Квантовая механика. Уравнение Шредингера. В 1925— 1926 гг. Гейзенберг (Германия) и Шррдингер (Австрия) разработали новую механику, описывающую движение микрочастиц. Механика микрообъектов получила название квантовой механики. Механику, основанную на законах Ньютона, применимую к движению обычных тел, стали называть классической механикой. [c.18]