Интегрирование нескольких переменных

Вычисление кратного интеграла связано с интегрированием функции нескольких переменных, заданной в некоторой области, ограниченной в обш,ем случае криволинейными поверхностями. Существует большое число методов вычисления кратных интегралов, которые обычно аналогичны методам вычисления однократных интегралов. Так же как и для однократного интеграла, кратный интеграл заменяется линейной комбинацией значений интегрируемой функции в конечном числе точек. Отличие заключается в том, что область интегрирования является совокупностью точек п-мерного пространства, где п — кратность интеграла. Например, при вычислении двойного интеграла областью интегрирования будет часть плоскости, ограниченной пределами интегрирования по двум измерениям. При вычислении кратных интегралов используются те же формулы, что были рассмотрены для однократных интегралов, только примененные по каждой из переменных подынтегральной функции. Разнообразие методов объясняется тем, что по тем или иным соображениям по разным переменным могут быть использованы различные формулы [29]. [c.215]

Точность решения задачи на АВМ ограничена. Если интегрирование АВМ могут выполнять с точностью до 0,01%, то при решении сложных уравнений, содержащих произведения нескольких переменных, нелинейные функции и т. п., ошибка может достигать 10%. [c.325]

Интегрирование дифференциала функции нескольких переменных. [c.315]

Эта лемма справедлива как при одной, так и при нескольких переменных интегрирования, причем пределы интегрирования могут становиться и равными оо, лишь бы интеграл, написанный выше, существовал. Используя эту лемму применительно к (4), приходим с учетом вещественности ф, бф и / к равенству [c.143]

Задание 28. Напишите программу для интегрирования методом Монте-Карло, так чтобы можно было интегрировать функцию нескольких переменных не только по объему /V-мерного параллелепипеда, но и по объему /V-мерного шара. В пространстве двух измерений шар вырождается в круг для многомерного пространства случайные числа надо выбирать так, чтобы выполнялось неравенство [c.67]

Для решения системы уравнений (1У-28)—(1У-31) разбивают интервал изменения г от О до 1 на несколько участков, так что каждому соответствует приращение переменной интегрирования АС. Значения УУд, / и 0 в каждой точке (на границе участков) должны быть предварительно приняты (нулевое приближение). Их можно принять на основе приближенных расчетов и предположений или же задаться ими произвольно (можно, например, положить все I равными [c.268]

Классический метод решения параболического уравнения в частных производных (8.23) с условиями однозначности третьего рода (по классификации, принятой в математической физике) состоит в разделении переменных т и г, в представлении уравнения в виде системы двух уравнений в полных производных, в их решении и определении трех констант интегрирования из трех независимых условий однозначности (8.24). Подобный алгоритм получения такого решения в форме бесконечного ряда Фурье рассмотрен в гл. 3 на примере решения задачи нестационарной теплопроводности тела плоской формы (см. решение (3.41) системы уравнений (3.28)). Задача (8.23), (8.24) сформулирована для тела шаровой формы, что не отражается на принципе и последовательности получения решения, а лишь несколько изменит конечный результат, который приводится здесь (без вывода) только для среднего по объему шаровой частицы значения концентрации С компонента [c.489]

При интегрировании дифференциальных уравнений, о котором говорилось выше, появляется несколько констант интегрирования. Их находят, используя граничные условия , т. е. определенные физические соотношения при некоторых фиксированных значениях независимой переменной. Ниже приведены наиболее часто применяемые граничные условия. [c.46]

Несколько произвольный выбор верхнего предела интегрирования оправдывается тем соображением, что добавка к сумме состояний, связанная с частью ячейки, лежащей за пределами сферы с радиусом а, за исключением, быть может, высоких температур, должна быть мала в силу наличия сил отталкивания. Заменяя в уравнении (70.20) переменное г ъа у при помощи соотношения (70.9), получим 1/1 [c.564]

Дело в том, что переменные и характерные времена их изменения отличаются между собой по величине на несколько порядков. Поэтому, по мнению авторов [77, 78], обычные методы численного интегрирования типа Рунге-Кутта или прогноза и коррекции являются непродуктивными, так как требуют существенно малого шага интегрирования и, следовательно, большого времени решения кинетической задачи на ЭВМ. По этой причине в работах [77, 80] был разработан метод решения, использующий самосогласованную матричную процедуру при трех основных предположениях 1) время — непрерывная переменная 2) продолжительность столкновений, которые приводят к переходу исходных молекул в другие состояния, мала по сравнению с рассматриваемым характерным временем 3) начальное распределение траекторий частиц должно быть таким, чтобы распределение времен первых столкновений было случайным. [c.56]

Чтобы получить коррелятор (Si, S , Bs)q во временном представлении, следует проинтегрировать (49) или (50) по tx, t-i, ta. При интегрировании необходимо уточнить произвольные константы интегрирования или в данном случае (вследствие наличия нескольких переменных) произвольные функции. Возникающая неопределен- ность имеет вид суммы [c.167]

Уравнения (11.151) и (11.152) позволяют определить время проведения процесса, например, графическим интегрированием. С этой целью при известном значении р, соответствующем началу процесса, когда в колонне уже установился режим стабилизированной ректификации, с помощью уравнения (11.125) задается состав кубовой жидкости Хл/(нач) (или, наоборот, при заданном значении д (нач) находится начальное значение р). Рассчитав по уравнению (11.125) для ряда последовательно уменьшающихся значений р соответствующие значения Хм (хо — заданный состав продукта остается постоянным), нетрудно построить кривую зависимости подынтегральной функции в (11.152) от хц. Площадь под кривой в интервале от. л/(нач) до ДГ(У(кон) и предынтегральный множитель дадут искомую величину Сравнение обоих рассмотренных вариантов периодической ректификации (без учета жидкостного захвата в ректифицирующей части колонны) при получении продукта одинакового состава с одинаковым выходом показывает, что осуществление процесса с постоянной скоростью отбора продукта требует несколько большего времен . Тем не менее на практике этот вариант по существу лишь и используется, что объясняется его большей теХ Нической простотой по отношению к варианту с переменной скоростью отбора. [c.92]

Величины аг=1// гС называются коэффициентами передачи интегратора по -му входу. Выражение (XIV.6) показывает, что для нескольких входов схема одновременно суммирует ряд переменных и производит интегрирование суммы. Такие операционные блоки называются интегросумматорами. [c.328]

Числовые величины. В(зсь числовой материал можно разделить на четыре группы постоянные и переменные величины, начальные условия для интеграторов и координаты XV для произвольных функций. Постоянные величины, как говорит их название, Ъто величины, которые остаются неизменными для всех циклов счета. Ими являются, например, некоторые константы, используемые в генераторах стандартных функций. Иногда цикл вычислений необходимо повторять несколько раз подряд для разных значений некоторых констант, используемых в задаче. Те величины, которые изменяются от цикла к циклу, называются параметрами, и их значения записываются в нужной последовательности в конце программы. РТачальными условиями для интеграторов являются постоянные интегрирования. Если величина постоянной интегрирования не определена заранее для какого-нибудь интегратора, то программа будет выполняться с нулевым начальным условием для этого интегратора. Когда перечисляется совокупность параметров для отдельных циклов счета, необходимо каждый раз восстанавливать начальные условия, если они не нулевые. [c.48]

Ниже по течению от точки нейтральной устойчивости, т. е. с увеличением G x), возмущение усиливается со скоростью, характеризуемой коэффициентом —а,-. Отношение амплитуд, как и прежде, рассчитывается с помощью уравнения (11.2.34), в котором следует использовать величину 4Л при постоянном тепловом потоке от поверхности и величину ЗА в случае изотермической поверхности, т. е. n = 0. Эти расчеты роста амплитуды возмущения являются, как и прежде, приближенными, поскольку форма профиля амплитудной функции изменяется с увеличением a по мере движения вниз по течению эти вычисления выполняются в рамках всех остальных предположений, указанных в предыдущих разделах. Интегрирование проводится вдоль траектории возмущения заданной частоты Р в плоскости переменных oi, Gi. Этим траекториям соответствуют линии = onst. Кривые постоянных значений А были рассчитаны для числа Прандтля 0,7, трех чисел Шмидта S = 0,94, 2,0, 0,2, что соответствует Le = 1,34, 2,86, 0,286, и для нескольких значений N. Эти кривые получены в той полосе частот, в которой происходит в каждом случае наиболее быстрое усиление возмущения. [c.101]

Для расчета химических потенциалов падо вычислить производные от свободной энергии по числу частиц. Используем независимость свободной энергии от порядка фиксации частиц. Будем выбирать всякий раз такой порядок, чтобы пнтересуюп1,ий нас тип многоцентровых частиц фиксировался последним, непосредственно перед фиксацией одноцентровых частиц. Тогда изучаемое покрытие войдет в выражение для свободной энергии один раз в качестве верхнего предела интегрирования и, кроме того, соответствуюш ее число частиц войдет в несколько членов, не содержащих интегралы. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральному выражению с заменой переменной интегрирования на этот верхний предел. Поэтому, применяя соотношения (П1,15) и (П1,108), получим активированные комплексы [c.90]

Все эти недостатки исчезают, если выбран язык программирования, позволяющий создавать независимые модули. Как фортран, так и паскаль удовлетворяют этому требованию. Классические программы интегрирования на этих языках легкодоступны в большинстве научных библиотек программ. Поскольку они входят в подпрограммы, то данные передаются в виде списка аргументов, представляющих не только численные значения (начальные концентрации, время, шаг интегрирования, число уравнений и т. д.), но также и обозначения подпрограмм (вычисления производных, вывод результатов в процессе счета). Подпрограмма численное интегрирование включает цикл, в котором при каждом шаге осуществляется расчет нескольких производных, и блок хранения результатов интегрирования. Для обращения к этой подпрограмме пользователь должен написать две специальные подпрограммы, вычисляющие параметры, необходимые для программы интегрирования. Таким образом, мы обращаем внимание на тот факт, что использование коммерческой подпрограммы интегрирования требует знания языка программирования, в большинстве случаев это фортран. Пользователю придется также написать основную программу считывания данных и вызова подпрограммы интегрирования. Поскольку часть этих данных должна быть также приемлема для подпрограмм, занятых вычислением производных и выводом результатов, необходимо использовать зоны OMMON (на фортране) или обобщенные переменные (в паскале). [c.179]

Измерительные приборы делят на показывающие (допускают только отсчи-тывание показаний), регистрирующие самопишущие (с записью показаний в форме диаграммы), регистрирующие печатающие (с печатанием показаний в цифровой форме), интегрирующие (измеряемая величина подвергается интегрированию по времени или по другой независимой переменной), суммирующие (показания функционально связаны с суммой 2 или нескольких величин, подводимых по различным каналам), аналоговые (показания которых — непрерывная функция изменения измеряемой величины), цифровые (вырабатывающие прерывные, раздельные — дискретные — сигналы о значении измеряемой величины с представлением показаний в цифровой форме). [c.70]

Интеграл в уравнении (3.3) известен как интеграл свертки а с представляемым им процессом свертки часто сталкиваются при анализе систем, зависящих от времени. Это сложный вид умножения, который преодолевает физическую бессмысленность выполнения прямого произведения или получения частного двух связанных, зависящих от времени функций. Этот особый вид интеграла свертки известен как суперпозиционный интеграл, который формализует принцип суперпозиции. Если включают в этот принцип деформационные явления, то их связывают с Больцманом [3], а если рассматривают электрические явления, то отдают должное Хопкинсону [4]. Уравнение (3.3) может быть преобразовано интегрированием по частям и (или) заменой переменных в несколько различных уравнений, но подобных по внешнему виду. Для определенного вида х 1) одни могут оказаться более удобными, чем другие. Например, уравнение (3.3) неудобно, если функция х 1) является ступенчатой. [c.36]

Сказанное выше для одной случайной величины можно обобщить на случай нескольких случайных величин I = (gi,. .., 5г)- Разница в том, что в случае многокомпонентного, векторного характера такой же характер будут иметь ii и и, а также переменная интегрирования г (Zi, Zr). При этом в (6) под dz следует понимать dzi, dZj., под иг и г- следует понимать UaZa н 1]% соответ- [c.37]

В стабилизированной электролитической системе во временной зависимости появляются короткопериодные пульсации электрического потенциала микроэлектрода (рис. 2.13), достигающие (при постоянной времени интегрирования - 0,5 с) -15 % от его среднего значения. Данное состояние достигается за счет постоянного потенциала активации и недопущения влияния внешних возмущающих воздействий (минимальных температурных вариаций отсутствии переменных полей электрического потенциала, вызываемых, например, движением человека). Появление подобных пульсаций имрет место только в высокостабильной активированной воде после достаточно длительного времени активации (несколько часов) и при небольших потенциалах тока в активаторе (до -50 В), При перемешивании воды подобные импульсы потенциала микроэлектрода исчезают. [c.87]

Расчеты теплоотдачи и потерь давления в области сжимаемого течения отличают два обстоятельства, несущественные при низких скоростях. Первое — недопустимость использования средних значений переменных, характеризующих поток, при значительном изменении плотности поэтому часто требуется интегрирование в направлении потока. Второе заключается в том, что в соответствии со авойствами энтропии, вытекающим из второго закона термодинамики, максимальный массовый расходе условиях, когда линейная скорость жидкости приближается к скорости звука, может оказаться ограниченным. Например, при данном давлении на входе расход на выходе из канала постоянного сечения достигает максимума, когда скорость там равна скорости звука дальнейшее уменьшение давления на выходе не ведет к увеличению расхода. Общий анализ термодинамики одномерного сжимаемого течения был проведен Шапиро и Хоторном [31], которые вывели упрощенные уравнения для нескольких важных случаев. Термодинамика течения в каналах, включая вопросы максимальной скорости истечения, рассмотрена также Кинаном [17] и Хэнсэйкером/ и Райтмайером [12]. [c.430]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология