Теорема о производной

Очевидно, при таком выборе К х) функция 11 (х) будет иметь по крайней мере и + 2 корня на интервале определения / х), включая концевые точки, и по теореме о среднем ее производная обращается в нуль, по крайней мере в -Ь 1-й точке. Выполняя дифференцирование функции П х) 4-1 раз для произвольного X отрезка определения функции / (х), получим [c.310]

Так как А — функция состояния, то согласно теореме Коши значение ее производных не зависит от порядка дифференцирования. Отсюда, приравнивая вторые производные, получим уравнение [c.226]

При помощи сопряженного процесса удается в компактном виде записать выражения для частных производных оптимизируемой функции Ф х (к), к)) по варьируемым параметрам (к) и х к), т. е. оказывается справедливой приведенная ниже теорема 2. [c.205]

Теорема 2. Частные производные функции Ф по параметрам (к) и (к) равны [c.205]

Теоре.ма 2 показывает, что для нахождения всех частных производных дФ 1ди (к) и дФ /дx J к) достаточно по одному разу рассчитать оптимизируемый и сопряженный процессы. Теорема 1 при этом гарантирует существование и единственность решения уравнений сопряженного процесса (при выполнении условий теоремы). [c.206]

Теорема 3. Для процессов, характеризующихся звеньями с распределенными параметрами, частные производные [c.207]

Все остальное остается без изменений и частные производные оФ,1ди, к п дФ /дx J k) находятся по формулам теоремы 2. [c.208]

Ласс и Ли (1968 г.) применили теорему Ильина, Калашникова и Олейника (1962 г.) к модели частицы катализатора. Принцип максимума дает ограничение траекторий широкого класса параболических дифференциальных уравнений в частных производных. Среди задач, рассматриваемых в данной книге, эта теорема особенно часто используется при рассмотрении уравнения (VH, 21), которое может быть записано в виде [c.211]

Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование неявных функций. Повторное дифференцирование. Теорема о равенстве смешанных производных. [c.149]

Так как производные не зависят от порядка дифференцирования, то первая теорема о полном дифференциале записывается как [c.104]

Теорема Като . В ряде задач квантовой химии представляет интерес вычисление электронной плотности на ядрах. Здесь может оказаться полезным некоторое точное соотношение для производной волновой [c.245]

Вторая теорема. Частные производные всех характеристических функций по концентрации при постоянстве соответствующих характеристических параметров состояния равны между собой. Докажем, что [c.152]

Теорема 4. Пусть G — граф сети, в которой отсутствуют явные входные потоки. Предположим, что гипотеза 1 теоремы 3 справедлива и что Р,(с) удовлетворяют гипотезе 3 этой теоремы, за исключением условия для производных. В таком случае [c.344]

Изображение производных от оригиналов находится по теореме дифференцирования следующим образом [c.40]

Сила давления в общем случае определяется интегралом, взятым от элементарных сил давления по поверхности, соприкасающейся со средой. Однако такой способ вычисления гидродинамических сил обычно не удается применять ввиду трудностей, связанных с нахождением закона распределения давления по поверхности тела, обтекаемого средой в ограниченном пространстве. В связи с этим силы давления, действующие на элементы регулирующих и распределительных устройств, чаще определяют с помощью теоремы об изменении количества движения среды, протекающей сквозь выделенный объем. В приложении к решению подобного класса задач теорема формулируется следующим образом сумма локальной производной по времени от количества движения среды в некотором замкнутом фиксированном объеме V потока и количества движения среды, протекающей в единицу времени сквозь внешнюю поверхность 5, ограничивающую этот объем, равняется сумме объемной силы Р , действующей на среду, заключенную в объеме V, главного вектора Р поверхностных сил, действующих на внешней поверхности 5, и гидродинамической реакции Рт- непроницаемого тела, обтекаемого потоком внутри объема V. Эта теорема может быть выражена уравнением [c.301]

При движении жидкости через рабочее колесо скорости частиц жидкости непрерывно меняют свое направление и величину, а следовательно, на частицы жидкости со стороны лопастей действуют силы. По третьему закону Ньютона, частицы жидкости действуют на лопасти колеса с той же силой, но в обратном направлении. Найдем момент от воздействия потока воды при установившемся движении на лопасти рабочего колеса и соответствующую развиваемую при этом мощность. Для этого воспользуемся теоремой о изменении момента количества движения, согласно которой производная по времени момента количества движения системы материальных точек равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на эту систему. [c.86]

В силу упражнения 6 функция ( , А) с1а ) голоморфна на множестве г, Л) е С X г < ехр[-Р (Ке А)] . Представим функцию Л е в виде А = В. + Ю, где В, С . Пользуясь теоремой 5.29 при действительных t и упражнением 6 при остальных , мы можем оценить производные [c.130]

Согласно теореме Коши [106], поскольку коэффициенты при первой и второй производных в уравнении (5.34) не имеют особых точек, ряд (5.37) сходится при любых X. [c.147]

Эта теорема вытекает из соотношения для производной функции (см. п. 6), которое следует применять при ->0+. Предельным переходом из этого соотношения при 5->оо [c.595]

Действительно, как основополагающая для наших рассуждений теорема о сжимаемости (7), так и вытекающие из нее соотношения (20), (69)—(71) являются вполне строгими результатами статистической механики. При их выводе, как мы видим, не использовались какие-либо предположения о структуре полной энергии взаимодействия системы и (1,. .., Щ. Производные по химическим потенциалам в соотношениях (7), (20), [c.210]

Согласно этой теореме, на любой из главных изоклин системы, имеющей только простые положения равновесия, чередуются положения равновесия, для которых Д<0 (седла), с положениями равновесия, для которых Д > О (узлы или фокусы). Теорема Пуанкаре справедлива, если изоклина Р(х,у) = = 0 [или Q(x,y) =0] не имеет особых точек, т. е. таких точек, в которых одновременно равны нулю обе частные производные дР/дх и дР/ду (или соответственно dQldx и dQ/dy). [c.67]

Первая теорема. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию V хиХ2,..., Хп), полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть знакопостоянная функция со знаком, противоположным знаку V, или функция, тождественно равная нулю, то невозмущенное движение устойчиво. [c.161]

V, удовлетворяющую условиям второй теоремы (т. е. такую, для которой производная знакоопределенна и противоположна по знаку I/), это означает, что в окрестности иолон ения равновесия можно построить континуум вложенных друг в друга замкнутых контуров V - М. Каждый из них пересекается [c.161]

Между двумя корнями многочлена расположен по меньшей мере один корень его производной. Это свойство следует непосредственно из теоремы Ролля для непрерывных функций [25]. [c.185]

Теорема 6 полностью решает вопрос об устойчивости стационарных решений, включая критические случаи. Следующая теорема показывает, насколько большими могут быть взяты отклонения от устойчивого стационарного решения, чтобы построенные по таким данным решения стабилизировались к нему же. Будем предполагать выполненным условие А. Пусть щ имеет ограниченную производную и удовлетворяет соответствуюпцш граничным условиям. Будем говорить, что Un Miv), где Miv) — область притяжения стационарного решения v, если решение и х, t) соответствующей задачи для уравнения (19) с начальными данными uix, 0) = Utiix) существует ии(х, t)—>. v x). Справедлива [c.96]

Из результатов работы [Ц], как сообщил автор, пользуясь существенпо дивергентным видом уравнений (7), можно доказать корректность адачи (7) —(9) в малом для начальных данных и"(л ) из С(0). Так же можно доказать аналог теоремы 1 для общих краевых условий, удовлетворяющих условию дополнительности. При конкретизации функций р<(и), Ьц и) и параметров задачи можно рассматривать й неотрицательные начальные данные и (л ) О, а при на,личии априорной оценки решений в С(Й) и расщепленности системы (7) но старшим производным можно доказать разрешимость в целом . Для иллюстрации сказанного мы ограничимся примером, который будет приведен ниже. Более подробно с использованием теорем сравнения для расщепленных параболических систем и разрешимостью в це-лодг можно познакомиться в [12, 13]. [c.106]

Теорема Ролля (для непрерывной функции fix) с непрерывной производной в промежутке от а до Ь) [c.101]

Изоклины являются местом расположения точек, в которых траектории имеют наклон т. Исходя из различных начальных точек, представляющих интерес, можно при желании покрыть фазовую плоскость траекториями любой степени плотности. Давно доказанные теоремы [Беллман (1953 г.) и Страбл (1962 г.)] утверждают, что для системы вида (III, 1) траектория из любой точки будет единственной, когда функции fi и /2 имеют непрерывную первую производную по каждому из аргументов. Поскольку это всегда верно для моделей химических реакторов, траектории могут пересекаться только в сингулярных точках, где производные d /dt и dx]/di равны нулю. Эти точки представляют одно или несколько стационарных состояний, определяемых уравнениями (I, 5). Более детально вопрос о фазовых плоскостях освещен, например, в книгах Траксаля (1955 г.) и Перлмуттера (1965 г.). [c.57]

Если все потоки и составы на тарелках 1 Олонны при времени I известны, то по уравнению (1У,54) мо кно вычислить значение производной по 1. Розе применил это значение производной для расчета состава на /-той тарелке при t -f Дг. Вообще мольная доля на /-топ тарелке при г -( Дг на основании теоремы Лагранжа составляет [c.108]

Здесь существенно подчеркнуть, что вещество должно быть чистым, а кристалл лишенным дефектов. Наличие примесей и дефектов в кристаллической решетке увеличивают энтропию. Высказывая утверждение, Планк основывался на известных уже в то время свойствах веществ при температурах, близких к абсолютному нулю. Оьгласно более поздним экспериментальным данным и теории [функция Дебая (11.120)] теплоемкость не только стремится к нулю при Т О, но убывает значительно быстрее температуры, а именно пропорционально ее кубу, поэтому подынтегральная функция (111.22) или (111.23) с понижением температуры стремится к нулю. Известно, что тела в области низких температур как бы теряют связь с миром тепловых явлений — многие их свойства (в том числе теплоемкость, объем, энтропия перестают зависеть от температуры). В термодинамике химических реакций известно положение, называемое теоремой Нернста, согласно которому производная теплового эффекта потемпературе стремится к нулю с понижением температуры. Все это, конечно, не доказывает постулативное положение. Более убедительное объяснение постулата Планка доставляет статистическая термодинамика (см. гл. VI), согласно которой [c.83]

Из уравнения Гиббса — Гельмгольца следует, что при Т = ОК АО = АН, т. е. ДС- и ДЯ-кривые сходятся в одной точке. Опыт показывает, что не только при абсолютном нуле, но и вообще при очень низких температурах эти две кривые для многих реакций, в которых участвуют только твердые вещества, асимптомотически сближаются и идут почти горизонтально это говорит о том, что при очень низких температурах свойства твердых тел мало зависят от температуры. В. Нернст высказал утверждение, что в конденсированных системах вблизи абсолютного нуля АО- и АН-кривые имеют общую касательную, параллельную оси температур (тепловая теорема Нернста) . Математически это означает, что пределы производных теплового эффекта и изобарного потенциала по температуре равны нулю, т. е. [c.146]

Важная теорема Ирншоу заслуживает подробного рассмотрения, тем более, ЧТ0 в основе ее лежат лишь предположения о взаимодействии зарядов по закону Кулона и вполне общие представления об устойчивости. Система точечных зарядов устойчива, если ее потенциальная энергия минимальна. Это значит, что первые производные электрической энергии по координатам зарядов обраща- [c.11]

Функция uix) имеет на [а, Ь] по крайней мере п + i корней согласно теореме Ролля ее производная u ix) имеет не менее п корней и" ix) имеет не менее п— корней и т. д. Производная к "Ча ) имеет на [а, Ъ корень [c.17]

Требование того, чтобы производные Р, были ограничены вдали от нуля, в теореме 3 возникает из того факта, что отсутствуют ограничения величин входных потоков. Без этого требования скорости одной или больше реакций могли бы достичь предельной величины и для достаточно большого входного потбка стационарные состояния могли бы отсутствовать, как мы наблюдали ранее. Для рассмотрения более обшей проблемы монотонных, но не обязательно неограниченных функций скорости следует предположить, что входные потоки меньше максимального потока по всем путям к стоку. Когда явные входные потоки отсутствуют, условие, связанное с производными, может быть снято, и можно доказать следу юшую теорему. [c.344]

Учитывая, что производная в последнем интеграле равна единичному тензору 6,. ,, и преобразуя первый интеграл правой части по теореме Гаусса в интеграл по поверхности, находим [c.19]

Как следует из рассмотрения роли отдельных определяющих критериев, а также из приведенных примеров, во многих случаях, особенно при моделировании промышленных аппаратов со сложным движением газопылевого потока, весьма трудно заранее с уверенностью исключить некоторые критерии из числа определяющих, т. е. пренебречь их влиянием. В то же время при моделировании движения газодисперсной среды практически никогда не удается выполнить требование третьей теоремы подобия— равенство всех пяти опдеделяющих критериев (3-36) в образце и модели. Поэтому остается единственный путь — образование на основе экспериментальных данных производного критерия. Этот путь широко применяется, например, при исследовании теплоотдачи, однако необходимо установить, в каких пределах могут применяться экспериментальные обобщенные критериальные зависимости. [c.109]

Для описания распределения экспериментальных данных чаще всего используют именно нормальное распределение. Опыт показывает, что для большинства физико-химических величин оно может служить достаточно хорошим приближением. Из центральной предельной теоремы теории вероятностей следует, что во многих случаях величины, рассчитываемые из большой выборки результатов прямых экспериментальных наблюдений, хорошо подчиняются 1юрмальному закону независимо от характера распределения исходных данных. Чем больше объем выборки, тем ближе распределение производных от нее величин к нормальному. В частности, даже в тех случаях, когда распределение исходных данных отличается от нормального, выборочное распределение среднего из п результатов с ростом п стремится к нормальному, имеющему среднее 1 и дисперсию с /п. Распределение суммы 5 = Хг + Х2 +. .. + Х большого числа независимых случайных величин, где каждое слагаемое Х, [c.424]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология