Частица в потенциальном ящике

Начнем с простой модельной задачи о движении частицы в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками, которую мы рассматривали в главе I. Но на этот раз несколько видоизменим ее условия пусть существует внешняя сила, меняющая размер ящика по закону [c.107]

В отличие от газов в жидких системах потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия превышает кинетическую энергию поступательного движения молекул. Расстояния между молекулами имеют порядок 10" см. Поэтому движение молекул в жидкости можно рассматривать как движение частиц в потенциальном ящике, или в клетке , размеры которой порядка 10 см. При малой длине свободного пробега и наличии потенциального поля это движение имеет характер колебательного движения, в результате которого молекула сталкивается со своими соседями. Число таких столкновений в секунду порядка 10 , что примерно в 100 раз больше, чем число столкновений молекул в газовой фазе при нормальных условия . [c.592]

Энергия ничем не ограниченного поступательного движения, вообще говоря, не квантуется, т, е. может изменяться непрерывно. Этим данный вид движения отличается от других, имеющих периодический характер, — колебание, вращение и др. Поэтому Q o следует вычислять путем интегрирования, но не суммирования. Мы так и поступим. Однако предварительно покажем, что поступательное движение, ограниченное по своей протяженности, приобретает как бы свойства периодического, и его энергия может принимать только определенные дискретные значения. Рассмотрим простейшую квантовомеханическую задачу — частицу в потенциальном ящике или, как говорят, просто частицу в ящике. Представим себе частицу, например молекулу газа, движущуюся Б прямоугольном ящике с размерами 1х, 1у и 1 . Свойства системы частица — ящик таковы, что потенциальная энергия частицы V х, у, г) внутри ящика постоянна и может быть принята равной нулю. На границах же ящика потенциальная энергия частицы, как считается, возрастает до бесконечности, что означает фактическую невозможность выхода частицы за пределы ящика. [c.221]

Совершенно аналогичные результаты получаются при вычислении сумм по состояниям движения, параллельного двум другим координатам. Поскольку движения вдоль всех трех координат независимы, полная сумма по состояниям поступательного движения частицы в потенциальном ящике выразится произведением [c.223]

При п = О волновая функция просто равна нулю, и это означает отсутствие частицы. Так как п начинается с единицы, то имеется наибольшее значение длины волны и, следовательно, наименьшее значение энергии, которой может обладать частица в потенциальном ящике. Эта наименьшая энергия носит название нулевой. Согласно уравнению (XXI.2) [c.434]

Наоборот, как видно из (1.50), энергия частицы, для которой справедливы законы квантовой механики, может принимать только ряд строго определенных значений, характеризуемых величиной целочисленного коэффициента п. Целые значения п получаются в результате наложения на функцию (jJ граничных условий, ф = О при л = О и при х = а. Уровни энергии для частицы в потенциальном ящике показаны на рис. П. Обратите внимание на то, что квантование энергии получается как неизбежный результат решения уравнения Шредингера, хотя само это уравнение не содержит набора целочисленных коэффициентов. [c.31]

Поскольку в выражении для энергии частицы в потенциальном ящике п О, то и не может быть равной нулю минимум энергии нулевая энергия) отвечает п = . [c.31]

Остается сказать о значении постоянной А в уравнении (1.49). С точки зрения математических требований постоянная А может быть любой. Однако физический смысл функции обусловливает необходимость выбора определенного значения А, а именно величину А выбирают такой, чтобы суммарная вероятность нахождения частицы в потенциальном ящике была равна единице. Это условие математически выражается соотношением [c.32]

Решение уравнения Шредингера с использованием приближенных функций. Уравнение Шредингера и его решение для простой воображаемой модели — движения частицы в потенциальном ящике — рассмотрены выше (стр. 29—35). В задаче о потенциальном ящике удалось найти функцию тр и выражение для энергии Е, удовлетворяющие уравнению Шредингера для рассматриваемого случая. Решение оказалось несложным вследствие того, что потенциальную энергию частицы и можно было принять равной нулю тогда задача сводилась к отысканию функции, вторая производная которой выражается той же самой функцией, взятой с обратным знаком известно, что этому условию удовлетворяет функция синуса. [c.143]

Частица в потенциальном ящике и в потенциальной яме. Туннельные переходы [c.46]

Подсчитав АО и Д для различных систем (частица в потенциальном ящике, осциллятор, ротатор), найдем, что [c.81]

Заметим, что равенства (VII.29) для осциллятора и (VII.26) для частицы в потенциальном ящике аналогичны, причем показатель при h в обоих случаях равен числу степеней свободы системы (для одномерного осциллятора / = 1). [c.156]

Каждое волновое движение (стоячая волна) определяется тремя положительными числами Пх, Пу, п . По аналогии с тем, как это было сделано в гл. VII, 3 для частицы в потенциальном ящике, мы можем подсчитать число колебательных состояний в интервале значений модуля вектора п от п д.о п + Ап [c.326]

Эти выражения нам потребуются в дальнейшем при рассмотрении переходов между различными состояниями частицы в потенциальном ящике. [c.57]

Отметим, что оценку типа (18) для задачи о движении частицы в потенциальном ящике мы уже получили в п. б 2, не имея еще, как такового, соотношения неопределенностей для координаты и импульса. [c.64]

Рис I 2 Схема уровней энергии для частицы в потенциальном ящике на отрезке I и вид функций и < / (х) для наглядности функции Ч/(х) и ч/ (х) вычерчены в разных масштабах [c.22]

Перейдем теперь к анализу волновых функций атома водорода Начнем, как и ранее, с некоторой аналогии, связанной с движением частицы в потенциальном ящике Для наглядности рассмотрим движение частицы на плоскости в некотором квадрате со стороной L так, что направления хиу являются эквивалентными В этом случае для уровней энергии получим формулу [c.34]

Выше была рассмотрена одна частица в потенциальном ящике или один электрон около ядра (атом водорода) Представим теперь, что, как это и бывает в сложных атомах, около ядра находятся несколько электронов Могут ли они вге или хотя бы значительная их часть обладать одной и той же энергией или, что то же самое, находиться на одном и том же уровне энергии [c.48]

Напомним, что уже решение простейшей (рассмотренной в га 1) задачи о частице в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками (имитация частицы, находящейся в локализованной области пространства, например, электрона в атоме водорода) приводит к заключению не только о том, что энергия такой частицы принимает ряд дискретных значений, но и о том, что она не может обладать нулевой энергией, т е покоиться Значит, необходимость использования пары канонических переменных проявляется во всех возможных случаях Но и это еще не самое главное Как в классической, так и в квантовой механике большую роль играют так называемые перестановочные выражения, т е, например, комбинации такого рода [c.81]

Как видно из уравнений (23) и (24), решение трехмерной задачи приводит к трем квантовым числам п , Пу, п , каждое из которых может принимать только целочисленные значения 1, 2, 3,... В общем случае число квантовых чисел равно числу степеней свободы частицы. Если, например, частица в потенциальном ящике может еще вращаться вокруг оси, появится четвертое квантовое число и т. д. [c.84]

Переход к двумерной и трехмерной задачам о частице в потенциальном ящике представляет собой просто обобщение одномерной задачи. Квантование осуществляется в каждом из двух или трех взаимно перпендикулярных направлений. Для трехмерного случая получаем [c.33]

Модели частицы в потенциальном ящике применяются не только для предсказания спектральных свойств. Например, можно вывести функцию распределения для поступательного движения из статистической механики, рассматривая квантованные трансляционные энергетические уровни молекулы в трехмерном ящике. Радиоактивный распад удается описать с использованием модели частицы в потенциальном ящике со стенками конечной толщины. При этом процесс распада рассматривается как проявление квантовомеханического эффекта туннельного прохождения. Возможны и многочисленные другие применения этих моделей. [c.36]

Из задач о частице в потенциальном ящике можно решить еще и задачу о частице, которая движется по окружности в поле с постоянным потенциалом вдоль окружности и бесконечным потенциалом вне ее. После подстановки соответствующих переменных уравнение Шредингера приобретает вид [c.37]

В модифицированной (квантовой) модели свободного электрона энергия электрона дается выражением (2.7), но дозволенные значения к. определяются уравнением (2.6). Каждому допустимому значению к соответствуют два электронных состояния с антипараллельными спинами. Этот результат аналогичен решению элементарной задачи квантовой механики о частице в потенциальном ящике. Суммированием по всем возможным значениям п можно определить число дозволенных состояний как функцию энергии. Заполнение состояний электронами показано на рис. 14 (заштрихованный участок). Каждому значению к, согласно принципу Паули, соответствуют два электрона (со спинами - ). Заполнение электронами начинается с самых низших [c.35]

Для металлов поверхностную энергию вычисляют совсем иначе, так как основной вклад здесь обусловлен электронами проводимости. Используя приближение частицы в потенциальном ящике для электронной энергии, можно рассчитать поверхностную энергию как разность между энергиями электронов в ящике с потенциальными стенками и в бесконечной среде с однородной электронной плотностью. Можно принять, что центры положительных ионов равномерно распределены по всему объему и по поверхностному слою или, более строго, что центры ионов равномерно распределены в виде точечных зарядов по поверхности. Последнее приближение приводит к периодическому изменению электронной плотности на поверхности и к вкладу в поверхностную энергию дополнительного члена, связанного с поверхностными диполями. [c.181]

На рис. 4 изображена диаграмма потенциа.льной энергии электронов в потенциальном ящике, представляющем металл. Пред-по.лагается, что потенциал внутри металла везде постоянен и электроны можно описать как частицы в потенциальном ящике. Электроны группируются в пары в соответствии с принципом [c.175]

Для вычисления трансляционной статистической суммы обычно используется энергетический спектр частицы в потенциальном ящике. Конечно, для получения результата в замкнутом виде требуются некоторые упрощения (обычно весьма правдоподобные). Отметим, однако, что результаты, полученные для потенциального ящика, нельзя автоматически переносить на все типы реакций (см. обсуждение в работе [264]) и что в некоторых экстремальных случаях (например, для процессов в полостях, см. разд. 5.3.3) можно ожидать отклонений от стандартной формулы. С квантовохимической точки зрения вычисление трансляционных статистических сумм для структур, отвечающих энергетическим минимумам, не вызывает затруднений и не требует никакой информации, кроме фундаментальных постоянных и молекулярных масс. Отметим, что, строго говоря, эта зависимость от молекулярных масс как от исходной информации (наряду [260] с фундаментальными постоянными и формой закона Кулона) является единственным пунктом, в котором концепция квантовохимических расчетов термодинамических характеристик принципиально зависит от эксперимента. [c.80]

Частица в потенциальном ящике [c.478]

При этом возникают следующие вопросы. Можно ли рассматривать изменение состояния активного комплекса как поступательное движение атомов идеального газа Можно ли пользоваться представлением о потенциальном ящике в области, расположенной на вершине потенциального барьера Какова должна быть ширина б потенциального ящика, чтобы дно его можно было считать плоским Исходя из известных сведений о структуре молекул следует полагать, что б должно быть значительно меньше межъядерных расстояний, т. е. по порядку величины составлять доли ангстрема. Возникает и вопрос, как согласуется представление о движении частицы в потенциальном ящике с утверждением, что эта частица непременно проходит через его стенки, в результате чего образуются продукты реакции или исходные реагенты. [c.114]

Частица в потенциальном ящике. Представим себе отдельную частицу, например газовую молекулу, движущуюся внутри прямоугольного ящика, имеющего длину а, высоту Ь и ширину с (рис. 50). Внутри ящика потенциальная энергия V (х, у, г) имеет постоянное Значение, которое можно принять за начало отсчета энергии. Таким [c.157]

Собственные значения оператора Гамильтона// в общем случае могут относиться к дискретному спектру (задача предыдущего параграфа о частице в потенциальном ящике с бесконеч- [c.47]

Применяя решения задачи о частице в потенциальном ящике к описанию молекулярных я-орбиталей линейного полиена, следует связать длину молекулы 5 с числом атомов углерода в полиене. Если длина связи углерод — углерод равна и имеется п двойных связей, то расстояние между первым и последним атомами углерода вдоль зигзагообразной цепи равно (2л—1)с1. Но это есть расстояние между первым и последним ядрами, и разумно предположить, что нулевой потенциал простирается еще на половину длины связи, так что эффективная длина молекулы равна 5 2nd. Эта простая модель фактически оказывается очень эффективной для предсказания длины волны первой полосы поглощения полиена, обусловленной возбуждением электрона на наинизшую незаполненную орбиталь (ср. с табл. 9.1), В случае, например, бутадиена, который имеет четыре я-элек-трона, наивысшая заполненная орбиталь — это 2, а наинизшая незаполненная — фз. Разность энергий между указанными уровнями можно получить из выражения (10.10) с учетом того, что 5 — 4с [c.226]

Модели частицы в потенциальном ящике применяются не только для предсказания спектральных свойств Например, радиоактивный распад удается описать с использованием модели частицы в потенциальном ящике со стенками конечной толщины При этом процесс распада рассматривается как проявление квантово-механического эффекта туннельного или подбарьерного прохождения Туннельный эффект является специфическим лишь для волновой теории и не имеет аналога в классической механике На основе туннельного эффекта можно объяснить холодную эмиссию, т е вырывание электронов из металла под действием электрического поля, а также возникновение контактной разности потенциалов — явления, открытого еще Вольтом [c.24]

Электроны, находящиеся между ядрами и притягивающие эти ядра, находятся в некоторой локализованной области пространства, размер которой приближенно равен расстоянию между ядрами Учитывая результаты решения задачи о частице в потенциальном ящике, в грубом приближении их кинетичес энергию можно принять обратно пропорциональной квадрату расстояния между ядрами Кроме того, элекгроны обладают потенциальной энергией притяжения к ядрам По аналогии с законом Кулона предположим, что эта энергия обратно пропорциональна расстоянию между ядрами. Таким образом, для полной энергии электрона, находящегося в поле двух ядер, получаем [c.65]

Иногда говорят, что причиной образования молекулы является понижение кинетической энергии электронов вследствие увеличения пространства, в котором могут двигаться электроны. Разумеется, если вычислить кинетическую энергию частицы в потенциальном ящике определенного размера, то обнаружится понижение энергии с увеличением ящика. Однако такой подход слишком упрощен, чтобы его можно было применять к молекулам, поскольку вследствие притяжения со стороны двух ядер электрон в концентрируется в эффективном объеме, который в действительности меньше, чем в свободном атоме. В результате происходит уменьшение длины дебройлевской волны, т. е. в силу соотношения %= 1р увеличиваются импульс р и кинетическая энергия электрона. Последняя увеличивается на 20%, что составляет меньше трети изменения потенциальной энергии. Таким образом, именно изменение потенциальной энергии электрона имеет главное значение. С помощью точной волновой функиии, пользуясь теоремой вириала, можно показать, что при равновесном" межъядерном расстоянии абсолютное изменение потенциальной энергии в два раза превышает изменение кинетической энергии . [c.99]

Энергия ничем не ограниченного поступательного движения, вообще говоря, не квантуется, т. е. может изменяться непрерывно — этим данный вид движения отличается от других, имеющих периодический характер — колебание, вращение и др. Поэтому Qno Tyn следует вычислять путем интегрирования, но не суммирования. Мы так и поступим. Однако покажем предварительно, что поступательное движение, ограниченное по своей протяженности, приобретает как бы свойства периодического, и его энергия может принимать только определенные дискретные значения. Рассмотрим простейшую квантовомеханическую задачу — частицы в потенциальном ящике или просто частицы в ящике. Представим себе частицу, например молекулу газа, движущуюся в прямоугольном ящике с размерами [c.101]

Рассмотрим простейшую квантовомеханическую задачу, носящую название частицы в потенциальном ящике или просто частищл в ящике. Представим себе частицу, например молекулу газа, движущуюся в прямоугольном ящике с размерами /у и 1 . Свойства системы частица—ящик таковы, что потенциальная энергия частицы и (х,у,г) внутри ящика постоянна и может быть принята равной нулю. На границах же ящика потенциальная энергия частицы, как считается, скачком возрастает до бесконечности, что означает фактическую невозможность выхода частицы за пределы ящика. [c.117]