Марковские цепи

Марковские цепи выбраны в качестве модели процесса функционирования отделения электролиза в производстве хлора и щелочи с целью определения оптимальной стратегии вывода В ремонт электролизеров [139]. [c.97]

Метод периодических граничных условий был разработан и применен для решения равновесных задач статистической физики (в частности, теории жидкостей и плотных газов) [196, 197, 339, 386, 453]. В работах [339, 386, 453] метод Монте-Карло использовался для вычисления на ЭВМ конфигурационных интегралов системы частиц путем усреднения по множеству случайных событий, образующих марковскую цепь с постоянными вероятностями переходов (эти вероятности зависят только от потенциальной энергии системы частиц). Возможности современных ЭВМ вынуждают ограничиться рассмотрением систем с числом частиц порядка 10 —10 . Для исключения [c.201]

Исследование влияния стратегии ремонтов сложных ХТС на [Производительность системы проведено в работе [140]. В качестве моделей функционирования отдельных элементов этой системы, так же как и в работе [139], применяется марковская цепь, а для оценки поведения системы в целом предлагается использовать дерево отказов. Допускается зависимость между отказами элементов, обусловленная выбранной стратегией ТО. Показано, что для определенных типов стратегий ТО, когда ремонт оборудования не зависит от условий, в которых находятся другие элементы системы, хорошие результаты могут быть получены, если исходить из предположения о независимости отказов элементов. Дана методика оценки характеристик системы в целом, основанная на предположении о статистической независимости отказов элементов системы. Предложена методика такой оценки для планируемых сроков текущих ремонтов сложных систем. [c.97]

Ход превращения смеси углеводородов можно представить как марковскую цепь. Это означает, что состояние системы в данный момент времени или, что то же, в данной точке по координате реактора полностью определяет вероятность ее состояния в следующий момент времени или следующей точке реактора. В соответствии со стохастической трактовкой кинетики химических реакций соотношение вероятностей взаимных превращений углеводородов идентично соотношению констант скорости этих превращений при равной структуре описывающих их уравнений. Тогда для решения поставленной задачи значения переходных вероятностей (вероятностей взаимных превращений углеводородов) должны описываться функцией от молекулярной массы в каждом классе углеводородов, а для машинных расчетов такая зависимость может быть дана в виде таблицы. [c.195]

Среди марковских цепей различают непрерывные, дискретные, неоднородные и однородные 182]. Однородными называются марковские процессы, зависящие только от периода времени с момента начала состояния. Их можно применять тогда, когда распределения, характеризующие поведение элементов, являются экспоненциальными. Математически цепи Маркова можно представить следующим образом А (t + At) = р (at) А (t). Элементы щ (t) матрицы А (t) указывают вероятность состояния или пребывания системы в состоянии i в момент времени t, а элементы рц матрицы Р (Ai) указывают вероятность перехода из состояния i в состояние / в момент времени t. [c.297]

При решении обратной задачи используется функционал суммы квадратов отклонений экспериментальных и расчетных данных. Для решения прямой задачи применяются марковские цепи или, в более сложных случаях, решается нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.172]

При условии замкнутости система может переходить из одного состояния в другое только посредством упругих столкновений частиц. Поскольку мы не рассматриваем конфигурационное пространство, временное поведение системы не является детерминированным, последовательность переходов системы из одного состояния в другое — случайный процесс, а сами эти состояния образуют марковскую цепь. Вероятности переходов между различными состояниями не зависят от времени и полностью определяются набором скоростей всех частиц. Чтобы получить возможность описания макроскопических систем, нужно было бы положить N равным примерно числу Авогадро. Ввиду ограниченных возможностей современных ЭВМ воспользуемся несколько модифицированным методом периодических граничных условий. При описании системы набором скоростей всех частиц он сводится к разбиению бесконечной системы частиц на Л/групп таким образом, что скорости всех частиц в каждой группе близки по величине и направлению друг к другу. В каждой группе выделяется "типичная" частица и считается, что остальные частицы в группе ведут себя аналогично этой частице. Таким образом, если п — физическая концентрация частиц, величина л/Л/будет соответствовать концентрации каждой из N "типичных" частиц. Отметим, что частицы системы могут быть разного сорта — а, (3.....Т, но при [c.202]

В чисто стохастических системах расширенный вектор 2,- = = Xi, у ), где i/ = t/u, t/l,. .., г/i , образует марковскую цепь первого порядка. Однако, размерность этого вектора Zi увеличивается с ростом I, поэтому Zi не будет обычной марковской последовательностью. Методом исключения векторов с растущей размерностью является введение достаточных статистик. Много- [c.186]

Основу второй ступени иерархии (см. рис. 1-3) химического предприятия составляют производственные цеха и системы автоматического управления цехами. Цех — это взаимосвязанная совокупность отдельных типовых технологических процессов" и аппаратов, при взаимодействии которых возникают статистические распределенные по времени возмущения, т. е. существуют стохастические взаимосвязи между входными и выходными переменными подсистем. Для анализа функционирования подсистем второй ступени иерархии необходимо использовать статистико-вероятностные математические методы. Среди них широкое применение начинают получать сравнительно новые разделы математики, такие, как теория марковских цепей, теория графов, теория массового обслуживания и др. На этой ступени иерархии происходит статистическое обогащение информации, а при управлении подсистемами возникают задачи оптимизации и программирования для оптимальной координации работы аппаратов и оптимального распределения нагрузок между ними. [c.13]

Упражнение. Для иллюстрации приближения к равновесию Эренфест придумал следующую модель , Л шаров, помеченных номерами 1, 2,, ,,, /V, поделены между двумя урнами. Каждую секунду случайно нз множества 1, 2.....,V с равной вероятностью выбирается число, и шар с этим номером переносится из одной урны в другую. Состояние систе.м.ы определяется числом п шаров в одной из урн. Процесс является марковской цепью с [c.96]

Особенно простым классом марковских процессов являются марковские цепи, которые мы определим с помощью следующих свойств . [c.95]

Конечными марковскими цепями называют такие цепи, у которых множество возможных значений представляет собой конечное число N состояний. Они широко изучены, так как хотя н являются простейшими марковскими процессами, но обладают большинством характерных для них черт . Первая функция распределения вероятности Pi(y, t) является iV-компонентным вектором р Ц) (л=1, [c.95]

Следовательно, изучение конечных марковских цепей равносильно изучению степеней А/х Л/ -матриц Т, о которых известно только, что [c.95]

Это определение представляет собой компромисс. Некоторые авторы определяют марковские цепи только с помощью первого свойства, другие — только второго свойства. Большинство авторов не включают третье свойство в определение, но рассматривают только такие случаи. Ср. со сноской в [I, р. 340]. [c.95]

Упражнение. Некая марковская цепь для двух состояний имеет одно поглощающее и одно переходное состояния. Какой вид имеет матрица перехода Г [c.100]

Математики вводят дискретное время, задавая конечный временный шаг Ы, и тем самым сводят процесс к марковской цепи с матрицей перехода =ехр (WA/). Тогда теоремы Перрона и Фробениуса, упомянутые в 4.5, дают полный ответ. Для физиков такой подход кажется довольно искусственным и к тому же переносит проблему на доказательство теорем Перрона — Фробениуса. [c.109]

Ограниченность аналогии макромолекулярной цепи со стохастической марковской цепью во времени проявляется и в самих основах статистики макромолекул. Ее принципиальные особенности были рассмотрены Лифшицем [49]. Макромолекула характеризуется наличием линейной памяти — звенья связаны г, единую цепь и расположены в ней последовательно. Поэтому звенья (частицы статистического ансамбля) принципиально различимы, каждое из них имеет свой номер в цепи и перестановка звеньев требует разрыва химических связей. Линейная память наличествует как в однородной, гомополимерной, цепи, так и в информационной цепи биополимера. Во втором случае память выражается наличием первичной структуры (см. стр. 73). [c.143]

Сама физическая сущность процесса сополимеризации указывает на возможность применения для описания его статистики аппарата марковских цепей. Цепью Маркова называется такая последовательность испытаний El, Е2,..., для которой вероятность совместного исхода нескольких испытаний определяется формулой [c.60]

Покажем теперь, как с помощью аппарата марковских цепей построить функцию мгновенного композиционного распределения продуктов сополимеризации [15, с. 229—236]. Так как в этом случае мы должны рассматривать цепь конечной длины, для которой надо учесть вероятности зарождения (инициирования) и обрыва, то для описания полной эволюции цепи надо построить матрицу иного вида, чем в случае бесконечной цепи. Это будет матрица вида [c.63]

Мы ограничимся здесь лишь выводом выражения для дисперсии композиционного распределения. Само это распределение является нормальным, как это следует из общей теории регулярных марковских цепей [16, с. 118], и поэтому функции композиционного распределения продукта сополимеризации по концевой модели легко могут быть построены, если известен средний состав сополимера и дисперсия. Эти параметры, как было показано выше, могут быть рассчитаны через переходные вероятности, которые, в свою очередь, однозначно связаны с константами сополимеризации. [c.66]

Рассмотренный выше случай сополимеризации двух мономеров по механизму, соответствующему концевой модели, является самым простым, и для его количественного описания, в принципе, достаточно соотношений, выведенных в первом разделе этой главы. Однако для более сложных случаев, включающих влияние звеньев, удаленных от конца цепи, и сополимеризацию трех и более мономеров, применение аппарата марковских цепей является единственным способом количественного описания распределения звеньев в цепи и композиционной неоднородности. [c.66]

Исходя из сходства продуктов полимераналогичных превращений с продуктами сополимеризации, можно предположить, что одним из возможных приближений для описания распределения звеньев в цепи может быть приближение марковскими цепями различных порядков. [c.88]

Вообще говоря, распределение звеньев в сополимерах, полученных в результате макромолекулярных реакций, не является конечно марковским, так как химические акты не упорядочены вдоль какого-то направления в цепи в отличие от процесса сополимеризации. Однако независимость нахождения любых последовательностей по обе стороны от диады АА, характерная для продуктов полимераналогичных реакций (соотношение 1П.32), является свойством марковской цепи второго порядка, что дает основание для применения соответствующего марковского приближения. Отметим, что это свойство распространяется лишь на последовательности, разделенные двумя звеньями А. В случае, когда мы рассматриваем диады АВ, ВА и ВВ, уже не будет наблюдаться независимость нахождения некоторой последовательности по одну сторону от этой диады от природы звеньев, стоящих по другую сторону [32]. [c.88]

Интересная аналогия в строении цепи продуктов полимераналогичных реакций и продуктов сополимеризации по концевой модели (марковская цепь первого порядка) обнаруживается при равенстве двух констант Й1 = 2- Выразим параметр блочности Я = 2Р(АВ) [38] через Р А) и относительные реакционные способности мономеров при сополимеризации через Га и гв- Используя соотношения (II.6) и (11.14), выведенные в гл. II при рассмотрении сополимеризации по концевой модели, можно получить следующее выражение для Р [c.88]

Эти авторы применили для описания статистики замещения марковский подход, считая, что вероятность замещения в (п-Ы)-ом звене не зависит от наличия заместителя в ( —1)-ом. Такое предположение означает приближение процесса марковской цепью первого порядка. [c.105]

В этих работах метод Монте-Карло (подробнее о самом методе см. работу 9]) использован для вычисления на ЭЦВМ конфигурационных интегралов путем усреднения по множеству случайных событий, образующих марковскую цепь с постоянными вероятностя- [c.66]

В результате столкновения частиц (г, /) система перешла в новое состояние. В соответствии с этим в блоке V вычисляются новые величины Р[к = , N) и вносятся соответствующие изменения в величину Q. На этом один шаг в марковской цепи заканчивается, а управление передается блоку III. [c.187]

Значительное сокращение затрат машинного времени, розыгрыш одного столкновения в силу упрощения вычислений убыстряется примерно в 10 раз для 200 уровней и в 20 раз для 24 уровней кроме того, затраты машинного времени для этой модели просто пропорциональны числу частиц, и в связи с этим отпадает необходимость в генерировании нескольких марковских цепей. [c.189]

В данной работе решение прерывалось при установлении квазиравновесного распределения внутри группы легких частиц. Практическое решение задачи сводится к реализации на ЭВМ марковской цепи с отличными от нуля вероятностями переходов системы из одного состояния в другое. Результаты расчета одной цепи носят вероятностный характер и зависят от выбора начального псевдослучайного числа. Для повышения точности каждый вариант (цепь) повторялся статистически независимо 60 раз с последующим усреднением результатов в определенные моменты времени. Практически этот прием эквивалентен увеличению эффективного числа частиц и позволяет повысить точность расчетов без значительного увеличения времени счета на ЭВМ. Достигнутая в результате точность расчетов характеризуется статистической ошибкой 2%- Ввиду этого все аномалии в функциях распределения и в их поведении во времени, выходящие за пределы указанной ошибки, естественно, трактуются нами как выражающие физическое поведение системы. [c.201]

Для работ, использующих апостериорную информацию о состоянии системы, хара ктерна постановка задачи [118], которая часто сводится к задаче линейного программирования. Имеется система, которая в процессе функционирования может находиться в одном из ( +1) состояний 0,1... . Нулевое состояние соответствует исходной системе, Е —отказу системы. В дискретные моменты времени / = 0,1,... система проверяется, после этого она либо возвращается в исходное состояние, либо е возвращается. Считается, что последовательность состояний системы образует марковскую цепь [119, 120]. [c.94]

Цепь конфигурации, отвечающую зависимости (XIII.91), получают путем задания определенных вероятностей перехода от одной конфигурации к другой. Вероятность pij перехода от i-й конфигурации к j-й считают зависящей от энергии этих конфигураций, точнее, от величины UJ — Ui)lkT pji = p j ехр [— (Uj—Ui) kT]. Вводят, таким образом, условные вероятности перехода вероятность данного события, состоящего в появлении конфигурации /, зависит от того, каким было предыдущее событие. Последовательность случайных событий, в которой вероятность определенного события зависит от исхода предыдущего испытания, называют цепью Марша (точнее, простой цепью Маркова в более сложных случаях марковских цепей на исход испытания влияют результаты нескольких предшествующих испытаний). С помощью теории марковских цепей Можно показать, что предельная зависимость (XIII.91) для частоты появления конфигураций с заданной энер- [c.390]

Упражнение. Дихотомический марк. вский процесс (4.2.3) можно свести к. марковской цепи, если ргссматрцвать распределелие вероятности только в последовательные эквидистантные моменты времени. Постройте соответствующее Т и исследуйте, имеют ли место вышеуказанные исключения. [c.96]

Определение химической микроструктуры уретановых тер-моэластопластов с помощью теории регулярных марковских цепей. / Дорожкин В.П., Кирпичников П.А. // Докл. АН СССР, 1986,287. № 3, с. 658-662. [c.566]

Наличие зависимости каждого слагаемого минимизируемой суммы от Xk-i не вносит существенных осложнений, так как этот случай сводится к предыдущему с помощью преобразования двухсвязной марковской цепи в односвязную за счет повышения размерности фазового пространства (замена одномерного управляющего параметра Xj на двухмерный параметр Xj. Л3-1). Это приводит к некоторому усложнению системы функциональных уравнений Беллмана , которые для данной задачи будут иметь вид [c.203]

Теоретическое рассмотрение многокомпонентных систем можно найти в работах Френсдорфа [17], Хиджманса [18], Пеллера [19]. Мы не будем рассматривать здесь эти системы, так как предметом настоящей монографии являются макромолекулярные реакции, и весь изложенный выше материал, относящийся к сополимеризации, был дан лишь для проведения возможной аналогии при теоретическом расчете строения цепи продуктов обоих процессов. Очевидно, что в первую очередь такая аналогия возможна для продуктов сополимеризации двух мономеров (в продуктах макромолекулярных реакций тоже содержатся звенья двух типов — прореагировавшие и непрореагировавшие). Вопрос о применимости аппарата марковских цепей к описанию реакций макромолекул будет рассмотрен в следующей главе. [c.67]

Платэ с сотр. [31, 32] рассмотрели возможность применения марковских приближений, считая, что в каждый фиксированный момент времени полимерная цепь является марковской цепью порядка п (т. е. состояние любого ее звена зависит лишь от состояния п звеньев, стоящих слева от него (или справа, поскольку, как отмечалось выше, для цепи продукта полимераиалогичной реакции характерно свойство зер- eiS r [c.89]

Выражение (111.69) представляет собой систему из четырех уравнений, решение которой дает выражение для одномарковских переходных вероятностей через параметры и ц (или f, ц и V). Так как полимерная цепь рассматривается в этом случае как марковская цепь первого порядка, то для расчета композиционной неоднородности можно воспользоваться уравнениями, выведенными во II главе для продуктов сополимеризации по концевой модели. [c.107]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология