Приближение Ньютона

ЭТОМ функции, с которыми необходимо иметь дело, разлагаются в ряд Тейлора и рассматриваются только члены первого порядка [4, 11, 12, 16, 27—30]. Иногда с целью улучшения сходимости принимают во внимание члены второго порядка (приближение Ньютона-Рафсона) об эффективности такого приема имеются противоречивые сведения [15, 31]. Другой общеупотребительный метод (хотя и не столь часто применяемый в последнее время) — метод совмещения кривых, разработанный Силленом с сотр. [7, 21, 32—34]. Сумма квадратов ощибок 5 вычисляется сначала для начального набора констант устойчивости К, а затем пересчитывается для наборов Кь получаемых изменением с данным шагом Ы. Таким путем находят 72( +1)( + 2) значений 5 (п — число констант устойчивости, подлежащих уточнению) и используют их для построения поверхности второго порядка (параболической). Точка Ко минимума этой поверхности служит исходным значением для следующей итерации. Оба метода имеют определенные достоинства и в некоторых аспектах преимущества один перед другим-[7, 31], но главной проблемой как этих, так и других программ остается надежность сходимости. [c.89]

Существуют два основных математических метода решения этой задачи при отсутствии магнитного поля, наиболее полно описанных в работе [Л. 66]. Одним из методов является использование приближения Ньютона. [c.53]

Требуемую температуру можно рассчитать методом последовательных приближений Ньютона — Рафсона, принимая в качестве начального значения Г= 1,500 (см. пример I). Используя разложение 5(7"—АТ ), где АТ=Т—7 и Тп — некоторое значение температуры вблизи Т, в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением, получим [c.359]

Приближение Ньютона. Когда параметр К, г с ним и К, является большим, то согласно (5) плотность газа за скачком близка к предельно возможному значению pi(7 + 1)/(7 -- 1). Если при этом 7 близко к единице, то почти вся масса газа, прошедшего через скачок, концентрируется в тонком слое вблизи поверхности скачка — образуется так называемый ударный слой. С другой стороны, при К ос и 7 1 из соотношения (3) следует, что К/Кс —> 1. Это означает, что в таком пределе поверхность скачка совпадает с поверхностью обтекаемого тела (равенство Кс — К равносильно равенству х = в.). При этом из формулы (1) получается, что давление на теле (совпадающее с давлением за скачком) дается формулой [c.314]

Для описания реологических свойств жидкости предложено много приближенных моделей. Наибольшее распространение нашли модели, представляющие степенные зависимости вязкости от напряжения трения или скорости сдвига. Обобщенный закон Ньютона для таких моделей можно записать в виде [c.32]

Вычислив приближенное значение искомого корня, мон по затем вычислить и значение многочлена / (а ) при х = х. , т. е. значение / х и применить потом к числам х ж I (Ж1) тот же способ Ньютона для вычисления второго приближения [c.150]

Подмножество Л/-лексем состоит пз Е-лексем, являющихся характеристиками С-лексем. К таким характеристикам относятся используемые методы, особенности действия, признаки действия. В предложении М-лексемы могут играть роль как обстоятельств, так и дополнений. Например метод Ньютона—Рафсона , приближенно , на печать . [c.262]

Из прямых методов достаточно часто применяют следующий комплекс приемов, получивший название метода Ньютона — Рафсона. Пусть заданы начальные приближения дгю,. ..,л ро, найдем улучшающие их поправки Ль...,/1р. Значит справедливо [c.107]

Метод Ньютона сходится быстро, но требует хорошего начального приближения и вычисления матрицы частных производных от левой части системы не- [c.93]

В настоящее время предложена модификация метода Ньютона, которая натребует вычисления на каждой итерации матрицы частных производных, но этот метод не всегда сходится. Метод Вольфа при достаточно хорошем начальном приближении сходится примерно с такой же скоростью, как и метод Ньютона. Метод Вольфа выгодно отличается от метода Ньютона тем, что не требует вычисления матрицы частных производных. Однако в этом методе для начала работы требуется иметь п+1 начальных приближений, что неудобно в общем по двум причинам. Во-первых, при большом п может потребоваться большая вычислительная работа. Во-вторых, получение +1 начальных приближений — довольно трудная задача. Они могли бы быть определены, например, путем простой итерации. Но простая итерация может расходиться, и тогда полученные приближения могут расположиться далеко от решения. А в методе Вольфа очень важно, чтобы п- - начальных приближений располагались достаточно близко от искомого решения. [c.94]

Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого или второго порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона—Рафсона, обладающим квадратичной сходимостью. Методам этой группы свойственна высокая чувствительность к начальному приближению. [c.135]

МОЙ памяти. Использование итерационных методов (а они составляют большинство методов вычислительной математики) отвечает требованиям минимизации занимаемой памяти, однако не всегда обеспечивает требуемое быстродействие. Метод должен обеспечивать, во-первых, сходимость при любом начальном приближении и, во-вторых, с приемлемым быстродействием. Далеко не много методов удовлетворяют этим требованиям. Например, метод релаксации в общем случае обеспечивает сходимость решения при любом начальном приближении, но весьма и весьма медленно. Методы же типа Ньютона—Рафсона обладают квадратичной сходимостью, но не при любом начальном приближении. В связи с этим одной из сложных проблем при использовании итерационных методов является обеспечение сходимости решения в широком диапазоне изменения параметров процесса. [c.261]

Распространенным способом решения системы нелинейных алгебраических уравнений является метод Ньютона — Рафсона, в основе которого используется линеаризация исходной системы в окрестности некоторого начального приближения с последующим уточнением решения. Линеаризация производится разложением функции в ряд Тейлора до членов первого порядка включительно. [c.301]

Следующая часть задачи — определение координат точек Т — х проекций и их надежности. Температура фазового превращения твердое — жидкость находилась совместным решением соответствующих эмпирических уравнений двух- и трехфазных равновесий методом Ньютона. Начальным приближением служило рассчитанное значение температуры для предыдущего состава, а для крайних составов системы — либо графически найденное значение Г, либо взятая из литературы температура плавления соответствующего вещества. Разложением в ряд Тейлора в окрестности точки пересечения линий с использованием свойств независимых случайных ошибок получены формулы для дисперсии погрешности определения температуры Т — х проекции предлагаемым методом [c.156]

Это есть уравнения Фика, Фурье и Ньютона, в которых О — коэффициент диффузии с — концентрация х — координата Т — температура Я, — коэффициент теплопроводности т] — коэффициент вязкости V — скорость движения потока. Эти уравнения фактически определяют скорость приближения системы к равновесию. Эти уравнения можно дополнить конвективным членом, членом, учитывающим диффузию, неоднородность системы по фазовому состоянию и химический процесс, а также другие составляющие потока. [c.252]

Численные методы для решения систем нелинейных уравнений щироко известны и подробно описаны в литературе. Традиционно задачи разделения решаются методом Ньютона или его комбинацией с методом крутого спуска, которые требуют хорошего начального приближения. Во всех тех случаях, когда имеется хороший вектор начальных приближений, что типично для простой задачи разделения, метод Ньютона позволяет найти решение с квадратичной скоростью сходимости. В случаях, когда метод Ньютона не работает, он модифицируется для снижения количества расчетов, однако модифицированный метод Ньютона не всегда работает. [c.261]

Начальные приближения систем разделения. Для задач, аналогичных задаче разделения, возможна разработка обоснованного, хорошего вектора начальных приближений, необходимого для устойчивой работы метода Ньютона, его модификаций или любого другого метода. Это может быть сделано посредством канонической процедуры, позволяющей с достаточной точностью сравнить работоспособность различных методов, и, следовательно, может быть строго оценена трудность решения задач различными методами. [c.261]

Решение задачи разделения методом Ньютона. В 1690 г. Раф-сон опубликовал итерационный метод для поиска корней полинома с одной переменной на основе начального приближения Хо, заключающийся в следующем [c.262]

К сожалению, начиная с x 0,6 как начального приближения для определения j l,0 = х , метод Ньютона не дает сходимости. [c.267]

Методы дифференциальной гомотопии. С малыми затратами машинного времени можно существенно улучшить полученное классическим методом начальное приближение для метода Ньютона. Кроме того, если траектория гомотопии имеет точки перегиба, как это показано на рис. 5.11 и 5.12, гипотезы теоремы Ньютона - Канторовича не будут выполняться и классический метод не будет работать. Поэтому авторами издания была использована известная идея дифференцирования алгебраических уравнений для преобразования начальных условий системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.267]

Метод весьма просто применим также и к нахождению приближенных решений систем нелинейных уравнений, не содержащих параметра X. В этом случае необходимо только предварительно преобразовать исходную систему к виду (5.10). Заметим, что эффективность решения в значительной мере будет зависеть от способа введения параметра X. Так, в частности была использована глобальная гомотопия Ньютона [c.269]

Производится коррекция полученных yJ методом Ньютона или его модификацией решением системы шага 3 с полученными значениями у в качестве начального приближения [c.277]

V = 408,6 кмоль/ч (см. табл. 5.2). В случае IVA была сделана попытка решить задачу с очень низкими величинами начальных приближений L = 45,4 и F = 227. Как и в предьщущих случаях, метод Ньютона и предлагаемый алгоритм с использованием методов гомотопии решали эти задачи без затруднений. [c.280]

В случае IV были выбраны завышенные значения начальных приближений для L и V. Впервые использование метода Ньютона с линейным поиском потерпел неудачу, хотя были предприняты попытки поиска с небольшим шагом в ньютоновском направлении, даже в тех случаях, когда целевая функция не уменьшалась (не выходили за границы реальных физикохимических величин). [c.280]

Комплекс, стояший в квадратных скобках, может быть найден из решения для невозмущенного потока например, при использовании приближения Ньютона [Л. 69] можно получить [c.59]

Известно, что приближение Ньютона может рассматриваться как предельное также и при газокинетическом подходе к обтеканию тел разреженным газом. Оно справедливо, если течение является свободно-молекулярным (т. с. молекулы между собой не взаимодействуют), а граничное условие взаимодействия молекул с поверхностью тела сводится к неупругому удару. Тем самым изложенная в настоящих лекциях феноменологическая модель газовой динамики в вопросах теории гиперзвуковых течений смыкается с газокинетическон моделью. [c.314]

Уравнение (III.57) определяет а следовательно, и j как функцию температуры. Соответственно К , левая часть уравнения (III.46), также может быть представлена как функция Т. Чтобы получить окончательный результат, нужно решить это трансцендентное уравнение путем проб и ошибок или с помощью более систематичного метода последовательных приближений, нанрнмер метода Ньютона. Приближенное графическое решение (которое может стать хорошей отправной точкой для более точных вычислений) можно получить, проведя на рис. III.4 прямую линию с наклоном 1//, где J— среднее значение (— АН)1Ср. Для жидкостей величина J мало меняется, и в большинстве случаев ее можно считать постоянной. Для газов J не будет постоянной, так как Ср — это теплоемкость единицы объема. Однако величина J" = pJ = (— АН)/(Ср1р) должна быть почти постоянной, так как Ср/р — теплоемкость единицы массы. Поэтому при расчете газовых реакций лучше пользоваться переменной — степенью полноты реакции, выраженной в молях на единицу массы, — так как для нее соотношение [c.55]

Вследствие отсутствия в большинстве случаев необходимых данных для точного расчета Ньютон и Додж [8, 9] предложили приближенный метод расчета, основанный на предположении, что объем газовой смеси равен сумме объемов компонентов смеси, пзмеренных при той же температуре и давлении, под которым находится смесь, т. е., что [c.165]

Нетрудно видеть, что, если записать неявную схему Эйлера г/,,+ 1 = Уп + кЦуп+г), и разрешить ее однократным приближением по Ньютону, то фактически приходим к (3.112). [c.188]

Из методов этого класса наилучшим образом себя зарекомендовали некоторые модификации случайного поиска и метод Розенброка, хотя последний значительно уступает градиентным методам, например методу Ньютона или Дэвидона — Флетчера — Пауэлла [82, 95]. Самый большой недостаток прямых методов — их исключительная чувствительность к заданию начальных условий. Удачное задание начального приближения — это и есть такое задание, которое ведет к спуску именно в инфинум (3.157), а не к одному из локальных минимумов (3.156). В принципе это обстоятельство является отрицательным, затрудняя практическое решение, однако в методе случайного поиска именно оно используется для суждения о характере минимума. [c.221]

Вольфа более точен, чем метод Ньютона или метод квазилинеариза-цпи, однако,-ДЛЯ начала счета здесь требуется иметь ряд последовательных приближений к решению. [c.119]

Матричные методы, составляющие большинство известных методов расчета массообменных аппаратов и их комплексов, можно разделить на две группы по способу линеаризации балансовых соотношений. К первой группе относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность с предьщущих итераций. Типичным примером является метод Тиле и Геддеса, реализованный в матричной форме. Для него характерны трехдиагональная структура мат эицы системы уравнений баланса, простота хранения коэффициентов системы уравнений. Однако, являясь по скорости сходимости методом первого порядка, он в ряде случаев обладает слишком медленной скоростью сходимости или вообще не обеспечивает решения. Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона-Рафсона. Эти методы обладают квадратичной сходимостью, однако весьма чувствительны к начальному приближению. [c.79]

График этой функции, приведенный на рис. 5.10, дает один положительный корень, равный 15,55063. Последовательными приближениями по методу Ньютона можно найти этот корень только в случаях, когда х больше 12,6. Метод Ньютона с демп - [c.265]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология