Ньютона Рафсона приближение

Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого или второго порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона—Рафсона, обладающим квадратичной сходимостью. Методам этой группы свойственна высокая чувствительность к начальному приближению. [c.135]

Подмножество Л/-лексем состоит пз Е-лексем, являющихся характеристиками С-лексем. К таким характеристикам относятся используемые методы, особенности действия, признаки действия. В предложении М-лексемы могут играть роль как обстоятельств, так и дополнений. Например метод Ньютона—Рафсона , приближенно , на печать . [c.262]

Из прямых методов достаточно часто применяют следующий комплекс приемов, получивший название метода Ньютона — Рафсона. Пусть заданы начальные приближения дгю,. ..,л ро, найдем улучшающие их поправки Ль...,/1р. Значит справедливо [c.107]

Распространенным способом решения системы нелинейных алгебраических уравнений является метод Ньютона — Рафсона, в основе которого используется линеаризация исходной системы в окрестности некоторого начального приближения с последующим уточнением решения. Линеаризация производится разложением функции в ряд Тейлора до членов первого порядка включительно. [c.301]

МОЙ памяти. Использование итерационных методов (а они составляют большинство методов вычислительной математики) отвечает требованиям минимизации занимаемой памяти, однако не всегда обеспечивает требуемое быстродействие. Метод должен обеспечивать, во-первых, сходимость при любом начальном приближении и, во-вторых, с приемлемым быстродействием. Далеко не много методов удовлетворяют этим требованиям. Например, метод релаксации в общем случае обеспечивает сходимость решения при любом начальном приближении, но весьма и весьма медленно. Методы же типа Ньютона—Рафсона обладают квадратичной сходимостью, но не при любом начальном приближении. В связи с этим одной из сложных проблем при использовании итерационных методов является обеспечение сходимости решения в широком диапазоне изменения параметров процесса. [c.261]

После п-ного приближения, сделанного на основе переменных, обозначенных как Ё1 и при помощи следующих уравнений Ньютона — Рафсона можно найти улучшенную систему для п + 1)-го приближения [c.328]

На практике поэтому используют так называемые квазиньютоновские методы, в которых на основе имеющейся информации о значениях функции, или также и о значениях производных, определяется приближенная матрица О или или же используется алгоритм, который позволяет за конечное число шагов минимизировать квадратичную функцию. При этом обычно используются процедуры, которые позволяют строить так называемые сопряженные направления. Два направления 8 8 считаются сопряженными относительно матрицы А, если 8 А8 = 0. Можно показать, что последовательная минимизация выпуклой квадратичной формы вдоль последовательности К линейно независимых сопряженных направлений (где К — размерность пространства координат q) определяет точный минимум квадратичной формы. Таким образом, К шагов подобных алгоритмов имитируют один шаг метода Ньютона — Рафсона. [c.108]

Все остальные методы локальны и уточняют положение какого-то минимума, который иногда может не быть глобальным. Их успешно применяют лишь в случае, когда известно достаточно хорошее приближение к структуре исследуемой молекулы. Это методы поочередного уточнения параметров, наибыстрейшего спуска и др. Наиболее распространен среди них метод минимизации функционала (6.15) по схемам Ньютона—Гаусса и Ньютона—Рафсона. При этом после разложения в ряд Тейлора выражения (6.15) для 8М(з) и пренебрежения всеми членами, начиная с квадратичного, возникает система линейных уравнений относительно искомых параметров. Эту систему решают известными методами, что позволяет, применяя итерационную процедуру, уточнять значения структурных параметров. Достоинством данного метода наряду с уточнением геометрических параметров является возможность оценить величину случайной ошибки при их определении. [c.150]

ЭТОМ функции, с которыми необходимо иметь дело, разлагаются в ряд Тейлора и рассматриваются только члены первого порядка [4, 11, 12, 16, 27—30]. Иногда с целью улучшения сходимости принимают во внимание члены второго порядка (приближение Ньютона-Рафсона) об эффективности такого приема имеются противоречивые сведения [15, 31]. Другой общеупотребительный метод (хотя и не столь часто применяемый в последнее время) — метод совмещения кривых, разработанный Силленом с сотр. [7, 21, 32—34]. Сумма квадратов ощибок 5 вычисляется сначала для начального набора констант устойчивости К, а затем пересчитывается для наборов Кь получаемых изменением с данным шагом Ы. Таким путем находят 72( +1)( + 2) значений 5 (п — число констант устойчивости, подлежащих уточнению) и используют их для построения поверхности второго порядка (параболической). Точка Ко минимума этой поверхности служит исходным значением для следующей итерации. Оба метода имеют определенные достоинства и в некоторых аспектах преимущества один перед другим-[7, 31], но главной проблемой как этих, так и других программ остается надежность сходимости. [c.89]

Исходную систему уравнений преобразуют в полиномы высокого порядка или системы нелинейных уравнений. Они могут быть решены только численными методами с применением ЭВМ. Расчет по полученным полным уравнениям кислотно-основных взаимодействий можно осуществлять при любом сочетании параметров математической модели, в том числе и в случаях, когда применение приближенных формул затруднено или дает неправильные результаты. Приведение системы к полиному или системе с минимально возможным числом уравнений значительно упрощает процесс программирования по сравнению с программированием исходной системы уравнений. При разработке алгоритма расчетов в итерационную схему включена корректировка средних коэффициентов активности ионов. Были разработаны алгоритм и программа расчетов равновесных концентраций ионов и кривых потенциометрического титрования электролитов [37]. Полученный полином или система решается итерационным методом Ньютона Рафсона, причем в программе предусмотрен автоматический выбор работающих членов полинома или системы уравнений. Обращение к числам очень малого порядка осуществляется путем их логарифмирования и последующей нормализации. [c.8]

Концентрации свободного лиганда и свободного металла обычно получаются из итерации методом Ньютона — Рафсона по уравнениям материального баланса. Программа, вероятно, работает хорошо даже от плохих начальных приближений констант устойчивости, если итерации проводятся непосредственно с константами устойчивости, а не с их логарифмами, поскольку в последнем случае задача может быть плохо обусловленной. [c.101]

Равновесная модель щелочности может быть решена относительно концентрации иона водорода или pH, если все другие параметры вводимых переменных известны. Следовательно, требуются такие данные парциальное давление диоксида углерода в газовой фазе, концентрации летучих кислот, сульфидов,-фосфатов, аммония (в моль/л), щелочность (в моль Н+/л), значение рн в конечной точке титрования и температура. Рассчитанное с помощью ЭВМ значение [Н+] может быть получено, если сначала использовать грубую сетку поиска с интервалами-в единицу pH, а затем технику многократного поиска по Ньютону — Рафсону. Объединение этих двух приближенных методов приводит к быстрому решению. [c.321]

Поскольку методы сопряженных направлений за К шагов имитируют один шаг метода Ньютона — Рафсона, они, вообще говоря, обладают квадратичной скоростью сходимости. Однако это их свойство проявляется лишь в достаточной близости к экстремальной точке. В случае расчета стабильных структур использование известной структурной информации позволяет достаточно хорошо выбирать начальное приближение. Известные значения силовых постоянных (из эксперимента или из родственных расчетов) можно использовать при задании начального приближения для матрицы А (A 5iG ) в методах переменной метрики. Интересной особенностью градиентных методов сопряженных направлений является их эквивалентность в случае выпуклой квадратичной функции [234], когда они приводят к одной и той же последовательности сопряженных направлений. Но для произвольных функций, особенно вблизи точек перегиба, разные методы приводят к разным результатам. Наибольшей устойчивостью, по-видимому, обладают методы переменной метрики, но в задачах с очень большим числом переменных необходимость работы с матрицей высокого порядка может приводить к затруднениям тогда следует пользоваться более простыми методами параллельных касательных или сопряженных градиентов. Предварительно полезно улучшить начальное приближение с помощью метода скорейшего спуска. [c.116]

Значения температур определяются решением уравнений (П. 162) для всех тарелок, поскольку энтальпии потоков являются функциями температуры. Используя для решения данных уравнений метод Ньютона — Рафсона, получают следующую систему уравнений, содержащих температурные поправки А/ , необходимые для очередного приближения [c.88]

Какой же из методов лучше всего использовать для определения оптимальных конформаций молекул По-видимому, нужно иметь комплекс программ, который непременно должен включать метод скорейшего спуска и квадратичный метод, желательно метод Ньютона — Рафсона или метод параллельных касательных. Если неизвестно, близко ли к минимуму находится нулевое приближение, то сначала следует сделать три — четыре градиентных спуска, а затем перейти на квадратичный метод. [c.135]

Требуемую температуру можно рассчитать методом последовательных приближений Ньютона — Рафсона, принимая в качестве начального значения Г= 1,500 (см. пример I). Используя разложение 5(7"—АТ ), где АТ=Т—7 и Тп — некоторое значение температуры вблизи Т, в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением, получим [c.359]

Так же находятся и остальные частные производные. Выбор значений р произволен. Если величина р берется равной 0,001, то получают удовлетворительные результаты. Ясно, что если значение 0о,х (или 01,1) становится большим, то и значение р можно увеличить. Решив уравнения Ньютона — Рафсона для функций и их производных, получают новые значения 0, которые используют для следующего приближения в целях определения третьих значений 0, и т. д. Во всех случаях отрицательные значения 0 заменяют на величину, равную половине предыдущего значения. [c.165]

Члены, связанные с конвективным переносом,, всюду равны нулю, т. е. О, и в конечно-разностных уравнениях равны нулю. Для проведения расчетов в этих координатах необходимо аккуратно определять состояние потока на каждом временном шаге б/. Это достигается применением итерационного алгоритма Ньютона — Рафсона, на каждом шаге которого из уравнения (4.65) определяется поправка к начальному приближению Ф. Процесс продолжается до достижения заданной относительной точности по всем переменным бф/ф = = 10- Вследствие нелинейности исходных дифференциальных уравнений итерации могут расходиться, если шаг по времени слишком велик, и нужно предусмотреть уменьшение шага, скажем, вдвое, если сходимость за заданное число итераций не достигается. С другой стороны, для сокращения времени расчета необходимо по возможности увеличивать шаг по времени в пределах отмеченных ограничений. Удобно поэтому начинать расчет с малых значений Ы (скажем, 10 с) и постепенно увеличивать Ы (примерно на 10 %), если на данном шаге достигается сходимость за определенное число итераций. [c.87]

Несмотря на возможную неопределенность, вызываемую влиянием численной диффузии, связанной с наличием конвективных членов, подход Эйлера обладает значительными преимуществами, если цель расчета — только определение параметров установившегося состояния. Так как параметры в каждой точке стационарного потока не зависят от времени, шаги по времени в эйлеровых координатах сами по себе являются хорошим приближением к конечному результату. Вследствие этого не требуется ни применения итерационного алгоритма Ньютона — Рафсона, ни варьирования плотности, пространственного шага или температуры на временном шаге. Таким образом, эти переменные вместе с конвективными членами могут быть вычислены в начале временного шага при помощи вспомогательных соотношений (2.25), (2.26) и (4.48) или (4.50). Это уменьшает число [c.90]

Матричные методы, составляющие большинство известных методов расчета массообменных аппаратов и их комплексов, можно разделить на две группы по способу линеаризации балансовых соотношений. К первой группе относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность с предьщущих итераций. Типичным примером является метод Тиле и Геддеса, реализованный в матричной форме. Для него характерны трехдиагональная структура мат эицы системы уравнений баланса, простота хранения коэффициентов системы уравнений. Однако, являясь по скорости сходимости методом первого порядка, он в ряде случаев обладает слишком медленной скоростью сходимости или вообще не обеспечивает решения. Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона-Рафсона. Эти методы обладают квадратичной сходимостью, однако весьма чувствительны к начальному приближению. [c.79]

Сходимость способа Ньютона — Рафсона рекомендуется исследовать путем непосредственного применения этого метода к решению различных задач, стояш их перед исследователем. Следует изучить использование различных начальных значений переменных. Если интерес представляют только положительные значения корней, а при промежуточном приближении получаются отрицательные значения перемеьных, необходимо предусмотреть возможность выбора новых значений переменных для следующего приближения. Как уже указывалось, целесообразно непосредственное испытание способа в отношении сходимости, так как труднее аналитически доказать сходимость или несходимость способа Ньютона — Рафсона для данной системы уравнений, чем найти конкретные условия, при которых получалась бы сходимость до желаемого результата для одних начальных условий и несходимость для других. [c.22]

Поскольку система уравнений обычно включает несколько нелинейных уравнений, приходится прибегать к методам аппроксимации. Этой проблеме уделялось много внимания в связи с многореакционным равновесием, так как при этом может наблюдаться плохая сходимость на промежуточных стадиях последовательных приближений корней и могут появляться отрицательные мольные доли. При этом были использованы приведение уравнений к линейным системам перед или в ходе применения метода Ньютона — Рафсона, линейное [c.491]

LEAST. Следующим усовершенствованием была программа LEAST [31], включающая минимизацию функции методами Гаусса — Ньютона и Ньютона — Рафсона. В последнем случае принимаются во внимание члены второго порядка ряда Тейлора (см. разд. 5.3). Минимизируемой функцией является сумма квадратов отклонений во всех трех уравнениях материального баланса по общим концентрациям иона водорода, металла и лиганда. Это позволяет точно вычислять производные, в то время как в ранее обсуждавшихся программах используются приближенные разности. При вычислениях концентрации свободного металла и свободного лиганда рассматривают как параметры, подлежащие оценке в каждой точке измерений наряду с константами устойчивости [31]. Тем самым программа отличается от большинства других, в которых указанные величины находят одновременным решением уравнений материального баланса по металлу и лиганду, используя значения констант устойчивости на данной итерации. [c.100]

LETAGROP Потенциомет- рические Несколько (д, аналитическая концентрация иона водорода, э.д.с.) Метод квадратичного приближения окрестности минимума (Ньютона — Рафсона) 7, 21 [c.102]

Расчет следует начинать с входа в циркуляционную трубу, задавшись потоком жидкости, и продолжать вычисления, поочередно прибавляя и вычитая изменения давления. При попытке рассчитать процесс теплопередачи для первого ряда труб теплообменника возникает дополнительная трудность. Ввиду того что по условию задачи моделирования должны задаваться лишь условия на входе, выходная температура и эффективная движущая сила в этих трубах неизвестны. Поэтому необходимо выполнить двойную итерацию следует задать, во-первых, температуру газа на выходе и, во-вторых, температуру газовой смеси непосредственно за каждым рядом труб, чтобы можно было рассчитать эффективную разность температур в трубах. Приняв значение температуры газа на выходе, необходимо добиваться сходимости по температуре поочередно для каждого ряда труб. Таким образом, программа включает три основных итерационных цикла по массовой скорости потока воды, по выходной температуре газа и по средней температуре — движущей силе — для каждого ряда труб. Кроме того, имеются такие программы расчета средней температуры, с помощью которых можно определять различные физические свойства или получать решения других трансцендентных уравнений (например, уравнения Коулбрука для коэффициента трения в однофазном потоке, приведенные в работе Кауфмана [95]). К счастью, используя метод секущих по температурам, расчет выходной температуры можно осуществить за три-четыре итерации. Метод Ньютона — Рафсона, применяемый для обеспечения сходимости по скорости потока воды, требует от четырех до шести итераций, если приближенное значение потока не было известно из предыдущего цикла вычислений. Все прочие итерационные процедуры также основаны на методе сходимости Ньютона — Рафсона. Расчет общего перепада давления во всем контуре для одного приближения по скорости потока, выполняемый по этой программе на вычислительной машине IBM-7040, занимает примерно [c.193]

При использовании автоматических вычислительных машин рекомендуется применять метод Ньютона—Рафсона. Когда пользуются настольными вычислительными машинами, то [14] для получения быстрой сходимости последовательных приближений мо кет оказаться полезным графический метод он заслуживает п])едпочтепия также в том случае, когда вычислители пе знакомы с методом Ньютона—Рафсона. Метод заключается в построении молярной доли (ординаты) -й зависимой составной части по молярной доле (абсциссе) той же составной части, полученной из предыду-ш,ей итерации. При равновесии точки лежат на прямой у = х, проходящей под углом 45° к оси абсцисс. Сначала определяются равновесные концентрации две подобные последовательные точки определяют прямую, пересекающую прямую у = хв точке, которая дает лучшее приближение, чем каждая из двух точек. Три такие точки определяют кривую, пересекающую прямую у = х в точке, которая даст еще лучшее приближение. Система значений, определепных таким образом, может быть использована вместе с уравнением (2.28) при определении значений молярных долей компонентов для следующей итерации. [c.74]

Первую группу образуют градиентные методы. Хотя главным условием является нахождение точки, в которой первые производные по конформационным переменным равны нулю, а вторые производные больше нуля, некоторые методы ие требуют ЯВ1ЮГ0 вычисления производных. Эти методы можно рассматривать как семейство процедур, отличающихся спосо бом преобразования /+1 — Е( (здесь I и 1+1 отвечают соседним точкам конформациоиного пространства) для вычислении производных в точке I и выбора конформации Х+ь Метод наискорейшего спуска является одним из самых простых, но пользуется большой популярностью в конформационных расчетах в связи с хорошей сходимостью результатов. Недостатком метода считается его невысокая скорость. Метод Ньютона — Рафсона отличается большей сложностью и требует вычисления вторых производных, тем ие менее в настоящее время подобные методы используются достаточно часто. Метод Флетчера — Ривса позволяет обходиться без вычисления вторых производных, а информацию о кривизне энергетической поверхности получают с помощью использования квадратичных форм приближения. Методы Давидона [9] и Флетчера — Пауэлла [11] используют преимущества как процедуры Ньютона — Рафсона, так и процедуры Флетчера — Ривса. Перечисленные методы достаточно эффективны, но имеют недостаток поиск прекращается в любом из локальных минимумов. Действительно, выход из минимума невозможен ввиду принципиальных особенностей алгоритмов указанного типа. [c.579]