Устойчивость стационарного состояния

Для устойчивости стационарного состояния необходимо, чтобы малые отклонения от равновесной температуры приводили к таким изменениям, которые возвращают реактор в стационарное состояние. Это означает, что если температура становится несколько меньше стационарной, скорость тепловыделения Q y) начинает превышать скорость теплоотвода Q2 y) если же температура незначительно превысит стационарную, то Q2 yX будет больше Ql y). Иными словами, для устойчивости стационарною состояния необходимо выполнение неравенства [c.67]

Таким образом, изучаемая система не имеет стационарных состояний исследуемый реактор периодического действия, как и все подобные реакторы, работает в нестационарном режиме. Поэтому для реакторов периодического действия вопрос об устойчивости стационарных состояний не имеет смысла, но может возникнуть вопрос об устойчивости того или иного нестационарного режима. Этот вопрос рассматривается в главе V. [c.73]

Наличие зависимости скорости тепловыделения от скорости химической реакции, а скорости химической реакции от температуры приводит к возникновению в неизотермическом реакторе положительной обратной связи, которая может вызвать неустойчивость процесса. Поэтому одним из этапов разработки реакторного узла является исследование устойчивости стационарного состояния [11, 12]. [c.171]

Результаты расчетов приведены на рис. УП.Ю в виде фазовых траекторий. Расчеты производились при различных начальных значениях Т и с. Из рис. УП.Ю видно, что режим работы химического реактора характеризуется двумя устойчивыми стационарными состояниями (точки 1 и а). Точка 5з соответствует неустойчивому стационарному состоянию. [c.308]

Таким образом, в процессе изменения скорости потока — и в реакторе последовательно наблюдаются явления гистерезиса (двойные устойчивые стационарные состояния), нерегулярные колебания, одно устойчивое стационарное состояние. При этом с увеличением скорости v число Пекле — Ре возрастает с 0,99 до 1,1. В [1, 2] — отмечено исчезновение множественности стационарных состояний в реакторе по мере увеличения высоты слоя катализатора L, а следовательно, и величины Pe , где Рв(. = = Lv/Di, где Dl — коэффициент продольного перемешивания. [c.284]

Если изобразить зависимость и Г от времени, функции ( ) и Т 1) будут такими, как на рис. VII.16. Здесь О — начальная точка ( (0), Т (0)), и как температура, так и степень полноты реакции сначала возрастают. Температура достигает максимума в точке Р, а степень полноты реакции увеличивается вплоть до точки Q, после чего начинает падать. Тем временем скорость падения температуры снижается и температура достигает минимума в точке К. Таким образом, и Г приближаются к стационарному состоянию путем затухающих колебаний. Такому поведению решений должно соответствовать устойчивое стационарное состояние с комплексно сопряженными корнями. В других случаях, когда корни действительны, приближение к стационарному режиму не будет колебательным. [c.176]

Мембрана, как и любая открытая система вблизи равновесия, при неизменных внешних условиях стремится к устойчивому стационарному состоянию, которое характеризуется минимальным положительным значением производимой энтропии. Диссипативная функция Ч , определяемая соотношением типа (1.9), обладает свойством потенциала, т. е. минимальна в стационарном состоянии, которое устойчиво и однозначно, если. сохраняется линейность связей между потоками и силами, положенная в основу феноменологических уравнений (1.7) и соотношения Онзагера (1.8). [c.26]

Исследования показали, что начальные условия оказывают существенное влияние как на переходную характеристику, так и на устанавливающийся стационарный режим реактора. На рис, VII,13 показаны зависимости величины у2 от х q различные моменты времени при разных начальных условиях. Для различных комбинаций начальных условий появляются два устойчивых стационарных состояния в зависимости от е (рис. VII. 14). [c.312]

Рассмотрим теперь, как можно ИС- p . ЦМУ. Разбиение пло-толковать полученные результаты. скости параметров уо, (i. При наличии двух устойчивых стационарных состояний одно из них соответствует меньшей температуре (нижний температурный режим), другое — большей (верхний температурный режим). Бифуркация, соответствующая точке D (см. рис. III-16), заключается в исчезновении нижнего температурного режима, приводящем к скачкообразному переходу в верхний (рис. П1-16, D—> ). При понижении же температуры стенки становится невозможным верхний температурный режим и происходит скачкообразный переход к нижнему (рис. П1-16, F- G). [c.89]

Представление о том, что динамические системы можно рассчитывать, исходя из устойчивости, не является, конечно, новым. Специалистам по управлению системами давно известно, что в системах с обратной связью требуется взаимное согласование точности и устойчивости (имеется в виду, что необходимые переходные характеристики можно получить только за счет некоторого снижения требовательности к устойчивости стационарного состояния). Известно, что вопрос об устойчивости системы не допускает простого ответа типа да — нет , а требует изучения степени устойчивости. Подобные соображения лежат в основе подхода к расчету химических реакторов, изложение которого начинается в следующей главе. Однако прежде необходимо описать характерные модели химических реакторов, отметив сделанные в каждой из них допущения. [c.14]

Кроме неустановившихся процессов и устойчивых стационарных состояний в динамических системах может осуществляться периодическое изменение величин, характеризующих состояние системы, т. е. незатухающие колебания этих величин. На фазовой плоскости периодическому процессу соответствует движение изображающей точки по замкнутой траектории. [c.133]

На первый взгляд устойчивость равновесия и устойчивость движения принципиально различны. С физической точки зрения это так и есть. Однако математически оба эти понятия устойчивости находят идентичную трактовку. Устойчивость движения можно рассматривать как обобщение понятия устойчивости стационарного состояния. [c.160]

Не каждая точка пересечения соответствует устойчивому стационарному состоянию. Например, в точке / (см. рис. И1-60) малое повышение температуры приводит к значительному увеличению выделяющегося тепла по сравнению с отводимым. При уменьшении температуры наблюдается обратное явление. Поэтому точку / нельзя считать устойчивой. [c.261]

Существование гистерезиса объясняется теплопередачей между нагретыми частицами катализатора в реакторе и менее горячим реакционным потоком. Когда в реакторе происходит теплообмен за счет радиации в начальной части слоя катализатора (горячий слой катализатора и холодный, еще не вступивший в химическую реакцию, газ), в реакторе [3, 4] возможно существование трех устойчивых стационарных состояний, разделенных двумя неустойчивыми. При этом влияние инертных наполнителей, уменьшающих температурный градиент между слоем и газом, расио-ложенных перед слоем катализатора и после него, рассмотрено в [4, 5]. Условия, при которых возможно зажигание, получены, например, в [6]. Анализ этих условий показывает, что для гетерогенных каталитических реакторов зажигание происходит тем эффективнее, чем длиннее слой. Следует поэтому предположить, что имеется предельное значение длины слоя катализатора, при превышении которой устойчивы лишь зажженные стационарные [c.284]

V — потенциальная функция. Этой системой уравнений можно пользоваться для построения общей классификации решений по точкам, в которых изменяются свойства устойчивости стационарных состояний. Эти точки Том назвал множеством катастроф [142]. [c.320]

При отклонении систем от устойчивого стационарного состояния [c.27]

Для выявления механизма мембранного переноса и целенаправленного синтеза мембран необходимо установить возможные состояния мембранной системы и их взаимные переходы при различных значениях управляющего параметра а. В качестве управляющего может быть использован любой параметр, вызывающий возмущение в системе, отклонение ее от исходного равновесного или устойчивого стационарного состояния. Поскольку основным неравновесным процессом являются химические реакции, естественно в качестве управляющего параметра использовать величины, влияющие на состав реагентов в каждой точке мембраны. Обычно используют концентрации переносимого компонента на границах мембраны в газовой фазе (С ) или (С/)", изменение которых влияет на приток или отток реагентов и вызывает возмущение как в распределенной системе в целом, так и в локальной области мембраны. [c.30]

Рассмотрим устойчивость точечной системы, понимая под ней малую область мембраны или же целиком мембрану при 01Р- оо. Аналитический метод исследования устойчивости по Ляпунову основан на получении и анализе совокупности уравнений для возмущений, выводящих систему из устойчивого стационарного состояния. Представим параметры системы в возмущенном состоянии в виде х=х-]- и у = у- -ц (где и г] — отклонения независимых переменных от их значений в устойчивом стационаром состоянии ж и у). В таком случае исходную систему уравнений (1.28) можно представить в виде линеаризированной системы [c.31]

Найденное условие позволяет исследователю обеспечить устойчивое стационарное состояние в аппаратах идеального перемешивания, выбирая соответствующим образом С, Р, V. Видно, что несколько стационарных состояний и, следовательно, неустойчивость, могут появиться для реакций с большими значениями I 5пр I и Е при малых скоростях потока и малых Р У). [c.161]

Если применить условие (V.21) к инженерным задачам, то в качестве х можно рассматривать время осуществления процесса. Тогда условие х->оо означает переход процесса к установившемуся (стационарному) состоянию, и асимптотическая устойчивость есть устойчивость стационарного состояния. В теории регулирования такую устойчивость называют локальной, или устойчивостью в малом. [c.163]

Нелинейные системы. В том смысле и в той постановке, которые изложены выше, проблема построения минимальной реализации может быть сформулирована и для нелинейной динамической системы при ее движении в окрестности устойчивого стационарного состояния. Минимальная реализация, построенная в окрестности фиксированного стационарного состояния, представляет собой линеаризованную систему уравнений движения нелинейной динамической системы в этой окрестности. [c.116]

Каждое слагаемое в (2.193) представляет произведение термодинамических сил на термодинамические потоки. В устойчивом стационарном состоянии все движущие силы постоянны. Соотношение (2.193) запишем в виде [c.198]

Признание значимости вторичного зародышеобразования в процессах массовой кристаллизации привело в последнее десятилетие к пристальному изучению условий устойчивости стационарных состояний с учетом наличия вторичного зародышеобразования [18—23]. [c.336]

На рис. 4.5 отмечены границы устойчивости стационарного состояния механизма зародышеобразования, определяемого соотношением (4.26), когда скорость вторичного зародышеобразования определяется дроблением, истиранием кристаллов. Заштрихованная область параметров I и и характеризует зону устойчивости. [c.339]

При сближении ядер электронная энергия е(/ ) понижается (сила притяжения преобладает над силой отталкивания). Затем потенциальная кривая проходит через минимум при Н = и при дальнейшем сближении ядер е(/ ) возрастает, стремясь к бесконечности при R- О (преобладает сила отталкивания). Межъядерное расстояние R — т , отвечающее минимуму потенциальной кривой, называется равновесным. При R =г равнодействующая всех сил притяжения и отталкивания равна нулю, молекула находится в устойчивом, стационарном состоянии. Этому состоянию отвечает строго определенное значение электронной энергии молекулы эл. е)= [c.45]

Изложенный выше метод анализа устойчивости стационарных состояний в слое идеального смешения можно применить для определения устойчивых режимов экзотермических процессов на внеш- [c.512]

Рассмотрим следующую задачу. Введем некоторое количество нейтронов летаргии и в точку г точно критического реактора. Найдем поток нейтронов как функцию пространственных координат и летаргии для всех последующих моментов времени. Так как система критична, нейтрон, введенный в систему, в среднем будет только воспроизводить себя бесконечно. Поток нейтронов несколько возрастет на величину, соответствующую плотности одного нейтрона, отнесенной ко всему объему реактора, но система придет снова в устойчивое стационарное состояние. Очевидно, что нри введении нейтрона в любую точку системы возникнет устойчивый конечный поток с распределением в пространстве по основной гармонике, но величина конечного потока будет зависеть от точки, в которую введен нейтрон. Можно ожидать, например, что нейтрон, введенный вблизи внешней границы, вызовет [c.568]

За последние 10 лет проблеме исследования устойчивости стационарных состояний химико-технологических процессов было посвящено большое число работ. Однако они относились, главным образом, либо к изучению устойчивости одного реактора, например реактора, представленного моделью идеального смещения, процесса на одном зерне, процесса в слое неполного смешения и т. д., либо к исследованию устойчивости достаточно простых систем реактора с внешним теплообменником, реактора с рециклом, реакторов с адиабатическими слоями [54—56]. В книге [55] имеется обширный перечень литературных источников по устойчивости химических реакторов. [c.229]

Обеспечена ли устойчивость стационарного состояния при малых изменениях параметров, мгновенных значений зависимых переменных или условий на входе в реактор [c.14]

В некоторых случаях устойчивость стационарных состояний можно определить по диаграммам отвода и подвода тепла. Пользуясь подобными диаграммами, Н. Н. Семенов в свое время сформулировал условия теплового воспламенения и заложил тем самым основы теории теплового взрыва ]Чного лет спустя ван Хирден применил тот же подход для анализа устойчивости режимов автотермических реакторов. [c.66]

Предположим, что устойчивая чаша имеет ограниченные размеры, как и должно быть в практической задаче. Тогда поверхность становится подобной кратеру вулкана (рис. И1-За). При этом одна из траекторий определит на плоскости к , х, ограниченную область асимптотической устойчивости, внутри которой все траектории сходятся к устойчивому стационарному состоянию (рис. П1-36). Внешние траектории на этом рисунке отклоняются от границы области асимптотической устойчивости. [c.56]

Заметим, что функция v [х ( )] с неположительной производной существует не для всякой системы. Точнее, существование такой функции является необходимым и достаточным условием устойчивости стационарное состояние устойчиво в том (и только в том) случае, если существует функция Ляпунова. [c.76]

Чтобы доказать, что из существования функции Ляпунова следует устойчивость стационарного состояния, достаточно обратиться к рис. IV-2, построенному следующим образом [c.76]

Все рассмотренные выше модели неизогермических реакторов относились к случаю протекания в реакторе экзотермических реакций. Выясним теперь, какова устойчивость стационарных состояний реактора непрерывного действия, в котором протекают эндотермические реакции. [c.118]

Если скорость процесса определяется переносом вещества между потоком и поверхностью гранулы катализатора, то такой режим называется внешнедиффузионным. Известно, что высокотермические процессы могут иметь два устойчивых стационарных состояния — кинетический (или внутридиффузионный) и внешнедиффузионный режим. Процессы с небольшим тепловым эффектом — изо- и эндотермические — имеют область переходного режима между внешнедиффузионным и кинетическим. [c.160]

Пространственно-временные диссипативные структуры типа бегущей волны возникают в связи с образованием предельного цикла, когда концентрации компонентов системы не только колеблются во времени, но и одновременно изменяют свои координаты в пространстве. Такая система допускает волнообразное движение, при котором локальные колебания не организуются для образования стоячей волны, а принимают участие в общем продвижении волновых фронтов. Диссипативная структура в этом случае реализуется по типу бегущей волны во времени и пространстве. Система может обладать несколькими стационарными состояниями, которые соответствуют одному и тому же значению параметра. Типичный пример такой ситуации показан на рис. 7.1, на котором кривая зависимости / (X, а) =0 стационарных значений концентраций X (а) от параметра а имеет три стационарных точки при одном фиксированном значении параметра ц. Если, например, а = о, то а, с — устойчивы, а Ь — неустойчивое состояние. Тогда части кривой АВ и ОС представляют собой ветви устойчивых, а ВС — ветвь неустойчивых стационарных состояний. При достижении бифуркационных значений параметра (а, а") происходят скачкообразнью переходы С А и ВО в экстремальных точках В 11 С кривой f (X, а) = О так что неустойчивые состояния на участке ВС практически никогда не реализуются в действительности. Таким образом, реализуется замкнутый гис-терезисный цикл АВОСА, в котором в результате изменения параметра система проходит ряд стационарных состояний, отличающихся друг от друга при одних и тех же значениях а в зависимости от направления движения. Системы, обладающие способностью функционировать в одном из двух устойчивых стационарных состояний, принято называть триггерными. Последние работают по принципу все или ничего , переключаясь из одного устойчивого режима в другой в результате изменения управляющего параметра а. [c.282]

Для анализа устойчивости стационарных состояний нелинейной системы линеаризуем ее вблизи точек стацтонарности с помощью соотношений с = с + с , = где с, —значения концентрации и й-го момента плотности функции распределения соответствующие стационарному состоянию системы с", л/—отклонения этих величии от стационарных значений, которые в линейном приближении полагаются малыми. Опуская члены порядка малости больще единицы, получаем систему линейных дифференциальных уравнений [2—4] [c.332]

Для исследования устойчивости стационарных состояний кристаллизатора приведем систему (4.29) —(4.32) к безразмерному виду с помощью соотн ошений [20] а = а/т1о/о, = / ( . ) = [c.337]

Нелинейная система уравнений (4.34) для каждого механизма зародышеобразования была линеаризована около стационарного состояния [ о, 1, 2> з]=П>0 1,0 1,0 1,0], и полученная система линейных уравнений использовалась для исследования устойчивости стационарного состояния [20]. Так, на рис. 4.4 указаны границы устойчивости для механизма зародыщеобразования, описываемого соотношением (4.27), когда скорость вторичного зародышеобразования зависит от частоты столкновений кристаллов. Заштрихованная область характеризует зону устойчивости в системе поряд- [c.338]

Выражение (IV, 47) идентично неравенству (II, 47), которое было определено ранее как достаточное условие единственности стационарного состояния и интерпретировалось как температурная зависимость тепловыделения и теплоотвода. Условие единственности касается всех возможных температур, представляющих интерес, в то время как условие устойчивости должно относиться только к стационарному состоянию. В результате проточный реактор с перемешиванием может иметь единственное стационарное состояние, которое неустойчиво [если, например, неравенство (IV, 47) справедливо при всех температурах, но условие (IV, 40а) нарушается при стационарном состоянии], или устойчивое стационарное состояние, которое не будет единственным стационарным состоянием [если неравенство (IV, 47) удовлетворяется при стационарном состоянии, но нарушается при других температурных условиях]. Представление о необходимости теплового баланса более раннее, чем произведенный здесь анализ устойчивости стационарного состояния, и восходит по крайней мере к Ван Хирдену (1953 г.). [c.86]

Дополнительные профили различных видов были рассмотрены Макговином (1969 г.), чтобы показать их устойчивость по отношению к устойчивым стационарным состояниям при низких и высоких температурах. Он обозначил широкие области устойчивости, как показано на рис. УИ1-21 для = 3. Верхняя часть этого рисунка ограничена уровнем Т/То= 1,7, поскольку это максимально достигаемая адиабатическая температура. Области покрывают большую часть площади между [c.209]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология