Формула сходимости

Предложенная формула дает удовлетворительную сходимость с фактическими измерениями сопротивления сухой тарелки (в мм рт. ст.) [c.65]

Эта формула дает лучшую сходимость с опытом, чем формула Борна. Метод Ван-Аркеля и де-Бура отличается от борновского тем, что в нем процесс гидратации разделяется на два этапа. Энергия образования первого гидратного слоя вычисляется на основе взаимодействия между газообразным ионом и полярными молекулами воды, т. е. взаимодействия, происходящего вне сферы жидкой фазы. Такой способ расчета позволяет учесть свойства отдельных молекул воды (их дипольные моменты, поляризуемость и т. п.). Поэтому при рассмотрении процесса образования первого гидратного слоя, где эти свойства особенно важны, появляется возможность отказаться от представления о воде лишь как о среде с определенной диэлектрической пропицаемостью. Поскольку на второй стадии цикла в воду вносится ион, уже частично гидратированный, с радиусом, зиачителглю большим, чем радиус исходного иона, то одна и та же ошибка в его определении здесь будет иметь меньи ее значение. Возмуихения, вызванные введением такого гидратированного иоиа в воду, будут меньшими, и представление о воде как о непрерывной среде с определенной диэлектрической проницаемостью, а следовательно, и применение формулы (2.14) оказываются более оправданными, чем в методе Борна. Молекулу воды Ван-Аркель и де-Бур представляют себе в виде с([)еры с радиусом 0,125 нм и электрическим моментом диполя, равкым 6,17-10 ° Кл.м (1,85 0). [c.59]

Это несколько громоздкое уравнение представляет собой формулу сходимости. Исходные значения Кп (уравнение (3.35)) можно рассчитать из полуцелых значений п. Уравнение (3.44) лучше всего рассматривать в виде [c.60]

Антиобледенительные свойства бензинов и антиобледенитель-ная эффективность присадок выражаются изопропиловым эквивалентом, который находят путем интерполяции по формуле. Изопропиловый эквивалент показывает процентное содержание изопропилового спирта в базовом топливе, эквивалентном по скорости обледенения с испытуемым бензином. Сходимость результатов повторных определений антиобледенительных свойств одной пробы бензина или присадки находится в пределах 0,37 изопропилового эквивалента при доверительной вероятности 0,95. [c.198]

В табл. 10.3 показан пример такого расчета для системы ни-кель(П) —этилендиамин. Очевидно, что уже после третьей подстановки в формулу сходимости получают незначительное расхождение, а в последующих циклах улучшенные значения констант устойчивости практически не изменяются. [c.188]

О. А. Есиным и Б. Ф. Марковым (эффект Есина — Маркова), она и не обеспечивает количественной сходимости с опытом. При расчете емкости по формуле Штерна следует иметь в виду, что общая емкость С двойного слоя состоит из двух последовательно включенных емкостей — его плотной масти С и диффузной части С . [c.270]

Матрицы, входящие в правую часть этой формулы, имеют одинаковую форму представления они получены в результате умножения вектора на свой транспонированный вектор. Ранг подобных матриц, очевидно, равен единице. Так как ранг суммы матриц не превосходит суммы рангов ее составляющих, то при р < п — 1 ранг матрицы (х ) оказывается меньшим п, т. е. она является вырожденной. Если на нижнем уровне для минимизации функции а(- ) применяется метод Ньютона [см. выражение (1,43)], то в общем случае эффективность его для рассматриваемой ситуации значительно снижается [81, с. 79—86] вместо квадратичной скорости сходимости можно гарантировать лишь линейную скорость, характерную для обычного градиентного метода. Следовательно в целом эффективность алгоритма метода уровней, используемого совместно с методом Ньютона для выполнения безусловной минимизации, должна снижаться по мере приближения значения параметра л к л. Отсюда следует также, что в общем случае метод уровней целесообразно применять лишь для локализации решения задачи на условный экстремум, в частности задавать начальные приближения для х и [Л, достаточно близкие к х, х, нецелесообразно, Последний из упомянутых моментов часто проявлялся при расчетах на ЭВМ с использованием на нижнем уровне других квадратичных методов безусловной минимизации. [c.122]

Для улучшения сходимости к решению системы здесь применен метод релаксации, заключающийся в том, что новое значение температуры Ту. . 2 при итерациях берется меньшим, чем Ту. ,, полученное в результате решения системы при заданном значении Ту. к,, и вычисляется по формуле Ту. . 2 + + ( у.к,+1 — к,)/5, реализованной в операторе 31. [c.187]

И. Афанасьев (433) изучал абсолютную вязкость многих масел и нашел, что кривые вязкостей, отложенные на логарифмической бумаге, сходятся в одной точке в области высоких температур точнее все масла можно разбить на 3 группы, для которых возможны теоретические подсчеты вязкостей по формуле Уббелоде, если для каждой группы подставить свои, эмпирически найденные коэфициенты. Координаты точек сходимости кривых оказались [c.243]

При числе атомов углерода л = 3—10 расчетные значения по уравнению (4.32) отличаются от экспериментальных не более чем на 15%. Сходимость по формуле (4.33) —удовлетворительная (рис. 4.18). [c.131]

Использование этой формулы для расчета отстойников периодического действия при весьма малой объемной концентрации примеси дает, как правило, хорошую сходимость с экспериментальными данными, особенно при узком спектре дисперсности частиц. Попытки же применения этой формулы для расчета разделения сред с высокой объемной концентрацией дисперсной фазы, что характерно для сточных вод, приводят к значительным расхождениям расчета и экспериментов. В связи с этим было предложено ввести в формулу (П-5) поправочный коэффициент, который определяют по уравнению [c.47]

По данной формуле рассчитано количество карбамида, необходимого для извлечения твердых парафинов из дистиллятов ставропольской и мангышлакской нефтей. Сравнение показало хорошую сходимость расчетных и экспериментальных данных. [c.243]

Основной задачей при использовании формул Эйлера, Рунге— Кутта и т. д. для решения системы (7.288) является выбор шага интегрирования, или фактора релаксации. При малых значениях последнего сходимость решения монотонная, но медленная. В случае же больших значений л возможно появление колебательности и даже расходимости решения. Система уравнений баланса является жесткой, т. е. имеет сильно различающиеся по абсолютной величине собственные значения. Поэтому ее решение существенно зависит от величины шага интегрирования. Очевидно, должно существовать оптимальное значение фактора релаксации, величина которого определяется собственными значениями матрицы системы уравнений и в конечном итоге количеством и концентрацией компонентов на тарелке. При расчете по формулам (7.288) фактор релаксации определяется через собственные зна- [c.367]

Алгоритмы приведены в табл. 11.3, где кружками обведены номера формул, используемых для задания начальных приближений при проведении итеративных расчетов. Для ускорения сходимости итеративных расчетов используется блок Итерация . Вектор оборудования данного моделирующего блока содержит следующие параметры перепады давлений в трубном и межтрубном пространстве модуль к базовые расходы для расчета коэффициента теплоотдачи по трубному и межтрубному пространствам коэффициенты а и Р признак агрегатного состояния теплоносителей коэффициент теплопередачи площадь теплообмена. [c.596]

Сложнее вопрос о быстродействии для итерационных методов. Во-первых, сходимость метода обеспечивается при выполнении определенных для каждого метода условий. Например, при решении уравнения /(Г) =0 по формуле (1-24) процесс будет сходящимся, если / (Г ) < 1. Во-вторых, количество итераций, которое необходимо выполнить для получения решения, зависит от начального приближения и требуемой точности. Чем ближе начальное приближение к истинному решению, тем быстрее оно будет достигнуто. Более того, от начального приближения зависит вообще возможность получения решения. В связи с этим одной из сложных проблем при использовании итерационных методов является обеспечение сходимости решения в широком диапазоне изменения начальных условий и параметров процесса. Решению этой проблемы уделяется основное внимание при разработке универсальных моделирующих алгоритмов. [c.24]

Приведенная формула дает удовлетворительную сходимость с экспериментом до с кО,1. [c.48]

В отдельных случаях, если неизвестно лучшее приближение, в качестве начального можно брать единичную матрицу. При вычислении обратной матрицы по этой итерационной формуле совсем не используются операции деления. Формула обладает квадратичной сходимостью. Для окончания процесса последовательных приближений можно воспользоваться оценкой суммы модулей элементов матрицы АХ, не лежащих на главной диагонали, для чего в исходной информации необходимо задать точность вычислений. [c.242]

Исследуем условия сходимости итерационной формулы (12—23). Пусть и г/ +1 — два последующих итерационных приближе- [c.358]

В этой статье мы рассмотрим метод и его обобщение, позволяющее рассчитывать равновесный состав систем с учетом ионной силы. Докажем единственность равновесного состава и сходимость процесса с любого начального приближения. Рассмотрим также модификацию метода, предназначенную для решения обратной задачи — расчета по данным эксперимента неизвестных параметров равновесных химических систем (кон стант равновесия, стандартных потенциалов гальванических цепей без переноса, эмпирических постоянных в формулах, описывающих коэффициенты активности, и т. п.). Приведем также технику работы с матрицами, возникающими при решении оби ратных задач, и сведения об используемом методе минимизации некоторой остаточной дисперсии. [c.37]

С увеличением расхода сходимость рядов замедляется так, что при сохранении той же точности двух-, трехчленная формула может быть использована только при 2 л 0,5 -ь 1 м в зависимости от г. Интересно сравнить полученное решение с результатами работы [4]. Как и следовало ожидать из физических соображений, отличие полученого решения состоит в появлении члена, пропорционального объемному источнику тепловыделения. Рассматривая выражение (2.4.10), можно видеть, что он быстро возрастает с ростом г, приводя к увеличению температуры с ростом высоты. Асимптотическое значение члена, зависящего от источника, определяется выражением, параболически зависящим от радиуса [c.120]

В других формулах учитывается также влияние размеров частиц. Например, удовлетворительная сходимость экспериментальных и расчетных данных ( 17%) достигается при использовании формулы (u в см /мин) [c.105]

Результаты расчета по приведенному алгоритму представлены на рис. 92 и 93. Точность вычислений у, и , , во многом определяется величиной шага интегрирования т]. Последний выбран из условия экономии машинного времени и удовлетворительной сходимости результатов расчета со значениями скорости, вычисленными по формуле (93). С достаточной для инженерных расчетов точностью принята величина максимальной ошибки 5%. Вычисления показали, что такая точность достигается при г 0 0,5 мм. [c.172]

Как показали исследования, формула (3.10) и номограмма дают лучшие результаты по сходимости с экспериментом для малосернистых нефтей (2-6%), погрешность увеличивается в случае сернистых и высокосернистых нефтей. [c.184]

Хорошую сходимость применительно к условиям содового производства дает [341] формула [c.48]

Формула (IV,103) лежит в основе метода проектирования градиента [31, с. 134—135]. Ясно, что этот метод по скорости сходимости эквивалентен методам градиента и наискорейшего спуска при отсутствии ограничений. Поэтому интересно обобщить на данный случай методы переменной метрики, дающие большую скорость сходимости. [c.192]

В виде примера рассмотрим последовательное применение метода простой итерации и квазиньютоновского метода. Поскольку вначале квазиньютоновский метод часто дает плохую сходимость, в случае, когда метод простой итерации обеспечивает сходимость, может оказаться выгодным вначале на первых п шагах, использовать метод простой итерации, но на каждом шаге векторы и / использовать для преобразования матрицы Я (или в соответствии с той или иной формулой квазиньютоновского метода, например, по формулам (П, 107), (П, 108). При i = п надо переходить на квазиньютоновский метод, причем в качестве начального приближения к матрице Яо (или o) использовать полученную к этому шагу матрицу Я,. Аналогично может оказаться выгодным, применять метод DEM вначале, а затем переходить на квазиньютоновский метод. [c.72]

К сожалению, метод последовательных приближений (VI,29) зачастую расходится. Существуют ряд способов улучшения сходимости. Часто сходимости удается достигнуть, применяя следующие формулы для определения последовательных приближений [c.110]

Проблема сходимости итераций. Дадим пояснения на примере случая 2. Пусть проводится /-ая итерация. В критерий [см. формулу ( 111,67)] в этом случае подставлены значения (хр ). После осуществления итерации переменные х р получат новые значения хр )1+1, которые можно использовать на следующей итерации. Ясно, что х рУ+1 есть какие-то функции переменных хр )> [c.197]

L) вычисляются с помощью рекуррентных соотношений (XI,6.3), (XI,64) и (XI,66). Можно показать, что ряд (XI,68), в котором коэффициенты определяются формулами (XI,66), обладает экспоненциальной сходимостью. Не останавливаясь на выкладках, укажем, что для коэффициентов ряда (XI,68) справедливы следующие оценки [c.242]

Заметим, что, поскольку матрица М является произвольной и невырожденной, v есть произвольный вектор. Поэтому в формулах (П,68) и (И,69) его можно выбирать, что позволит улучшить сходимость метода. Прежде всего вектор v может быть выбран в соответствии с требованием максимальности знаменателя дроби в выражении (П,69), что будет препятствовать его обраш,ению в нуль. В этом случае вектор V находится решением следующей экстремальной задачи [c.39]

В этом смысле шаговые методы иопска оптимума могут быть названы итеративными, если иоследователыюе иримепение формулы (IX,28) I сю) обеспечивает нахождение оптимума (наблюдается сходимость поиска). [c.489]

Точность определения коэффициента теоретической работы прп малых углах р2л можно увеличить, если вместо лопаточного угла в формулу (4.2) подставлять эффективный угол найденный из (4.1). Сопоставление опытных и расчетных зависимостей (см. рис. 4.9) показывает, что прн Р-2Л < 45° расчет по рг,)ф дает лучшую сходимость с экспериментом, а при Ргп = 45-ь 63° расчеты по Рзл и ргэф дают близкие результаты, удовлетворительно согласующиеся с опытом. Это дает основание рекомендовать использование угла ра ф в формуле Стодолы при Р-2Л с 63°. Основной недостаток формулы Стодолы состоит в том, что она не учитывает влияние течения при входе в колесо. Как показано в ряде исследований, проанализированных [c.140]

По( ле преобразоваргия матрицы к трёх диагональному ниду по формулам (3. И)-(3.56) проверяем их на условие сходимости к точному решению [c.80]

Проверка этой формулы по опытным кривым, полученным при испытании различных ионитов (сульфоуголь, вофатит, ами-носмола), показала вполне достаточную для практических условий сходимость с опытными данными при скоростях фильтрования до 30 м час (рис. 11). [c.43]

Метод трехдиагональной матрицы оказывается малоэффективным при расчете ширококипящих и сильно неидеальных смесей. Возможно появление колебательности и даже отсутствие сходимости. Имеется целый ряд модификаций метода и, в частности, линеаризация уравнений фазового равновесия [59]. Если положить, что концентрация компонента в паровой фазе определяется количеством его жидкости, то при сохранении структуры матрицы существенно улучшается скорость сходимости решения. В этом с.пучае коэффициенты трехдиагональной матрицы вычисляются по формулам [c.341]

Из условия (12—33) следует, что чем больше величина А, тем меньше шаг, обеснечиваюш ий сходимость итерационного процесса, и чем меньше величина шага, тем меньшее количество итераций потребуется для получения устойчивого решения в точке. Однако в обш ем случае нельзя однозначно определить, что выгоднее взять меньший шаг, а с.ледовательно, увеличить число шагов интегрирования, или же увеличить шаг, но производить большее число итераций на каждом шаге. Поэтому в практике вычислений обычно поступают следующим образом. Выбирается произвольный шаг интегрирования и производятся итерации по формуле (12— 23)., Если после двух итераций заданная точность не обеспечивается, то размер шага уменьшается и расчеты повторяются. Эмпирически установлено, что такая стратегия обеспечивает минимальный объем вычислений при заданной точности [18]. [c.359]

Вязкость нефти изменяется с температурой неравномерно сначала резко, затем более медленно причем чем выше температура, тем медленнее. Основное снижение вязкости большинства нефтей наблюдается при температурах до 70-90 °С [14, 36—40]. При дальнейшем повышении температуры абсолютное снижение вязкости незначительно, но относи-тельж)е еще достаточно велико (рис. 9), при температурах же выше 130 ° С и оно становится небольшим. Нефти разных месторождений различаются между собой по вязкости и скорости ее изменения с температурой. Известно много эмпирических формул, характеризующих изменение вязкости нефти и нефтепродуктов с температурой [33, 34]. Часто применяемой и дающей достаточную сходимость в широком интервале температур является формула Фульчера-Таммана [c.42]

Лучшая сходимость расчетных данных с опытными получается по формуле Крегое (ошибка до 2,5%). По литературным данным [12], погрешность при температурах до 260 °С по формуле Крегое достигает 5,9%. [c.235]

Результаты расчета по формуле (95) пре 1ставлены на рис. 95 (кривая 2) в виде графика зависимости т,/Тц = ф. Сопоставление расчетных данных с экспериментальными показывает их удовлетворительную сходимость. Максимальное отклонение [c.174]

К сожалению, итерационная процедура (III.4) часто расходится. В некоторых случаях удается достигнуть сходимости с помощью методов DEM и GDEM [20]. При использовании модифицированной итерации к + 1)-е приближение вычисляют по формуле [c.67]

Изложенная в этом разделе схема доказательства сверхлинейной скорости сходимости lilDFP может быть применена к другим методам минимизации, использующим одно- или двухранговые формулы преобразования матриц Bi, и к так называемым дополнительным (или двойственным по Флетчеру) методам [153, 154], [c.283]

Остановимся подробнее на применении формул (II, 101), (II, 102) или (II, 103), (II, 104). В них имеется произвольный вектор . Единственное условие, которому должен удовлетворять этот вектор, состоит в том, чтобы знаменатель в выражениях (II, 101), (II, 102) был отличен от нуля. В работе [33] в качестве С рекомендуется поочередно выбирать столбцы единичной матрицы / . Однако более правильно выбирать , чтобы улучшить сходимость и предотвратить появление нежелательных явлений. Для выбора здесь могут быть привлечены те же самые соображения, что и при выборе вектора и в формуле (II, 70). Можно выбирать так, чтобы знаменатель в выражениях (II, 101), (II, 102) был максимальным, что будет препятствовать его стремлению к нулю. В этом случае определение вектора i будет подобно решению задачи (II, 71), (II, 72). По аналогии с формулой (II, 73) ее решение будет иметь вид = —KiHiI K (X — множитель Лагранжа). Подставляя это значение в выражения (II, 101), (II, 102), найдем [c.44]

Преимущество методов сопряженных градиентов по сравнению с методами сопряженных направлений состоит в том, что они требуют хранения только вектора, в то время как методы сопряженных направлений требуют хранения п X п-ма-трицы. Это особенно важно при решении задач большой размерности. В то же время практический опыт показывает, что методы сопряженных направлений, как правило, обеспечивают большую скорость сходимости, чем методы сопряженных градиентов. Этот факт, по-видимому, может быть объяснен только тем, что при применении методов сопряженных направлений обеспечивается сопряженность направлений при любых а . Метод же сопряженных градиентов этим свойством не обладает, поскольку при выводе формул (111, 41)—(III, 42) существенно использовалось то, что ищется оптимальная точка на каждом направлении [11, с. 47—49]. [c.85]

Проанализируем полученные преобразования (III, 63), (III, 65), (III, 81), (III, 83). Вычислительный опыт показывает [27], что формула (III, 65) работает не вполне удовлетворительно, лучшие результаты дает формула PSB (III, 63). Однако и это преобразование уступает формулам (III, 80), (III, 83). Формула (III, 81) (метод DFP) получила очень большое распространение и во многих случаях показывает очень большую эффективность. И наконец, преобразование BFGS (III, 83) считается одним из лучших с точки зрения быстроты сходимости. [c.92]

Вычисление производных с помощью этой формулы не требует во-первых, решения системы линейных уравнений, а во-вторых, вычисления производных дР/дх, что существенно сократит объем вычислений. Таким образом, обеспечение хорошей сходимости матрицы Я к матрице Якоби системы (II, 6) дает экономный способ определения искомых производных. Более того, подставив матрицу дх1ди в формулу (II, 200), можно получить начальное приближение для решения системы (И, 6) при и = +1. [c.134]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология