Условия и характеристические функции

Каждое из уравнений (11.31) — (11.34) определяет состояние равновесия системы с помощью экстремума характеристической функции при одном обязательном условии — постоянстве естественных переменных соответствующей функции, и не описывает состояние равновесия в иных условиях. [c.69]

Теперь можно сделать заключение о том, что перечисленные функции действительно являются характеристическими. В самом деле, рассмотрим, например, внутреннюю энергию. Она является характеристической функцией в условиях, когда система находится при постоянных объеме и энтропии. Тогда и 5 уже известны как заданные условия. Изменение внутренней энергии А1/ определяет тепловой эффект при постоянном объеме. Частная производная внутренней энергии по температуре позволяет най- [c.97]

Для первых двух условий характеристической функцией является энтропия, для третьего — свободная энергня (энергия Гельмгольца) и Д.ЛЯ четвертого — свободная энтальпия (энергия Гиббса). Соответствующая характеристическая функция является функцией от вектора состава N = (Лч — количество (моль) г -го ве- [c.185]

Попытаемся установить, в каких условиях характеристическая функция описывает практически всю линию. По- [c.43]

Вид характеристических функций зависит от начальных и граничных условий. Мы будем использовать граничные условия, соответствующие бесконечно длинному и полубесконечному аппарату. [c.246]

На этой схеме индексы при параметрах отмечают тип экстремального значения, которое приобретает параметр в условиях равновесия, а линии соединяют пары параметров, которые выбирают в качестве независимых переменных для данной характеристической функции. [c.143]

Гиббс опубликовал работу, ,0 равновесии гетерогенных веществ , в которой применил общие термодинамические представления к гетерогенным системам и химическим реакциям, вывел из общей формулировки условия равновесия для различных специальных случаев и ввел характеристические функции. Эпиграфом статьи было приведенное выше высказывание Клаузиуса. [c.12]

Это является общей формулировкой условий стабильности в энергетическом выражении. Отсюда видно, что условия стабильности состоят в предсказаниях знака вторых производных характеристических функций, которые должны выполняться для каждой стабильной фазы. Далее, (40.12) показывает, что для гомогенной системы, состоящей из т компонентов, имеется т- - независимых условий стабильности. [c.205]

С помощью характеристических функций можно в наиболее общем виде записать условия равновесия. Конечно, физический смысл этих условий, указанный в гл. I, сохраняется — это уравнивание всех термодинамических обобщенных сил [c.68]

Выразим теперь условия стабильности при помощи любой характеристической функции. Ради простоты ограничимся расчетом для энергетического выражения и дадим для (аналогично рассматриваемого) энтропийного выражения только конечный результат. [c.207]

Примем, что все блоки устойчивы. Согласно изложенному ранее, анализ устойчивости стационарного режима сложной схемы в таком случае сводится к анализу устойчивости ее комплексов, а анализ устойчивости последних — к проверке отсутствия в правой полуплоскости комплексной переменной р корней характеристического уравнения Д р) = (1е1 Е — О) = О [см. формулу (XI,101)]. где Е — единичная матрица Ь = О (р) — передаточная матричная функция по каналам связи, относящимся к выбранным местам разрыва потоков комплекса (от вектора к вектору ). Величину А (р) условимся называть характеристической функцией, а — /) — характеристической матрицей. [c.255]

Заметим, что используя формулу (6.18), можно легко рассчитать изменение разнообразных термодинамических параметров в процессе перехода от гипотетического идеального газа к реальному при условии постоянства температур и давления (состояния 1 и 3 на рис. 6.1). Учитывая, что С — характеристическая функция, получаем [c.92]

Получается так, что для системы, находящейся в условиях постоянной энтропии и постоянного объема, с помощью внутренней энергии и ее частных производных действительно можно определить все остальные термодинамические величины, а следовательно, и свойства системы. Поэтому внутренняя энергия в условиях постоянных 5 и К является характеристической функцией. [c.97]

При постоянстве соответствующей пары естественных переменных убыль рассматриваемых характеристических функций равна максимальной полезной работе, которая может быть совершена (при этих условиях) в результате обратимого перехода системы из исходного состояния в конечное. Ранее было показано, что [c.77]

Аналогично можно показать, что химический потенциал вещества в смеси выражается производной любой характеристической функции гомогенной смеси по числу молей данного компонента при условии постоянства естественных переменных данной функции (см. 2 гл. IV) и чисел молей всех других компонентов. Иными словами. [c.138]

Из (V, 2) вытекает наличие характеристических функций состояния системы, убыль которых в обратимом процессе, протекаю щем при постоянстве определенной пары термодинамических параметров, равна максимальной полезной работе. По аналогии с механикой, где работа постоянно действующих сил также определяется независящей от пути разностью потенциалов этих сил в начальном и конечном состояниях системы, эти функции называются термодинамическими потенциалами. В зависимости от условий протекания процесса различают четыре термодинамических потенциала. [c.101]

Индексы при параметрах показывают, какое экстремальное значение приобретает данный параметр в условиях равновесия, а линии соединяют параметры, которые должны быть выбраны в качестве независимых переменных. Таким образом, в дополнение к четырем рассмотренным условиям равновесия получаем еще восемь. Любое из двенадцати условий легко получить на основании первого и второго начал термодинамики их взаимная эквивалентность следует из уравнения частных производных характеристических функций по соответствующим независимым переменным, а также непосредственно из уравнений (V, 35—38). [c.118]

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОБЩИЕ УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ [c.65]

Рассмотрим вопрос об изохорно-изотермическом и изобарно-изотер-мическом потенциалах, так как свойства других характеристических функций уже рассматривались. Такими функциями при определении направления процесса и условий равновесия в химической термодинамике пользуются значительно чаще, чем энтропией. [c.108]

Для системы с характеристической функцией, приведенной в условии задачи 1-24, найдите энтальпию, энтропию и изобарную теплоемкость. [c.43]

Рассматривая состояние какой-либо материальной системы, мы считаем, как уже упоминалось, что в системе имеется равновесие между любыми ее частями, а также с внешней средой при заданных условиях. Уравнение (1.39) представляет собой одну из формулировок принципа равновесия Гиббса закрытой материальной системы, находящейся в адиабатической изоляции от внешней среды, а уравнение (1.45)—другую его формулировку (для других условий). Равноценные условия равновесия можно сформулировать и с помощью других характеристических функций. [c.56]

Таким образом, стационарному состоянию неравновесной системы при заданных условиях сопряжения системы со средой удалось сопоставить экстремум функции ст точно так же, как для равновесной системы — экстремумы характеристических функций S(V, U), F(T, V). [c.293]

Через дифференциалы характеристических функций можно находить условия равновесия, определять свойства системы и т. д. Применительно к большинству физико-химических и электрохимических явлений наиболее важными и часто используемыми функциями являются изохорно-изотермический и изобарно-изотермический потенциалы, поскольку их изменение связано с изменениями температуры, объема и давлеппя, т. е. легко регулируемыми и измеряемыми свойствами системы. [c.15]

Константа равновесия связана с параметрами активации. Для изотермо-изохорных условий [см. уравнение (VI. 46), разд. VI. 2.3] определим характеристическую функцию [c.743]

Таким образом, с помощью производных от внутренней энергии можно выразить термодинамические свойства системы Г и Р. Из соотношений (69.5) вытекает, что температура является мерой возрастания внутренней энергии системы с увеличением энтропии при постоянном объеме, а давление — мерой убыли внутренней энергии с увеличением объема системы при постоянной энтропии. Такие функции состояния системы, посредством которых и производных их по соответствующим параметрам могут быть выражены в явном виде все термодинамические свойства системы, называются характеристическими функциями. Характеристические функции впервые были введены Массье (1869). Согласно определению характеристических функций к ним необходимо относить внутреннюю энергию при условии, если в качестве независимых переменных принять V и S. Так как энтропию непосредственно измерить нельзя, то внутренняя энергия как характеристическая функция редко используется в термодинамике при решении практических вопросов. [c.224]

Что такое характеристические функции При каких условиях и О не являются характеристическими функциями Подробно рассмотрите свойства энергии Гельмгольца как характеристической функции. [c.296]

Расскажите о различных способах описания равновесия в термодинамике. Запищите условия равновесия с помощью характеристических функций и обсудите их физический смысл. [c.296]

Равновесия условия (68) формулируют в трех видах а) как равенство всех обобщенных сил системы и среды, б) через условия экстремума характеристических функций при постоянстве соответствующих им переменных и в) в виде условия, что равновесная система в отличие от неравновесной не может совершить работу. Эти условия взаимно связаны и могут быть получены одно из другого. [c.314]

Для операторов, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, весовая и параметрическая передаточная функции являются равноценными характеристиками, причем способы их нахождения весьма похожи. Чтобы найти весовую или параметрическую передаточную функцию оператора, задаваемого общим уравнением (3.1.1), необходимо решать либо уравнение (3.1.15) с начальными условиями (3.1.16), либо уравнение (3.1.31). Эти уравнения имеют одинаковую структуру и в каждом конкретном случае можно определить, какую из функций G i, т) или F i, р) проще искать. Некоторое различие в процедурах нахождения характеристических функций появляется только для стационарных объектов. В этом случае для нахождения весовой функции по-прежнему необходимо решать дифференциальное уравнение (3.1.17), в то время как для отыскания передаточной функции используется тривиальное алгебраическое уравнение (3.1.34), решение которого (3.1.35) имеет очень простой вид. [c.97]

Таким образом, при учете силы тяжести задача сводится к решению уравнения (9.46) при условиях (9.49), т. е. полностью аналогична соответствующей задаче Бакли-Леверетта (9.30), (8.14). Поэтому решение рассматриваемой задачи получают из соответствующих формул гл. 8 ( 3, 4) в результате замены функции распределения фаз /(я) на характеристические функции соответствующие исследуемому [c.276]

Переход из (э) в а) бесконечно малой массы любого вещества, способного проходить сквозь мембрану, ме должен изменить значения той илн иной характеристической функцпн системы, если система находится в равновесии и естественные параметры этой функции постоянны (характеристическая функция минимальна при этих условиях). Пусть объем растворителя (а также ионов Ме и А ) пе зависит от давления (компоненты несжимаемы) и от состава раствора. Тогда переход dri моль растворителя из раствора (s) в раствор (а) не изменит суммарного объема системы. Следовательно, [c.571]

Следует заметить, что условие малости коэффициента асимметрии является, вообще говоря, только необходимым, но не достаточным условием установления нормального распределения. Чтобы определить достаточные условия приближения распределения к нормальному закону, необходимо рассмотреть высшие семиинварианты всех порядков. Как и при определении коэффициента асимметрии, для приведения семиинвариантов к безразмерному виду ёстественцо использовать дисперсию распределения, взятую в соответствующей степени. Исходя из вида характеристической функции (VI.40), нетрудно показать, что при выполнении условия Зк 1 все величины также будут близки к нулю и, следовательно, выполнение условия Зк 1 в рассматриваемом случае не только необходимо, но и достаточно для установления нормального закона распределения времени пребывания в слое. [c.229]

Вернемся к условиям равновесия, выражая их через изменения характеристических функций. Рассмотрим только одну из них — изобарный потенциал, так как все рассуждения и выводы являются вполне аналогичными для всех функций. бГрного потенцнала °в Пусть кривая (рис. 76) представляет произвольном процессе, зависимость изобарного потенциала от каких-то изменений в условиях существования системы. Общее условие равновесия, определяемое соотношением dG = 0, соблюдается во всех точках максимума и минимума, как показано горизонтальными касательными на рисунке. Различие между ними определяется значением второй производной, которая должна быть положительной в точках минимума (d G > 0) и отрицательной — в точках максимума (d G<.0). [c.225]

В явной форме выражаются температура и объем системы. Энтальпию из тех же соображений, что и внутреннюю энергию, редко используют в термодинамике в виде характеристической функции при решении практических задач. При протекании процесса при условиях Т = onst и V = onst из уравнения (69.1) следует [c.225]

Лекция 8, Характеристические функции. Изменение термодинами le KHX потаициалов в изотермических условиях, аксимальная работа и возмохность химической реакции. Химический потенциа. . Применение термодинамических потенциалов в качестве критериев направления само произвошшх процессов и равновесии в изотермических условиях. [c.209]

Уравнение (XIII. 40) служит также для анализа реакций в растворах. Они протекают при изотермо-изобарических условиях. Когда концентрации веществ малы, плотность почти не меняется. Свойства раствора близки к свойствам идеального. Определим характеристическую функцию [c.744]

К числу неудобств, связанных с использованием характеристических функций F(V, Т) или G p, Т), можно отнести потерю наглядности физического смысла отдельных слагасммх в соответствующих уравнениях. Действительно, в фундаментальном уравнении Гиббса dU=TdS—pdV + S.PkdXk каждое слагаемое в правой части точно определено как теплота и работа различного рода, причем необходимым и достаточным условием теплообмена является 5 0, а для работы любого рода условие их появления выражается аналогично dV =Q или dXk =Q. Функция состояния и хорошо определена в молекулярной теории—это суммарная энер1ия частиц системы с точностью до аддитивной постоянной. Поэтому фундаментальное уравнение Гиббса совершенно ясно как по своей структуре, так и по физическому смыслу слагаемых. Иная картина возникает при использовании F или G. Например, в правой части уравнения [c.67]

С другой стороны, если рассмотреть функцию U S, V), то для выполнения условия 5 = onst от неравновесной системы необходимо отвести количество теплоты, численно равное некомпенсированной теплоте dQ -, для этого придется уменьшить энергию системы. Поэтому условие равновесия, выраженное с помощью характеристической функции U(S, V), приобретает вид [c.68]

Характеристические функции объекта можно получить в результате решения системы (3.1.48), (3.1.49) с нулевыми начальными условиями при подстановке в эту систему вместо u t) или U2 t) функций o(i), или t t). Например, система, решением которой являются весовые функции Яи(0 и guit), имеет вид [c.94]

Итак, определены характеристические функции по каналам T i вх (О ТI вых (t) и Г, ВХ ( )-V T a вых (О в прямоточном теплообменнике при Ш1 < W2. Теперь исследуем случай, когда Ш) > W2. Снова будем определять непосредственно переходные функции tiii t) и /112(0. т. е. граничные условия возьмем в виде (4.2.5), [c.165]