Сферическая потенциальная яма

Рассчитайте и постройте потенциальную кривую взаимодействия сферических частиц диаметром 200 нм в водном растворе Na I по следующим данным потенциал = 20 мВ, константа Гамакера А = = 0,5-10- Дж, параметр >с = ] - 10 м- и температура 293 К. Значения суммарной энергии взаимодействия частиц определите при расстояниях между поверхностями 2, 5, 10, 20 и 40 нм. [c.184]

Многоэлектронные атомы. Атом гелия имеет ядро с зарядом 2 и два электрона. Каждый электрон движется в сферическом потенциальном поле V = —2е 1г. Уравнение Шредингера для двух электронов в предположении, что ядро покоится, запишется в виде [c.27]

При рассмотрении комплексов или кристаллов с выраженным ионным характером можно воспользоваться очень простыми электростатическими соображениями. Система сферических ионов образует структуру с минимальной потенциальной энергией, и при увеличении отношения ионных радиусов катионов и анионов (гд /гв) можно предсказать появление следующих координационных многогранников [c.16]

При вычислении термодинамических свойств жидких смесей неэлектролитов методами теории возмущений [1] используется сферически симметричный потенциал межмолекулярного взаимодействия. Между тем потенциальная энергия взаимодействия молекул полярных веществ зависит от их взаимной ориентации. Для того, чтобы теорию возмущений можно было применять к полярным веществам, предлагается использовать эффективный сферически симметричный потенциал [2], полученный усреднением реального, зависящего от ориентаций молекул, потенциала по углам в соответствии с выражением [c.41]

Предположим, что радиальное уравнение (14) решается при 1 = 0 (т.е. при X = 0) с потенциалом V(r) = О при О s г < и V r) = 00 при г (так называемая сферическая потенциальная яма). Найти решения и сравнить получаемые результаты с тем, что было найдено для одномерной задачи с прямоугольным ящиком. [c.92]

Итак, наличие или отсутствие связанных -сосгояний в прямоугольной сферической потенциальной яме определяется величиной произведения массы частицы на глубину ямы и квадрат ее радиуса. [c.171]

Для частицы, обладающей сферической симметрией, Р(г) = — сг- . Потенциальная энергия частицы (1 г) — —с/-" /6. Для кубической кристаллической решетки вклад, вносимый в энергию взаимодействием частиц, пе находяш,ихся в непосредственной близости друг к другу, составляет около 20% от общей энергии связи [30]. [c.443]

В этой главе детально рассмотрена проблема получения информации о межмолекулярных силах из экспериментальных данных по вириальным коэффициентам (и коэффициенту Джоуля— Томсона). На основании самых общих наблюдений в отношении межмолекулярных сил можно сделать несколько качественных замечаний. Во-первых, тот факт, что газы конденсируются в жидкости, позволяет сделать предположение о существовании сил притяжения между молекулами на больших расстояниях. Во-вторых, очень сильное сопротивление жидкостей сжатию свидетельствует о том, что на небольших расстояниях действуют силы отталкивания, резко изменяющиеся с расстоянием. При условии парной аддитивности сил можно ожидать, что потенциальная энергия взаимодействия между двумя молекулами изменяется таким образом, как показано на фиг. 4.1. [Эта потенциальная энергия может зависеть также от ориентации, если молекулы не являются сферически симметричными, а в некоторых случаях иметь отклонения (на фиг. 4.1 не показаны), которые несущественны для общего рассмотрения.] Квантовая механика дает обширную информацию о форме кривой потенциальной энергии, однако точные расчеты на основании этой информации не всегда возможны. Не рассматривая эту дополнительную информацию, поставим перед собой следующий вопрос возможно ли в принципе однозначное определение межмолекулярной потенциальной энергии, если известна зависимость второго вириального коэффициента от температуры Этот вопрос был рассмотрен Келлером и Зумино [1] (см. также работу Фриша и Хелфанда [2]), которые нашли, что только положительная ветвь и г) определяется однозначно [2а], а отрицательная часть (потенциальная яма) может быть известна лишь частично, т. е. определяется ширина ямы как функция ее глубины. Таким образом, потенциальная яма на фиг. 4.1 может быть произвольно смещена вдоль оси г без изменения В Т), если ее ширина не изменяется при смещении. Поэтому для температур, при которых положительная ветвь ы(г) не дает большого вклада в В Т), значения В Т) будут определяться почти одинаково хорошо [c.168]

Если в результате деления образуется два больших осколка, то порог энергии оценивается потенциальной энергией осколков в момент деления. Предположим, что в результате деления образовались сферические частицы двух видов с числом протонов и радиусом r тогда максимальная величина потенциальной энергии обусловленной электростатическим полем, [c.10]

Таким образом, полученные данные показывают, что использовать эффективный сферически симметричный потенциал в теории возмущений для полярных жидкостей необходимо с осторожностью, предварительно анализируя пределы его справедливости. Например, в случае ацетона, потенциальная энергия для которого характеризуется следующими параметрами з = 4,600 А, //г = 560,2°К и [А = 2,90 D, приведенный дипольный момент имеет значение л = = 1. Следовательно, разложение (9) справедливо при значениях г от 1 до 3 для температур до 280°К (низшая температура) при значениях г > 1 температурный интервал расширяется вплоть до тройной точки ацетона (178 °К). [c.45]

Наиболее энергетически выгодная форма усложняется (т. е. уже не является сферическим сегментом), если принять во внимание силу тяжести. Тогда к энергии капли добавляется ее потенциальная энергия в гравитационном поле. [c.87]

Смолуховского. Несколько меньший наклон прямой к оси абсцисс объясняется согласно В. М. Муллеру тем, что на близких расстояниях вязкое сопротивление жидкой прослойки сближению сферических частиц возрастает по сравнению с сопротивлением, рассчитанным по формуле Стокса. При малых концентрациях, электролита линейная зависимость (кривые 1, 2) нарушается. Типичной является кривая 2. После начального подъема кривой следует участок, почти параллельный оси абсцисс, и в некоторый момент происходит новый подъем кривой, а дальнейшем не прекращающийся. Согласно Б. В. Дерягину и Н. М. Кудрявцевой первоначальный подъем кривой и, следовательно, уменьшение численной концентрации золя означает образование агрегатов из двойных частиц. При малых концентрациях электролита ближняя потенциальная яма сравнительно не глубока, энергетические взаимодействия не велики и потому распады образовавшихся двойных частиц происходят с достаточной частотой. [c.268]

Применяя эту формулу и формулы для вычисления Пм и Пэ, для энергии взаимодействия лиофобных сферических частИц в растворах электролитов можно построить потенциальные кривые, аналогичные тем, которые изображены на рис. IX, 5. [c.276]

Потенциальное поле, создаваемое взаимодействием электрона и протона, сферически симметрично относительно ядра, как начала координат. Важные квантово-механические характеристики атома можно найти, рассматривая движение электрона в полярной сферической системе координат. Как известно, прямоугольные координаты связаны со сферическими соотношениями х = г sin д os ф I/ = / sin О sin ф г = г os О, где д — угол, образованный радиусом-вектором г с осью г, ф — угол, образованный осью х с проекцией радиус-вектора на плоскость ху. Воспользуемся этими соотношениями и напишем уравнение Шредингера (И.9) в полярных сферических координатах [c.11]

Под действием сил поверхностного натяжения любая жидкость стремится приобрести сферическую форму (капли росы, дождя, расплавленного металла). Чем объяснить такое свойство жидкостей Как известно, устойчивому равновесию любой системы соответствует такое состояние, когда энергия системы минимальна. Этот общий принцип можно объяснить на следующем примере. Камень, скатившийся по склону горы, постепенно теряет свою потенциальную энергию у подножья горы она становится минимальной, и движение камня прекращается. Система достигла положения устойчивого равновесия. Точно так же и жидкость стремится принять такую форму, при которой ее свободная поверхностная энергия была бы наименьшей. Общая поверхностная энергия капли равна произведению поверхностного натяжения на границе фаз на величину поверхности раздела обеих фаз. Очевидно, эта энергия будет тем меньше, чем меньше поверхность раздела. Наименьшая поверхность, ограничивающая объем, есть поверхность шара. Поэтому жидкость под действием сил поверхностного натяжения всегда стремится принять форму шара. На этом явлении основаны некоторые методы измерения поверхностного натяжения жидкостей. [c.23]

Современная кристаллохимия исходит из представления, что ионы и атомы имеют сферическую форму, а пространственная кристаллическая решетка формируется по принципу плотнейшей шаровой упаковки, в которой ионы стремятся принять наиболее устойчивую конфигурацию, соответствующую минимуму потенциальной энергии. Этому отвечает состояние наибольшего сближения разноименных ионов и наибольшего удаления одноименных ионов. Если рассмат- [c.50]

Задача 1.9. Можно ли одновременно измерить с любой степенью точности скорость и потенциальную энергию частицы, движущейся в сферически-симмет- [c.17]

Потенциал (3.15) в общем случае не является сферически-сим-метричным, т. е. зависит от углов в и (р. Учет несферичности потенциала — достаточно сложная задача, а полученные поправки не приводят к существенному улучшению конечного результата. В связи с этим используют обычно усредненное по всем направлениям в и (р) потенциальное поле, т. е. потенциал (3.15) заменяется сферически-симметричным потенциалом (так называемая аппроксимация центрального поля) [c.58]

Зависимость потенциальной энергии (потенциала) со-ударяюш ихся частиц от координат всех N частиц Е = = ( 1,. . ., дзм-в) с геометрической точки зрения есть уравнение гиперпространства потенциальной энергии в конфигурационном пространстве медленной подсистемы, и установление вида зависимости Е = Е(д ,. . ., qзN- ) означает нахождение формы этого гиперпространства. Для произвольной системы в обш ем случае эта задача не решается, и на практике используют различные виды модельных потенциальных функций [13, 24, 26, 281, аппроксимирующих реальный потенциал. В основном их можно разделить на две группы — потенциалы, зависящие только от расстояния между центрами взаимодействующих частиц (и, таким образом, не зависящие от угла), и потенциалы, зависящие от угловой ориентации. Некоторые сферически-симметричные потенциалы представлены на рис. 8. Существует целый ряд других моделей потенциалов [101 (сфероцилиндрические, точечные дипольные, модель Стокмайера и т. д.), которые в том или ином приближении описывают взаимодействие двух частиц с учетом особенностей их строения и которые так же, как и сферически-симметричные потенциалы (см. рис. 8), являются, в сущности, частными формами общего уравнения потенциального гиперпространства Е = Е(д). [c.67]

Задача 1.10. Можно ли одновременно измерить с любой степенью точности скорость и потенциальную энергию частицы, движущейся в сферически симметричном потенциальном поле V(г) =аи + (Ьг +е ), где а, Ь и с —константы V — скорость частицы [c.17]

При рассеянии медленных частиц на потенциальной яме, удовлетворяющей условию (310,11) я K d — (2п- - 1)я/2 сечение рассеяния достигает максимального, резонансного значения. Если учесть, что, согласно (36,11) ( 36), условие, определяющее наличие s-уровня с нулевой энергией в сферической прямоугольной яме, имеет вид tgKod = 0, то мы убедимся, что сечение рассеяния медленных частиц на сферической потенциальной яме достигает максимального значения в том, случае, если яма имеет s-уровень с энергией = 0. Если Kod. п/2, то в яме имеется только один s-уровень с энергией = 0. При Kod = Van потенциальная яма будет иметь два s-уровня, один из которых обладает энергией Е = 0. При Kvid = в яме имеется три уровня типа s и т. д. [c.518]

Пространственная разделенность электронных состояний заключается в том, что электронные облака различных оболочек локализованы в разных областях пространства и сравнительно мало перекрываются. Пространственное разделение обусловлено двумя причинами. 1) принципом Паули, согласно которому на одной пространственной орбитали может находиться не более двух электронов с противоположными спинами, а следовательно, при последовательном заселении уровней электроны должны располагаться на все новых орбиталях 2) конкретным видом самосогласованного потенциала, который определяет вид пространственной орбитали. Действительно, сравним трт сферически симметричных потенциала - потенциал сферически симметричной прямоугольной потенщ1альной ямы с бесконечными стенками, кулоновский потенциал и хартри-фоковский потенциал какого-нибудь атома, например атома натрия. 1 адраты радиальных волновых функций, соответствующих нескольким первым связанным -состояниям в этих потенциалах, изображены на рис. 19, а, б, в. Видно, что в случае постоянного потенциала, который имеет место внутри прямоугольной потенциальной ямы, нельзя вьщелить такую область пространства, в которой было бы локализовано только одно состояние — в любой области пространства примерно одинаковую плотность будут иметь много разных состояний. В случае куло- [c.277]

В настоящее время существует три теории неводных растворов металлов. В одной из них модели полости и мономера аппроксимируются кулоновским потенциалом в сплошном диэлектрике [42] протяженная модель, или модель полярона). Другой подход состоит в том, что поведение электронов в полостях описывается с помощью глубокой сферической потенциальной ямы (замкнутая модель) 143, 44]. Наконец, третий путь состоит в использовании метода точечного диполя 17, 40, 45], аналогичного методу точечного 1- она в решетке (Гурари и Адриан [4]). Специфические взаимодействия с аммиаком были объяснены Питцером 146] на основе представлений об образовании ионов ЫНз, в которых электроны находятся на атомных 35-орбиталях азота. В более поздних работах величины взаимодействия с и Н оценивались путем использования волновой функции для связанного электрона, ортогонализо-ванной к волновым функциям окружающих молекул аммиака 47]. [c.83]

Модель полости. Возможен совершенно иной подход к этой яроблеме. Речь идет о модели, в которой электрон заключен внутри глубокой сферической потенциальной ямы радиуса R. Чтобы придать этому радиусу физический смысл, казалось бы разумным считать его неким эффективным параметром решетки системы, аналогичным по форме такому параметру в кристаллах галогенидов щелочных металлов. В первых расчетах, предпринятых Оггом [43], энергия Е) вычислялась как разность между нулевой кинетической энергией в этой яме и энергией nOvTHpH3auHH диэлектрической среды в виде [c.84]

Изменение диаметра реагирующих сфер в зависимости от температуры учитыва.чось по [2], а параметры потенциальной функции выбирались с учетом рекомендаций [133]. Значения /Срек, рассчитанные по (4.10), (4.11) в нескольких опорных точках по температуре (Т = 500, 1000, 1500, 2000 К), аппроксимировались аналитической зависимостью обычного вида А ЛвТ" ехр (—Е(,/ВТ) и сравнивались с имеющимися литературными данными. Сравнение носит удовлетворительный характер (см. рис. 28), однако для М = НоСЗ расчет приводит к несколько заниисенному резу. [ьтату, по-видимому, из-за высокой полярности молекулы НдО. Вероятно, при использовании сферически симметричных нотснциалов взаимодействия (типа потенциалов Морзе, Сюзерленда п др.) необходимо введение поправочных коэффициентов либо использование несимметричных функций потенциального взаимодействия. Значения = / (Т, М) приведены в табл. 5. [c.266]

Не представляет затруднений распространение метода Мюррея на пузыри, форма которых ближе к действительной, путем использования конформного отображения Коллинса. Мюррей рассмотрел также случай двухмерного пузыря с замкнутой кильватерной зоной, ограниченной более сложными (с точками перегиба) линиями тока в потенциальном поле. Позднее Мюррей использовал подобный метод для анализа развития во времени пузыря, возникающего в однородном псевдоожиженном слое и первоначально имеющего сферическую (или круглую, в двух измерениях) форму. Он показал, что на нижней поверхности такого пузыря быстро развивается вогнутость, образующая верхнюю границу кильватерной зоны за пузырем. [c.113]

Вычисление диаметров твердых сфер и их температурной за висимости для стандартной системы Баркера-Хендерсона [8] про водится на основании уравнения (4). Потенциальная функция меж молекулярного взаимодействия для использования в этом уравне НИИ должна быть сферически симметричной. Реальный, завися щий от ориентаций молекул, потенциал взаимодействия полярньп веществ может быть приведен к сферически симметричному вид усреднением по углам [И]. [c.38]

Что П]эедставляет функция 5(г) для систематики спектров, не столь существенно. Ес конкретный вид нужен для неэмпирического расчета атомных спектров на основе оператора (3.1). Опираясь на уравнение Дирака, можно показать [4], что дпя одного электрона в сферически симметричном потенциальном поле [c.117]

VI. 10.3. Построить потенциальную кривую взанмодействия сферических частиц (е(,1==12, а=10 м) в водном распворе индифферентного симметричного электролита (2=1) с концентрацией с = 0,52 моль/м прн Г —293 К. Электрокинетический потенциал частиц в сильно разбавленном растворе этого электролита, найденный по скорости электрофореза, = 15мБ. [c.162]

Атом водорода состоит из электрона и гораздо большего по массе протона, поэтому для упрощ,ения задачи целесообразно считать протон неподвижным. Электрическое взаимодействие между электроном и протоном описывается законом Кулона, из которого следует, что потенциальная энергия этой системы равна V = —(е 1г), где г — расстояние между двумя частицами. Именно эту потенциальную энергию необходимо подставить в уравнение (П1.2). Для поля со сферической симметрией, как это имеет место в данном случае, уравнение Шрёдингера проще решать в сферических, а не в декартовых координатах X, у, г. Сферические координаты г, ф показаны на рис. И1.1. С их использованием волновая функция записывается в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного переменного [c.164]

Топохимические реакции начинаются обычно не на всей поверхности исходного твердого вещества, а на отдельных ее участках — зародышах ядер кристаллизации новой фазы (продукта), которые образуются на поверхности кристалла. Ядра кристаллизации появляются раньше всего в областях дефектов кристаллической решетки. В простейшем случае это могут быть, например, выходы дислокаций на поверхности, вакансии, расположение атомов (ионов) в междоузлиях и т. п. Таким точкам, или элементам кристаллической решетки, свойственна повышенная энергия Гиббса и, следовательно, более высокая реакционная способность. Зародыши ядер называют также потенциальными центрами образования ядер. На рис. 167 представлена схема распространения реакции в кристалле. Около поверхностных зародышей начинается рост сферических ядер. начальные центрызарождреакции. [c.409]

В этом состоянии равнодействующая сил притяжения и отталкивани равна нулю. Потенциальная кривая реальной ионной молекулы несколько отличается от приведенной на рис. 65. Функция (39.2) лучше всего передает истинный ход потенциальной кривой в области минимума. Ценность модели молекулы из сферических ионов может быть проверена вычислением равновесных характеристик, наприме энергии диссоциации молекулы. Согласно [c.161]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология