Математическое ожидание выборочное

Каждая из выборочных статистик, в отличие от нормального распределения, зависит от числа степеней свободы. Этим термином обозначается число независимых способов описания исследуемой выборки. Так, если значение математического ожидания заранее известно (например, если производят анализ стандартного образца состава, имеющего государственную аттестацию, с целью проверки правильности методики анализа), то число степеней свободы / для п параллельных замеров будет равно п, т. е. общему объему выборки. Если же значение оценивается на опыте как среднее арифметическое х этих же п измерений, то число степеней свободы будет равно п— 1, так как из общего числа случайных величин вычитается дополнительная связь между всеми элементами выборки, затраченная при определении значения X. [c.65]

Выборочное среднее х есть состоятельная несмещенная оценка математического ожидания М(х). Для выборки из нормальной генеральной совокупности эта оценка является также эффективной. [c.472]

Пример. Проиллюстрируем способ расчета математического ожидания, выборочной дисперсии и выборочного стандартного отклонения. В семи параллельных измерениях удельной электрической проводимости х (Ом- -см" ) раствора НС1 получены следующие результаты [c.818]

При экспериментальном определении характеристик случайных величин число опытов п конечно, поэтому вместо истинных значений моментов закона распределения, математического ожидания и дисперсии, получают их выборочные значения, или оценки, которые сами являются случайными величинами. В связи с этим возникает задача определения достоверности оценок, их близости к истинным значениям характеристик, выбора числа экспериментов п и т. д. Как и любая случайная величина, оценка характеризуется своим законом распределения, который зависит от закона распределения исходной случайной величины X и от числа опытов п. Будем обозначать оценку некоторого неслучайного параметра а через а. [c.119]

Распределение величины I по = п—степеням свободы носит название распределения Стьюдента. Сравним его с распределением Лапласа. Если мера отклонения среднего результата измерений от математического ожидания в единицах генерального стандартного отклонения среднего о(л ), то коэффициент Стьюдента — аналогичная мера в единицах выборочного стандартного отклонения среднего результата и- = (Х - ц)/а (Г) = АХ- л/п/а-, 1- = (Х - ц)/5 (X) = АХ- / 3 . [c.833]

Если определены средние выборочные значения х и 5, то для данного уровня значимости а ( называемого степенью риска) при нормальном распределении можно определить границы доверительного интервала, в котором находится истинное значение математического ожидания с вероятностью, равной 1 — а по формуле [c.42]

Размерности математического ожидания и измеряемой величины совпадают. Размерность дисперсии соотносится с размерностью абсолютных отклонений и самой измеряемой величины как квадрат величины с ее первой степенью. Чтобы привести в метрологическое соответствие оценки отдельных значений измеряемой величины с абсолютными значениями отклонений, используют величину д/0( ) - В случае генеральной совокупности ее обозначают символом а и называют генеральным стандартным отклонением, а также просто стандартом и среднеквадратичным отклонением. Цля выборочной совокупности [c.818]

С ростом числа степеней свободы асимметрия кривых распределения уменьшается, соответственно уменьшается и асимметрия доверительных границ. Можно показать, что при п ЗО выборочный стандарт 5 распределен приближенно нормально с математическим ожиданием т. = а и среднеквадратичной ошибкой [c.45]

Здесь уа — выборочное среднее из серии повторных измерений зависимой переменной у (относительной интенсивности двух линий или ее логарифма) при заданном значении независимой детерминированной переменной лд (относительное содержание элемента или его логарифм) ел — случайная погрешность, имеющая нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и ненулевой дисперсией т — степень полинома р, Р1..... рт— [c.56]

X называют выборочной оценкой математического ожидания случайной величины. [c.57]

Эта величина получила название стандартного отклонения (выборочное стандартное отклонение). Она имеет ту же размерность, что сама случайная. величина х и ее математическое ожидание Щх). [c.75]

Заменяя выборочные оценки в (П4 1 11) оценками и беря математическое ожидание, получаем [2, 3 ] [c.170]

Корреляционные и спектральные окна. Из (6.2.1) математическое ожидание оценки, соответствующей выборочному спектру, равно [c.290]

Математическое ожидание сглаженных оценок взаимных спектров. Оценка, соответствующая выборочному взаимному спектру определяется следующим образом [c.135]

Вариация — разность между средним измеренным (выборочным и теоретическим значениями концентрации смеси — будет (с—6). Математическое ожидание квадрата вариации, называемо дисперсией и обозначаемое через будет равно ) [c.112]

Поскольку для экспоненциального распределения коэффициент вариации V = -yJD =1 (Ох- дисперсии случайной величины х, Мх - ее математическое ожидание), гипотеза об экспоненциальном распределении согласуется с экспериментальными данными, если выборочный коэффициент вариации /Зс не слишком сильно (в статистическом смысле) отличается от единицы. Здесь [c.181]

Если математическое ожидание нормально распределенной генеральной совокупности известно (Mj - ц),ю выборочная дисперсия определяется выражением [c.25]

Если математическое ожидание случайной величины заранее неизвестно, то выборочная дисперсия 5 определяется в виде [c.26]

Пусть 0 - вектор-столбец математических ожиданий случайных величин, В - вектор выборочных значений случайных величин. Тогда [c.34]

Построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины X при доверительной вероятности р—0,95, если среднее выборочное х = 20,5 получено по четырем измерениям, считая дисперсию, равную 0,81 а) генеральной б) выборочной. [c.74]

Как было показано (см. гл. Ц), состоятельными и несмещенными оценками для математических ожиданий и Шу служат выборочные средние [c.121]

Ниже предложены некоторые программы, позволяющие рассчитать оценки математического ожидания и дисперсии по выборочным значениям, а также построить эмпирические законы распределения [c.165]

В результате опытов мы получаем выборочное среднее х, распределенное по нормальному закону с дисперсией о /М. Математическое ожидание для х совпадает с математическим ожиданием х, т. е. опять предположительно М (см. формулы 2.19, 2.20). Само выборочное х, естественно, не совпадает с М. [c.173]

Задаваясь вопросом, можно ли при полученном выборочном X отвергнуть или подтвердить гипотезу о М как значении математического ожидания, сначала оценим вероятность у того, что абсолютная величина разности х М меньше заданного положительного числа А. [c.173]

Равенство дисперсии и математического ожидания используется и для проверки правильности работы пересчетной аппаратуры. Принцип метода заключается в сравнении выборочной дисперсии, определяемой по к параллельным измерениям N, с дисперсией генеральной совокупности, равной в радиометрии самой измеряемой величине Nef [c.109]

В аналитической работе часто приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом определений. Это небольшое количество наблюденных величин можно рассматривать как случайную выборку из некоторого гипотетического бесконечного множества—генеральной совокупности, которая является математической моделью реально наблюдаемых величин. Задача свертывания информации с математической точки зрения сводится в этом случае к тому, что по выборке определяют некоторые величины (выборочную дисперсию и среднее арифметическое значение случайной величины), которые являются оценкой неизвестных параметров (соответственно дисперсии и математического ожидания) функции распределения этой генеральной совокупности. При оценке (определении) параметров генеральной совокупности по выборке, естественно, вносится известный элемент неопределенности, который можно учесть методами математической статистики. Среди экспериментаторов распространено совершенно неправильное мнение о том, что математическая статистика применима только к большому цифровому материалу. Современная математическая статистика дает возможность оценивать параметры генеральных совокупностей и устанавливать для них доверительные пределы даже по весьма малым выборкам,—в некоторых случаях всего по двум измерениям. Но при этом, естественно, что чем меньше экспериментальный материал, тем менее точно может быть произведена оценка параметров генеральной совокупности по их выборочным значениям. Таким образом, математическая статистика, с одной стороны, дает возможность компактным образом представить результаты эксперимента, а с другой стороны, позволяет количественно оценить тот элемент сомнения, который сопутствует каждому эксперименту при малом числе опытов. [c.12]

В дальнейшем мы будем считать, что исходные параметры выбраны таким образом, чтобы можно было получить достаточно хорошие оценки спектров и взаимных спектров для всех q- - реализаций, описывающих исходную систему с q входными процессами и одним процессом на выходе. Операции математического ожидания (усреднения), входящие в формулы (10.5а — 10.5в), осуществляются только для этих <7+1 выборочных реализаций. Хотя условные спектральные характеристики содержат оператор математического ожидания, для их вычисления не требуется ни выбора исходных параметров, ни определения средних значений. Здесь будет показано, что условные спектральные характеристики можно вычислить по некоторым рекуррентным формулам. [c.254]

Оц( нкой для математического ожидания нормально распределенной величины У служит среднее выборочное у [c.71]

Для решения задач подобного рода обычно применяют кpи-терий Стьюдента. Основанием для его использования в качестве критерия значимости служит следующая статистическая модель. С доверительной вероятностью Р = 2аст математическое ожидание случайной величины отличается от выборочного среднего из выборки объемом п не более чем на а, где f—коэф- [c.108]

В теории погрешностей доказывается, что если погрешности следуют закону распределения Гаусса, то наиболее вероятным и надежным значением измеряемой величины является математическое ожидание или среднее арифметическое полученных равноточных результатов измерений. Строго это положение относится к гипотетической генеральной совокупности, т. е. совокупности всех наблюдений, мыслимых при данных условиях. Арифметическое среднее этих наблюдений называют генеральным средним ц. В аналитической химии число параллельных определений обычно невелико и совокупность полученных результатов называют выборочной совокупностью или случайной выборкой. Сред-нее значение результатов случайной выборки называют в ы-борочным средним. Методами статистического анализа можно по результатам случайной выборки оценить параметры генеральной совокупности и таким образом найти наиболее вероятное значение содержания компонента в пробе. [c.126]

Выборочные оценки. Очевидно, что точное измерение какой-либо интересуюшш нас величины на практике невозможно. Результаты в отдельных опытах (значения измеряемой величины) всегда несколько отличаются друг от друга. Эти результаты можно рассматривать как случайную величяну , которая характеризуется некоторой не известной нам функцией распределения. С другой стороны, как следует из предыдущего раздела, точным значением измеряемой величины является ее математическое ожидание, и в формулу для расчета М входит функция распределения этой случайной величины. Возникает естественный вопрос об определении из опытных данных (по существу — из недостаточного количества сведений) наиболее достоверного значения измеряемой величины. Эта задача в математической статистике решается на основе центральной предельной теоремы теории вероятностей. [c.56]

Выше уже отмечалось, что набор из п параллельных результатов химического анализа следует рассматривать как выборочную со вокупнрсть неравномерно распределенной случайной величины Однако неравномерность распределения результатов обнаружи вается лишь при достаточно большом числе параллельных анали зов и проявляется в том, что для отдельных групп значений, за ключенных внутри промежутков равной ширины, частота их появ дения оказывается разной. В предельном случае, когда выбранная ширина промежутков равна естественному пределу точности метода анализа, а объем выборки хотя и конечен, но достаточно велик,, все результаты разбиваются на группы дискретных значений, и неравномерность распределения результатов анализа ста-ловится очевидной. Выборочную совокупность результатов такого анализа можно представить двояким образом 1) в виде набора отдельных, отличных друг от друга значений случайной величины, характеризующихся неравномерным распределением в силу своей разнократности 2) как выборочную равномерно распределенную совокупность отдельных результатов, часть.из которых совпадает друг с другом. Очевидно, что математическое ожидание такой выборочной совокупности совпадает со средним арифметическим всех результатов. Следовательно, среднее арифметическое ряда параллельных анализов наилучшим образом характеризует центр рассеяния полученных результатов и отягощено минимальной случайной ошибкой. Естественно, что конечный результат химического анализа, по данным ряда параллельных определений, должен в качестве оптимальной оценки содержать именно среднее арифметическое. Вполне очевидно также, что единицы измерения этой величины совпадают с единицами измерения результатов отдельных анализов. [c.75]

Пусть имеются две серии результатов анализа одного образца А и В, представленные в форме выборочных совокупностей с объ емами Па и пв. Если сравнение дисперсий 5л и с помощью Р-критерия показывает, что они значимо не отличаются друг от друга, закономерна постановка вопроса о том, значимо ли различие выборочных средних ха и Хв. Если выборочные средние отличаются лишь в силу случайного разброса, обе выборки можно считать принадлежащими одной генеральной совокупности. Это открывает возможность уточнения оценки математического ожидания и стандартного отклонения, поскольку число степеней сво- боды объединенной выборки больше, чем у обеих выборок А и В. Значимое различие выборочных средних свидетельствует о нали- [c.107]

Для проверки гипотезы о среднем значении и вычисления доверительного интервала в одномерном случае обычно используется статистика, получающаяся в результате деления разности между выборочным средним значением в и гипотетическим математическим ожиданием 0 генеральной совокупности на средкеквадратическое отклонение а. Если выборка произведена из совокупности (0, ), то величина [c.41]

Гливенко. К оценкам обычно предъявляются требования состоятельности и несмещенности. Оценка а (х , х , х ) называется состоятельной, если с увеличением объема выборки п она стремится (по вероятности) к оцениваемому параметру а. Эмпирические (выборочные) моменты являются состоятельными оценками теоретических моментов. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание при любом объеме выборки равно оцениваемому параметру М[а = а. Еще одной важной характеристикой оценок генеральных параметров является их эффективность, которая для различных несмещенных оценок одного и того же параметра при фиксированном объеме выборок обратно пропорциональна дисперсиям этих оценок. [c.30]

Оценка математического ожидания норд1ально распределенной случайной величины. При отсутствии грубых и систематических ошибок математическое ожидание случайной величины совпадает с истинным результатом наблюдений. Поэтому оценка математического ожидания имеет важное значение при обработке наблюдений. Легче всего оценить математическое ожидание при известной дисперсии генеральной совокупности (см. гл. II. 8). Генеральную дисперсию аг нельзя получить из наблюдений, ее можно только оценить при помощи выборочной дисперсии iP. Ошибка от замены генеральной дисперсии выборочной будет тем меньше, чем больше объем выборки и. На практике эту погрешность не учитьшают при л >50 и в формуле (11.49) для доверительного интервала генеральный параметр заменяют выборочным стандартом. В дальнейшем предполагается, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение. [c.45]

Оценка параметра. Оценка параметра есть случайная величина, построенная по какому-то закону по наблюдаемым выборочным значениям. При построении оценки следует стремиться к тому, чтобы математическое ожидание оценки параметра было равно самому параметру. Такая оценка называется несмещенной. Если с увеличением числа выборочных значений п, по которым строится оценка, ее дисперсия стремится к нулю, то такая оценка называется состоятельной. Оценку математиче- [c.163]