Лапласа соотношение

По уравнениям (13,42) и (13.47) с учетом предварительно представленного в изображениях по Лапласу соотношения (13.46) нетрудно построить структурную схему электрогидравлического усилителя, показанную на рис. 13.8. Тип звеньев и их соединение в данной схеме такие же, как в структурной схеме электрогидравлического усилителя, имеющего золотник с центрирующими пружинами (см. рис. 13.6). Однако коэффициент силовой обратной связи можно изменять, увеличивая или уменьшая Ло. о1 независимо от значений постоянной времени Тгу. и коэффициента усиления /С ф1. Это позволяет получать достаточно высокое быстродействие электрогидравлического усилителя о силовой обратной связью. [c.380]

В пространстве изображений по Лапласу интегральному уравнению (6.42) соответствует известное операторное соотношение между передаточными функциями соответствующих систем [c.331]

Соотношение (XI,6) необходимо вывести, применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (XI,5). Некоторые примеры получения выражений (XI,6) даны ниже. [c.231]

V — оператор Лапласа). Уравнение (30.8) называется уравнением первого закона Фика, а уравнение (30.14) — уравнением второго закона Фика для процесса диффузии. Теперь соотношение (30.13) можно переписать в виде [c.161]

Эта глава посвящена равновесиям в сложных гетерогенных системах. Простыми равновесиями такого типа мы уже занимались, изучая системы вида жидкость пар, твердое тело жидкость и т. д. на основе уравнения Клапейрона — Клаузиуса (гл. IV). Равновесия этого типа рассматривались и в разделах, посвященных химическому равновесию, а также в главе о растворах. В сложных гетерогенных системах количественное рассмотрение задачи или затруднительно, или просто невозможно. Прежде чем перейти к изучению этих систем, уточним некоторые понятия. Под фазой понимают совокупность материальных частей системы, обладающих одинаковыми или непрерывно от точки к точке изменяющимися термодинамическими свойствами. Фазы отделены одна от другой поверхностями раздела, где свойства изменяются скачком. Это определение отличается от данного ранее указанием возможности непрерывного изменения свойств. Так, например, представим себе вертикально расположенную трубку, внизу которой имеется некоторое количество жидкости, а над ней пар. Вследствие влияния силы тяжести давление пара изменяется с высотой уровня по соотношению, известному под названием барометрической формулы Лапласа, выводимой из более общего уравнения Больцмана (VI.57) [c.287]

Доказанное свойство передаточной функции очень часто используется при исследовании технологических объектов. Большинство таких объектов описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Как правило, получить точное аналитическое решение этих систем уравнений невозможно. Однако можно упростить дифференциальные уравнения, если применить к ним преобразование Лапласа по времени. При этом обыкновенные дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические уравнения для функций й р) и v p), а уравнения в частных производных — в обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные только по пространственной координате. Решая преобразованную систему уравнений можно получить выражение v p) через й р). Используя затем соотношение (2.2.77), найдем передаточную функцию W p), с помощью которой удобно описывать оператор объекта. После того как найдена функция W p), можно определить весовую функцию g t) и переходную функцию h(t). Для этого достаточно по таблицам преобразований Лапласа определить оригиналы функций [c.71]

Такой вид наиболее удобен при теоретическом исследовании. Функция g i) является ядром интегрального оператора. Однако для определения результата действия оператора А на произвольную входную функцию и 1) соотношение (2.2.77а) мало пригодно поскольку интеграл в правой части при сложном виде (<) и и (О вычислить не удается. Чаще всего для определения выходной функции v t) используется передаточная функция W p). Метод определения у (О состоит в следующем. По таблицам преобразований Лапласа ищется изображение й(р), затем строится функция й p)W p) и по тем же таблицам находится оригинал этой функции, который и дает выходную функцию v t). Хотя часто отыскание прямого и обратного преобразования Лапласа представляет собой трудную задачу, указанный метод наиболее эффективен для определения выходной функции объектов по известной входной функции. [c.72]

Передаточная функция стационарного объекта, описываемого уравнением (3 1.1), является дробно-рациональной функцией вида (3.1.35). Поскольку для дробно-рациональных функций переход к оригиналам осуществляется весьма просто, выражение (3.1.35) часто используют для определения весовой и переходной функций стационарного объекта. В соответствии с соотношениями (2.2.74) и (2.2.76) для определения весовой функции g(t) требуется применить обратное преобразование Лапласа к функции W p), а для определения переходной функции h(t) — K функции W p)/p. Необходимо разложить дробно-рациональные функции W (р) и р)/р на простейшие дроби и осуществить переход к оригиналам в каждом слагаемом. [c.92]

Аналогично можно записать системы дифференциальных уравнений, определяющих передаточные функции и п(р), 11 12 (р) и и 2 (р), и 22(р)- Однако в случае стационарных объектов гораздо более простым является способ определения передаточных функций, использующий соотношения (2.2.88). Применяя к уравнениям (3.1.48), (3.1.49) преобразование Лапласа и используя нулевые начальные условия, получаем систему алгебраических уравнений для изображений й р), Й2(р), >1(р), 2 р) входных и выходных функций [c.95]

Подставив в это соотношение v x,p) в виде (3.2.19), найдем соотношение, выражающее преобразование Лапласа от выходной функции через преобразование Лапласа от входной функции [c.100]

После построения передаточной функции стационарного объекта можно определить и другие его характеристики весовую и переходную функции. В соответствии с соотношениями (2.2.74) и (2.2.76) для их нахождения нужно применить обратное преобразование Лапласа к функциям р) и р)/р. [c.101]

Теперь, чтобы получить выражения для функций х,р) и V2(x,p), необходимо применить к (3.2.39) и (3.2.40) обратное преобразование Лапласа по переменной s. Для этого разложим дробно-рациональные функции в правых частях соотношений (3.2.39) и (3.2.40) на простейшие дроби. [c.105]

Если теперь применить к обеим частям соотношения (3.3.5) обратное преобразование Лапласа, то получим [c.110]

Чтобы получить выражение для переходной функции Н2 1), применим обратное преобразование Лапласа к соотношению [c.139]

Теперь можно найти разложение весовой функции 12 (О. соответствующее разложению (4.3.54) передаточной функции 12(р). Применим к каждому члену разложения (4.3.54) обратное преобразование Лапласа. При этом используем соотношения (4.3.60) и (4.3.62) и подставим оригиналы Р Лр) и / 1 (р) из [c.192]

Применив к обеим частям соотношения (5.4.53) обратное преобразование Лапласа, получим выражение для с х, ) [c.254]

Формулой обращения преобразования Лапласа называется следующее соотношение, позволяющее найти функцию-оригинал /(/) по известному изображению f(p) [c.292]

Подстановка соотношения (VI. 33) в (VI. 32) дает уравнение Лапласа [c.67]

Подстановка соотношения (V. 33) в (V. 32) дает уравнение Лапласа — Юнга [c.61]

Подстановка соотношения (У.ЗЗ) в (У.32) дает уравнение Лапласа—Юнга-. [c.67]

Надо, однако, помнить, что рассматриваемые соотношения предполагают наличие сплошной фазы и могут утрачивать справедливость, когда радиус мениска приближается к молекулярным размерам 6 вообще, уравнение Лапласа выводится в предположении г> . [c.34]

С помощью соотношений типа (У.37) и (У.38) можно проводить и обратное преобразование Лапласа, т. е. гю виду трансформанты находить саму функцию. [c.247]

Преобразование Лапласа приводит к соотношению [c.251]

Это нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и стандартным отклонением, равным единице, носит название стандартного нормированного распределения. Поскольку оно, будучи единственным, описывает все частные виды нормального распределения, парные критерии статистической оценки всех случайных величин, распределенных по нормальному закону, могут быть сведены в единую таблицу. Обычно в такой таблице против соответствующего значения и приведено значение интеграла вероятности, который носит название функции Лапласа Ф(и) и задается соотношением [c.81]

Решение краевых задач теории нестационарного диффузионного пограничного слоя на внешней или внутренней поверхностях капли в принципе может быть получено разными методами. Так, для определения диффузионного потока к поверхности капли в установившемся стоксовом потоке при внезапном включении реакции в [61] было использовано преобразование Лапласа по времени. Анализ конвективной теплопередачи к криволинейной стенке при потенциальном обтекании проводился в [183] при помош и синус-преобразования Фурье по поперечной координате. Однако наиболее удобным и быстро ведущим к цели является метод введения вспомогательных функций координат и времени в качестве новых переменных. Эти функции выбираются таким образом, чтобы удовлетворялись определенные дифференциальные соотношения. В результате для отыскания зависимости искомого поля концентрации или температуры от вспомогательных функций получаем более простое, по сравнению с исходным, дифференциальное уравнение. Очевидно, что в каждой конкретной задаче число этих функций и сами они могут выбираться по-разному — важно лишь, чтобы как промежуточные дифференциальные соотношения, так и итоговое уравнение для искомой функции имели достаточно простую структуру. [c.276]

Сравнивая между собой соотношения (2.55) и (2.65), нетрудно заметить, что вычисленное при нулевых начальных условиях изображение по Лапласу весовой импульсной переходной) функции является передаточной функцией элемента или системы [c.47]

Несмотря на отмеченное выше ограничение для передаточной функции нелинейного звена, ее удобно применять при составлении структурных схем систем. При этом на входе и выходе звеньев, ходящих в структурную схему, могут быть указаны величины либо их изображения по Лапласу. В первом случае, строго говоря, переменная s должна заменяться в передаточных функциях символом дифференцирования р. Для единообразия изображения структурных схем линейных и нелинейных систем в дальнейшем как и ранее, будем указывать на схемах изображения входных и выходных величин, имея в виду, что приводимые соотношения используют при гармоническом законе изменения величин. [c.193]

Выполнив преобразование по Лапласу уравнения (11.76) и учтя соотношение (11.85), получаем передаточную функцию управляющих каналов [c.315]

Задача о взаимодействии пары проводящих сфероидов радиусов 7 1 и / 2 в квазипостоянном электрическом поле напряженности Е, направленном под углом 9 к линии центров (рис. П.4.1), приводит к решению уравнения Лапласа при граничных условиях на потенциалы и на заряды сфероидов. Геометрия задачи такова, что наиболее удобно искать ее решение в бисферической системе координат (а, , ф), которая связана с декартовой системой координат следующими соотношениями [c.191]

Для разностной аннроксимацпи конвективных членов системы (8) — (10) используется несимметричная разностная схема первого порядка точности, ориентпрованная против потока [2]. Согласно этому подходу, информация в ячейку передается только от ячеек, расположенных выше по потоку от данной, и, наоборот, информация от ячейки передается только ячейкам, расположенным ниже но потоку. При изменении знака скорости, например вблизи узла, схема модифицируется в соответствии с законами сохранения в каждой ячейке. Разностные соотношения для диффузионных членов строятся следуюш им образом оператор Лапласа интегрируется по площади ячейки, соответствующей выбранной разностной сетке, и полученные в итоге однократные интегралы вычисляются по формуле трапецией, а нормальные к контуру производные заменяются центральными разностями. Источниковые члены аппроксимируются аналогичным образом. В результате получается система нелинейных алгебраических уравнений для искомых функций в узлах сетки. Она замыкается граничными условиями в конечно-разностном виде. Полученная алгебраическая система уравнений решается методом последовательных смещений Гаусса — Зейделя. Анироксима-ция строится на неравномерной сетке, которая сгущается в области больших градиентов. Использовались разностные сетки 21 X 21 и 31 X 31. Изменение числа линий сетки практически не сказывалось на результатах решения. Выход из итерационного процесса осуществлялся при выполнении условия [c.59]

Объединяя уравнения Лапласа и Клаузиуса-Клапейрона, получим соотношение д ш расчета изменения температуры помутнения (температуры начала кристаллизации дисперной фазы) и давления пара над НДС Р., [c.139]

Выходная функция Увых(0 определяется соотношением (3.2.15). Применив к обеим частям этого соотношения преобразование Лапласа по переменной t, получим формулу для преобразования Лапласа 5вых(р) от выходной функции [c.100]

Во второй главе было установлено, что для линейных стационарных объектов отношение преобразования Лапласа от выходной функции к преобразованию Лапласа от одной из входных функций при нулевых остальных входных функциях не зависит от конкретного вида рассматриваемой входной функции [соотношение (2.2.77)]. Это свойство позволяло считать указанное отношение (передаточную функцию) универсальной характеристикой объекта. В рассматриваемом случае объект является нелинейным, поэтому отношения Тйых (р)/ Гвх р) при Т с(р)— о и Твых р)/Тс р) при Твх(р) = 0 зависят от конкретного вида входных функций Твх р) или Тс р), и вводить передаточные функции по каналам 7 вх(0 вых(0, Te t)-yTвъ (t) не имеет смысла. Действительно, [c.117]

Поверхностное натяжение на границе трех фаз. На границе раздела трех фаз наблюдаются более сложные соотношения между межфазными поверхностными натяжениями. Если на твердую поверхность 3 (рис. 103) нанесена капля воды 1 и обе поверхности граничат с газом 2, то капля образует с твердой поверхностью краевой угол смачивания 0 (измеряемый в водной фазе). По уравнению Лапласа величина соз0 при равновесии связана с межфазными поверхностными натяжениями следующим соотношением [c.285]

Надо помнить, что рассматриваемые соотношения предполагают наличие сплошной фалы и мог>т утрачивать справедливость, когда радиус мешска при-ближн.,тся к молекулярным размерам А ур1авнение Лапласа выводится в предположении r> . [c.40]

Функции Zi (s) и Zj (s), определяемые отношениями изображений по Лапласу давлений и расходов в концевых сечениях линии по аналогии с принятыми в электротехнике терминами, назовем концевыми операторными сопротиалениями (импедансами). Функция 2в.я(5), как показывает соотношение (10.65), отличается от ранее примененного операторного волнового сопротивления только постоянным множителем. В дальн( йшем эту функцию будем называть операторным волновым сопротивлением линии. [c.273]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология