Метод корреляции и метод наименьших квадратов

Применение метода корреляции и наименьших квадратов представляется целесообразным проиллюстрировать примером. [c.47]

Существуют различные способы оценки коэффициентов регрессии в уравнениях ( .34), (3.35), (3.36). Некоторые из них (для линейной регрессии) приведены выше (определение коэффициента корреляции, метод наименьших квадратов). В более сложных случаях существуют методы построения планов многофакторных экспериментов, на основе которых проводят вычисление значений коэффициентов ajj и оценку их значимости [46]. Эти методы позволяют после определения коэффициентов изменять уровень факторов для движения по поверхности отклика к оптимальному значению Y. Они могут. быть с успехом использованы и в случае оптимизации многофакторных процессов выщелачивания металлов из руд и концентратов. [c.153]

В обоих выражениях (13) и (15) /(Рг) является универсальной зависимостью, описываемой соотношением (76), 2.5.7. Выражение (15) означает, что коэффициент теплоотдачи не зависит от ширины канала и, следовательно, протяженности горизонтальных стенок. Это также видно из уравнения (13) для больших Ra(h/d) , так что корректирующий множитель Ф приближается к единице. На рис. 15 результаты, полученные из соотношений (10), (13) и (14), сопоставлены с экспериментальными данными и расчетными значениями для больших hJd. Предсказываемая зависимость от Ra, Rr и h/d в общем удовлетворительна, учитывая разброс самих экспериментальных данных. Исключение составляет группа данных для ртути, для которых переход к турбулентному движению происходит в области 10 < другие группы данных большей частью скоррелированы в виде степенных зависимостей от Рг, h/d и Ra (или Ra ) с показателем степени, рассчитываемым методом наименьших квадратов. Показатели степени, полученные этим способом разными исследователями, несомненно, отражают корреляцию данных, охватывая два или более режимов конвекции, но также и экспериментальные погрешности. С другой стороны, независимость чисел Nuh, описываемых уравнением (13), от ширины канала в предельном случае для больших Ra (h/df свидетельствует о некоторой идеализации зависимости от отношения сторон, тогда как в чисто эмпирических соот- [c.301]

Определение параметров нелинейных зфавнений регрессии методом наименьших квадратов. Понятие о множественной корреляции. [c.153]

Оценки коэффициентов [i,J] и B[iJ] найдены по данным табл. П5.1 методом наименьших квадратов. Значения коэффициентов корреляции r[iJ] между логарифмами показателей (П5.2) даны в табл. П5.2. [c.202]

Вывод о линейном характере зависимости y—f(x) в методе наименьших квадратов основывается на значении выборочного коэффициента корреляции [c.32]

Постоянные уравнения регрессии (55) вычислялись методом наименьших квадратов. Коэффициент корреляции при этом составил 0,923, что свидетельствует о наличии достаточно тесной линейной зависимости между исследуемыми параметрами. [c.91]

Коэффициент корреляции уравнения, вычисленный методом наименьших квадратов, составляет 0,863. Таким же высоким оказался коэффициент корреляции зависимости отношения от предельных динамических напряжений сдвига нефтей (рис. 3). Получена следующая эмпирическая формула этой зависимости [c.22]

Постоянные уравнения регрессии (1) вычислялись методом наименьших квадратов. Коэффициент корреляции при этом сое- [c.4]

Полученная закономерность по данным лабораторных определений была сопоставлена с данными справочников, в которых приведены содержание асфальтенов и смол для различных нефтяных залежей. По этим данным вычислялись отношения содержания асфальтенов к содержанию смол и строились графики зависимости А/С от содержания асфальтенов. Статистическая обработка данных с целью нахождения постоянных уравнений регрессии и коэффициентов корреляции велась по формулам, аналогичным формуле (1), в отдельности для различных групп месторождений нефти, приуроченных нижнему карбону. Постоянные уравнений регрессии вычислялись методом наименьших квадратов. Результаты расчетов приведены в табл. 1. [c.5]

Искомая зависимость находилась на ЭВМ в виде степенного выражения с определением параметров по методу наименьших квадратов в связи с недопустимо большой корреляцией между величинами Ьр и Л (исследовался изотермический распыл) число Ьр было исключено из числа определяющих. Показатели степени для Уе, А, 2 и Д, а также константа перед степенной зависимостью для семи перечисленных ранее моментов распределения и других характеристик распределения приведены в табл. 3.1. [c.159]

Однако коэффициент А оказался в этом случае переменной величиной, что указало на зависимость коэффициента сушки и от влагосодержания материала. На рис, 1 в логарифмических координатах показана корреляция коэффициента А н влагосодержания и, найденная но методу наименьших квадратов. [c.86]

Во введении обсуждается рещение этой задачи с помощью оценивания функции отклика на единичный импульс Оказывается, что такой подход неудовлетворителен как из-за того, что он требует оценивания слишком большого числа параметров, так и из-за того, что выборочные оценки при таком подходе имеют плохие статистические свойства Это происходит потому, что оценки соседних значений функции отклика на единичный импульс сильно коррелированы От этих трудностей можно избавиться, если перейти к оцениванию частотной характеристики с помощью анализа взаимных спектров. Показано, как можно получить хорошие оценки функций усиления и фазы с помощью метода стягивания окна, а также выводятся доверительные интервалы для этих функций Мы приходим к выводу, что, хотя анализ взаимных спектров и является иногда полезным исследовательским средством при оценивании характеристик линейных систем, все же конечной целью такой работы должно быть оценивание параметров некоторой модели методом наименьших квадратов, видоизмененным так, чтобы учесть корреляцию остаточных ошибок [c.186]

При такой параметризации число оцениваемых параметров остается небольшим Во-вторых, оценки метода наименьших квадратов для Нт, полученные из (10 1 2), сильно коррелированы, так же как оценки авто- и взаимных корреляционных функций Пример такой корреляции оценок Нт будет приведен в разд 10 2 [c.188]

В гл 9—10 мы видели, что анализ взаимных спектров и оценивание частотных характеристик представляют собой распространение обычного корреляционного и регрессионного анализов на частотную область Точно так же многомерный спектральный анализ и оценивание многомерных частотных характеристик представляют собой распространение идей анализа множественных корреляций и многомерного статистического анализа на частотную область в этом разделе мы дадим обзор основных понятий множественной корреляции и множественного регрессионного анализа Предполагается, что читателю полностью известен метод наименьших квадратов, изложенный в Приложении П4 1 [c.241]

Корреляция проводилась по уравнению Гаммета с применением метода наименьших квадратов. Полученные корреляционные уравнения приведены в табл. 1. [c.27]

По методу наименьших квадратов линию легко найти, если предварительно сделаны расчеты корреляции. Регрессивное уравнение для г/ по а таково [c.311]

Корреляционный анализ начинается с графического построения поля корреляции в удобной координатной системе с целью выбора аппроксимирующей функции. В дальнейшем задача сводится к определению несмещенных и состоятельных оценок ее параметров, для чего обычно прибегают к методу наименьших квадратов [77, 165, 176]. [c.95]

Параметры этой экспоненты также приведены в табл. 6.5. Их определяли по данным работы [70] методом наименьших квадратов. Коэффициент корреляции г=0,6826. Заметим, что при =1 из уравнения (6.90) следует аг = 0ь т. е. здесь критерием длительной прочности оказывается максимальное нормальное напряжение. [c.241]

Определение коэффициентов в уравнении (УП1.4), например, для полинома второй степени при п переменных, производят приемами, аналогичными рассмотренным ранее. Однако в этом случае не требуется находить выборочные коэффициенты корреляции, которые при нелинейной форме зависимости между исследуемыми переменными теряют смысл [33]. Итак, если степень полинома выбрана заранее, то коэффициенты регрессии определяются по методу наименьших квадратов, а исследование уравнения проводится по статистическим критериям (в частности, адекватность модели устанавливается по критерию Фишера, как л в случае линейной регрессии). [c.209]

Рис. 7.1. Эмпирическая корреляция экспериментальных данных по десорбции газа при волновом течении пленки. Линия представляет собой параболическую аппроксимацию по методу наименьших квадратов.

Рис. 7.1. <a href="/info/1474808">Эмпирическая корреляция экспериментальных</a> данных по <a href="/info/30162">десорбции газа</a> при <a href="/info/1586417">волновом течении пленки</a>. Линия представляет <a href="/info/1795776">собой</a> <a href="/info/1045638">параболическую аппроксимацию</a> по <a href="/info/117065">методу наименьших</a> квадратов.

В таблице Ь— это коэффициент линейной регрессии или угол наклона прямой,определяемый методом наименьших квадратов,а—среднеквадратичное отклонение от линии регрессии. В последней графе таблицы указано наличие или отсутствие корреляции между величинами у и х. Критерием является формула [c.78]

На рис. 62, а показана зависимость каталитической активности окислов от ширины запрещенной зоны и. Линия регрессии приведена здесь, как и на рис. 62, б, в и г, в соответствии с коэффициентом линейной регрессии, вычисленным методом наименьших квадратов. Соответствующий коэффициент корреляции г = —0,74 указывает на очень сильную зависимость lg к и — более сильную, чем в случае реакции дегидрирования спиртов. Эта связь, как мы видели, не, обусловлена зависимостью lg А от й (геометрией поверхности), и связана, вероятно, как указывалось в главе 1, 3 и 5 с протеканием катализа в области собственной проводимости или с эффективным нарядом катиона. Вероятнее второе предположение. На это указывав также сильная зависимость к от положения металла, образу- [c.147]

В литературе часто сообщается о значительных корреляциях параметров (г,/>0,9), особенно в работах по спектрофотометрии 5, 11, 12]. Причина этого состоит в большем или меньшем перекрывании электронных спектров поглощения, что при уточнении молярных коэффициентов погашения приводит к попарной корреляции параметров. Следовательно, в любой программе по нелинейному методу наименьших квадратов на последней итерации вместе со стандартными отклонениями параметров следует вычислять коэффициенты корреляции с тем, чтобы выявить любую недостаточность в данных, определяющих параметры. При исследовании равновесия, зависимого от pH в растворе [И], рекомендуется графически изображать теоретическую кривую титрования с соответствующими вычисленными значениями параметров, причем эта процедура должна быть выполнена после каждого очередного изменения параметров. Уточнение коррелируемых параметров часто приводит к таким кривым титрования, которые сильно отличаются от наилучшей вычисленной кривой при данной концентрации лиганда. Такая процедура указывает, при какой концентрации лиганда и/или длине волны необходимы дополнительные данные для лучшего определения системы. Подобный подход позволяет уменьшить коэффициенты корреляции, что улучшает сходимость итераций к минимуму. При сильной корреляции параметров поверхность параметров имеет форму пологого оврага, поэтому уменьшение коэффициентов корреляции улучшает ситуацию. [c.94]

При отсутствии данных о показателе преломления или мольной -массе их значения могут быть рассчитаны по приведенным ниже формулам. Эти формулы основаны на корреляции между физикохимическими величинами нефтепродуктов, и получены методом наименьших квадратов по экспериментальным данным [c.58]

Целью настоящей работы было получение корреляций мезвду Я смесей углеводородов при атмосферном давлении,. температурой и обобщенным фактором корреляции, зависящим от состава. В основу обобщенной зависимости была положена корреляция Л для гомологического ряда н-парафинов в диапазоне температур 0-150°С, представляющем практический интерес. Температурные зависимости коэффициентов теплопроводности н-парафинов от метана до н-октана включительно 4 У были аппроксимированы по методу наименьших квадратов на ЭЦШ Мир полиномами следующего вида. [c.24]

Линейную корреляцию между X и У ищут в виде У = аХ + Ь, где К —среднее знатение всех У , соответствующих данному X. Коэффициенты а п Ь находят по методу наименьших квадратов. Линия АВ, паилучшим образом проходящая через данную совокупность точек, называется линией регрессии У по X. Важный показатель корреляции между X и К—коэффициент корреляции г [c.317]

Множественная регрессия. Часто приходится искать корреляцию между У и несколькими переменными Хц. .., Х , т. е. находить множественную регрессию между У и Х , Х . Примером может служить корреляция между в ряду химических реакций с , X и параметрами, характеризующими влияние на реакционную способность реакционного центра (индуктивное, резонансное, сте-рическое влияние Ц). Пусть надо установить корреляцию между У и X, и Ха. Метод наименьших квадратов (минимизация 2( /расч — — К,) = т п) дает формулу [c.317]

В своих работах Казаков A.A. (ВНИИнефть) [15,16] предлагает при построении характеристик вытеснения предварительно установить степень линейности совокупности точек в предпрогнозный период (укладываются ли точки в этот период на прямую линию). Подбор предпрогнозного периода начинается с четырех последних точек, зависимость которых аппроксимируется прямой линией. Методом наименьших квадратов определяются коэффициенты уравнения прямой и коэффициент корреляции. Следующими последовательными шагами прибавляются по одной предпрогнозной точке и каждый раз расчеты повторяются. Максимальный коэффициент корреляции в этой процедуре является критерием выхода совокупности выбранных предпрогнозных точек на прямую. Однако автор признает, что не всегда линейная аппроксимация правомерна. Часто реальная модель зависимости анализируемых параметров промысловых данных имеет криволинейь ую форму. В этом случае, по мнению автора, правомерность линейной аппроксимации может быть установлена по монотонному изменению коэффициентов прямой или коэффициента корреляции по мере увеличения числа расчетных точек. Такой подход, по мнению автора, позволяет рассчитать уравнение прямой, адекватно отражающей фактическую закономерность. [c.156]

Точки в предпрогнозный период обрабатываются по методу наименьших квадратов. В программе определяются коэффициенты прямой и коэффициент корреляции зависимости из трех последних (предпрогнозных) точек. Затем прибавляется по одной точке, и расчеты повторяются. При достижении коэффициентом корреляции своего максимального значения считается, что характеристика вытеснения описывается уравнением прямой линии. [c.164]

Графическая обработка показывает, что экспериментальные душные не спрямляются в координатах ураписний (4.32) — (4.35). что свидетельствует о их неадекватности. Линейная зависимость с коэффициентом корреляции 0,999 получена только для варианта с перекрестным обрывом цепи (4.30), (4.36). Вычисленное с помощью линейтюго метода наименьших квадратов по тсшгенсу наклона примой в координатах У/Т .о (рис. 63, с)) значение копстанты скорости составило [c.122]

Как видим, средний квадратичный разброс (Ср) значений р около коррелящюнной прямой составляет от 0,07 до 0,16, что не так уж мало, если учесть, что абсолютные значения р заключены между О и 1. Кроме того, коэффициент корреляции г не очень велик. Далее, поскольку эти уравнения являются ничем иным, как простым спрямлением (методом наименьших квадратов) набора точек, получающихся при непосредственном сопоставлении теоретически рассчитанных и экспериментально найденных величин, то экстраполяция к крайним значениям (р = О и р = 1) может н не иметь физического смысла [109, с. 2487]. Например, в первом из трех уравнений чисто простая связь С,р2 - С,р2 (р = 0) оказывается равной 1,572 А, что намного больше экспериментально найденных значений (1,48-1,52 А, см. табл. 2) и различных теоретических оценок (1,50-1,52 А, см. [148, с. 157 109, с. 2487]). Кроме того, чисто двойная несопряженная связь С=0 или С=М в реальных соединениях будет иметь меньший тт-порядок, чем I, ввиду поляризации связи под влиянием гетероцикла [130, с. 2905 145, с. 2924]. В целом, следовательно, при пользовании уравнениями Хефелингера надо иметь в виду, что они дают в основном лишь ориентировочные значения величин, особенно в областях, близких к р = О и р = 1. [c.30]

Л—линия, проведенная гго методу наименьших квадратов о—точки, не вошедшие в корреляцию по методу наименьших квад[)атов. [c.56]

На рис. 6 приведены данные для полистирола 169, 83—86]. Аналогичные результаты получены и для ряда других полимеров полиметилметакрилата, поливинилхлорида, полиизобутилена, нолиизопрена, по,ли-4-винилпириди-на, ноливинилацетата, поли-2-гидроксиэтилметакрилата. Как видно, Ух и (/2 связаны линейной зависимостью в соответствии с уравнением (31) в довольно широком интервале значений а (до 3). Обработка экспериментальных данных по методу наименьших квадратов показала, что величина А практически одна и та н е для всех исследованных полимеров, зависит от природы полимера. Коэффициент корреляции (г) весьма высок во всех случаях. Выше приведена табл. 2, где сведены данные по статистической обработке экспериментальных результатов в координатах уравнения (31). [c.172]

Джаффё рассчитал коэффициенты корреляции г, а также стандартные отклонения 5 от прямой, проведенной по методу наименьших квадратов для 371 реакционной серии. В соответствии с выбранными для г и 5 критериями по отношению к величине р Джаффё нашел, что только 26 из 371 реакционной серии не подчиняются уравнению Гаммета, хотя многие другие являются только грубым приближением. [c.169]