Статистические оценки и проверка гипотез

При малом числе измерений более точные результаты дают статистические методы проверки гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат измерения х, не содержит грубой погрешности, то есть, является одним из значений случайной величины д с законом распределения (х), статистические оценки параметров которого предварительно определены. Сомнительным может быть в первую очередь лишь наибольший Хтах или наименьший А тт ИЗ результатов измерений. Поэтому для проверки гипотезы следует воспользоваться распределением величин [c.84]

Для осуществления проверки выдвигается статистическая гипотеза о генеральных совокупностях, из которых извлекаются результаты измерений. По проверяемым выборкам результатов вычисляют определенное критическое значение некоторой случайной величины Д и находят область Л (при условии, что соответствующее проверяемое распределение выполняется), внутри которой надо ожидать Д с заданной вероятностью Р. Если же критическое значение А лежит вне области Л, то исходная гипотеза отбрасывается. Различие между гипотетическими и наблюдаемыми величинами называется значимым или статистически достоверным. Однако зто различие не может служить достаточно надежной мерой оценки различия в самих генеральных совокупностях, к которым отнесены результаты измерений. Из статистически достоверной разности, например, двух средних XI — Х2 = Ахи еще не следует, что соответствующие совокупности отличаются именно на величину Ах 12. Поэтому ни в коем случае нельзя делать вывод о некотором конкретном числовом различии, опираясь на результаты проверки. Если критическое значение Д находится внутри области Л, то проверяемая гипотеза принимается. Однако из этого не следует еще, что она совершенно верна. Можно только сказать, что результаты измерений ей не противоречат. Поэтому такое различие в результатах называют недостоверным или незначимым. Из утверждения, что разность некоторых величин статистически незначима, еще не следует их равенство. Вопрос о том, можно ли рассматривать такую незначимую разность одновременно и как чисто случайную , нужно решать пр полном понимании статистических методов проверки гипотез (см. [1, 2, 7]) [c.114]

Приводимые в таблицах по статистике верхние 5 %-е точки могут быть непосредственно использованы при проверке гипотез о том, что найденная величина только меньше (или только больше) некоторого установленного значения (односторонняя оценка, см. уравнение 8.22). В задачах другого типа требуется проверять гипотезы о равенстве найденной величины некоторому установленному значению или же устанавливать границы доверительного интервала [двусторонняя оценка, см. уравнение (8.23)]. Поскольку в этом случае возможен выход проверяемой величины как за верхнюю, так и за нижнюю границу доверительного интервала, для сохранения суммарного 5%-го уровня значимости следует пользоваться приводимыми в статистических таблицах верхними 2,5%-ми точками. В дальнейшем мы будем указывать уровень значимости а = 0,05 или а/2 = 0,025 в соответствии с односторонней или двусторонней оценкой. Такая запись показывает, что в обоих случаях реально обеспечивается суммарный 5 %-й уровень значимости, однако читатель должен понимать, что в соответствии с укоренившимся способом построения статистических таблиц при обращении к ним в первом случае он должен руководствоваться уровнем значимости 0,05, а во втором — 0,025 (табл. 8.1, 8.2). [c.168]

Решающим преимуществом интервального подхода к оценке случайных величин является возможность корректной статистической проверки гипотез. Несмотря на это, в настоящей книге встречаются и точечные и интервальные оценки, что отражает реальную ситуацию в литературе по спектрофотометрическому анализу, [c.171]

Проверка однородности результатов измерений. Грубые измерения являются результатом поломки прибора или недосмотра экспериментатора, и результат, содержащий грубую ошибку, резко отличается по величине. На этом основаны статистические критерии оценки и исключения грубых измерений. Наличие грубой ошибки в выборке значений случайной величины X нарушает характер распределения, изменяет его параметры, т. е. нарушается однородность наблюдений. Поэтому выявление грубых ошибок можно трактовать как проверку однородности наблюдений, т. е. проверку гипотезы о том, что все элементы выборки х , х .-.-.Хп получены из одной и той же генеральной совокупности. Будем по-прежнему полагать, что случайная величина подчиняется нормальному распределению. Для решения этой задачи предложено несколько методов. [c.59]

Оценка коэффициента корреляции г, определенная из экспериментальных данных, подвержена статистическим флюктуациям поэтому, помимо ее вычисления, стоит, как обычно, задача определения доверительных пределов для р. Особенно важна уверенность в том, что корреляция действительно имеет место, т. е. рФО. Для проверки гипотезы о существовании корреляционной связи составляется случайная величина [c.425]

При сравнении данных прежде всего интересен вопрос о равенстве (близости) средних значений 1 и Х2 сравниваемых результатов, а уже затем — об их воспроизводимости. Можно предполагать, что задача сравнения воспроизводимости результатов может возникнуть лишь после того, как оказалось, что при оценке на глаз средние значения несколько различаются. При корректной статистической проверке гипотез, напротив, решение о принятии (или отклонении) нулевой гипотезы хх — х невозможно без оценки значений стандартных погрешностей обоих сравниваемых результатов. Кроме того, как уже отмечалось сравнивать средние можно только если дисперсии 2 и 2 обоих экспериментов однородны, т. е. когда оба результата принадлежат к генеральным совокупностям, отличающимся лишь характеристикой центра. [c.90]

После определения коэффициентов регрессии и оценки их значимости проверяют адекватность самого уравнения регрессии. Отклонение расчетного значения уг от экспериментального г/,- может иметь место либо потому, что избранная модель несовершенна, либо вследствие случайных погрешностей. Поэтому статистическая оценка адекватности основана на проверке нулевой гипотезы где — дисперсия воспроизводимости при измерении величины у. Эта оценка производится по -кри-терию [c.94]

Функция -распределения является еще одной статистической функцией, которую можно применять для оценки адекватности экспериментальной модели в определенных условиях. См. описание проверки гипотезы по -кри-терию в разд. 4.8. [c.81]

Использование доверительных оценок позволяет достаточно корректно осуществлять статистическую проверку гипотез (о равенстве двух средних, о возможности отбрасывания того или иного результата и т. п.). Авторы все же отказались от использования в данной книге системы доверительных оценок, так как последовательное проведение этой системы потребовало бы разъяснения дополнительного математического аппарата и включения в книгу значительного числа вспомогательных таблиц. Интересующиеся вопросами доверительных оценок могут обратиться к руководствам [9—14]. [c.219]

В случае многопараметровых регрессий (п > 1) возникает проблема оценки значимости каждого из слагаемых в правой части уравнения (//. I). В формальном аспекте это выполняется методами статистической проверки гипотез [702]. Однако с практической точки зрения полезно использовать некоторые простые дополнительные критерии. Таковых можно предложить два отношение и изменение степени неадекватности в результате исключения /-го слагаемого из правой части уравнения (II. ). Например, можно условно принять, что величину а,- следует приравнять нулю, если выполнено одно пз нижеследующих требований [c.316]

Статистические оценки и проверка гипотез [c.57]

Коэффициент конкордации, как показывают расчеты, изменяется от О до 1. Этот коэффициент характеризует степень объективности экспертизы (согласованности мнений экспертов). Замечательным свойством коэффициента конкордации 1/1 является его связь со статистическими критериями оценки. Формула связи этого коэффициента с известным критерием проверки гипотез имеет вид [c.69]

Методика статистической обработки заключалась в следующем. Предварительно путем построения гистограмм приблизительно устанавливали вид функции распределения. Затем для оценки соответствия между эмпирическим и теоретическим распределениями использовали критерий Пирсона. Учитывая то, что в исследуемых вариационных рядах число вариантов составляло от нескольких сотен до нескольких тысяч, этот критерий является достаточно надежным, так как он почти несомненно опровергает неверную гипотезу. Для дополнительной проверки правильности выдвинутых гипотез использовали эмпирические эксцесс и асимметрию, а также их средние квадратичные отклонения. [c.27]

Показателем эффективности статистического контроля качества и надежности изделий, основанного на проверке статистических гипотез, согласно [9], может служить точность оценки контролируемого параметра (в данном случае наработки на отказ или доли дефектных изделий), которая может быть получена с учетом накопленных в ходе проверки изделий данных. Как уже говорилось, такая оценка названа в [9] последующей. [c.95]

После вычисления оценок коэффициентов регрессии Ь , Ъ ,6 необходимо проверить их точность, т. е. убедиться, случайно или значимо каждый из вычисленных по статистическим данным отличается от нуля (проверка нуль-гипотезы о равенстве нулю генерального параметра р,- = 0). Наиболее подробно о проверке статистических гипотез изложено, например, в литературе [33, 43, 49]. [c.203]

В главе описаны основные понятия математической статистики генеральная совокупность и случайная выборка, оценки и их свойства, методы проверки статистических гипотез и построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии. Для получения оценок используется метод максимального правдоподобия, приводящий к получению состоятельных, эффективных, хотя иногда и смещенных оценок. [c.74]

При сравнении результатов испытаний различных конструкций шин целесообразно использовать метод проверки статистических гипотез. Идея этого метода базируется на практической невозможности событий, имеющих малую вероятность. Наибольшее применение имеет так называемая нулевая гипотеза, заключающаяся в предположении, что различие между двумя значениями О] и некоторого выборочного параметра, являющимися оценками генеральных параметров Ах и Лд, случайно и на самом деле Ах=А2. Для проверки этой гипотезы исследуют случайную величину Аа = а1—аг и проверяют, значимо ли ее отличие от нуля при заданном уровне значимости з р. Иногда рассматривают величину 01/02, сравнивая ее с единицей. Оценка ведется при помощи критериев значимости. Если До значимо отличается от нуля, то гипотеза бракуется, в противном случае гипотеза принимается. [c.223]

Для упрощения оценки достоверности поверки целесообразно воспользоваться понятием оперативной характеристики контроля, применяемой для проверки статистических гипотез. В это.м случае условная вероятность признания поверяемого средства измерений годным при условии, что и имеет некоторое конкретное значение, т. е. оперативная характеристика контроля (рис. 4.3) [33] [c.104]

При применении параметрических методов оценки полагают, что вид закона распределения наработки до отказа известен до испытания по общим соображениям выборка, по которой оценивают показатели безотказности, статистически однородна. Проверка гипотезы о виде закона распределения осуществляеася с помощью критериев согласия с отбраковкой недостоверньк данных. [c.716]

Статистические методы проверки дают объективную интерпретацию результатам анализа. Они дают объективный ответ на вопрос, существует ли разница между средними значениями, найденными двумя аналитиками При этом проверяется статистическая гипотеза о при-надлен<ности результатов измерений к одной генеральной совокупности. По результатам, полученным для двух выборок, вычисляют значение некоторой контрольной величины Я и определяют область Л, внутри которой следует ожидать 1 с онределенной вероятностью Р. Если контрольная величина X лежит вне области Л, то выбранная гипотеза отбрасывается. Разница между полученными величинами называется значимой или статистически значимой. Однако эта разница представляет собой недостаточно надежную меру для оценки различия в тех генеральных совокупностях, к которым относятся результаты измерений. Из статистически значимой, например, разницы для двух средних значений — х = А.Х12 нельзя сделать вывод, что соответствующие совокупности отличаются на величину Если контрольная величина X находится внутри области Л, то проверяемая гипотеза принимается. Однако из этого не следует, что гипотеза безусловно подтвердилась. Можно только сказать, что результаты измерений не противоречат проверяемой гипотезе. В этом случае говорят, что различие оказалось незначимым. Если установлена статистическая незначи-мость разности двух величин, то отсюда еще нельзя сделать вывод о равенстве этих величин. Вопрос о том, как такую незначимую разницу следует интерпретировать, нужно решить нри полном понимании статистических методов проверки гипотез (см. Смирнов и Дунин-Барковский, а также 16]). [c.131]

Такой подход никоим образом нельзя считать агностическим. Статистический анализ сводится к проверке некоторых гипотез, выдвинутых априори, и к количественной оценке того вклада, который вносится действием и взаимодействием отдельных факторов. Планирование эксиеримента, направленного на проверку гипотез и изучение роли отдельных факторов, может быть удачным только тогда, когда достаточно хорошо известны обирю физические закономерности. Смысл статистического анализа в работах исследовательского характера сводится к оценке того вклада, который вносится известными [c.32]

Статистическая проверка гипотез о характеристиках объектов управления тесно связана с изложенными выше вопросами определения оценок характеристик (параметров) этих объектов. Например, если по результатам те >ретических исследований сформулирована гипотеза о потмальности распределения выходной переменной, то по опытным данным необходимо ответить на вопрос о том, с какой надежностью эта гипотеза принимается или отвергается. На тот же вопрос должен быть дан ответ в том случае, если гипотеза сформулирована по результатам предыдущих экспериментов подтверждают или не подтверждают опыты, проведенные в новых условиях, результаты прежних экспериментов и т. д. Рассмотрим некоторые вопросы проверки указанных гипотез. [c.309]

Проверкой гипотез о законе распределения содержаний клиноптилолита по методу Л.Н. Большева и Н.В. Смирнова установлено, что в качестве моделей распределения можно использовать нормальный закон. Оценка среднего содержания клиноптилолита в пробах исследуемых месторождений колеблется от 67 до 78 % (табл. 12). Полученные данные статистически достоверно показывают, что отличительная особенность исследуемь(х месторождений - высокое содержание клиноптилолита, что подтверждает вывод, сделанный на основании анализа валовых и технологических проб. Если предположить, что выборочные совокупности достаточно полно отражают характерные черты (минеральный и химический состав) генеральных совокупностей, имеющиеся данные могут служить для сравнительной оценки месторождений. [c.26]

Папомним, для каких целей нужна проверка гипотезы о том, что найденные в результате вьшолнения экспериментов численные значения результатов измерений распределены по нормальному закону имеющиеся в распоряжении исследователя аналитические выражения, предназначенные для нахождения вероятностных оценок, в большинстве случаев предназначены для обработки результатов измерений, распределенных по нормальному закону. Если же исследователь имеет в своем распоряжении результаты опытов и измерений, не распределенные по нормальному закону, то большинство формул, напечатанных в многочисленных пособиях и справочниках по статистической обработке результатов измерений неприменимы, так как их формальное применение приведет к ошибочным результатам. Образцы таких добросовестных заблуждений мы нередко находим в отчетах по научно-исследовательской работе, в которых статистическая обработка вьшолнена не специалистами по математическому моделированию, а врачами, физиологами, социологами и другими неспециалистами в этой области. [c.89]

Как известно, измерения неизбежно имеют погрешности — систематические и случайные. На первом этапе построения модели следует предполагать а priori, что систематические погрешности, отсутствуют. Справедливость этого предположения проверяется в дальнейшем, в ходе проверки гипотезы. Наличие случайных погрешностей приводит к тому, что значения параметров не-могут быть определены точно. В этой ситуации результаты следует формулировать на языке теории вероятностей параметр-с заданной вероятностью, называемой доверительным уровнем,, лежит в пределах определенного доверительного интервала. Эти интервалы определяются характером статистической выборки,, называемой оценкой, которую в дальнейшем будем помечать [c.379]

По их величинам трудно определить, малы ли истинные значения параметров. Приближение оценки к ну гю может быть вызвано случайнш н факторами. В связи с этим для каждого параметра уравнения целесообразно проверить гипотезу о том, значительно, значимо ли от-ооненив ИСТИ1Ш0Г0 значения параметра от нуля. Воспользуемся для этого схемой проверки статистических гипотез, приведенной ранее. [c.22]

Для оценки правдоподобия приближенного вероятностного равенства разработано несколько критериев согласия проверяемых гипотез относительно вида функций фо(х) иДх). Более подробно о них, о проверке 1шютез, об оценке неизвестных параметров распределений можно узнать из [7-11]. В химической технологии методы проверки статистических гипотез нашли широкое применение при построении контрольных карт химико-технологических процессов (см. 20.4.3). [c.685]