Статистические функции для распределений вероятности

Статистическое рассмотрение высокоэластической деформации линейных полимеров. Природа высокоэластичности на молекулярно-кинетическом уровне рассматривается в рамках статистической термодинамики. В простейших статистических теориях полимерную молекулу моделируют в виде бестелесной свободно-сочлененной цепи, отдельные звенья которой подвергаются хаотическому тепловому движению. Статистический расчет вероятности того, что для достаточно многозвенной свободно-сочлененной цепи, один из концов которой закреплен в произвольной точке, а другой находится в элементарном объеме отстоящем от этой точки на расстояние г, приводит к функции распределения Гаусса [c.145]

ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТЕЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ [c.247]

При обработке результатов измерений пульсирующих параметров и для установления закономерностей поведения последних, естественно, приходится применять статистические методы и характеристики. Весьма подробная статистическая характеристика — это функция распределения вероятностей различных значений данного параметра, например, локальной плотности (р). Менее полными, но зачастую достаточными для практики являются первые моменты функции распределения среднее значение параметра, среднее квадратичное отклонение от среднего и т. д. Часто используют и среднее абсолютное отклонение от среднего значения. [c.85]

Строим гистограммы частот / (т) и статистической функции распределения Р х)—накопленную вероятность отказов (рис. IV 8, а) [c.138]

Для полученного ряда определяют накопленные частости (вероятности) на конец каждого интервала, вычисляемые делением соответствующего значения накопленной частоты на общее число случаев. Под частотой понимается число появлений данного события (число случаев). Графическое изображение накопленной частости представляет собой статистическую функцию распределения (кумулятивную кривую). При увеличении числа разрядов гистограмма приближается к графику плотности распределения случайной величины, а кумулятивная кривая - к функции распределения. [c.36]

Распределение прочности хрупких материалов часто адекватно описывается эмпирической статистической формулой Вейбулла, дающей интегральную функцию распределения вероятности разрушения g(o) [c.110]

По тем же данным, по которым получены табл. 7-8 и график на рис. 7-12, могут быть построены статистические функции распределения потерь для каждого часа суток года. Поскольку за год в данный час суток могут появляться все виды плохой погоды, наблюдаемые за год в целом, естественно ожидать, что функции распределения для каждого часа будут близки к функции распределения за весь год, что и подтвердилось при сопоставлении этих функций, построенных в относительных единицах по экспериментальным данным. Таким образом обобщенная функция распределения потерь мощности на корону на рис. 7-11 определяет не только закон распределения вероятности потерь за год в целом, но и закон распределения вероятности потерь для каждого часа года. [c.244]

Таким образом, статистические средние флюктуации Лк в сколь угодно малых элементах объема определяются при помощи функции распределения вероятностей различных значений Лк по элементам объема Ук в пространстве, занимаемом макроскопической системой. [c.153]

Зная закон раапределения прочности материала, можно статистическими методами оценить прочность конструкции в тех случаях, когда ее разрушение наступает в результате разрушения (происходяш,его с той или иной вероятностью) одного из нескольких элементов. На рис. 49 показаны функции распределения вероятностей разрушения пробок. При нагружении ш указанной схеме наблюдалось два вида разрушения разрыв по образующей конуса и смятие верхнего опорного торца диаметром 8 мм с. последующим срезом по окружности вблизи торца. Путем построения функции распределения вероятностей разрушения были определены для каждого случая средние значения прочности и характеристики рассеивания, установлена надежность каждого элемента. [c.95]

Рассмотрим большое число волокон разной прочности. Статистическая функция распределения прочности G (а) определяет вероятность разрушения волокон при растягивающем напряжении, меньшем или равном некоторому напряжению а. Если N — общее число выбранных волокон, ага — число волокон, которые разрушились при напряжении, меньшем или равном напряжению а, то [c.65]

Иными словами, вероятность заданного отклонения эмпирической функции распределения, полученной статистическим путем, от ее истинного значения является функцией вида (14.39) от корня квадратного из произведения величины этого отклонения на число испытаний. [c.282]

Рассмотрим какое-либо дерево с одним типом узлов и функциональных групп, получающееся при /-функциональной слз чай-ной поликонденсации. Такое дерево для / = 3 и / = 9 изображено на рис. 2.5. В соответствии с общими принципами статистического описания полимеров, все молекулы должны рассматриваться как отдельные реализации некоторого случайного процесса условного движения по ним. Для рассматриваемых молекул таким процессом будет условное движение по поколениям генеалогического дерева, начиная с его корня, что определяет ветвящийся процесс, в котором частицами являются мономерные звенья. Для того чтобы полностью задать этот указанный процесс нужно, в соответствии с результатами, изложенными в дополнении V, определить производящие функции и Р. Первая является производящей функцией распределения вероятностей числа частиц в нулевом поколении, а вторая — распределения вероятности числа потомков любой частицы в следующем поколении. [c.58]

Такие средние величины называют средними по совокупности . Здесь dW(p, д)—вероятность того, что наугад выбранная система попадет в бесконечно малую область Г-пространства в окрестности данной точки (р, д). Строгое определение величины ( (р,д) дано ниже ( 2), но основная идея достаточно ясна. Средние значения Р можно вычислить, если будет найден общий вид функции Ц "(р, д). Для произвольных систем эта функция не известна и не единственна. Однако для макроскопических равновесных систем такую функцию распределения действительно удалось найти. Усреднение с помощью W p, д) оказалось практически возможным и это привело ко многим новым результатам. Так возникла статистическая механика. С ее помощью были развиты новые методы расчета физических свойств макроскопических систем на основе их молекулярных моделей. Статистическая термодинамика— это раздел статистической физики, посвященный термодинамическим свойствам равновесных макроскопических систем. [c.191]

На основании статистических функций распределения потерь мощности на корону могут быть найдены вероятности появления потерь того или иного уровня, а по вероятностям — и продолжительность потерь различной величины. Так, например, вероятность потерь мощности на корону, превышающих по величине 100 квт/км, составляет (рис. 7-10) около 0,03. Поскольку вероятность появления потерь плохой погоды в течение года согласно данным табл. 7-5 (продолжительность потерь плохой погоды 8 993 ч при времени измерений за 2,5 года 20 782 ч) имеет порядок 0,4, то вероятность потерь выше 100 квт/км равна приблизительно 0,12, чему соответствует продолжительность потерь такого уровня за год около 100 ч. [c.237]

Величина К в этом уравнении заменяется эквивалентными по значению функциями распределения, что позволяет существенно углубить теорию столкновений с помощью статистической термодинамики. Функция распределения представляет вероятность местонахождения данной молекулы в удельном объеме и равна сумме всех форм энергии—госту нательной, вращательной, колебательной, ядерной и электронной, которой обладает молекула. Функции распределения вычисляют обычно из спектральных данных. Если константу равновесия системы выразить через функции распределения Р, то общее выражение для константы скорости реакции будет [c.130]

Физико-химический подход основан на рассмотрении процесса на микроскопическом уровне с последующим переходом к изучению его макроскопических свойств. Для простой реакции, т. е. процесса, протекающего с преодолением одного энергетического барьера, задача расчета коэффициента скорости реакции может быть разделена на две — динамическую задачу расчета сечения реакции и статистическую задачу нахождения функции распределения. В первом случае необходимо определить вероятность того, что в процессе соударения и обмена энергией взаимодействующие частицы (молекулы, атомы, радикалы, ионы и т. д.) изменяют свою химическую индивидуальность. Во втором случае нужно найти, как меняется во времени распределение частиц по различным энергетическим состояниям, и рассчитать макроскопический коэффициент скорости химической реакции в зависимости от этого распределения. [c.48]

Н для конкретных процессов переноса, можно, используя формулы (1.146) — (1.148), определить наиболее вероятные статистические функции распределения для соответствующих систем с флуктуациями. Одним из ограничений рассматриваемого подхода является предположение о статистической независимости отдельных элементов ансамбля. [c.45]

Если искать аналогии и связи между статистическим выражением для /с и, например, выражением для коэффициента скорости бимолекулярной реакции даваемое теорией активированного комплекса (2.66), то необходимо еще раз подчеркнуть, что при выводе (2.98) предполагалось существование только одного узкого места ( горла ) на перевале, соединяющего исходные и конечные продукты. Статистический подход требует расчета числа незапрещенных переходов по этому горлу в зависимости от величины энергии Е, причем все переходы имеют равную вероятность. Вероятность движения в ту или иную сторону также одинакова и равна 1/2. В этом случае умножение сечения реакции на скорость движения комплекса в предположении равновесной функции распределения приводит к тем же зависимостям, какие дает теория переходного состояния, но с коэффициентом перевала, равным 1/2. [c.90]

На рис. Д.1.12 построена статистическая функция распределения одной из исследуемых характеристик фильтра. По этим результатам можно судить, находятся ли с заданной вероятностью значения исследуемых величин в допустимых по [c.239]

Эти гипотезы содержат ответ на вопрос, какие величины могут влиять на динамику инерционного интервала. Говоря о статистических свойствах, мы в первую очередь имеем в виду распределение энергии между движениями различного масштаба, хотя, конечно же, помним, что поле скорости - это поле случайной величины и чтобы описать его, нужно знать функцию распределения вероятности, либо, что то же самое, совокупность всех статистических моментов этой величины. [c.13]

Надо надеяться, что в ближайшие десятилетия измеряемыми величинами станут функции распределения, которые являются основными характеристиками эволюции статистического ансамбля, в котором наряду с другими каналами физико-химических процессов существует и химический канал. Определяющей величиной является функция распределения отдельной молекулы по координатам г и импульсам р (т.е. вероятность того, что молекула, взятая из всего ансамбля, находится в состоянии со значениями координат и импульсов, расположенными между г и г -н с1г, р и р + с1р), равная f( , р) / г У р. Это распределение задано в шестимерном пространстве, которое часто называется -пространством. [c.41]

Наибольший интерес на современном этапе представляют работы другого теоретического направления , в которых пытаются рассчитать термодинамические и кинетические свойства растворов, исходя из концепции их ионномолекулярной структуры, с использованием общего статистического аппарата Гиббса и метода коррелятивных функций Боголюбова. При статистическом подходе рассматриваются функции распределения вероятностей положений комплексов из одной, двух, трех и т. д. частиц в растворе. Далее для совокупности этих функций составляется система интегро-дифференциальных уравнений, решение которой иногда удается последовательно осуществить применением методов асимптотических разложений по степеням специально подобранного малого параметра. Потенциальная энергия системы взаимодействующих частиц может быть представлена в виде суммы энергий всех парных взаимодействий. Поэтому в данном случае особую роль играет бинарная функция распределения. [c.48]

В разделе 2.7.2. приведены некоторые из встроенных функций для расчета статистических функций распределения и функций плотности вероятности. Из них дискретные распределения представлены биномиальным распределением и распределением Пуассона непрерывные распределения — равномерным распределени-258 [c.258]

Система (И) содержит Ь X N уравнений, Ь X N неизвестных величин и 8 неизвестных параметров К . Таким образов , эта система педоопределена и без дополнительных условий единственное решение ее невозможно. Предположение о том, что А является случайной величиной, позволяет решить систему (11) в статистическом смысле. Такое решение выбирается из естественных соображений, чтобы константы К ,.. ., давали наилучшее в каком-то смысле описание экспериментально измеренных величин. В качестве критерия наилучшего описания обычно выбирается оптимум некоторой функции Ф (Д " ) в пространстве переменных К ,.. ., Кд. Вопрос о выборе критерия является одним из важнейших при математической интерпретации измерений. Он связан со статистической гипотезой о законе распределения случайной величины Д . При формулировании указанного критерия наиболее последовательным представляется следующий путь высказывается гипотеза о функциях распределения случайных величин бХ и бУ , на основе этих функций строится функция плотности вероятности случайной величины Д( и далее вырабатывается критерий согласия между расчетом и эксперилгентом — требование экстремума Ф(Д ). В общем случае, однако, этот подход трудно реализовать. При отсутствии информации о взаимной корреляции величин бХ и бУ невозможно построить функцию распределения для Д(. Даже если такая функция построена, она может оказаться настолько сложной, что сконструировать с ее помощью критерий согласия между расчетом и экспериментом окажется невозможным. Наконец, нахождение экстре-лгума полученной (например, в соответствии с принципом максимального правдоподобия) функции Ф(Д ) может представлять практически неразрешимую задачу. [c.55]

Распределение структурных амплитуд и тройных структурных произведений в центросимметричных структурах, Каждый кристалл со структурой средней сложности дает несколько тысяч отражений. Это позволяет ставить вопрос о статистическом распределении структурных амплитуд, т. е. искать их функцию распределения P(F)dF — относительное (вероятное) число отражений, лежаш,их в разных интервалах от F до f-4-df. Аналогичным образом должна существовать и функция распределения Р(Хн,Н )АХн,н- по значениям Хн, и-- [c.128]

Оценки, построенные на гауссовских статистических моделях распределения состава компонентов по термодинамическим функциям, позволяют сделать вывод о достаточно высокой вероятности спонтанной самоорганизации, которая, при учете статистических связей, возникает как вполне закономерный процесс. [c.19]

В статистической физике наряду с термином плотность распределения вероятностей для функции / (л) широко используется термин функция распределения . Следует, однако, иметь в виду, что в теории вероятностей под функ- [c.12]

Для прохождения реакции необходимо, чтобы реагенты сближались, а их энергия (энергия активации) при этом была достаточно высока. Обычно энергия активации возникает в результате соударения молекул вследствие тепловых движений. Тогда доля реагентов, достигших энергии активации, будет пропорциональна вероятности существования активированного состояния. Скорость реакции зависит от того, насколько часто молекулы сталкиваются, какие их части оказываются более сближенными, а также от того, как энергия возбуждения распределяется внутри молекул и в образовавшемся комплексе реагентов переходного состояния. Поскольку реакция проходит в массе частиц, все эти характеристики оцениваются методами статистической физики. Считается, что реакция протекает в условиях термодинамического-равновесия, так что можно пользоваться функцией распределения для равновесного состояния. При введении ряда [c.177]

Использование диаграммы квантилей для определения параметров распределения может привести к ошибочным выводам ла счет элементов субъективизма, неизбежных при графической обработке исходных статистических данных. Так, по пласту Ди Константиновского и Туймазинского месторождений значения статистической функции распределения проницаемости на диаграмме квантилей вполне удовлетворительно укладываются около прямой (рис. 1). При этом средние значения проницаемости, полученные с помощью диаграммы квантилей, и среднеарифметические значения практически одинаковы. Однако оценка соответствия теоретического распределения М. М. Саттарова наблюдаемому статистическому распределению по критерию согласия А. Н. Колмогорова дает очень малую вероятность соответствия. В то же время гамма-распределение дает сравнительно хорошее согласие с наблюдаемым статистическим распределением. [c.62]

В последнее время интенсивно развиваются методы, основанные на идеях, заимствованных из статистической физики, которые позволяют учесть хаотичный характер расположения частиц. Начало использованию статистических методов в механике суспензий было положено Бюр-герсом [96]. Далее методы статистического осреднения были развиты в работах Тэма [113] и Бэтчелора [114-116]. На наш взгляд, наиболее законченную фюрму эти методы приобрели в работах Буевича с сотрудниками [ 96, 117-119] и Хинча [120]. Главная идея, лежащая в основе указанных методов, состоит в том, что законы сохранения и реологические соотношения, описывающие некоторое произвольное состояние системы частиц (конфигурацию расположения центров частиц), должны усредняться по ансамблю возможных состояний системы. Такой ансамбль полностью описьгаается функцией распределения P t, Сдг), которая представляет собой плотность вероятности конфигурации N частиц в ЗЖ-мерном фазовом пространстве, образованном компонентами радиус-векторов Р центров частиц jv = . При этом среднее значение локальной физической величины 0(t, r ), которая связана с точкой г дисперсной системы и определяется конфигурацией jV, дается выражением [c.69]

Одной из важнейших характеристик динамики твердой и газовой фаз псевдоол<иженного слоя является скорость движения фаз. Однако в связи с тем, что псевдоожиженный слой представляет собой статистическое образование, средняя скорость движения фаз не может служить исчерпывающей характеристикой. Более полными характеристиками являются статистические распределения по скоростям или функции плотностей вероятностей для скоростей движения фаз. Используя распределения по скоростям, можно при помощи процедуры осреднения получить средние значения любой однозначной функции скоростей движения фаз. Таким образом, знание статистических функций распределения для скоростей движения фаз — необходимое условие корректной оценки средних значений большинства кинематических и гидромеханических величин, характеризующих протекание технологических процессов в псевдоожиженном слое. [c.140]

Для оценки границ общей систематической погрешности необходимо суммировать отдельные элементарные составляющие. Простое арифметическое суммирование в этом случае неприемлемо по двум причинам вероятность того, что все составляющие погрешности одновременно примут крайние значения, весьма мала о составляющих погрешности обычно известны только их границы. Таким образом, элементарные составляющие, из которых складывается систематическая по 1ешность СИ, можно рассматривать как реализации случайных величин, и поэтому их нужно суммировать статистически, методами математической статистики. Данные методы основаны на построении композиции законов распределений погрешностей. Однако часто функции распределения элементарных составляющих неизвестны. Поэтому при поверке СИ обычно оценивают максимальное значение погрешности. Если закон распределения составляющих погрешностей неизвестен, то принимают наихудшую форму функции распределения. При этом используют следующее правило если известны только границы погрешности, распределение считают равномерным. Так, распределение систематических погрешностей термометров и манометров можно считать равномерным в пределах их границ. [c.118]

В знаменателе формулы (2.1) фактически стоит статистическая сумма Z, представляющая собой нормировку функции распределения вероятности. Если мы обозначим os0 = a и подставим в выражение (2.1) функцию U=—VfjSp P2 x), то получим соотношение [c.23]

Математические модели, включающие в себя различные статистические характеристики популяций — функции распределения, вероятности деления, связь между возрастом и размером,— развиваются достаточно интенсивно, особенно после появления работы фон Фёрстера [П, записавшего для функции распределения по возрастам в дифференциальной форме закон сохранения, аналогичный уравнению неразрывности в гидродинамике. [c.80]

Задачи классификации обычно разделяют на детерминиро-вашсыс и статистические. И основном рассматривают случаи,когда имеются только два класса, т.к. задачи с большим числом вслассов можно свести к последовательности задач с двумя классами. Выделяют один из классов А, остальные неисправности включают в класс В Далее находят правило для обоих кла ссов, когда можно выделить класс Б таким образом, чтобы в нем остался один из исходных классов. В случае детерминированной задачи классам А и В соответствуют непересекающиеся области и задача состоит в нахождении этих областей. При решении статистических задач обычно рассматривают функцию условных плотностей распределения вероятностей объектов классов А и В в пространстве выбора решений. Процессу решения с помощью классифицирующих правил должны предшествовать [c.45]

Постулат о равновесной функции распределения. Равновесная функция распределения в фазовом пространстве является одновременно и наиболее пероятной. Она осуществляется наибольшим числом способов, совместимым с заданными условиями определения ансамбля. Практическое использование этого постулата см. 3. Важнейшим общим свойством плотности вероятности в фазовом пространстве р(р, д) оказалась ее полная нечувствительность для равновесных систем к изменениям импульсов и координат отдельных молекул при движении системы по фазовой траектории. Общие свойства функции р(р, д) оказались достаточно простыми, что и позволило разработать статистический метод определения термодинамических величин для равновесных систем. Основное внимание мы уделим каноническому ансамблю Гиббса и канонической функции распределения р(р,д). Для нахождения вида функции р(р, д) необходимо использовать теорему Лиувилля, описывающую системы, подчиняющиеся уравнениям классической механики. [c.194]

Новые возможности статистической теории жидкостей были вскрыты в работах Н. Н. Боголюбова, Дж. Кирквуда, М. Борна, Г. Грина, Дж. Перкуса и др. Показано, что любую термодинамическую величину можно найти теоретически, не прибегая к вычислению статистического интеграла. Вместо него рассматривают радиальные функции распределения, выражающие вероятность конфигурации одной, двух, трех (и более) молекул жидкости или газа в объеме V. Важной особенностью этих функций является то, что с их помош.ью можно вычислить не только термодинамические величины, но и получить сведения о структуре [c.15]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология