Генеральная совокупность, статистика

Сравнение выборочного распределения и распределения генеральной совокупности. Проверку гипотез относительно параметров распределения генеральной совокупности проводили в предположении нормального распределения наблюдаемой случайной величины. Гипотезу о нормальности изучаемого распределения в л атематической статистике называют основной гипотезой. Проверку этой гипотезы по выборке проводят при помощи критериев согласия. Критерии согласия применяются для проверки гипотезы о предполагаемом виде закона распределения. Критерии согласия позволяют определить вероятность того, что при гипотетическом законе распределения наблюдающееся в рассматриваемой выборке отклонение вызывается случайными причинами, а не ошибкой в гипотезе. Если эта вероятность велика, то отклонение от гипотетического закона распределения следует признать случайным и считать, что гипотеза о предполагаемом законе распределения не опровергается. [c.58]

В химическом анализе содержание вещества в пробе устанавливают, как правило, по небольшому числу параллельных определений (п З). Для расчета погрешностей определений в этом случае пользуются методами математической статистики, разработанными для малого числа определений. Полученные результаты рассматривают как случайную (малую) выборку из некоторой гипотетической генеральной совокупности, состоящей нз всех мыслимых в данных условиях наблюдений. Соответственно различают выборочные параметры (параметры малой выборки) случайной величины, которые зависят от числа наблюдений, и параметры генеральной совокупности, не зависящие от числа наблюдений. Для практических целей можно считать, что при числе измерений /г = 20 30 значения стандартного отклонения генеральной совокупности (а)—основного параметра — и стандартного отклонения малой выборки (я) близки (я ст). [c.26]

Если рассматривают не единичное отклонение, а арифметическое среднее и , вычисленное из п отклонений генеральной совокупности, математическая статистика показывает, что доверительный интервал в Уп раз уже гр а [c.140]

В математической статистике набор из конечного (п) числа реализаций ( наблюдений ) случайной величины называется выборочной совокупностью (выборкой) объемом п . Она представляет собой малую часть из теоретически возможного неограниченного множества наблюдений. Последнее называется генеральной совокупностью . [c.420]

Выборочный параметр представляет собой случайную оценку соответствующего параметра генеральной совокупности (функции распределения) последний является константой, т. е. не случайной величиной. Оценивание параметров распределений — наиболее важная задача статистики. [c.422]

Оценивание параметров есть одна из самых важных задач статистики. Путем обработки выборки можно оценить параметры генеральной совокупности. [c.428]

К началу обработки результатов химического анализа методами математической статистики систематические погрешности должны быть выявлены и устранены или переведены в разряд случайных. При этом данные анализа — случайные величины с определенным распределением вероятности. Прежде чем рассматривать оценку случайных погрешностей, остановимся на двух понятиях генеральная совокупность — гипотетическая совокупность всех мыслимых результатов от -да до + выборочная совокупность (выборка) — реальное число (л) результатов, которое имеет исследователь. [c.42]

Как правило, корректно взятая выборка лишь случайно отличается от генеральной совокупности. Эти случайности и вероятность их появления можно описать с помощью математической статистики. Она позволяет на основании выборочных измерений делать заключения о поведении генеральной совокупности. Поэтому из конечного числа измерений можно сделать общий вывод о случайной ошибке изучаемого метода измерения и дать прогноз характера аналогичных измерений в будущем. [c.26]

Одна из основных задач аналитика при оценке случайных погрешностей химического анализа — нахождение функции распределения, которой описываются экспериментальные данные. Из математической статистики следует, что случайная величина считается заданной, если известна функция ее распределения. Эта функция может быть представлена функциональной зависимостью или графически. Данные большинства аналитических определений при наличии генеральной совокупности результатов химического анализа подчиняются закону нормального распределения (распределение Гаусса). Однако закон нормального распределения неприменим для обработки малого числа измерений выборочной совокупности (п < 20). Для обработки таких выборок в химическом анализе используют распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики ширину доверительного интервала, соответствуюш ую ему вероятность и объем выборки. Прежде чем рассматривать распределение Стьюдента и его применение для обработки данных химического анализа, остановимся на некоторых основных характеристиках выборочной совокупности. [c.269]

В химическом анализе содержание вещества в пробе устанавливают, как правило, по небольшому числу параллельных определений (и = 3-7). Для расчета погрешностей в этом случае пользуются методами современной математической статистики, разработанной для малого числа определений. Полученные результаты рассматривают как случайную (малую) выборку из некоторой гипотетической генеральной совокупности, состоящей из бесконечного числа выполненных в данных условиях наблюдений. Соответственно различают выборочные параметры (параметры малой выборки) случайной величины, которые зависят от числа наблюдений, и параметры генеральной совокупности, не зависящие от числа наблюдений. [c.67]

Расход бензина на 100 тонно-километров транспортных услуг в зависимости от его антидетонационной стойкости, выраженной октановым числом по моторному методу, представлен почти идеальной прямой (рис. 10.2). Это подтверждается и величиной коэффициента корреляции между ними (0,999, приложение 5). Необходимо обратить внимание, что небольшая статистика (всего шесть членов) тем не менее относится ко всему объему генеральной совокупности. В России выпускались и выпускаются только марки автомобильного бензина А-66, А-72, АИ-91, АИ-92, АИ-95, АИ-98. Следовательно, данные табл. 10.5 охватывают весь диапазон изменения детонационной стойкости этого топлива и в данном смысле являются абсолютно представительными. Статистические характеристики тесноты связи, точности и значимости параметров уравнения регрессии по А приведены в приложении 5. Они подтверждают наличие почти функциональной зависимости удельного расхода бензина от его октанового числа А. Уравнение регрессии [c.422]

Теперь необходимо проверить нулевую гипотезу о том, что все т генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, имеют равные дисперсии. Для этого проще всего применить критерий Хартли, который основан на вычислении статистики [c.242]

Однако при современном состоянии математической статистики приемлемое точное решение удается получить лишь в сравнительно редких случаях. Лишь в частном случае, когда выборка берется из нормальной генеральной совокупности, получены достаточно полные результаты. Именно этот случай мы и будем рассматривать в дальнейшем. [c.25]

Рассмотрим пример статистики, имеющей распределение Стьюдента. Пусть из генеральной совокупности X с нормальным законом распределения а) взята случайная выборка объемом и. Тогда статистика [c.26]

Эффективные оценки являются наилучшими оценками параметра в в смысле минимума дисперсии. Однако получение таких оценок не всегда возможно. Более широкий класс оценок, чем эффективные, составляют достаточные оценки. Достаточность связана с объемом информации, содержащимся в выборке и необходимым для принятия решения относительно параметра в генеральной совокупности. Оценка параметра в называется достаточной, если условное распределение р(хь Хг,. .., х в = с1) (где с1 — конкретное значение статистики в ) не зависит от неизвестного параметра в для всех возможных значений 0 . [c.30]

Рассмотрим теперь интервальные оценки. Все рассмотренные выше оценки были точечными, так как оценивали неизвестный параметр генеральной совокупности с помощью соответствующей статистики. [c.30]

В главе описаны основные понятия математической статистики генеральная совокупность и случайная выборка, оценки и их свойства, методы проверки статистических гипотез и построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии. Для получения оценок используется метод максимального правдоподобия, приводящий к получению состоятельных, эффективных, хотя иногда и смещенных оценок. [c.74]

По методу наименьщих квадратов можно обрабатывать любые экспериментальные данные, однако оптимальность этой процедуры доказывается только для нормального распределения. При этом можно говорить о достаточных статистиках, т. е. таких функциях от результатов наблюдений (оценках для параметров генеральной совокупности), при помощи которых извлекается вся информация об этих параметрах, содержащаяся в эксперименте. [c.127]

Методы математической статистики позволяют анализировать степень достоверности имеющихся выборок из общей генеральной совокупности, по ряду выборок получать представление об общей генеральной совокупности, прогнозировать вероятность распределения отказов всей генеральной совокупности при относительно небольшом количестве исходной информации. [c.111]

В статистике рассматривается определенное число наблюдений данного рода для того, чтобы представить выборку из генеральной совокупности данных. Свойства совокупности случайных ошибок могут описываться при помощи нормального закона ошибок, который выражается уравнением [c.581]

Если выборочное распределение статистики имеет среднюю, равную соответствующему параметру генеральной совокупности, то говорят, что статистика является истинной оценкой параметра. Выборочная дисперсия случайной выборки в среднем равна [c.586]

Вероятностный характер результатов измерений проявляется в том, что численное значение отклонения каждого из измерений от их истинного значения связано с тем, как часто появляется это отклонение. В результате многократных измерений одной и той же величины данные представляют собой непрерывный ряд значений, группирующихся около наиболее вероятного значения, называемого центром распределения. В пределе такой бесконечный ряд называют генеральной совокупностью, а закономерность вероятного распределения результатов в этом ряду —слу-чайным распределением или статистикой. [c.59]

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 5 52. Генеральная совокупность и выборка [c.296]

Оценки параметров распределения. Уже говорилось (п. 1) о том, что одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины X по данным выборки. При этом в теоретических рассуждениях считают, что генеральная совокупность бесконечна. Это делается для того, чтобы можно было переходить к пределу при п —оо, где п — объем выборки. Для оценки параметров распределения X из данных выборки составляют выражения, которые должны служить оценками неизвестных параметров. Папример, X (п. 2) является оценкой генеральной средней, [c.305]

В аналитической работе часто приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом определений. Это небольшое количество наблюденных величин можно рассматривать как случайную выборку из некоторого гипотетического бесконечного множества—генеральной совокупности, которая является математической моделью реально наблюдаемых величин. Задача свертывания информации с математической точки зрения сводится в этом случае к тому, что по выборке определяют некоторые величины (выборочную дисперсию и среднее арифметическое значение случайной величины), которые являются оценкой неизвестных параметров (соответственно дисперсии и математического ожидания) функции распределения этой генеральной совокупности. При оценке (определении) параметров генеральной совокупности по выборке, естественно, вносится известный элемент неопределенности, который можно учесть методами математической статистики. Среди экспериментаторов распространено совершенно неправильное мнение о том, что математическая статистика применима только к большому цифровому материалу. Современная математическая статистика дает возможность оценивать параметры генеральных совокупностей и устанавливать для них доверительные пределы даже по весьма малым выборкам,—в некоторых случаях всего по двум измерениям. Но при этом, естественно, что чем меньше экспериментальный материал, тем менее точно может быть произведена оценка параметров генеральной совокупности по их выборочным значениям. Таким образом, математическая статистика, с одной стороны, дает возможность компактным образом представить результаты эксперимента, а с другой стороны, позволяет количественно оценить тот элемент сомнения, который сопутствует каждому эксперименту при малом числе опытов. [c.12]

Если число измерений невелико (п 2), то для расчета точности полученного ряда прямых измерений классическая теория ошибок не применима и приходится пользоваться методами современной математической статистики, разработанной для малого числа наблюдений 1 . В таких случаях полученную систему наблюдений рассматривают как случайную выборку из некоторой гипотетической генеральной совокупности, которая представляет собой совокупность всех мыслимых наблюдений над измеряемой величиной при данных условиях эксперимента. [c.25]

Характеристики генеральной совокупности, такие как цист, называют параметрами, аналогичные характеристики конечной выборки называют статистиками (оценками параметров). [c.571]

Генеральная совокупность и выборка. Эти понятия относятся к числу важнейших в статистике. В науке чаще всего измерения производятся таким образом, что из всей интересующей нас совокупности объектов (генеральной совокупности) измеряется только лишь некоторое сравнительно небольшое число (в ы б о р-ка). Связано это либо с тем, что генеральная совокупность слишком велика — обычно теоретически она бесконечна — и измерить все объекты невозможно (или, по крайней мере, слишком дорого), либо с тем, что процесс измерения разрушает объекты и проведение измерений на всей генеральной совокупности бессмысленно она окажется полностью уничтоженной, так что выводы из эксперимента не к чему будет прилагать. [c.57]

Обратим внимание на следующее. Поскольку в каждом эксперименте мы допускаем случайную ошибку, получаемые значения параметров будут оценками истинных значений. Проведенный эксперимент можно рассматривать как выборку при этом генеральная совокупность мыслится как бесконечное число возможных опытов на данном объекте. Поэтому к данной задаче целесообразно применить аппарат математической статистики. [c.67]

Если рассматривать результаты анализа как выборку из генеральной совокупности, то, предполагая нормальное распределение погрешностей, можно с заданной вероятностью дать оценки параметров генеральной совокупности по параметрам выборки. Для этой цели используют методы статистики малых выборок. [c.159]

Заметим, что способы оценки случайных пофешностей весьма разнообразны 19, 39-42], хотя в основе большинства из них используются методы математической статистики За норматив статистического кон-фоля обычно принимают предельное значение конфолируемого показателя для выборки контрольных измерений. Определяют численное значение данного показателя на основе всех результатов рассмафиваемой выборки и в зависимости от полученной величины принимают решение о качестве химического анализа. При этом оценку среднего арифметического, стандартного отклонения генеральной совокупности и выборочного [c.163]

При выполнении серии параллельных измерений может оказаться, что один (или более) из результатов значительно отличается от остальных. Естественно, в первую очередь необходимо выяснить, следует или нет исключить такие выпадающие результаты (промахи) из рассмотрения, прежде чем выполнять все последующие операции по обработке данных (вычисление среднего и стандартного отклонения, проверка гипотез и т. д.). Как мы увидим, исключение промахов влечет за собой серьезные практические последствия, особенно если объем выборки мал (весьма распространенная ситуация). Наиболее очевидным решением может служить получение дополнительных данных (если это возможно) для увеличения объема выборки и соответственно мощности любого статистического теста. В этом случае исключение или оставление подозрительного результата в выборке мало скажется на рассчитанных величинах среднего, стандартного отклонения и т. д. Однако существуют статистические тесты, позволяющие выявить промахи. Наиболее распространенный из них — Q-me m Диксона, основанный на предположении о нормальном распределении генеральной совокупности данных. Для единичного промаха тестовая статистика вычисляется как [c.448]

Иногда в аналитической практике погрешность считают промахом, а результат исключается из генеральной совокупности или выборки при р=0,003 (Я=0,997 и ы = 3,09). Это так называемый трехсигмовый критерий уровня значимости. Чаще используют двухсигмовый критерий, тогда р = 0,046 (Р = 0,954 и ы = 2,09). Последний является болеежестким при выявлении промахов или систематических погрешностей, так как из генеральной совокупности (выборки) исключается большее число вариант, и менее жестким при оценке точности результатов различных генеральных совокупностей, так как при сравнении исключаются большие погрешности. Выбор того или иного уровня значимости позволяет переводить результаты анализа из случайных в неслучайные (т. е. вызванные неслучайной причиной) и, соответственно, погрешности этих результатов из разряда случайных в разряд промахов или систематических погрешностей. Конкретный выбор р зависит от практической цели анализа и степени важности полученного результата. С точки зрения математической статистики, строгость (надежность) полученного в лаборатории результата анализа тем выше, чем больше доверительная вероятность Р, примененная при его оценке, так как при этом в выборку включаются все более отклоняющиеся от среднего арифметического X варианты и уменьшается вероятность потерять случайные большие погрешности. [c.90]

По результатам опроса экспертов рассчитываются также коэффициент конкордации и дисперсия экспертных оценок и т. п. Но, несмотря на весь этот набор статистик, заданные значения е, V, а неправомерно интерпретировать как показатели точности и достоверности коэффициентов значимости единичных показателей качества (В ). Статистический смысл Е, V, а только в том, что они устанавливают допустимые количественные соотношения между выборочной средней экспертной оценкой и генеральной средней, характерной для генеральной совокупности экспертов (т. е. для бесконечного их числа). К точности же самих коэффициентов значимости Л, названные статистические характеристики не имеют отношения и не могут их обеспечить, как бы не ужесточались значения е и а. Они определяют лишь с вероятностью а меру расхождения е выборочной средней экспертной оценки 5, и генеральной средней. Но дело в том, что при подобном подходе нет объективных оснований истинности самой генеральной средней. Проблема оценки погрешности генеральной средней экспертной оценки уровней значимости В, относительно их истинных величин лежит в иной плоскости. Она заключается в установлении меры соответствия действительной доли изменения полезности единицы продукции при изменении ее /-ГО свойства величине В,, определенной экспертами. Поскольку эти соотношения очень сложны, то интуитивные оценки самых добросовестных и квалифицированных экспертов не в состоянии конкурировать с точностью инженерного расчета. Здесь нравомерно провести следующую параллель. Допустим, требуется определить мопшость двигателя внутреннего сгорания. Известно, что она зависит от числа цилиндров, [c.404]

Рассмотрим теперь точные распределения выборочных характеристик, т.е. законы распределения статистики Q, справедливые при любом п. Предположим, что имеется выборка объемом п из одномерной генеральной совокупности с функцией распределения Р(х), и требуется определить закон pa пpeдe Jeния статистики 2(хь Хг,..., с ). Эта задача сводится к отысканию закона распределения функции 2(- ь 2, —. х ) от и независимых случайных величин Ху, Хг,. ... Х с одной и той же функцией распределения Р(х). [c.24]

Для проверки гипотезы о среднем значении и вычисления доверительного интервала в одномерном случае обычно используется статистика, получающаяся в результате деления разности между выборочным средним значением в и гипотетическим математическим ожиданием 0 генеральной совокупности на средкеквадратическое отклонение а. Если выборка произведена из совокупности (0, ), то величина [c.41]

Суть статистических предположений (гипотез) заключается в том, что положительный или отрицательный ответ при сравнении реальной выборки с теоретической позволяет сделать заключение о характере распределения либо о той или иной закономерности изучаемой случайной величины и принять необходимые решения. Большинство задач, которые решаются математической статистикой, сводится к сравнению таких реальных выборок с некоторыми теоретическими распределениями. При этом делаются предположения о соответствии выборки генеральной совокупности, подчиняюшейся какому-либо конкретному распределению. Процесс такого сравнения носит название статистической проверки гипотез. Критерии соответствия выборочного распределения предполагаемой статистике называются критериями значимости. [c.69]

Л , О равно, соответственно, 1 1 4 и 1 3,5 5,5. В совокупности эти данные подчеркивают важную роль специфических взаимодеЧствий в нефтяных системах и указывают на возможность образования смешанных комплексов в процессах выделения и разделения ГК. На основе данных элементного и функционального анализа концентратов, выде-хяе <ых при разных дозах ТХТ, показаиа возможность расчета состава комплексов методами математической статистики (с привлечением тес-рии генеральных совокупностей). [c.34]

Для проверки согласия некоторой эмпирической функции распределения и двух исследуемых аналитических функций используем нулевую гипотезу Щ, в соответствии с которой предполагается, что данная случайная выборка является репрезентативной выборкой из генеральной совокупности, подчиняющейся выбранному или рассчитанному закону распределения F x). Применим статистики, которые в качестве меры расхождения функций распределения используют величину отклонений эмпирических обеспеченностей от теоретических или ее квадрат по всем значениям выборки. Эти критерии обеспечивают наиболее полное использование информации, заключенной в фактическом ряду гидрологических данных, по сравнению с критерием хи-квадрат [Goodness-of-fit te hniques, 1986]. [c.225]

Это ПОСТОЯННО наблюдаемое явление легко объяснить, исходя из нормального закона, согласно которому вероятность появления малых отклонения значительно больше, чем вероятность появления больших отклонений. Вероятность появления погрешностей по абсолютной величине, превышающих 2а, равна 0,05, поэтому, если мы сделаем 20 измерений, то здесь можно будет ожидать появления одного такого отклонения. Если же экспериментатор сделал всего два измерения, то естественно ожидать, что среди них таких больших отклонений не будет. Подсчет выборочных дисперсий производится простым суммированием квадратов отклонений, поэтому естественно, что ошибка, подсчитанная по малой выборке из генеральной совокупности, в большинстве случаев будет меньше, чем ошибка соответствующей ей генеральной совокупности. Если мы в выражение (4.13) подставим вместо а ее оценки, полученные по малым выборкам, то не получим нормального распределения. В силу этих обстоятельств классическая теория ошибок, основанная на нормальном распределении, неприменима для обработки малого числа измерений. Она нашла очень широкое применение в метрологии, астрономии и геодезии, где всегда выполняется большое число измерений, и ока.зывалась мало полезной при анализе вешества, где, как правило, делается небольшое число параллельных определений. Только с начала XX века стало развиваться новое направление в математической статистике, которое можно назвать статистикой малых выборок или микростатистикой. [c.79]

В терминах математической статистики можно считать, что мы имеем генеральную совокупность, состояшую из всех мыслимых анализов пробы. Эта совокупность характеризуется законом распределения, выражающим вероятность появления результатов анализа, не превосходящих некоторого заданного значения. Положение центра этого распределения наилучшим образом характеризуется генеральной средней ц, а рассеяние результатов в ней — генеральной дисперсией о . Очевидно, ц характеризует наиболее близкое к действительному значение результата анализа, а а — воспроизводимость результатов анализа. [c.158]