Интегральное уравнение Вольтерра

В общем случае (когда условие (5.45) не выполнено) в основу определения матрицы перехода t, х) может быть положен метод последовательных приближений решения интегрального уравнения Вольтерра [c.300]

Для направленного синтеза поликомпонентных олигомерных систем необходима информация об эффективных кинетических параметрах процесса. С этой целью разработан метод исследования кинетики процессов в сложных поликомпонентных системах при отсутствии исчерпывающей информации о промежуточных состояниях и составе системы [46, 5б]. В общем случае обратная кинетическая задача сводится к решению интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода [c.14]

Обратная кинетическая задача сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода [10, 15] [c.61]

При моделировании процессов в многокомпонентных системах задача определения уравнения кинетики процесса сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра [c.63]

Согласно теории интегральных уравнений Вольтерра П рода между функциями К (t) я ( ) существует связь [c.11]

Подставив сюда выражения а (t) и Ь (<), получим после преобразований интегральное уравнение Вольтерра II рода относительно д t) [c.68]

В последнее время в Казанском авиационном институте в тесном контакте с Институтом электрохимии АН СССР получены первые обнадеживающие результаты по электрическому моделированию электролитической ячейки со сферическим микроэлектродом (при произвольно приложенной ЭДС). На основе законов диффузионной кинетики, без учета тонкой структуры двойного слоя, для твердого и жидкого сферического электрода найдены нелинейные интегральные уравнения Вольтерра П рода, описывающие процессы в цепи ячейки, и соответствующая электрическая модель, состоящая из КС кабелей и стандартных блоков аналоговых машин (линейных усилителей, сумматоров, а также дифференцирующих, нелинейных и множительных устройств). [c.92]

Это интегральное уравнение Вольтерра. Ядро уравнения a t — z) называется в случае механической деформации функцией крипа (ползучести), поскольку она описывает крип — деформацию, нарастающую при постоянном напряжении -. [c.153]

Функция ф (/) представляет собой решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода [c.157]

В соотношениях (III.8) и (III.11) функция Г(/)—ядро интегрального уравнения (III. 11), а K t)—его резольвента. Меладу этими функциями существует связь, устанавливаемая теорией интегральных уравнений Вольтерры [162] [c.106]

Теперь мы располагаем временными характеристиками, необходимыми для построения переходного процесса по изображению (5 если заранее задать желаемый интервал изменения времени О<7<п0. В этом случае вместо бесконечных рядов (13) и (14) функций времени ( ) и фо(0 выражаются суммой конечного числа слагаемых и искомый переходный процесс по изображению (5) определяется как решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода [c.11]

Решение при неизвестном Nq. В этом случае должна быть задана конечная концентрация Ул2, а No надо определить расчетом. Представим систему (П1,85) — (П1,88) в виде нелинейных интегральных уравнений Вольтерра [c.217]

Уравнения (6.12) и (6.13) есть линейные интегральные уравнения Вольтерра с экспоненциальными ядрами и Линейные интегральные уравнения Вольтерра нашли в настоя- [c.63]

Переход от описания с помощью уравнения кривой ползучести к описанию линейными интегральными уравнениями Вольтерра может быть осуществлен следующим образом. Представим себе, что на линейное вязко-упругое тело действует напряжение, изменяющееся во времени, график которого представлен на рис. 1.36. В момент 1 было приложено напряжение Ас (до 5] напряжения на тело не действовали), в момент 2 — напряжение Аог и т. д. Требуется определить деформацию в момент времени t, если известно, что тело — линейное и его функция ползучести есть Ч ( ), а /(О =/о + (0 --Согласно принципу [c.67]

Выше на простейших примерах было показано, что описание деформационных свойств полимеров с помощью дифференциальных операторных соотношений совершенно эквивалентно описанию с помощью интегральных уравнений Вольтерра, разностные ядра которых представляют собой экспоненциальные функции. [c.68]

Соотношения (6.26), (6.27) можно переписать в виде интегральных уравнений Вольтерра, например [c.71]

Разрешая интегральные уравнения (6.28) относительно деформаций бг и 0, имеем интегральные уравнения Вольтерра в виде [c.72]

В 6 первой главы были затронуты вопросы феноменологического описания линейных вязко-упругих сред наследственного типа. В частности, линейные вязко-упругие свойства полностью определялись заданием, например функции ползучести I t) или функции релаксации E t) в достаточно широком интервале времени (от t = Q до i=oo). Вместо фуикций I(t) или E(t) могут быть введены другие функции, например ядра интегральных уравнений Вольтерра (см. формулы (6.20) и (6.22) гл. I). [c.164]

Описания I и II могут быть получены одно из другого с помощью формул (2.2) и (2.3), описания V и VI —с помощью формул (2.4) и (2.5). Ядро ползучести III есть производная dl i)jdt, наоборот из III податливость II может быть получена как интеграл ядра ползучести (с учетом величины мгновенной податливости). Аналогичные переходы осуществляются и между функциями IV и V. Переход от функции III к IV и обратно (а так же, как показал Гросс, и переход от II к V и обратно) осуществляется в результате решения линейного интегрального уравнения Вольтерра. [c.167]

Теория интегральных уравнений Вольтерра и методы их рещения изложены в [15—17]. Основные методы решения уравнений Вольтерра (или нахождения резольвентных ядер) использование преобразования Лапласа, метод последовательных приближений, нахождение итерированных ядер. [c.167]

Из числа способов описания линейных вязко-упругих свойств полимеров, освещенных выше в первой главе и в 2 настоящей главы, одним из наиболее универсальных является способ, основанный на применении линейных интегральных уравнений Вольтерра. [c.193]

Полученные уравнения позволяют вычислить функцию релаксации ( ), если задана функция ползучести Ч (0, и, наоборот, вычислить функцию ползучести, если известна функция релаксации. Если в уравнениях (3.52) известной будем считать всегда ту функцию, которая содержит разность переменных 1—т, то для неизвестной функции получаем интегральное уравнение Вольтерра первого рода. Приведем некоторые методы решения этих уравнений. [c.96]

ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРА [c.185]

Для решения задачи кинетики диссоциации — рекомбинации в рассматриваемом случае система (2.75) — (2.78) приводится к системе неоднородных, нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Для решения ее предлагается удобная самосогласованная матричная итерационная процедура, Эта процедура позволила произвести ряд конкретных расчетов для Нз и Вз в атмосфере инертных газов [78, 80—86] и сделать ряд интересных выводов. Например, в работе [82] показано, что более тесное расположение колебательных уровней в Вз по сравнению с Н3 приводит к увеличению вероятностей (г — Г)-обмена и как следствие этого к увеличению скоростей диссоциации и рекомбинации, а также к выводу, что положе- [c.57]

Приведем алгоритм расчета всех СЗ и СВ, аналогичный уравнению ФП при использовании интегрального уравнения Вольтерра. При этом следует иметь в виду, что релаксационная матрица Ьпт является особенной, так как [c.66]

Традиционные методы решения кинетического уравнения применяют, как правило, при расчете функций распределения, которые не слишком сильно отличаются от равновесной функции. Решение задач, характеризующихся сильным отклонением от равновесия, привело к формулировке принципиально отличного алгоритма, называемого методом деградационного спектра и сводящегося обычно к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода. Наиболее успешно этот метод применяется при анализе процессов торможения пучков быстрых частиц и фотонов, а также расчете термализации "горячих" продуктов химических и ядер-ных реакций [26 — 31]. [c.84]

Заметим, что (3-21) является системой линейных интегральных уравнений Вольтерра П-го рода (по г) к для ее решения можно, в частности, использовать метод последовательных приближений. [c.60]

Перейдем теперь к рассмотрению обратной задачи МЭП для данной РМ. Будем считать, что значения а( ) измерены в эксперименте на] различных высотах, удовлетворяющих условию (6.22), и восстановим по этим данным ФПР капилляров по радиусам. По формулам (6.14) и (6.23) о Ь) может быть легко пересчитана в эффективные радиусы г г Ь)). В результате возникает математическая задача рещения интегрального уравнения Вольтерра первого рода, которое представляет собой соотношение (6.21) относительно неизвестной функции Дг). Сложность задачи заключается в том, что аналитическая зависимость ядра этого уравнения от верхнего предела, точнее г,(г(1,)), неизвестна. Кроме того, входящая в ядро функция Гд г Ь)) должна определяться из эксперимента и, следовательно, всегда будет содержать измерительную погрешность. В таких условиях задача отыскания решения интегрального уравнения (6.21) некорректна и классические методы для ее решения неприменимы. Для нахождения ФПР на основе (6.21) необходимо использовать какой-либо регуляризованный метод, устойчивый к малым погрешностям во входных данных. [c.125]

Эти соотношения можно рассматривать как взаимообратные, поскольку одно из ннх является решением другого, являющегося интегральным уравнением Вольтерра II рода. Если проводить простейшие испытания вязкоупругих образцов при постоянных нагрузках, то принцип Больцмана можно трактовать следующим образом деформация в момент времени t, возникшая в результате действия напряжений в предыдущие моменты времени, является суммой деформаций, которые наблюдались бы в рассматриваемый момент времени t, если бы каждое из постоянных напряжений действовало независимо от других. Это означает, что если нагрузка Щ)икладывается ступенчато в моменты Sj, s ,. .., Sk, то деформацию в момент времени t можно определить по формуле [c.6]

При заданном давлении р (/) перемещение и (I) находят из загого интегрального уравнения Вольтерра II рода обычным методом итерации. Релаксация давления при достаточно быстро, созданном перемещении и (/) = (/) и стационарном поле температур А7 (/, г) = АТ г)к (/) определяется формулой [c.86]

Воспользуемся методом решения интегрального уравнения Вольтерра, предложенным Акривосом ж Шамбре [10]. СделаеИ замену переменных. [c.46]

Нами разработан метод определения элементов матрицы коэффициентов диффузии адсорбированной /г-компонентной смеси веществ при адсорбции из ограниченного объема, т. е. при условии переменных концентраций компонентов смеси (либо давлений при адсорбции газовых смесей) на границе раздела фаз. Необходимость разработки такого метода связана с простотой и более высокой точностью проведения экспериментов в данных условиях. Для реще-ния поставленной задачи исходная система дифференциальных уравнений сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Располагая экспериментально определенными значениями элементов вектора концентраций компонентов во внешнем растворе в (п—1) -й точке по координате,можно составить функционал невязок. Матрица коэффициентов диффузии адсорбированной многокомпонентной смеси веществ определяется из условия минимизации этого функционала. Данная методика реализована на примере адсорбции смеси гексанола и ге-нитроанилина из водных растворов на активном угле КАД. [c.141]

Полученное интегральное уравнение Вольтерра второго рода дает выражение для искомого переходного процесса с запаздыванием срвых. ( ) и могкет быть решено методом последовательных приближений, если за нулевое приближение принять известную функцию сро( —и считать ядром так же известную функцию ср (/—9-2— ). Однако все вычисления, связанные с построением последовательных приближений, значительно упротцаются, если учесть, что формально по (3) w(z) разлагается в ряд [c.9]

Для решения задачи кинетики диссоциации — рекомбинации в рас-сдштриваемом случае система (III. 5. 22)—(III 5. 25) приводится к системе неоднородных, нелинейных интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода. Для решения ее предлагается удобная самосогласованная матричная итерационная процедура. С помощью этой процедуры решается задача диссоциации молекулы Я , являющейся малой добавкой в Не, и обратной реакции рекомбинации Н-атомов [c.369]

Экспериментальные кривые ползучести и релаксации не подтверждают этот результат. Как бы велико ни было быстродействие рбгистрируюш,ей аппаратуры, при внезапном нагружении или деформировании по законам o= onst или E= onst скорость ползучести (или релаксации) реальных вязко-упругих материалов оказывается в первый момент настолько высокой, что при i->0 воспринимается нами как бесконечно большая. Этот экспериментально наблюдаемый факт определяет то обстоятельство, что при попытках достаточно точного описания вязко-упругих свойств с помощью интегральных уравнений Вольтерра (6.20) и (6.22) ядра II t—5) и El t—s) выбираются в виде функций, имеющих слабую (интегрируемую) особенность, так что /](0)=оо и ,(0)=оо (см., например, [118]). Подробнее об этом будет сказано в главе П1. [c.69]

На рис. 3.1 римская цифра I обозначает функцию комплексной податливости / (ю), II —функцию комплексного модуля (со), III — функцию ползучести I t), IV — функцию релаксации E t), V — функцию распределения времен упругого последействия, VI — функцию распределения времен релаксации. Буква а обозначает интегрирование по Стилыьесу, Ь — алгебраическую формулу обращения в комплексных переменных, с — преобразование Фурье, d — преобразование Лапласа, е — алгебраические уравнения, f — интегральные уравнения Вольтерра, g — интегральные преобразования. [c.165]

Отсюда понятны попытки некоторых авторов использовать для описания релаксационных свойств полимеров нелинейные интегральные уравнения Вольтерра, содержащие лишь один интеграл. Такие попытки были предприняты, в частности, Лидерманом [19], Розовским [20]. Более общее соотношение было получено Персо [21]. Оно основано на нелинейном принципе суперпозиции, обобщающем принцип Больцмана — Вольтерра. [c.170]

Автор статьи [21], цитируя оригинальную работу Больцмана, отмечает, что Больцман допускал возможность существования нелинейной зависимости наследственного типа в форме (2.15). Поэтому нелинейный принцип, определяемый зависимостью типа (2.15), назовем принципом Больцмана — Персо. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра типа (2.16) и (2.17) приведены в книге Трикоми [16], резольвенты строятся методом последовательных приближений. [c.170]

Ван Фо Фы [33, 34], рассматривая сходную задачу, полагал, что армирующие стержни распределены в сечении в узлах правильной двоякопериодической сетки. Им учитывались эффекты концентрации напряжений в связующем в зазорах между волокнами, ползучесть описывалась интегральными уравнениями Вольтерра с ядрами Работнова. [c.176]

Здесь по двойным индексам производится суммирование, уравнение записано как интегральное уравнение Вольтерра первого рода, а не в виде свертки Стильтьеса. Для слабо нелинейного тела Финдли обобщает соотношение (4.18) в соответствии с нелинейным интегральным уравнением Лидермана и записывает следующим образом [47] [c.211]

В случае одномерного уравнения ФП, заданного на конечном или бесконечном интервале, функция Грина легко определяется. Вычисляя шпуры функции Грина, можно чисто алгебраическими методами получить неравенства на СЗ краевой задачи. С ростом номера итерированных функций Грина эти неравенства стягиваются в точку, что дает возможность вычислять СЗ с любой степенью точности. В отличие от /1/ на основе интегрального уравнения Вольтерра реализуется последовательная и сходящаяся итерационная схема расчета всех СЗ и СФ краевой задачи. На метастабцльной стадии релаксации знание функции Грина достаточно для определения среднего значения любой физической величины. В тех случаях, когда задача на СЗ и СФ не имеет смысла или спектр СЗ является непрерывным, анализ проводится с помощью КФР, которые являются естественными обобщениями решений интегрального уравнения Вольтерра. Применение вычислительного аппарата демонстрируется на примерах с известными решениями, проводится сопоставление с другими имеющимися в литературе результатами. Большое внимание уделяется основам подхода, одномерному уравнению ФП. Для многомерных уравнений проблема интегрирования также тесно связана с построением гриновских функций. [c.12]

И обратной матрицы для нее не существует. Однако, если интересоваться СВ с точностью до произвольных множителей, которые всегда можно зафиксировать из условий ортонормируемости (1.93), то обратная матрица к Ьпт с вычеркнутой в ней нулевой строкой и нулевым столбцом существует и обозначается ниже через Запишем аналог интегрального уравнения Вольтерра в матричной форме [c.66]