Примеры анализа размерностей

Пример 11-4. Используя метод анализа размерностей, найти критериальное уравнение теплоотдачи при турбулентном вынужденном движении жидкости в прямой трубе круглого поперечного сечения. [c.22]

С применением метода анализа размерностей лучше всего ознакомиться на примере. [c.22]

Примеры анализа размерностей 67 [c.67]

Примеры анализа размерностей [c.65]

Примеры анализа размерностей 71 [c.71]

Примеры анализа размерностей 73 [c.73]

Примеры анализа размерностей 75 [c.75]

Примеры анализа размерностей 77 [c.77]

Примеры анализа размерностей 79 [c.79]

Примеры анализа размерностей 81 [c.81]

Примеры анализа размерностей 83 [c.83]

Примеры анализа размерностей 85 [c.85]

Примеры анализа размерностей 87 [c.87]

Примеры анализа размерностей 89 [c.89]

Одна из наших основных целей — обосновать анализ размерностей с помощью постулатов, в которых явно используется упомянутая в 58 группа подобия положительных скалярных преобразований единиц измерения. Хотя постулаты будут формулироваться абстрактно, мы будем интерпретировать их при помощи простых примеров из гидромеханики, и, быть может, самым простым из них является следующий пример. [c.120]

Из рассмотренного примера видно, что анализ размерностей и теория подобия являются частными формами обобщенного ана- [c.270]

Применение метода анализа размерностей для определения конкретного вида критериев подобия, входящих в искомое критериальное уравнение, легче всего показать на примере, в частности на приведенном выше. Для этого общую функциональную зависимость [c.30]

Рассмотрим использование метода анализа размерностей на этом примере, приняв, что размерности всех пяти величин, характеризующих процесс, выражаются через основные единицы измерения в СИ, а именно — единицы длины I (м), времени Т (сек) и массы М (кг). [c.76]

Другой подход [181], реализованный на примере анализа каталога, содержащего 6652 масс спектра, заключался в том что в качестве наиболее значимых для идентификации признаков были взяты не интенсивности отдельных пиков а попарные их комбинации вероятность появления которых составляет око ло /г Такой способ сокращения полных масс спектров позво лил уменьшить размерность масс спектров в каталоге от 352 до 46 позиций [c.114]

Необходимо отметить, что метод анализа размерностей уступает в познавательном отношении теории подобия в связи с указанными выше элементами неопределенности при установлении факторов, влияющих на ход процесса, и при выводе безразмерных комплексов, когда число неизвестных в исходной зависимости превышает пять. Тем не менее метод анализа размерностей дает полезные результаты при анализе сложных явлений. Примеры его практического использования даны в последующих главах. [c.83]

Применение метода анализа размерностей для определения конкретного вида чисел подобия, входящих в искомое уравнение подобия, легче всего показать на примере. Представим общую функциональную зависимость (1.37) в виде произведения входящих в нее величин в некоторых степенях [c.28]

Метод анализа размерностей является весьма общим, и, главное, при его использовании не требуется математическое описание процесса. Следовательно, его можно применять для анализа сложных процессов, математическое описание которых составить затруднительно. Практически он и используется применительно к такого рода процессам. Существенные недостатки метода анализа размерностей по сравнению с методом теории подобия состоят в том, что в общем случае метод анализа размерностей не дает физического смысла получаемых с его помощью безразмерных групп (в приведенном простом примере физический смысл полученных групп был нам известен заранее, как раз при использовании метода теории подобия). Второй недостаток метода анализа размерно- [c.93]

В книге Методы теории размерностей и теории подобия в механике , вышедшей в 1944 году ), автором настоящего предисловия была предпринята попытка внести некоторый порядок в рассматриваемые теории. Ряд примеров и соображений, содержащихся в этой книге, можно найти и в предлагаемой книге Биркгофа. Еще до этого в книге Бриджмена Анализ размерностей (2-е английское издание вышло в 1931 г.) ) было дано систематическое изложение теории размерности. Однако книга Бриджмена оказалась недостаточной для установления правильной точки зрения на связь между теорией размерности и теорией подобия. После ее появления неоднократно высказывалось мнение, что следствия из анализа размерностей и из теории подобия не являются эквивалентными. От этих сомнений не свободен и Биркгоф в предлагаемой книге (см. гл. IV). [c.8]

В книге в элементарной форме изложены основы теории подобия гидромеханических, тепловых, диффузионных и химических процессов и приведены примеры приложения этой теории, а также приложения метода анализа размерностей при изучении соответствующих процессов в химической и нефтехимической технологии. Рассмотрено применение теории при моделировании химико-технологических процессов. Практическое приложение теории показано на числовых примерах. [c.2]

Прежде чем доказать П-теорему, мы приведем еще один важный пример применения анализа размерностей. [c.127]

Использование метода анализа размерностей для определения влияния эксцентрицитета между двумя трубами на теплопередачу и потерю давления при принудительном потоке и свободной конвекции можно проследить на примере [27]. Критерий Нуссельта в диапазоне критерия Рейнольдса 30 Ре 1500 для кольцевых щелей с эксцентрицитетом труб определяется по формуле [c.32]

Следует иметь в виду некоторую ограниченность метода анализа размерностей. Теория размерностей не предусматривает определения условий однозначности, что в отдельных случаях может привести к ошибкам . Однако при правильном выборе величин, входящих в исходную функциональную зависимость типа у = I [х , 2, лгз,. .., х ), можно, не имея полного математического описания процесса, получить обобщенную зависимость в форме уравнения связи между п —т) критериями. Брайнес [8 приводит многочисленные примеры применения теории размерностей к исследованиям и расчетам процессов и аппаратов химической технологии. Необходимо учитывать, что при большом числе параметров трудно выбрать удобные (имеющие определенный физический смысл) безразмерные комплексы, В таких случаях для вывода критериев следует анализировать математическое описание процесса или явления с помощью методов теории подобия. [c.34]

Сущность метода сводится к составлению и решению уравнений размерностей. Пример применения метода анализа размерностей будет приведен ниже (см. стр. 50) . [c.42]

Использование метода анализа размерностей, изложенного в разделе 3.7, позволяет установить, от каких факторов зависит коэффициент трения /, определяемый формулой (6.2). В качестве конкретного примера разберем течение жидкости в гладкой горизонтальной трубе длиной L (см. рис. 6-1, стр. 178). Будем предполагать течение установившимся , а плотность р и вязкость ц, жидкости постоянными. Кроме того, примем, что в некотором сечении трубы z = О известны распределение скоростей и давление в центре того же сечения (т. е. в точке г = О, 2 = 0), равное р . Совершенно очевидно, что на распределение скоростей в нижней по отношению к сечению z = О части потока (при z > 0) существенное влияние оказывает картина течения при z < 0. Если часть трубы, соответствующая отрицательным значениям координаты z, достаточно длинна, профиль скоростей в сечении z = О является полностью установившимся и скорость не зависит от z при z > 0. Если же длина участка трубы с отрицательными значениями координаты z очень мала или равна нулю, то при Z >0 скорость есть функция z. [c.174]

Приведем еще один, скорее забавный, пример применения анализа размерностей докажем с его помощью теорему Пифагора (см. также книгу А. Б. Мигдала [66]). Площадь прямоугольного треугольника 5 определяется величиной его гипотенузы с и, для определенности, меньшим из острых углов ф 5 = /(с, ф). Очевидно, анализ размерностей дает 5 = 2ф(ф). Высота, перпендикулярная гипотенузе (рис. 1.5), разбивает основной треугольник на два подобных ему прямоугольных треугольника, гипотенузами которых являются уже соответственно катеты а и Ь основного треугольника. Стало быть, их площади равны 51 = а Ф(ф), 5г = = 6 Ф(ф), где Ф(ф) —то же, что и в случае основного треугольника. Сумма площадей 51 и равна площади основного треугольника 5 5 = 51 + 52, откуда Ф (ф)+ 2ф (ф) так что == а + Ь у что и требовалось доказать. Видно, что теорема существенно опирается на евклидовость геометрии в римановой гео- [c.32]

В разделе 13.2 была установлена общая форма функционально зависимости числа Нуссельта для систем с вынужденной конвекцией. Чтобы найти эту зависимость, был использован метод анализа размерностей системы дифференциальных уравнений сохранения, описывающих конвективный теплоперенос, и граничных условий к указанным уравнениям. Аналогичный подход может быть применен и к случаю теплопереноса в условиях естественной конвекции с той лишь разницей, что уравнение движения для систем с естественной конвекцией нужно записывать с учетом изменения плотности в зависимости от температуры. Изменения плотности приводят к возникновению подъемной силы (см. разделы 10.3, 10.6 и пример 10-4). Повторяя ход рассуждений (с соответствующими математическими выкладками), с помощью которого выше получено соотношение (13.28), можно показать, что при естественно-конвективном теплообмене между жидкостью (или газом) неограниченного объема и погруженным в него твердым телом справедлива зависимость [c.388]

Приведенный пример ясно показывает, что анализ размерностей лишь подготовляет выводы для эксперимента, который эти выводы подтверждает и уточняет. Иногда анализ размерностей приводит к двояким выводам, и тогда только эксперимент решает, которое решение правильно. [c.139]

Пример, почерпнутый из работы этого автора, показывает, какие упрощения придает эксперименту сведение функции к безразмерным критериям подобия. Намереваясь, например, установить зависимость коэффициента а от семи переменных й, р, т, М, % Ср и ограничиваясь всего лишь пятью точками в каждой серии измерений, мы должны были бы пользоваться пятью трубами разных диаметров и в каждой провести пятикратное определение значения а, изменяя одну из переменных. Это повлекло бы обязательное выполнение 5 = 78 125 опытов. После сведения функции на основе анализа размерностей к трем критериям подобия можно исследовать только их взаимную зависимость, для чего достаточно провести лишь 5 = 25 опытов. Очевидно, при их выполнении можно добиться большей точности. [c.140]

Пример. Опытные измерения пленочного стекания воды по плоской вертикальной стенке при температуре 20 показали, что при течении / =3,3 кГ/сек-м толщина пленки жидкости равняется 6=1,0 мм. Пользуясь методами анализа размерностей, необходимо определить, в каких условиях 60-процентная серная кислота будет стекать пленкой толщиной 1,5 мм. В таблице ниже приведены данные о вязкости х в сантипуазах и плотности р в г/сл для 60-процентной серной кислоты в зависимости от температуры. [c.94]

Книга содержит современное изложение анализа размерностей и теории подобия с многочисленными примерами разной степени сложности. [c.2]

Во многих других случаях соображений анализа размерности также оказывается вполне достаточно, чтобы обосновать автомодельность решения исходя из формулировки математической задачи и получить выражения для масштабов и автомодельных переменных. Известная книга Л. И. Седова [97] содержит много примеров, иллюстрирующих применение анализа размерностей для установления автомодельности и определения автомодельных переменных. В ней содержится также изложение применимого в таких случаях общего подхода. Дальше мы увидим, однако, что решения, для установления автомодельности которых достаточно анализа размерности, среди прочих автомодельных решений относительно редки как правило, дело обстоит сложнее. [c.15]

Рассмотренные примеры показывают, что тривиальные, казалось бы, соображения анализа размерностей могут дать вполне содержательные результаты. Важнейшим элементом при этом [c.33]

Приведенные примеры показывают, что соображения размерности играют определяющую роль в установлении правил моделирования и критериев подобия. При моделировании, как и при любом применении анализа размерностей, в тех случаях, когда отсутствует точная математическая формулировка задачи, самое главное — правильно выбрать систему определяющих параметров. Нередко (см., в частности, последний пример) поступают так берут в качестве определяющих параметров все величины, которые могут, по мнению исследователя, оказывать влияние на явление, хотя бы гипотетически. В качестве определяющих параметров с независимыми размерностями берут заведомо существенные определяющие параметры, а при выборе остальных смотрят на численное значение соответствующих параметров подобия Пг. Если эти значения очень малы или очень велики, соответствующий размерный параметр считается несущественным и выбрасывается. [c.39]

Анализ размерностей, основанный на методе индексов Рэлея, при изучении потоков взвесей использовался рядом авторов [8 — 12]. Однако Вогт и Уайт [13] применяли другой подход, базирующийся преимущественно на физических представлениях. За Исключением работ [8, 9], в этих исследованиях рассматривается только коэффициент трения при течении в трубах. Показано, что помимо геометрических параметров, таких, как наклон трубы к горизонтали, на коэффициент трения влияют многие переменные, на-1 пример [c.146]

Необходимость более аккуратного анализа, чем обычный анализ размерностей, видна и на примере безразмерного параметра N= уТГр /р. Этот параметр, как недавно ) было [c.157]

Было отм.чено, что анализ размерностей дает правильное решение, если учтены все величины, суш ественно влияющие на изучаемое япление. Несоблюдение этого требования приводит к выпадению соответствующего критерия. Примером может служить ошибка английского физика Реллея, который, рассматривая задачу о теплообмене при турбулентном режиме между жидким тьплоносптелем и стенкой, не учел влияния вязкости потока. [c.110]

В главе 9 уже было продемонстрировано, как безразмерные группы, фигурировавшие в только что рассмотренных примерах, появляются при приведении к безразмерному виду дифференциальных уравнений, описывающих конкретные системы. Выполненный выше анализ размерностей дреследовал единственную цель — показать, что те же самые безразмерные группы получаются и в рамках общих дифференциальных уравнений в частных производных, применимых как к изотермическим, так и к неизотермическим процессам. Анализ размерностей использован в последующих главах, посвященных корреляциям для коэффициентов теплопередачи. [c.317]

Продольно-обдуваемая дуга. Обобщениям вольт-амперных характеристик электрических дуг с продолыю-вихревым обдувом посвящено наибольшее количество работ. В частности, первая попытка применения теории подобия к электрической дуге [22] относилась именно к этому случаю. Исходя из назначения плазмотрона как подогревателя газа, авторы методом анализа размерностей получили критерий и обобщили вольт-амперные характеристики подогревателей с вихревой воздушной и азотной стабилизацией в видел[) =/(лн ). Пример обобщения данных из работы [23] приведен на рис. 4. Как видно, обобщение получилось достаточно хорошим. [c.173]

Показательный пример. В 1909—1911 гг. физико-химики Э. Бозе, Д. Рауэрт и М. Бозе [115, 114] опубликовали серию экспериментальных исследований (рис. 1.1). Ими измерялось время т заполнения сосуда данного объема Q и перепад давления Р на концах трубки при стационарном протекании через трубку различных жидкостей воды, хлороформа, бромоформа, ртути, этилового спирта и др. Результаты опытов были, как полагается, представлены в виде серии зависимостей перепада давления от времени заполнения для разных жидкостей, подобных представленным на рис. 1.2. Эти работы были замечены Карманом [147, 148], который подверг результаты обработке с точки зрения, если пользоваться современной терминологией, анализа размерностей. [c.30]

Представление об общем методе применения анализа размерностей к получению точных частных решений можно получить на примере явлений, возникающих на начальных стадиях ядерного взрыва в газе — тепловой и газодинамической М.ы изложим здесь решения соответствующих предельно схематизированных задач, хотя эти решения хорошо известны и не раз излагались, и сделаем это по двум причинам. Во-первых, на этих решениях хорошо демонстрируется применение метода анализа размерности. Во-вторых, и это наиболее важно, мы явно укажем здесь на некоторые, обычно не оговариваемые, а на самом деле очень существенные предположения, которые делаются при формулировке соответствующих задач. Эти предположения справедливы для конкретных задач, рассматриваемых в настоящей главе. Однако, как мы увидим дальше, небольшое усложнение рассматриваемых задач, казалось бы, на первый взгляд, оставляющее соображения анализа размерности неизменными, сделает эти предположения неприме- [c.40]

Широко распространено представление о том, что получение автомодельных решений всегда связано с анализом размерностей, т. е. с подобием, так что применением анализа размерностей из постановки вырожденной задачи, точным решением которой является та или иная автомодельность, всегда может быть получена форма. решения, т. е. выражение автомодельных переменных. После получения точного решения нетрудно найти класс невырожденных задач, для которого рассматриваемое автомодельное решение является промежуточной асимптотикой. Для некоторых решений дело действительно обстоит так рассмотренные в настоящей главе примеры это продемонстрировали и показали общий подход, применимый в подобных случаях. Существенно, однако, что случаи, когда построение автомодельных решений исчерпывается анализом размерности, составляют, как говорят иногда, лишь видимую часть айсберга. Как правило, дело обстоит иначе существуют обширные классы задач, для которых хотя и имеет место автомодельная промежуточная асимптотика, но эту асимптотику нельзя получить из исходной постановки задачи путем применения соображений размерностей. Форма автомодельных переменных определяется в этих случаях из решения нелинейных задач на собственные значения и иногда даже из некоторых дополнительных соображений. Подчеркнем еще раз, что речь идет не об исключениях, а скорее, о правиле множество автомодельных решений, не получаемых из соображений подобия, гораздо богаче множества автомодельных решений, форма которых вполне определяется соображениями подобия. Последующее рассмотрение покажет, в чем здесь дело. Слегка, казалось бы, модифицировав [c.52]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология