Уравнение сохранения в координатах

Возвращаясь к уравнению сохранения количества движения, рассмотрим снова контрольный объем . Заметим прежде всего, что количество движения — вектор, определяемый тремя независимыми координатами, и, следовательно, уравнение движения векторное уравнение, имеющее три компоненты. Количество движения может передаваться через поверхность, ограничивающую контрольный объем, двумя способами конвекцией или проводимостью. В первом случае рассматривается объем жидкости, протекающей через поверхность, и поток количества движения (т. е. количество движения на единицу поверхности в единицу времени), равный рос. Другой 8 механизм, с помощью которого количество движения переносится из некоторого элемента объема или вносится в него, связан с межмолекулярными силами, действующими с обеих сторон, ограничивающей элемент поверхности 5. [c.100]

При переходе к оптимизации режимов работы химико-технологических объектов и, тем более, к оптимальному конструированию аппаратов требуется знание их характеристик в широком диапазоне изменения технологических координат. Для этого составляют математическое описание, в уравнения которого входят конструктивные и режимные параметры объекта, характеристики перерабатываемых веществ. Методы составления таких уравнений, называемые ниже аналитическими, заключаются в теоретическом анализе физико-химических явлений, происходящих в объекте, и составлении дифференциальных или конечных уравнений сохранения вещества, энергии и импульса. Тем самым в математическом описании учитываются особенности и скорости превращения веществ, переноса тепла и массы, распределения температуры и давления и т. п. [c.7]

Уравнения (2.2.1) представляют собой, соответственно, уравнения сохранения массы, энергии, количества движения и диффузии. Уравнение сохранения количества движения должно -быть применено для всех пространственных координат. [c.29]

Первый способ упрощения состоит в сокращении числа пространственных координат в полной системе уравнений сохранения с использо- [c.30]

Третий способ упрощения состоит в том, что распределенные по пространственным координатам параметры, характеризующие состояние каждого из звеньев, усредняются, а уравнения сохранения заменяются уравнениями материального и энергетического балансов для всего аппарата. Получаемая при этом нелинейная система дифференциальных уравнений, характеризующая" динамику аппарата, часто может быть линеаризована и решена численными методами. Такой подход позволяет довольно легко реализовать функциональный блок 3 (см. рис. 1.2). [c.37]

По-видимому, Хинце [8] был первым, кто на основе предыдущих исследований данной проблемы [9] сформулировал основные уравнения гидромеханики для континуального представления частиц в жидкости. Для ясности и краткости изложения удобно привести выведенные уравнения сохранения количества движения и массы в записи, использующей такие же обозначения тензора в декартовых координатах, как и в работе [8]. Повторение индексов означает суммирование по всем трем координатам. Например [10], уравнение неразрывности для стационарного потока однофазной несжимаемой жидкости записывается в виде [c.169]

Ф и г. 7.6. Система координат для уравнения сохранения энергии теплового излучения вдоль некоторого направления. [c.246]

Уравнение сохранения для непрерывного течения К-то вещества выведем, воспользовавшись понятием контрольного объема т (), ограниченного контрольной поверхностью (1) и целиком лежащего внутри области, занимаемой сплошной средой (здесь символом 1 обозначено время). В настоящем Дополнении мы будем применять тензорные обозначения ). Пусть 1 = 1, 2, 3) — декартовы координаты точки пространства. Теорема о дивергенции произвольной скалярной характеризующей К-й кон- [c.522]

Это соотношение обычно называют уравнением непрерывности, чем подчеркивается то обстоятельство, что оно имеет смысл лишь в случае, когда плотность р и скорость и, вместе со своими производными — непрерывные функции координат и времени. Такими же свойствами должны обладать и функции, входящие в уравнения (7,4), которые поэтому тоже можно назвать уравнениями непрерывности. Отсюда видно, что наименование уравнения непрерывности в применении к (7,5) не выражает главного присущего только ему физического содержания. По смыслу вывода его лучше называть уравнением сохранения массы. [c.38]

Феноменологические соотношения, определенные в подразделе 1.1, играют важную роль в термодинамике необратимых процессов. Общую основу макроскопического описания необратимых процессов составляет неравновесная термодинамика, которая строится как теория сплошной среды и параметры которой, в отличие от равновесной термодинамики, являются функциями пространственных координат и времени. Центральное место в неравновесной термодинамике играет уравнение баланса энтропии [10]. Это уравнение выражает тот факт, что энтропия некоторого элемента объема сплошной среды изменяется со временем за счет потока энтропии в рассматриваемый объем извне и за счет положительного источника энтропии, обусловленного необходимыми процессами внутри объема. При обратимых процессах источники энтропии отсутствуют. В этом состоит локальная формулировка второго закона термодинамики. Поэтому основной задачей в теории необратимых процессов является получение выражения для источника энтропии. Для этого необходимо использовать законы сохранения массы, количества движения и энергии в дифференциальной форме, полученные в разделе 1. В уравнения сохранения входят потоки диффузии, тепла и тензор напряжений, которые характеризуют перенос массы, энергии и импульса. Важную роль играет термодинамическое уравнение Гиббса (5.49), которое связывает скорость изменения энтропии со скоростями изменения энергии и состава смеси. Оказывается, что выражение для интенсивности источника энтропии представляет собой сумму членов, каждый из которых является произведением потока, характеризующего необратимый процесс, и величины, называемой термодинамической силой. Термодинамическая сила связана с неоднородностью системы или с отклонением параметра от его равновесного значения. Потоки, в свою очередь, в первом приближении линейно зависят от термодинамических сил в соответствии с феноменологическими соотношениями. Эти линейные законы отражают зависимость потока от всех термодинамических сил, т. е. учитывают перекрестные эффекты. Так, поток вещества зависит не только от градиента концентрации, но и от градиентов давления, температуры, электрического потенциала и т. д. Неравновесная термодинамика ограничивается в основном изучением линейных феноменологических соотношений. [c.83]

Уравнение неразрывности при учете допущения (3) сохраняет все остальные члены, в уравнении сохранения состава смеси пренебрегают только диффузией, а уравнение сохранения энергии газовой фазы упрощено, как показано выше. В уравнения жидкой фазы входят все члены в системе координат (г, 0,2 ), как показано в вектор-тензорных уравнениях, за исключением нестационарных составляющих. Системы уравнений для газа и жидкости связываются между собой через обмен массой и энергией между фазами. Для коэффициента лобового сопротивления приняты выражения [c.155]

В соответствии с уравнениями (3.3.5.1)-(3.3.5.3) (см. там же пример 3.3.5.1) для случая, когда координата х направлена вверх при рг Рь уравнения установившегося движения и уравнения сохранения массы для газовой (индекс 1) и твердой (индекс 2) фаз примут вид [c.479]

Уравнение сохранения массы (уравнение неразрывности) в прямоугольной системе координат х, у, z) [c.72]

Уравнение сохранения массы в цилиндрической системе координат (г, 0, Z) [c.72]

Результаты разложения подставляются в уравнение сохранения (7), после чего выходящие потоки взаимно уничтожаются с первыми, основными по величине слагаемыми выходящих потоков. В правой части остаются лишь вторые слагаемые выходящих потоков, т. е. превышения выходящих потоков над входящими. Кроме того, в оставшихся слагаемых содержатся множители йх, йу и йг, соответствующие шагам разложения функций в ряд Тейлора. Эти множители дополняют выражения для площадей граней элементарного объема, перпендикулярных координате разложения, до трех одинаковых сомножителей ёх (1у йг, представляющих рассматриваемый объем йи, величина которого сокращается в левой и правой частях уравнения (7) [c.21]

Уравнения сохранения количества движения в сферических координатах имеют следующий вид [c.86]

В лабораторной системе координат уравнения сохранения импульса и энергии имеют вид [c.178]

Вычисления проводятся следующим образом. Запишем вновь уравнения сохранения (4.9) (в лабораторной системе координат) [c.188]

При рассмотрении уравнений сохранения используются два различных способа представления гидродинамических переменных. Во-первых, их можно вычислять в фиксированной системе координат, где скорость равна Такая формулировка приводит к так называемой нормальной консервативной форме уравнений сохранения. Переменные р, и, д — это абсолютные макроскопические переменные. Их определения через функцию и уравнения, которым они удовлетворяют, представлены следующими равенствами [c.218]

Пусть в породе с увеличением содержания компонента А в результате протекания ряда реакций типа (6.11) непрерывно уменьшается температура плавления. Обозначим через минимальную концентрацию компонента А в породе, начиная с которой происходит конвективное плавление породы под действием потока летучих с температурой То. Поскольку считается, что лимитирующей стадией процесса является реакция (6.11), то передняя граница фронта плавления /](/) совпадает с координатой точки 7тт концентрационного фронта компонента А в системе. Компонент А флюидной фазы в таком случае взаимодействует с твердыми породами при а при х<С1х 1) —с магматическим расплавом. При анализе динамики процесса необходимо рассмотреть уравнения сохранения массы компонента Лф в магме и породе, которые запишем в пренебрежении диффузией (см. главу 2) в форме [c.103]

Здесь для удобства записи в качестве второго уравнения записана сумма уравнений сохранения импульсов для жидкой и твердой фаз. Кроме того, для замыкания системы формально введено уравнение состояния для твердой фазы (последнее уравнение в системе (1.91)), вид которого пока не конкретизируется. В результате имеем (в проекциях на оси пространственных координат) замкнутую систему из девяти уравнений относительно девяти неизвестных функций (три составляющих скорости жидкой фазы V, три составляющих скорости твердой фазы давления р и р2 для жидкой и твердой фаз, концентрация твердой фазы р).. [c.58]

Чтобы найти толщину диффузионного пограничного слоя бс для разбавленного раствора с концентрацией С, следует записать уравнение сохранения вещества, которое в системе координат, неподвижной относительно поверхности диска, имеет в стационарном состоянии вид [c.517]

Уравнения сохранения в криволинейных координатах [c.85]

Для случая аксиального течения несжимаемой жидкости в круглой трубе в разделе 2.3 составляли баланс количества движения и затем решали его, чтобы найти распределение скорости. Теперь давайте посмотрим, как тот же самый результат может быть получен путем упрощения уравнений сохранения. Ясно, что для описываемой задачи самыми подходящими являются цилиндрические координаты. Вновь рассмотрим длинную трубу и положим vq и V, равными нулю. Оставшийся компонент скорости в результате цилиндрической симметрии не зависит от 0. Тогда уравнение движения в проекции на ось Z при постоянных р и ц (П1-е) можно записать следующим образом [c.92]

Решение. Проще всего такую систему описать в цилиндрических координатах. Поэтому используем уравнения сохранения [(П1-г)—(1П-е)] в этой координатной системе. В стационарном состоянии, как мы знаем, = Ул = О и Уд является функцией только г. Известно также, что давление зависит от г из-за влияния центробежной силы и от 2 вследствие влияния силы тяжести. [c.95]

Компоненты потока знергии д в разных системах координат приведены в табл. 10-1, а упомянутые основные уравнения сохранения в тех же координатах даны ниже. [c.293]

В табл. 10-3 уравнения сохранения записаны через потоки т и в двух системах координат, связанных соответственно с неподвижным наблюдателем, который движется вместе с потоком. Все формы записи уравнения сохранения энергии в точности эквивалентны уравнению (10.9), за исключением уравнений (г) и (о). [c.296]

Прежде чем переходить к анализу этих примеров, покажем, как из уравнений сохранения может быть получено дифференциальное уравнение (9.152), описывающее теплоперенос при ламинарной вынужденной конвекции в длинной круглой трубе. В этих условиях 1 г = ив = до — 0. Если предположить, что все физические свойства среды постоянны и вязкая диссипация энергии отсутствует, уравнения сохранения, записанные в цилиндрической системе координат, будут [c.300]

Безразмерную температуру и безразмерные координаты находят гочно так же, как в случае систем с вынужденной конвекцией. Уравнения сохранения, записанные в безразмерных переменных, будут [c.315]

Уравнения сохранения для рассматриваемой системы удобнее всего записывать через потоки количества движения, энергии и массы относительно неподвижных координат. Применяя уже выведенные ранее формулы (17.10), (17.31) и (17.32) и предполагая, что величины р, Т ж Ха зависят только от координаты у, находим уравнение движения [c.592]

Удобно выбрать координатную систему, в которой фронт горения покоится, горючая смесь поступает из X = — оо, а равновесный состав продуктов реакции достигается при а = +0О. При х = +°° характеристики течения становятся постоянными. Схематическая картина горения распыленного топлива в этой системе координат показана на рис. 6. Здесь будет рассматриваться только случай гетерогенного горения, поэтому области испарения и гомогенного горения будут отсутствовать, и исходная смесь не будет содержать горючего/ в газовой фазе. Ниже потребуются все выведенные в 5 уравнения сохранения будет также предполагаться (вполне оправданно), что справедливы все упрощающие предположения, сформулированные в 5. Так как начальная относительная скорость капель и газа равна нулю, а градиенты скорости малы, принимается, что все канли движутся с одной и той же скоростью, равной скорости газа (Ь = и). Оценки ускорения капли, полученные нри помощи уравнения (71), показывают, что в рассматриваемой задаче это допол- [c.366]

Более высокие уровни усечения уравнений известны под названием методов локальной неавтомодельности. Они также сводятся к получению обыкновенных дифференциальных уравнений и локально-независимых решений. Но в уравнениях сохранения остаются неавтомодельные члены. В конце концов в выведенных дополнительных уравнениях выборочным образом отбрасываются различные члены, что необходимо для упрощения этих уравнений. В уравнения входит переменная аналогичная автомодельной переменной г] и зависящая от продольной координаты х. Переменная рассматривается как параметр численного решения. Точность метода улучшается с повышением уровня усечения и поэтому возникает метод оценки точности. В статьях [104, 102] обсуждается использование этого метода в задачах о естественной конвекции. Напомним полученные этим методом результаты Чжэня и Эйчхорна [9], описанные в разд. 3.11. Более подробно этот метод изложен в разд. 5.2. В следующих главах представлены также результаты исследования различных течений этим методом. [c.167]

Результаты разложений подставляются в уравнение сохранения (1.18) при этом входящие потоки уничтожаются с первыми, основными слагаемыми выходящих потоков, а элементарное приращение координаты, по которой проводилось разложение в ряд, дополняет величину перпендикулярной каждому из потоков площадки до полного объема dv = = dxdydz. После сокращения общего множителя dv, отбрасывания ненужных теперь индексов х,у жгу производных (все три индекса теперь относятся к одной произвольной точке А (х, у, г)) получим [c.39]

Ранее при обсуждении уравнений сохранения уже отмечалось, что они могут принимать множество различных форм в зависимости от того а) используется ли D/Dt или djdt, б) какая система координат принята для описания потоков в) применяются ли массовые или мольные единицы г) как выделяются разные формы энергии. Например, можно переписать уравнения (17.21)—(17.23), выразив их следующим образом уравнение неразрывности [c.492]