Метод малых параметров

Тест особого управления [67] является частным случаем я-крите-рия. Его применение целесообразно, когда оптимальное стационарное управление является особым и позволяет существенно сократить число вычислений. Методы малого параметра [68, 69], условие нестационарности оптимального управления [70] при известном решении задачи статической оптимизации также позволяют ответить на вопрос о том, является ли эффективным переход к нестационарному режиму. [c.291]

Исследование зависимости оптимального решения от экономического фактора Я может послужить примером применения метода малого параметра. В таблице приведены результаты расчета чувствительности оптимальных времен контакта на каждой стадии к параметру К при О, а = [c.232]

По-видимому, учет влияния экономического фактора рационально вести, как здесь описано, по методу малого параметра во всех случаях, когда оптимальное решение при Я = О имеет физический смысл. Это особенно важно по той причине, что параметр Я трудно бывает оценить в начальной стадии проектирования. [c.233]

Чувствительность оптимальных времен контакта и их значения, найденные методом малого параметра и по формулам (17) и (18) [c.233]

Метод малых параметров [c.50]

Метод малого параметра основан на представлении смещения потенциала в виде [c.78]

Систему уравнений (XI.8), (XI. 10), (XI. 18), (XI.25) следует линеаризовать методом малого параметра в окрестности стационарного режима и решить ее, применяя прямое и обратное преобразование Лапласа, по координате времени. [c.235]

Для решения нелинейной алгебраической системы (4.32) применяем метод малого параметра, т. е. используем разложение [c.149]

Исследование зависимости оптимального решения от экономического фактора X может послужить примером применения метода малого параметра. В таблице приведены результаты расчета чувствительности оптимальных времен контакта на каждой стадии к параметру к при X, = О, а = = 0,1, а также найденные по этим данным значения оптимальных времен контакта при X = 10" (в приближении первого порядка) и их точные значения, вычисленные по формулам (17), (18). [c.232]

Применение в качестве диагностических моделей линейных операторов позволяет сформулировать условия работоспособности привода в общем виде как ограничения для перемещений полюсов и нулей передаточной функции на плоскости комплексных переменных и, используя метод малого параметра, определить допустимые изменения контролируемых параметров. Однако для построения такой модели необходимо замерять с достаточной точностью большое количество параметров привода, что практически не удается. В связи с этим на практике часто ограничиваются построением модели на основе передаточных функций для ограниченного числа входов и выходов. [c.137]

И л ь ю ш и н А. А., О г и б а л о в П. М. Метод малого параметра и теория нелинейной вязко-упругости. Прикладная механика , 2, выл. 5. 1966. [c.310]

В этом параграфе были получены различные конкретные кинетические уравнения, соответствующие учету нелинейной диссипации. Решая эти уравнения, можно найти различные равновесные или неравновесные корреляторы для флуктуационно-диссипационного процесса, в том числе его негауссовы характеристики. Нужно отметить, что решение этих уравнений облегчается относительной малостью членов, входящих в обусловленную нелинейностью часть кинетического оператора. Поэтому в процессе решения можно применять те или иные разновидности метода малого параметра. [c.125]

Пусть стационарные решения (8.10) удовлетворяют граничным условиям второго рода на отрезке длиною L. Рассмотрим малый интервал [fe+, k (см. выражение (8.12) и рис. 8.1 и 8.2), такой, что внутри него может находиться лишь одно волновое число кп=ппИ). Бифуркационным значением параметра, например, Dy, будем считать такое, при котором совпадает с одним из граничных значений k kn=k или А =А+), и исследуем систему (8.10) при Dy—D - -lS.Dy, ADy< Dy, используя метод малого параметра. Для этого разложим функции Р х, у) и Q x, у) в ряды по отклонениям от однородного решения х г)=х г)—х г), у (г)=у г)—у (г) до членов третьего порядка малости включительно. Стационарные значения х г) и у г) будем искать в виде рядов по малому параметру а< 1 [c.170]

Метод малого параметра. Если метод взвешенных испытаний использовал минимальную ин( рмацию о математической модели, то метод малого параметра рассчитан на модели специального вида — кусочно-линейные процессы, описывающие весьма широкий класс систем, изучаемых в теориях надежности и массового обслуживания. [c.193]

Метод линеаризации об.ладает еще одним достоинством, особенно существенным с логической точки зрения, — его можно включить в общую схему метода малого параметра. Именно так понимал этот метод Л. С. Лейбензон [71]. [c.132]

Моделирование композиционного материала эквивалентной однородной средой недостаточно для исследования локальных пластических деформаций или разрушения, дисперсии волн и решения других задач, определяемых как раз неоднородностью свойств материала по координатам. Естественно, что точное решение подобных задач для неоднородного хматериала возможно только в редких случаях, поэтому были развиты приближенные методы исследования. Из этих методов наибольшее распространение и обоснование получили методы малого параметра и осреднения, основные идеи которых и будут рассмотрены в данном параграфе. [c.123]

В принципе для решения этого уравнения можио применить метод малого параметра, однако гораздо более информативным оказалось использование теории уравпепий Матье и Хилла. [c.142]

Из приближенных методов наиболее широко используется метод гармонической лннеар>1зацни, который близок к методу гармонического балажа Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, а по результатам к методу малого параметра Б. В. Булгакова. В методе гармонической линеаризации по сути дела распространены частотные методы исследования линейных систем на нелинейные системы. [c.174]

Метод малых параметров позволяет свести расчет распределения потенциала при граничных условиях (1.25) к последовательному решению задач с более простыми граничными условиями. Он основан на представлении потенциала в виде ряда по безразмерному параметру поляризации к (при/г< 1) или по обратному параметру (приАг>1). [c.50]

Таблица 1.21. Реаультаты расчапм по методу малых параметре

Ограничимся решением в первом приближении метода малого параметра. Частное решение порождающ,его уравнения i/o (0> периодическое с периодом внешнего возмущ,ения 2п р, ищем в виде [c.151]

Максимальная амплитуда установившихся колебаний в первом приближении метода малого параметра достигается при tg (т/2) = 1 — ibil4Fo) и определяется выражением г/ ,ах = / о + + (X If 1 os (ф1 — фо) — os (фГ — Зфо), где х = pt + фо Ь — Fl sin (ф1 — фо) — 3f Г sin (ф — Зфо). [c.152]

Для описания течений газа с малыми значениями числа Кнудсена (в так называемом режиме сплошной среды), когда макроскопические параметры газа мало меняются на длине свободного пробега и в интервалах времени порядка времени соударения молекул, в работах Гильберта, Чепмена, Энскога, Н. Н. Боголюбова, В. В. Струминского были предложены асимптотические методы решения кинетических уравнений [2 — 5]. В последние годы в работах [6 — 12, 17, 26] эти исследования были продолжены развиты соответствующие модифицированные асимптотические методы малого параметра, применимые к рассмотрению сильно неравновесных высокотемпературных течений газа за ударными волнами, в пограничных и энтропийных слоях и т. д. Эти методы позволяют определить единственный вид гидродинамических уравнений движения и соответствующих граничных условий, рассчитать необходимые параметры, содержащиеся в уравнениях и краевых условиях (такие, как диссипативные коэффициенты [c.108]

Метод малого параметра был применен к анализу формы выходных кривых в случае слабонелинейных изотерм в работе [c.158]

Ильюшин А. А., О г и б а л о в П. М. Квазилинейная теория вязкоупругости и метод малого параметра. 1еханика полимеров , № 2, 1966. [c.310]

В настоящее время имеется большое количество конкретных моделей ДС, построенных так, чтобы результаты моделирования имели феноменологическое сходство с наблюдаемым процессом. Эта цель, как правило, достигается с помощью расчетов на ЭВМ. Однако, на наш взгляд, большую ценность представляют также исследования аналитического характера. Аналитические методы исследования можно разделить на локальные и глобальные. Первые используются для выяснения условий мягкого возникновения ДС и основаны на линеаризации уравнений вблизи данного стационарного состояния. Эти условия были впервые исследованы Тюрингом (см. 2 гл. 8). К локальным относится также метод определения формы ДС в случае, когда ее амплитуда мала и можно применять метод малого параметра ( 3 гл. 8). Глобальных методов аналитического исследования ДС в общем случае не существует однако имеются приемы, облегчающие качественное исследование в частных, но важных и распространенных случаях. [c.220]

В заключение параграфа обсудим кратко ДС в двумерном и трехмерном пространствах. Они исследовались как численно, так и аналитически в работах [3, 22, 23]. Использовались, в принципе, те же методы качественного исследования, что и в случае-одномерных ДС. Так, вблизи бифуркации Тюринга и при сравнимых коэффициентах диффузии возникают плавные ДС, которые можно исследовать методом малого параметра. При этом, однако, нужно использовать не гармоники типа os kr, как в (8.8), а собственные функции оператора Лапласа в двумерной (или трехмерной) области соответствующей конфигурации. Вдали от бифуркации Тюринга при существенно различных коэффициентах диффузии возникают контрастные структуры. Их можно исследовать, используя тот же прием, т. е. разбивая область на участки резких и плавных изменений. Основные качественные выводы, изложенные выше, остаются справедливыми и в этом случае в зависимости от характера нелинейной части модели возникают либо пики автокаталитической переменной, либо образуются широкие области (домены или широкие страты [16]), отделенные резкой границей от остального пространства. [c.235]

Математический статус гипотезы квазистационарности нуждается в корректном исследовании. Эта задача была впервые сформулирована Ю. С. Са-ясовым и А. Б. Васильевой на основе теории дифференциальных уравнений с малым параметром [350]. Здесь важно, что является малым параметром и что определяет иерархию времен жизни различных веществ. Для гомогенной кинетики малым параметром обычно является отношение констант скоростей стадий. Именно для такого малого параметра В. М. Васильевым, А. И. Вольпертом и С. И. Худяевым был выделен класс уравнений химической кинетики, для которого применение гипотезы квазистационарности корректно [133]. В каталитических реакциях возможна другая причина квазистационарности. Здесь она может оказаться различием, прежде всего, не констант скоростей стадий, а числа активных центров катализатора и числа атомов вещества в газовой фазе. Иссл ювание корректности метода квазистационарных концентраций для систем с таким малым параметром балансового происхождения делалось в [441] только для конкретных кинетических моделей. В [436 выделены достаточно широкие классы кинетических моделей каталитических реакций с малым параметром балансового происхождения, для которых выполняется условия теоремы А. Н. Тихонова [134]. В полной системе может осуществляться квазистационарность наоборот , т. е. не промежуточные вещества подстраиваются под наблюдаемые, а наблюдаемые — под промежуточные. Такая ситуация может возникнуть в реакциях с дезактивацией катализатора [277], в системах с глубоким вакуумом. В простых случаях время выхода на квазистационарный режим может быть оценено [277]. Применение теории дифференциальных уравнений с малым параметром дает возможность глубже понять особенности нестационарного поведения сложной каталитической реакции. Прежде всего, вырожденная подсистема в общем случае может не совпадать с привычной системой уравнений квазистационарности по всем промежуточным веществам [436], о возможности частичной квазистационарности И. Н. Семенов писал в работе [354]. Развитие метода малого параметра на системы более общего вида дано в работах А. И. Вольперта и М. И. Лебедевой (см., например, [268]). [c.29]

Лебедева М. И. Применение метода малого параметра для обоснования принципа квазистационарных концентраций в химической кинетике Автореф. дис.... канд. физ.-мат. наук. Черноголовка ОИХФ АН СССР, 1983. [c.296]

В предложенной нами обобщенной модели химическая реакция рассматривается как одноступенчатый процесс, описываемый единст венным дифференциальным уравнением. Когда имеет место многоста дийная реакция, уравнений будет несколько и анализ значительно ус ложнится. В этой связи может оказаться полезным синтез интеграль ного метода с методом малого параметра Понтрягина [71]. Как пра вило, в сравнительной калориметрии такие параметры не редкость Причинами их-появления могут быть, например, различие между теп лофизичеюкими свойствами эталона и образца, малость скорости нагре ва, резкое преобладание констант скоростей одних стадий над други ми, незначительность концентраций промежуточных соединений и т. д Иллюстрацией возможностей такого типа математического приема мо жет служить пример, расомотренный в работе [72]. [c.139]

Третьим является метод малого параметра (53j. Он наиболее прост в применении и дает удовлетворительные резуль таты в случае металлической оболочки и газового наполне ния, В случае более плотных жидкостей (или газа, но заылю ченного в оболочку из легких неметаллических материалов метод малого параметра почти всегда расходится. [c.10]

B.Н. Шилов [127, 128], а также Смирл и Ньюмен [129, 129а]. Авторы этих работ использовали различные модификации метода малого параметра и показали, что всю область изменения концентрации в растворе вблизи электрода или мембраны при токах, не превышающих предельного значения, можно разбить на две части электронейтральную область и область диффузного ДЭС с равновесным распределением концентрации и потенциала, причем толщина ДЭС в принципе зависит от плотности протекающего тока. Смирл и Ньюмен [129а] распространили этот вывод на случай протекания предельного тока. [c.133]

Проблема пространственного заряда на межфазной границе давно привлекает внимание электрохимиков. Еще в 1949 г. В.Г. Левич [203] рассмотрел эту задачу для случая границы электрод/раствор. Он показал [203, 204], что протекание малых токов сдвигает концентрацию электронейтрального раствора электролита вблизи поверхности электрода вместе с этим изменяется толщина диффузной части ДЭС, однако в ней сохраняется больцмановское равновесное распределение концентраций. Авторы [98-100, 102, 103, 205, 206] получили ассимптотические решения задачи, справедливые при плотностях тока, меньших предельного значения. Они пришли к выводу, что всю область изменения концентрации в растворе можно разбить на две части электронейтральную область и область пространственного заряда (ОПЗ) с равновесным распределением концентрации и потенциала. Авторы [101], применив метод малого параметра, проанализировали структуру приэлектродного слоя раствора при протекании предельного тока и нашли, что вследствие уменьшения граничной концентрации электролита толщина ОПЗ заметно больше толщины неполяризованного двойного слоя при нулевом токе, а напряженность электрического поля и скачок потенциала в диффузионном слое не равны бесконечности, как в случае классических теорий, основанных на предположении электронейтральности, В работах [24-29] получены аналитические решения для случая протекания произвольного, в том числе "запредельного" тока. Наиболее последовательное и строгое решение найдено в [25]. Это решение было тщательно сопоставлено с численным решением Рубинштейна и Штильмана [18], а также независимо с численным решением М.Х. Уртенова [116] все три решения дали очень близкие результаты при расчете распределения концентраций и электрического поля в диффузионном слое, а также при расчете вольт-амперной характеристики (ВАХ). Наличие надежного аналитического решения непростой в математическом отношении системы уравнений Нернста-Планка и Пуассона очень важно для формирования теории "запредельного" состояния. Представим коротко решение [25]. [c.316]

Детальное изложение метода ма.яого параметра в теории нестационарной фильтрации и примеры его применения можно найти в книге П. Я. Полубариновой-Кочиной [94] последовательное применение метода малого параметра к задачам исследования сква кии приведено в книге [35]. [c.132]

Линеаризация и метод малого параметра отличаются громоздкостью, особенно применительно к исследованию двиичения в ограниченной области. Чтобы обойти зто затруднение, так же как и в задачах упругого режима в фильтрации газа, можно искать приближенное решение методом интегральных соотношений. Рассмотрим для примера задачу об истощении газовой залежи радиусом Н, эксплуатируемой одиночной центра.льно расположенной сквазкиной. В обычных предположениях задача сводится к решению уравнения [c.132]