Определение функций регрессии

Планирование эксперимента — это постановка опытов по некоторой заранее составленной программе (плану), отвечающей определенным требованиям. Методы планирования экспериментов позволяют свести к минимуму число необходимых опытов и одновременно выявить оптимальное значение искомой функции. Выбор плана определяется постановкой задачи исследования и особенностями объекта. Процесс исследования обычно разбивается на отдельные этапы. Информация, полученная после каждого этапа, определяет дальнейшую стратегию эксперимента — таким образом возникает возможность оптимального управления экспериментом. Планирование эксперимента дает возможность варьировать одновременно все факторы и получать количественные оценки основных эффектов и эффектов взаимодействия. В ортогональных планах матрица моментов и ковариационная матрица диагональны, что существенно облегчает расчет коэффициентов уравнения регрессии, статистический анализ и интерпретацию результатов [10, 11]. [c.95]

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ РЕГРЕССИИ [c.128]

Простейший способ идентификации нелинейного объекта состоит в определении его выходных характеристик, когда заданы уравнение поверхности регрессии функции у ( ) относительно и (х) [c.442]

Выше предполагалось, что вид функций /,(Х) задан. Фактически этот вид может быть определен из вспомогательного разложения, аналогично тому, как это было сделано на стр. 131 —132 для определения уравнений регрессии. [c.136]

Определение. Корреляционная зависимость между случайными величинами X и У называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии /( ) и д х) являются линейными. В этом случае обе линии регрессии являются прямыми они называются прямыми регрессии. [c.318]

При аналитическом описании экспериментальных данных следует учитывать, что погрешности присуши как аппроксимируемой функции г(р, 7), так и опытным значениям независимых перемен-ньж р и Г. В этом случае определение коэффициентов регрессии является сложной задачей, не получившей пока решения [31]. Принятая схема выбора весов позволяет обеспечить приемлемую точность аппроксимации в широкой области па- [c.189]

Рассмотрим экстремальную задачу определения максимума функции регрессии [c.207]

Задача исследования сводится к определению коэффициентов регрессии по результатам эксперимента при этом объект исследования рассматривается как кибернетический черный ящик с параметрами входа Xi и выхода у. Это вовсе не означает, что до начала исследования о поведении объекта не нужно иметь никаких сведений — наоборот, чем больше информации о свойствах объекта имеется к началу работы, тем более надежные и ценные результаты можно получить при ее выполнении. Это касается прежде всего выбора независимых переменных. Если они вводятся в рассмотрение только на основании общих соображений о том, что может влиять на данную функцию отклика, то в задачах химической технологии их число обычно оказывается чрезмерно большим. Практически всегда требуется ограничить объем задачи, отбросив ряд несущественных факторов, однако при этом нужно не запустить каких-либо важных параметров, что привело бы к большим ошибкам. Предварительные сведения, собственные или почерпнутые из литературы, помогают на этом этапе принять правильное решение при их отсутствии прибегают к опросу специалистов или даже ставят специальное предварительное исследование. [c.428]

Таким образом, задача отыскания функции Р в конечном счете сводится к задаче отыскания коэффициентов регрессии и постоянной К. Исходные данные для определения коэффициентов получаем опытным путем. [c.137]

После определения величин коэффициентов уравнения регрессии можно найти минимальную величину функции Р, отвечающую этим коэффициентам [c.45]

В более сложных случаях задача определения вида функций может быть решена в два этапа. На первом этапе находят уравнение регрессии по некоторому числу вспомогательных функций 72,. ..), причем эти функции могут иметь очень простой и удобный для вычислительных операций вид. Так, в работе [6] в ка честве используются функции [c.131]

Задача определения параметров уравнения регрессии сводится практически к определению минимума функции многих переменных. Если [c.131]

Задача определения параметров уравнения регрессии сводится практически к определению минимума функции многих переменных. Пусть у = ф(х, Оц, (XI,... а ) является дифференцируемой [c.92]

При исследовании химико-технологического процесса после рассмотренных ранее этапов выбора функций отклика, параметров и интервалов варьирования, кодирования переменных и определения матрицы планирования составляется таблица рабочего плана экспериментов. Для этого для каждого опыта вместо знаков плюс и минус подставляют натуральные значения переменных, находя их по формулам (II-I74) и (П-175). В соответствии с таблицей и ставят в случайном порядке все необходим-ые опыты, фиксируя наблюдаемые значения функции отклика у,. Для оценки дисперсии воспроизводимости некоторые опыты повторяют или же специально ставят не менее трех параллельных опытов в центре плана. По результатам измерения у рассчитывают далее коэффициенты регрессии по уравнению (11-177) при этом параллельные опыты можно заранее усреднять либо учитывать их в отдельности, соответственно изменяя и величину N. Затем по найденному регрессионному уравнению, подставляя в него кодированные значения параметров, вычисляют для каждого опыта у и по разности ее с экспериментально найденной величиной yj определяют дисперсию адекватности [c.436]

Вычисление регрессии применяется при построении градуировочного графика по тп парам значений хк Ук- Отрезок на ординате а соответствует неизбежному значению холостого опыта, а коэффициент регрессии Ь представляет чувствительность метода анализа. Далее при анализе измеренное значение У А = Уа/П] вычисляют из параллельных определений. Искомое содержание находят из функции анализа Жу) = — а)/Ь, обратной к градуировочной функции. Стандартное отклонение для концентрации получают из [c.172]

Таким образом, процедура нахождения коэффициентов уравнения регрессии сводится к задаче определения минимума функции. Известно, что необходимым условием минимума дифференцируемой функции нескольких переменных является выполнение условия равенства нулю частных производных функции по искомым величинам (в данном случае по коэффициентам многочлена), то есть [c.197]

Задача определения коэффициентов уравнения регрессии по методу наименьщих квадратов сводится практически к определению минимума функции многих переменных. Если [c.127]

В начале поиска основной задачей является максимально быстрое попадание в окрестность оптимума. В этой ситуации наилучшим решением является постановка минимального числа опытов, достаточного для определения коэффициентов линейной регрессии на некотором малом участке поверхности функции отклика. Уравнение линейной регрессии (Х.32) есть уравнение гиперплоскости, касательной к гиперповерхности функции отклика в точке с координатами у, Хи к = , 2, q) (соответственно мы имеем обычные плоскости и поверхности при д = 2). Коэффициенты регрессии равны частным производным функции отклика по соответствующим переменным в данной точке [c.437]

Определение оценок Ьи коэффициентов регрессии ведется, как в п. 3, путем постановки ортогональной серии опытов. Первым шагом является выбор начальной точки А с координатами к=, 2,..., д) и единиц варьирования Wu для всех независимых переменных. При выборе точки Х° должна быть использована любая предварительная информация об исследуемой системе. Чем ближе первоначальное положение Х° к оптимуму, тем скорее последний может быть найден. Более или менее удачный выбор отправной точки в основном, конечно, — дело случая, но, поскольку функция отклика обладает не более чем одним относительным максимумом, этот выбор влияет не на окончательный результат поиска, а лишь на время, затрачиваемое на разыскание оптимума. Значительное влияние на скорость поиска оказывает и выбор единиц варьирования. Единицу варьирования лучше всего выбрать так, чтобы изменение любой независимой переменной на единицу варьирования вызывало примерно одинаковое изменение функции отклика. Это изменение, конечно, должно быть заметным, так чтобы его с уве- [c.437]

Количественная характеристика процессов разрушения включает в себя функцию, характеризующую протекание результата процесса разрушения от времени (уравнение регрессии) вид и параметры распределения величины результатов процесса разрушения в некоторый определенный момент времени. [c.180]

При использовании в качестве стандартного пика одного из пиков, присутствующих на пирограмме (такой способ расчета применяется наиболее часто), выбор оптимальной комбинации характеристического и стандартного пиков (при большом числе пиков) связан с трудоемкими расчетами и часто затруднителен. Для решения этой задачи была применена ЭВМ и разработана соответствующая программа, позволяющая произвести выбор оптимальной комбинации пиков, обеспечивающей наибольшую чувствительность и точность при определении состава двухкомпонентных полимерных систем [57]. На основании анализа литературных данных калибровочные кривые искали в виде параболической функции второго порядка вида У= =А1+А2Х+АзХ , где У — отношение площадей двух характеристических пиков на пирограмме, а X — содержание одного из компонентов в анализируемой системе. Коэффициенты Ль Аг и Аз можно найти из условий минимума суммарной квадратичной невязки. Программа позволяет вычислять для любой задаваемой области изменения X линии регрессии для всех сочетаний пиков и отбирать сочетания, характеризующиеся меньшими значениями средней квадратичной ошибки. — Прим. ред. [c.91]

Основная трудность в задачах нелинейной регрессии заключается в определении функций /г, т. е. в выборе линеаризующего пространства. В некоторых случаях это можно сделать на основе анализа механизма процесса, как это делают для определения скорости химических реакций. Однако в большинстве случаев отсутствуют сколько-нибудь надежные сведения о механизме изучаемого процесса. [c.131]

Ниже будет рассмотрена более удобная программа для расчета параметров линейной регрессии, которая позволяет использовать взвешенные входные данные. Кроме того, эта программа рассчи-тьшает ошибку определения параметров регрессии и предусматривает различные варианты вывода информации. Необходимые для этого математические формулы можно найти в книгах по статистике. Соответствующие формулы имеют вид (Р vi Т — вспомогательные функции) [c.169]

Метод Бокса-Уилсона был применен при разработке технологии реагентной разглинизащ1и добывающих скважин. Для лабораторного определения оптимальных концентраций композиции химреагентов для разглинизации терригенных образцов пород проведено двухфакторное планирование эксперимента. После анализа коэффициентов уравнения регрессии, рассчитанных по результатам опытов первой серии, осуществления движения по фадиенту функции н проведения проверочных экспери.ментов, было определено, что область оптимума достигнута уже в этой серии. Оптимальными оказались концентрация первого реагента (Х[) 10%, второго (Хг) 8%, Средняя величина коэффициента эффективности приняла максималь1юе значение 2,8. [c.190]

Для статистического анализа инженерно-технической информации в Ма1КСА0 имеется обширный набор функций, с помощью которых можно вычислить ее характеристики. Наиболее часто выполняются статистические расчеты по обработке данных, представленных векторами и матрицами. Некоторые из функций для определения основных статистических характеристик уже приведены в разделе 2.7.3. Приведенные там функции согг(Ух,Уу), н оре(Ух,Уу), ntrr ept(Vx,Vy) могут быть использованы для аппроксимации экспериментальных зависимостей функцией линейной регрессии. [c.273]

Обычной целью экспериментального исследования является установление функциональной связи между некоторыми величинами. Если вид функциональной зависимости у=уо(х) выбран заранее, задача состоит в определении значений параметров, входящих в эту функцию, наилучшим образом соответствующих экспериментальным данным. В математической статистике эта задача носит название задачи регрессии. Будем считать, что независимая переменная х определена точно, а зависимая у подвержена случайным колебаниям, которые могут быть вызваны как неточностями измерения, так и ненаблюдаемыми случайными изменениями исследуемого объекта. Отклонения изхме-ренных значений у от истинного значения, соответствующего данному значению х, можно, как было показано в н. 1, считать распределенными по нормальному закону. Проводя п равноточных опытов при некоторых значениях независимой переменной Хг (г=1,2,..., п), получаем ряд значений зависимой переменной Уг. Результат каждого из п опытов может быть представлен точкой в координатах х—у. Так как у — случайная величина, практически невероятно, чтобы через все экспериментальные точки можно было провести гладкую линию заданного вида, и в любом случае по крайней мере некоторые точки будут удалены от линии, представляющей экспериментальные данные (линии регрессии). [c.421]

В тех случаях, когда мешающее влияние примесей на электродную функцию доказано, для анализа можно использовать метод мультиэлектродных систем или уравнений регрессии. Предварительная разработка включает в себя определение коэффициентов влияния (совместно с погрешностями), что составляет наиболее трудоемкую часть работы. Метод является наиболее сложным и в обработке результатов (как правило, необходимо использовать ЭВМ), но гарантирует наименьшую (в ряду разобранных методов) систематическую погрешность. [c.115]

Проблема анализа данных существенно усложняется, если кинетическая модель не может быть выражена линейным соотношением. Математическое определение линейности звучит следующим образом функция / (а, х) линейна относительно а, если дЦда независима от а. Опубликованы компьютерные программы для трех основных методов обработки нелинейных кинетических выражений все эти методы используют процедуру итерации и по этой причине реализуются на сравнительно мощных ЭВМ. Эти методы имеют также другую общую черту — для оценки неизвестных параметров необходимо ввести их исходные приближенные значения. Процедура итерации включает минимизацию остаточной суммы квадратов, как и по методу наименьших квадратов применительно к уравнению линейной регрессии [41]. Бард [42, 43] дал детальный обзор этих методов, а Нэш [44] опубликовал аннотированный библиографический обзор. [c.170]

Можно также рассчитать и вторую производную сплайн-функции. Следует напомнить, что, хотя по определению значения второй производной сплайн-функции невелики по абсолютной величине, зависимость второй производной от X не является гладкой между каждыми двумя точками перегиба сплайн-функция описывается соответствующим полиномом. Если необходимо вычислить гладкие вторые производные, то лучше найти по исходным данным с помошью сплайн-регрессии первые производные и по ним построить аппроксимирующий сплайн производная этой сплайн-функции и будет сглаженной второй производной исходной зависимости. Эту процедуру можно продолжить дальше, однако следует учитывать, что полученные таким способом производные высоких порядков становятся весьма ненадежными. (Напомним давно известное экспериментаторам правило, что экспериментально найденные зависимости легко интегрировать, но, как правило, гораздо труднее дифференцировать.) [c.387]

Задача построения интерполяционной модели системы, когда оптимизация функции отклика не производится, сводится к определению такой полиноми-нальной функции (уравнения регрессии), которая позволяет предсказать выходной параметр с определенной точностью во всех точках заранее заданной области (условие адекватности). Адекватность мате-матической модели устанавливается методами математической статистики. [c.43]

Следовательно, no заданным уравнениям регрессионной и скеда-стическоп поверхностей и плотности вероятности входной функции пз уравнений (11,61) и (11,66) находятся математические ожидания п дисперсии выходной сл5гчайной функции Y (t). Точность их определения зависит от точности задания уравнения поверхности регрессии (11,59) или скедастической поверхности (11,60). [c.123]

Как отмечалось выше, число опытов, необходимых для нахождения математической модели методом полного факторного эксперимента, растет с возрастанием числа факторов по показательной функции. Для сокращения числа опытов предложен метод дробных реплик, при котором определение коэффициентов уравнения регрессии проводят на основе лишь части полного факторного эксперимента. Так, в случае трех переменных можно вместо восьми опытов поставить четыре, применив полуреплику —факторный эксперимент для двух переменных с включением в него третьей переменной таким образом, чтобы Хз = Х1Х2 или Хз = —Х1Х2. Ра- [c.147]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология