Сферические координаты движения

Поскольку движение частицы дисперсной фазы обладает симметрией, то скорость движения жидкости в фазах имеет две компоненты (г 6) и (г, 0). Уравнение неразрывности (12.33) в сферических координатах имеет вид [c.234]

Уравнения движения для неньютоновских течений могут быть получены из уравнений Навье - Стокса, записанных в компонентах тензора напряжений зависимостями (1.101), (1.102). В случае осесимметричного обтекания уравнения Навье - Стокса в сферических координатах можно записать в виде [c.32]

Если принять, что крыша пузыря имеет сферическую форму, начало системы сферических координат находится в центре пузыря и полярная ось направлена вертикально, то можно считать, что движение частиц является безвихревым, и поле скоростей определяется, как и по методу Дэвидсона, уравнением (111,53). Соответствующее поле давления описывается уравнением (111,74), интегрирование которого дает [c.104]

Потенциальное поле, создаваемое взаимодействием электрона и протона, сферически симметрично относительно ядра, как начала координат. Важные квантово-механические характеристики атома можно найти, рассматривая движение электрона в полярной сферической системе координат. Как известно, прямоугольные координаты связаны со сферическими соотношениями х = г sin д os ф I/ = / sin О sin ф г = г os О, где д — угол, образованный радиусом-вектором г с осью г, ф — угол, образованный осью х с проекцией радиус-вектора на плоскость ху. Воспользуемся этими соотношениями и напишем уравнение Шредингера (И.9) в полярных сферических координатах [c.11]

Постоянство объема капли обусловлено несжимаемостью жидкости. Задача считается осесимметричной и рассматривается в сферических координатах, независимыми переменными служат радиус-вектор г, широта 0 и время т, поле скорости деформируемой поверхности Р определяется как функция указанных аргументов. Движение жидкости в капле является безвихревым, и существует потенциал скорости ф. Это позволяет использовать уравнение сплошности в форме Аф=0 и выразить кинетическую энергию в [c.79]

В этом случае можно считать большую каплю неподвижной и рассматривать движение капли в отношении большой. Для этого используем сферические координаты с началом в центре большой капли и полярной осью г, направленной по радиусу [c.132]

Б. Операторы момента количества движения в сферических координатах [c.674]

Уравнения сохранения количества движения в сферических координатах имеют следующий вид [c.86]

Итак, основной задачей является решение одноэлектронного уравнения (29). ]Та примере покажем, как это делается. Начало системы координат поместим в точке между ядрами, где нет никакого реального заряда. Тогда кд = — /г — д/о (р, г), где q = 2 для Н . Ограничимся рассмотрением основного состояния 1x0. Ири г<р решением является сферическая волна, регулярная в начале (задача о свободном движении в сферических координатах, см. 33 в книге [27]). Во внешней области решение представляется функцией Уиттекера 1/21 которая соответствующим образом ведет себя на бесконечности (см. разд. 4.1.3 в книге [24]). В точке г = р нужно потребовать непрерывность волновой функции и ее первой производной. Используя эти условия, а также асимптотическое выражение для функции IV1/3 (см. разд. 4.1.4 в книге [24]), можно получить следующее нормированное решение (без спиновой функции) [c.22]

Задача 1.12. Решить задачу 1.11, выражая Н в сферических координатах (г, 0, г )). Построить уравнения движения (т. е. уравнения Гамильтона) для координат, не являющихся циклическими. [c.20]

Рассмотрим сферу массы т и радиуса а, движущуюся со скоростью V в несжимаемой невязкой жидкости плотности р (на протяжении всей этой главы мы будем рассматривать лишь безвихревые течения такой идеальной жидкости ). Не ограничивая общности, мы можем считать, что движение направлено по оси сферической системы координат. Потенциал скоростей для жидкости, покоящейся на бесконечности, совпадает с потенциалом диполя, который в сферических координатах имеет вйД [c.196]

Операторы моментов количества движения обычно выражают в сферических координатах. С помощью преобразований, данных в Приложении III, можно легко найти эти операторы в сферических координатах 1). [c.58]

Рассмотрим теперь орбитальный момент количества движения в представлении Шредингера и изучим некоторые свойства ( (-функций, которые окажутся полезными для дальнейшего. Вводя сферические координаты г, 6, ср, найдем [c.56]

Уравнения неразрывности и движения в той форме, как они получены в разделах 3.1 и 3.2, выражены через координаты х, у, z, компоненты скорости Vy, и компоненты напряжений г У и т. п. Если мы хотим записать эти уравнения в сферических координатах, нужно знать а) соотношения между х, у, z и г, 0, ф б) соотношение между v , Vy, и соответствующими компонента скорости Vr-, Vq, Vff, в) соотношения между Тд. ., Х у и т. д. и Тгй, Тгф и т. п. Переход от прямоугольных координат к сферическим может быть выполнен затем посредством простой, по длительной процедуры прямой подстановки. [c.86]

Уравнение движения в сферических координатах (г, 0, ф) [c.88]

Потенциальная энергия V является функцией положения двух частиц относительно друг друга и не зависит от поступательного движения системы как целого. Таким образом, волновое уравнение (13.7) будет идентично волновому уравнению для одной частицы с массой р, которую фактически можно рассматривать как электрон, находящийся в поле с потенциалом V. Выражая это уравнение в сферических координатах, получим [ср. уравнение (9.20)] [c.67]

Как уже было показано, для любой изолированной системы полный угловой момент является постоянной движения, что справедливо и для любой из его компонент соответствующие операторы должны коммутировать с Н. Это условие выполняется и в рассматриваемом случае. Оператор М , соответствующий квадрату полного углового момента, и оператор М , соответствующий угловому моменту относительно полярной оси, в сферических координатах выражаются [1] следующим образом [c.43]

Эту задачу можно упростить, воспользовавшись тем, что молекулы такого типа обладают аксиальной симметрией. Создаваемое ядрами поле, в котором двигаются электроны, остается неизменным при вращении вокруг линии, соединяющей оба ядра. Угловой момент электронов относительно этой оси должен быть постоянной движения в классической механике, поскольку силы, действующие. между электронами и ядрами, не могут изменить эту компоненту их полного углового момента. Обозначим эту ось 2, тогда волновая функция молекулы должна быть собственной функцией оператора М . Как было показано в разд. 4.5, в орбитальном пред ста вл ении это должно быть справедливо и для отдельных орбиталей. Если перейти к сферическим координатам, где в качестве полярной оси выбрана ось I, то каждая МО фр должна иметь вид [c.168]

Молекулярная диффузия преобладает в пузырьках малого диаметра и при малых скоростях относительного движения фаз. Диффузионная модель исключает какое-либо конвективное движение внутри пузырька, что, конечно, не соответствует действительности. Адамар и Рыбчинский, пренебрегая членами, содержавшими высшие степени производных, решили уравнение Навье—Стокса в предположении об установившейся циркуляции внутри пузырька и получили следующее выражение для стоксовой функции тока X в сферических координатах [c.20]

Волновые свойства частицы можно не принимать во внимание только в том случае, если размеры системы велики по сравнению с длиной волны, характеризующей частицу. Длина волны электрона сравнима с размером атома (10- см), поэтому при описании движения электронов необходимо учитывать их волновые свойства. Различные виды волн, в том числе и электронные волны, можно описать с помощью волновых уравнений. Волновая функция для электрона представляет собой функцию его координат. Используют обычные декартовы координаты х, у и z или сферические координаты г—расстояние от ядра до электрона, 0 — угол между направлением г и осью г, ф — угол между Осью х и проекцией г на плоскость ху. Сферические координаты связаны с декартовыми координатами простыми соотношениями [c.8]

В качестве количественной характеристики актов взаимодействия излучения со средой обычно используют эффективные поперечные сечения взаимодействия или просто сечения о. Когда частица, имеющая энергию Е, проходит через слой вещества /, имеющий в 1 см п центров, с которыми может произойти взаимодействие данного типа, то произведение о Е)п1 представляет вероятность того, что данное взаимодействие произойдет. Величина о Е), имеющая размерность площади и зависящая от энергии частицы, называется полным поперечным сечением взаимодействия. Оно численно равно вероятности взаимодействия при прохождении падающей частицей мишени, в которой на 1 см приходится одна частица среды, и измеряется в единицах 10 2 м (устаревшая единица — барн — см ). При взаимодействии частица может потерять часть энергии и изменить направление движения, поэтому вводят дифференциальное сечение. Оно характеризует только одну из сторон взаимодействия — долю передаваемой энергии в интервале е,8+с е или угол изменения направления движения 0,0+ +с 0 и ф,ф+с ф в сферических координатах. Полное сечение о Е) определяется через дифференциальные сечения о Е,г,в,ц,) следующим выражением [c.15]

Рассмотрим простейший случай, когда внешнее поле бесконечно мало, а вместе с ним бесконечно мало и возмущение орбиты. Тогда орбита практически представляет собою прежний кеплеров эллипс, лежащий, однако, в плоскости, составляющей определенный угол с внешним преимущественным направлением, т. е. направлением внешнего поля. Введем сферические координаты г, , ф (рис. 15) пусть ОМ — направление внешнего поля ОМ —нормаль к электронной орбите АВ, составляющая угол а с ОМ. Кроме того, введем азимут ср, отсчитанный в плоскости орбиты. Тогда, так как мы рассматриваем практически невозмущенное эллиптическое движение, угловой момент р [c.35]

Операторы моментов количества -движения обычно выражают в сферических координатах г, , ср. Проделав соответствующие преобразования, получим вместо (1) и (2) следующие формулы в сферических координатах [c.114]

Модель массопередачи, учитывающая наличие циркуляции жидкости внутри капли была разработана Кронигом и Бринком [41]. Авторы исходили из решения уравнения Навье — Стокса для жидкой капли, движущейся в среде инородной жидкости с отличающимся удельным весом, которое получили Адамар [25] и Рыб-чинский [42]. Адамар и Рыбчинский пренебрегли членами, содержавшими высшие степени производных и предположили, что движение капли продолжается достаточно долго и циркуляция внутри капли к начальному моменту времени уже установилась. Для стоксовой функции тока было получено выражение в сферических координатах [c.89]

Здесь с, — текущая концентрация растворенного компонента в /-й фазе с,о — начальная концентрация с,гр — концентрация на границе раздела фаз со стороны г-й фазы и , UQi — радиальная и тангенциальная составляющие скорости жидкости (газа), обтекающей частицу Уоо — скорость движения частицы или скорость жидкости на бесконечности Ро — число Фурье Ре — число Пекле Д — коэффициент диффузрш в г-й фазе, м /с Л, 5 — радиус и диаметр частицы соответственно г — радиальная координата 0 — угловая координата, отсчитываемая от лобовой точки — оператор Лапласа в сферических координатах д, с — индексы, обозначающие соответственно диспфсную частицу и сплошную (жидкую или газообразную) фазы. [c.274]

В работе [28] проанализйрована реакция неограниченной упругой среды на изменение давления на поверхности внутренней полости, имитирующей микро -дефект, от исходного уровня до нуля. Записывая уравнение движения в сферических координатах, полагая начальные условия нулевыми и приравняв нормальные напряжения в материале на границе полости и давление внутри нее, авторы получили общее решение задачи в виде лапласовского изображения колебательного смещения. Общий анализ полученного выражения достаточно сложен, однако практически важные результаты могут быть получены, если предположить, что изменение давления происходит скачком, т.е. p(t) = ро 1(f), где 1(0 - ступенчатая функция [c.177]

Если частица находится на расстоянии порядка а от стенки трубы, то условия, при которых приведенные выше уравнения справедливы, более не выполняются. Однако стенку трубы при этом можно считать плоской, т. е. можно использовать результаты, полученные Дином и О Нейлом [29], а также Голдменом, Коксом и Бреннером [41, 42] для движения сферы вблизи плоскости. Их соотношения, полученные при решении уравнений ползущего течения (8) и (9) в сферических координатах, определяют силу и момент для сферы а) поступательно перемещающейся параллельно плоскости в неподвижной жидкости, [c.113]

Уравнения движения адя неньютоновских течений могуг быть получены из уравнений Навье - Стокса, записанных в компонентах тензора напряжений зависимостя.ми (1 101), (1.102), В случае осесимметричного обтекания уравнения Навье - (, токса в сферических координатах мо.-к но записа1ь ь ьаде [c.32]

Результат [формула (24)] для сечения реакции подтверждает справедливость использования полуклассического выражения (10) остается еще обосновать определяемое равенством (12) ограничение значения Это можно сделать несколькими путями, однако лучше всего вернуться к анализу уравнения Шрёдингера для двух реагирующих частиц. Используемые для представления падающей волны в формуле (19) специальные функции выбраны не произвольно, а в результате того, что они являются решениями уравнения Шрёдингера, описывающего относительное движение двух невзаимодействующих частиц в сферических координатах. В силу квантования момента в этом уравнении возникает член, отвечающий фиктивной потенциальной энергии [c.331]

Если меридиональный масштаб Н становится сравнимым с радиусом Земли, то приближением р-плоскости уже пользоваться нельзя. Волновые движения в этом случае следует изучать на сфере, в полярных сферических координатах. Изменения по долготе и широте могут быть синусоидальными, но их уже необходимо рассчитывать специально. Для возмущений относительно состояния покоя или состояния твердого вращения они определяются через функции Хафа, свойства которых охарактеризованы в работе Лонге-Хиггикса [481]. Поскольку первоначальные уравнения Лапласа (1778—1779) были, естественно, выведены для сферы, то открытие планетарных волн можно от- [c.240]

Так как в уравнениях двнл<еиия сила тяжести является доминирующей, то требуется большая осторол<ность (см. [625]) в выборе подходящей системы координат. Если бы, например, были использованы сферические координаты, то получилось бы, что важным членом в уравиеииях для крупномасштабного движения, касательных к сферической поверхности, была бы составляющая силы тяжести, направленная вдоль этих поверхностей. [c.116]