Преобразования матриц элементарны

Путем элементарных преобразований матрицы, приводим ее к виду [c.44]

Операции, которые выполняются при приведении матрицы определителя, сложение строк или столбцов с некоторыми коэффициентами, можно выполнить с помощью вполне определенных матриц, которые называются матрицами элементарных преобразований. Пусть, например, задана матрица А м-го порядка [c.38]

Перейдем к рассмотрению известных в алгебре элементарных преобразований матриц, которые имеют практическое значение при составлении и преобразовании расчетных схем электрических и гидравлических цепей. [c.53]

Т. е. векторы У,- суть вектор-столбцы матрицы А. Но если матрица особенная, то ее определитель равен нулю, так что ее вектор-столбцы линейно зависимы, и путем элементарных преобразований матрица А может быть сведена к виду, когда у нее хотя бы один столбец будет состоять только из нулей. Следовательно, векторы удовлетворяют соотношению (или нескольким соотношениям) вида [c.56]

Перестановки столбцов, которые нам приходилось выполнять, когда аи = О, сводятся к умножению А на матрицы элементарных преобразований — перестановок столбцов, при этом А переходит в АТ, а X — в Т- Х, где Т — произведение матриц элементар-лых преобразований. При этом вместо (2.15) получим [c.92]

Элементарные преобразования матриц реакций обмена [c.160]

Замечание 1. Аналогично определению элементарных преобразований линейной алгебраической системы можно установить элементарные преобразования матрицы [c.13]

Замечание 2. Метод Гаусса применим также к вычислению определителей. Действительно, применяя элементарные преобразования матрицы и используя свойства определителя, его можно привести к треугольному виду [c.14]

Матрица инциденций этого графа путем элементарных преобразований приводится к следующему виду [c.125]

Метод Гаусса—Жордана. Как уже отмечалось (стр. 235), в этом методе исключение элементов, кроме диагональных, производится с помощью элементарных преобразований. Номер столбца матрицы, недиагональные элементы которого исключаются, каждый раз выбирается в зависимости от индексов максимального ио модулю элемента строки — главного элемента. Если главный элемент недиагональный, то соответствующим образом производится перестановка строк. Такой выбор главного элемента обеспечивает минимальную вычислительную погрешность. [c.251]

Проверка условий сходимости. Вычисляются нормы матрицы и проверяются условия сходимости (10—42). Если ни одно из условий не выполняется, то с помощью элементарных преобразований исходную систему нужно попытаться заменить эквивалентной, для которой условия сходимости выполняются. Эквивалент- [c.262]

Матрица С определяется как последовательность элементарных преобразований над матрицей А, выполняемых с использованием унитарных матриц вида [c.290]

Метод Гаусса [4, гл. I, 11] состоит в последовательном применении элементарных преобразований для приведения системы (I) или ее расширенной матрицы [c.5]

Итак, расширенная матрица приведена к ступенчатому виду. По этой матрице восстановим систему, к которой можно при помощи элементарных преобразований привести исходную систему [c.6]

В алгебраическом отношении указанные методы эквивалентны и основаны на специальном свойстве матрицы соединений такого рода схем, которое позволяет в результате элементарных преобразований (см. гл. 4) свертывать ее к единичной строке (или контуру). Это формальное свойство матриц специального вида, справедливо для электрических и гидравлических цепей, определяет линейную природу методов расчета и оптимизации любых систем, имеющих подобные схемы соединений. [c.34]

Легко видеть, что ранг матрицы соединений здесь равен единице, поскольку элементарными преобразованиями (последовательным вычитанием столбцов) она может быть сведена к одной ненулевой строке. Это и 74 [c.74]

В теории матриц доказывается, что при элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется. Под элементарными преобразованиями понимают 1) перестановку любых строк (или столбцов)) [c.161]

Проще всего находить ранг матрицы—ее базисный минор —при помощи так называемых элементарных преобразований. [c.32]

Если сравнить это выражение с (52,30) при учете (52,25), го получим систему уравнений, определяющих при условиях (52,28) элементы матриц преобразования и и о и энергии ц новых элементарных возбуждений [c.233]

Заменяя в матрице А, заданной формулой (2.79), os ф и sin ф средними по ансамблю значениями и подставляя <Л> в (2.87), после некоторых элементарных преобразований приходим к формуле [c.80]

Характер преобразования (3.2.19) определяется соотношением между рангом матрицы (г р) и числом Р переменных р. Если гё (Vкp) = Р, то данное преобразование является взаимно однозначным. В этом случае система (3.2.17) имеет единственное решение, позволяющее по приращениям вычислить все переменные р (и наоборот). Если же гд (у р) <Р, то упомянутое преобразование не является взаимно однозначным, допуская бесконечное множество решений системы (3.2.17) (бесконечное множество значений р для одного и того же набора значений АгП ). Поскольку каждому столбцу р матрицы (у р) соответствует стехиометрическое уравнение р-ой реакции, первое условие выполняется при отсутствии, а второе — при наличии линейной зависимости между стехиомет-рическими уравнениями элементарных реакций. Наша дальнейшая задача состоит в установлении действительной картины. [c.158]

В методе Якоби для приведения матрицы А к диагональному виду с помощью преобразования подобия (10—100) используется ортогональная матрица С, для которой имеет место равенство где <7 — транспонированная матрица. Ортогональная матрица С в этом методе определяется как предел последовательности элементарных преобразований, осуществляемых над элементами матрицы А с помощью ортогональных матриц вида [c.286]

Рангом матрицы называют наибольшее число ее линейно независимых строк или, что то же самое, наибольшее число ее линейно независимых столбцов. В теории матриц доказывается, что при элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется. Под элементарными преобразованиями понимают 1) перестановку любых строк или столбцов 2) умножение строк или столбцов на число, отличное от нуля 3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на любое число. Ранг матрицы не изменяется нри ее транспонировании, а также нри перемножении со своей транспонированной матрицей. [c.210]

Любая матрица при помощи элементарных преобразований может быть приведена к ступенчатой. Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Ранг действительной симметрической матрицы равен числу ее ненулевых собственных значений. [c.211]

В другом способе к обращаемой матрице А приписывают справа единичную матрицу I. Полученную объединенную матрицу при помощи элементарных преобразований приводят к такому виду, чтобы слева на месте матрицы А оказалась единичная матрица. Тогда справа, на месте приписанной матрицы I, окажется матрица А [c.212]

Замечание 10.1. Нетрудно определить более общую модель квантового вычисления, в которой элементарными действиями являются подходящие иреобразоваиия матриц плотности общего вида (не обязательно унитарные операторы). Такая модель более адекватна физической ситуации, когда квантовый компьютер взаимодействует с окружающей средой . С вычислительной точки зрения новая модель эквивалентна стандартной (если в обоих случаях используется полный базис). Однако в модели с общими преобразованиями матриц плотности воз-молсно более естественное определение подпрограммы для квантового вычисления, поскольку результат работы квантовой схемы — вероятностная функция. Здесь мы не будем давать этого определения и отсылаем заинтересованного читателя к [20]. [c.83]

Наиболее прямой метод решения задачи первого приближения теории возмущений состоит в диагонализации матрицы суммарной энергии (суммы электростатической и энергии взаимодействия спина с орбитой) для данной конфигурации схемы нулевого приближения. Этот процесс практически невыполним для всех конфигураций, за исключением простейших случаев, ввиду высокого порядка получающихся вековых уравнений. Общее решение возможно в большем числе случаев, если воспользоваться схемой SUM, но, чтобы осуществить эту возможность, необходимо, за исключением специальных случаев, проделать преобразование к этой схеме, Ввиду сложности этой задачи и невозможности получения общего решения для сложных конфигураций желательно получить результаты элементарного, хотя бы и приближенно, характера. В предшествующих трех главах мы рассматривали тот важный случай, когда взаимодействие спина с орбитой мало в сравнении с электростатическим в этой главе будет интересно рассмотреть менее важный случай, в котором электростатическое взаимодействие слабо в сравнении с взаимодействием спина с орбитой. Таким образом, мы будем знать характер общего решения в обоих крайних случаях. [c.251]

При расчете производственной программы модели блоков линеаризуются. Поэтому, как это описывалось в разделе 1 этой главы, удобнее всего в качестве переменных принять интегральные величины входных и выходных потоков Л-го блока за время его работы в г-том режиме в течение С-го шага дискретности. Такая интерпретация позволяет описывать элементарную модель постоянной матрицей связи Ад нестационарной, меняющейся от месяца к месяцу матрицей связи А, переменной матрицей связи А 7> зависящей от времени и граничного или эффективного режима но преобразованию вводить нестационарные режимы по состоянию, причем номер эффективного режима полностью определяет величины входных и выходных потоков блока. [c.158]

Теперь покажем, что матрица в жордановой канонической форме подобна матрице в канонической форме N [уравнение (183)]. Элементарные жордановы матрицы переходят в требуемую форму посредством преобразования [c.268]

До сих пор все внимание концентрировалось па нахождении коэффициентов с путем конечных преобразований дискретного набора данных. Практический результат подобных расчетов должен заключаться в дифференцировании экспериментальной кривой распределения Р М), поскольку дифференциальную кривую или кривую весового распределения Mf (М) можно построить путем подстановки рассчитанных величин в уравнение (14-53). Для теоретических целей, однако, большой интерес представляют величины поэтому было бы полезным развить излагаемый метод так, чтобы можно было получать моменты непосредственно, минуя промежуточную стадию расчета коэффициентов с . Нетрудно внести соответствующие дополнения в схему расчета, поскольку, согласно уравнению (14-52), коэффициенты с связаны с моментами л посредством элементов матрицы Я = (А г)> которая представляет собой таблицу коэффициентов нормированных присоединенных полиномов Лаггера [уравнение (14-49)]. Элементарные сведения из теорий матриц позволяют показать, что если необходимо рассчитать с для пяти выбранных точек Р (М ) с помощью матрицы то величины й Хг+1 можно получить для тех же точек, но с помощью матрицы = Q, кбторую также можно протабулировать. Именно [c.386]

Линейные преобразования. Ряд трудностей при моделировании и расчете гидравлических систем можно устранить, используя топологические особенности конкретных систем и условия решаемых задач. Так, при определенном сочетании ветвей с фиксированными и неизвестными расходами, а также узлов с фиксированными и неизвестными давлениями можно значительно сократить число ветвей и независимых контуров и в результате даже неплоские схемы представить в плоском изображении. Основой для такого эквивалентирования являются элементарные преобразования матриц соединения А и контуров В, описанные в разд. 4.2. [c.86]

Обратимся теперь к матрице М у. Пусть для определенности а=1, т. е. именно — д-фазный внутренний реагент. Как известно, элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Одним из таких преобразований является прибавление к элементам одного столбца умноженных на любое число соответствующих элементов другого. Так, в матрице Мху можно к элементам первого прибавить соответствующие элементы второго, третьего,-. .., д-го столбцов. Тогда в первой строке первого столбца будет сумма молярных долей 5] в -фазах, которая может быть в соответствии с уравнением (25) заменена на сумму произведений стехиометрпческих коэффициентов и химических переменных. Аналогичная операция должна быть проведена по отношению к каждому -фазному внутреннему реагенту. Далее при подсчете значения ранга 5 преобразованной таким образом концентрационно-стехиометрнческой матрицы неподвижных веществ величины следует рассматривать как произвольные отличные от нуля постоянные числа. При этом, например, может оказаться, что после преобразований первый столбец матрицы М у представляет собой линейную комбинацию столбцов стехиометрической части Мху. Таким образом, при подсчете 5 взаимосвязь молярных долей -фазных внутренних реагентов со стехиометрическими коэффициентами учитывается автоматически. Интересно заметить, что, во-первых, предложенный выше способ учета присутствия -фазных внутренних реагентов приводит к появлению в концентрацион- [c.14]

Матрицы Tjj и Sjj носят название матриц элементарных преобразований столбцов. Преобразуемая матрица множится на эти матрицы справа. [c.41]

Матрицы коэффициентов системы (7.203) являются трехдиагональными. Для решения таких систем можно воспользоваться специальным методом, основанном на приведении к диагональному виду с помош ью элементарных преобразований по рекуррентным формулам [c.340]

Матрица коэффициентов системы (6-12) является трехдиаго" нальной. Для решения такой системы уравнений используется спе" циальный метод, основанный на приведении матрицы к диагональному виду с помощью элементарных преобразований по рекуррентным соотношениям [17] [c.386]

Рентгеноструктурные исследования бурых углей различных месторождений показали, что ядерная часть макромолекул бурых углей состоит из 24—30 атомов, образующих в основном однозамещенные бензольные кольца. Углеводородные ядра и кристаллиты сшиты алифатическими фрагментами, которые формируют трехмерную структуру с элементарными звеньями диаметром около 2 нм на расстояниях около 0,4 нм. При этом наблюдается некоторая азимутальная упорядоченность макромолекул. В общем, бурый уголь представляется как макромолекулярная матрица, в которой подвижная фаза удерживается ван-дер-ваальсовыми силами, водородными и донорно-акцепторными связями. В подвижной фазе, представленной водой, концентрируются реликтовые соединения, несущие информацию об исходном биологическом ттериале и условиях его преобразования. [c.411]

После элементарных преобразований решение Гудьира для напряжений в матрице может быть записано в следующей форме [c.144]

При любом ортогональном преобразовании (61,8) можно найти матрицу 5 преобразования спиновых волновых функций уравнения Дирака, удовлетворяющую соотношениям (61,16). Существование такой матрицы следует уже из того факта, что четырехмерные матрицы уц образуют неприводимую группу. Существование матрицы 5 мохсет быть такл<е доказано и непосредственно путем явного построения матрицы 5 для пространственных отражений, вращений в трехмерном пространстве и перемещений, поскольку из этих элементарных преобразований можно построить любое другое конечное преобразование. [c.280]

В разделе 1 главы IV были введены понятия режима по мощности и режима по преобразованию, причем под последним понимался полный набор значений коэффициентов связи — матрица связи внешних потоков элементарной модели = . Такое формальное представление режима по преобразованию включает и режимы блока полунепрерывного типа, т. е. блока с переменной номенклатурой входов и выходов, поскольку приравнивание удельного выхода нулю экивалентпо исключению /-го выходного потока из полного списка выходных потоков /а аналогичным образом, приравнивание нулю удельного расхода (расходного коэффициента) эквивалентно исключению -го входного потока из полного списка входных потоков к-то блока. [c.113]

Физический смысл этих математических преобразований следующий. Существование г линейно независимых функций Сг вида (УII.34) означает, что в неравновесной системе имеется г независимых друг от друга процессов. Когда система неравновесна, каждый такой процесс представляет собой нормальную реакцию — химический поток ti Каждый такой поток сопряжен с термодинамической силой (сродством Л г), которая при постоянных внешних переменных зависит только от одной нормальной координаты Как будет видно из дальнейшего изложения, во многих случаях непосредственно доступны экспериментальному исследованию именно такие независимые потоки — нормальные реакции. Задача состоит в том, чтобы, изучая нормальные реакции, установить те естественные элементарные процессы вида (УП.1), сочетание которых дает нормальные реакции. Для решения этой задачи прежде всего надо располагать методами нахождения матриц преобразования X или . [c.244]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология