Ньютона Рафсона итерационный

МОЙ памяти. Использование итерационных методов (а они составляют большинство методов вычислительной математики) отвечает требованиям минимизации занимаемой памяти, однако не всегда обеспечивает требуемое быстродействие. Метод должен обеспечивать, во-первых, сходимость при любом начальном приближении и, во-вторых, с приемлемым быстродействием. Далеко не много методов удовлетворяют этим требованиям. Например, метод релаксации в общем случае обеспечивает сходимость решения при любом начальном приближении, но весьма и весьма медленно. Методы же типа Ньютона—Рафсона обладают квадратичной сходимостью, но не при любом начальном приближении. В связи с этим одной из сложных проблем при использовании итерационных методов является обеспечение сходимости решения в широком диапазоне изменения параметров процесса. [c.261]

Для дальнейшего преобразования правой части выражения (4.66) следует задать конкретную структуру функции Ф. В линейной схеме Ньютона - Рафсона параметры вычисляют по итерационной схеме [c.255]

Все остальные методы локальны и уточняют положение какого-то минимума, который иногда может не быть глобальным. Их успешно применяют лишь в случае, когда известно достаточно хорошее приближение к структуре исследуемой молекулы. Это методы поочередного уточнения параметров, наибыстрейшего спуска и др. Наиболее распространен среди них метод минимизации функционала (6.15) по схемам Ньютона—Гаусса и Ньютона—Рафсона. При этом после разложения в ряд Тейлора выражения (6.15) для 8М(з) и пренебрежения всеми членами, начиная с квадратичного, возникает система линейных уравнений относительно искомых параметров. Эту систему решают известными методами, что позволяет, применяя итерационную процедуру, уточнять значения структурных параметров. Достоинством данного метода наряду с уточнением геометрических параметров является возможность оценить величину случайной ошибки при их определении. [c.150]

Если уравнение (111.102) является хорошим отображением 5 (и) и условия сходимости выполняются, то метод Ньютона — Рафсона позволяет быстро находить минимум. В противном случае точка + — и 4- Ь з может оказаться дальше от минимума, чем При этом решение будет либо расходиться, либо приведет в овраг. В частности, если корни уравнений расположены достаточно близко друг от друга, условие 3 сходимости метода нарушается и итерационный процесс начинает колебаться между значениями ц(з + 1) и и до бесконечности, не сходясь ни к одному значению корней. [c.174]

Таким образом, независимо от формы представления равновесия в системе, для расчета равновесных составов должны использоваться оптимизационные процедуры, которые могут быть реализованы различными способами. Для решения равновесных задач, выраженных в первой форме, используют градиентные методы, метод скорейшего спуска, нелинейное программирование. Для решения задач во второй формулировке может быть использован метод Ньютона — Рафсона и другие итерационные процедуры. С сущностью и математической формулировкой различных методов оптимизации читатель может познакомиться ь книге А. М. Бояринова и В. В. Кафарова [9]. Подробный обзор обобщенных численных методов расчета равновесных концентраций приведен в работе [10]. [c.367]

Наибольшей общностью обладает метод расчета массообменных режимов экстрактора с помощью ячеечной модели с обратными потоками по обеим фазам, основанный на применении итерационной процедуры Ньютона — Рафсона [54]. Структура модели представлена на рис. У1.5. Трудность расчета обусловлена характером граничных условий для модели данного типа. В соответствии со структурной схемой материальный баланс потоков в статике представляется системой уравнений для фаз [c.388]

Исходную систему уравнений преобразуют в полиномы высокого порядка или системы нелинейных уравнений. Они могут быть решены только численными методами с применением ЭВМ. Расчет по полученным полным уравнениям кислотно-основных взаимодействий можно осуществлять при любом сочетании параметров математической модели, в том числе и в случаях, когда применение приближенных формул затруднено или дает неправильные результаты. Приведение системы к полиному или системе с минимально возможным числом уравнений значительно упрощает процесс программирования по сравнению с программированием исходной системы уравнений. При разработке алгоритма расчетов в итерационную схему включена корректировка средних коэффициентов активности ионов. Были разработаны алгоритм и программа расчетов равновесных концентраций ионов и кривых потенциометрического титрования электролитов [37]. Полученный полином или система решается итерационным методом Ньютона Рафсона, причем в программе предусмотрен автоматический выбор работающих членов полинома или системы уравнений. Обращение к числам очень малого порядка осуществляется путем их логарифмирования и последующей нормализации. [c.8]

Для реш ния задачи идентификации в статике наиболее целесообразно использовать метод Ньютона (либо его модификацию — метод Ньютона — Рафсона), метод Вольфа [41], а также некоторые другие, сводящиеся к итерационному поиску корней систем нелинейных алгебраических уравнений. [c.80]

Корректированные профили, составов и температур определяются с использованием итерационного метода Ньютона-Рафсона. [c.73]

Даже при известных. .. К задача определения состава равновесной смеси, связанная с решением системы п нелинейных уравнений, весьма сложна, поэтому расчеты на первом этапе обычно проводят с использованием той или иной итерационной процедуры, чаще всего с применением наиболее быстродействующего метода Ньютона-Рафсона [75]. [c.170]

Несмотря на хорошие свойства точности и устойчивости, практическое использование неявных методов типа Рунге—Кутта является еще весьма и весьма ограниченным. Причины этого заключаются в больших вычислительных затратах на шагах интегрирования. Из (П7.8) видно, что для вычисления ki требуется организовать итерационный процесс. Простой итерационный процесс является малоэффективным при решении жестких задач, так как он приводит фактически к такому ограничению на размер шага, что и явные методы. Поэтому возникает необходимость использования метода Ньютона—Рафсона или какой-либо его модификации. Это, в свою очередь, приводит к необходимости обращения матрицы размерности тхМ, что соответствует скалярным произведениям. Некоторого сокращения вычислительных затрат достигают за счет Ьи — разложения итерационной матрицы, а также за счет использования одной и той же матрицы на нескольких шагах интегрирования. Это оправдано тем, что итерационная матрица не влияет на порядок точности численной схемы и поэтому необходимость в ее направлении возникает только при значительном замедлении сходимости итерационного процесса. [c.276]

Члены, связанные с конвективным переносом,, всюду равны нулю, т. е. О, и в конечно-разностных уравнениях равны нулю. Для проведения расчетов в этих координатах необходимо аккуратно определять состояние потока на каждом временном шаге б/. Это достигается применением итерационного алгоритма Ньютона — Рафсона, на каждом шаге которого из уравнения (4.65) определяется поправка к начальному приближению Ф. Процесс продолжается до достижения заданной относительной точности по всем переменным бф/ф = = 10- Вследствие нелинейности исходных дифференциальных уравнений итерации могут расходиться, если шаг по времени слишком велик, и нужно предусмотреть уменьшение шага, скажем, вдвое, если сходимость за заданное число итераций не достигается. С другой стороны, для сокращения времени расчета необходимо по возможности увеличивать шаг по времени в пределах отмеченных ограничений. Удобно поэтому начинать расчет с малых значений Ы (скажем, 10 с) и постепенно увеличивать Ы (примерно на 10 %), если на данном шаге достигается сходимость за определенное число итераций. [c.87]

Несмотря на возможную неопределенность, вызываемую влиянием численной диффузии, связанной с наличием конвективных членов, подход Эйлера обладает значительными преимуществами, если цель расчета — только определение параметров установившегося состояния. Так как параметры в каждой точке стационарного потока не зависят от времени, шаги по времени в эйлеровых координатах сами по себе являются хорошим приближением к конечному результату. Вследствие этого не требуется ни применения итерационного алгоритма Ньютона — Рафсона, ни варьирования плотности, пространственного шага или температуры на временном шаге. Таким образом, эти переменные вместе с конвективными членами могут быть вычислены в начале временного шага при помощи вспомогательных соотношений (2.25), (2.26) и (4.48) или (4.50). Это уменьшает число [c.90]

В предшествующих разделах предполагалось ради упрощения, что температура известна и постоянна, однако фактически значение обычно требуется вычислять, решая уравнение (7.21) в каждой точке. Затем из уравнения (7.23) необходимо определить изменение Решение уравнения (7.21) легко находится численно при помощи итерационного метода Ньютона и Рафсона. Определим Р (/,) следующим уравнением [c.305]

Практически решение систем уравнений (1.32) и (1.37) возможни только численными методами на 3BU. Применимы итерационные методы, метод Ньютона - Рафсона и др. Универсальная методика решения системы нелинейных алгебраических уравнений заклвчается в следующем.Система линеаризуется путем логари рования уравнений. Неизвестными становятся lnP и уравнения разлагаются в ряд Тейлора по методу Ньютона. Членами разложения, содержащими производные второго и высших порядков, пренебрегают. Полученная линейная система алгебраических уравнений относитольно lnP может быть решена с помощью стандартных программ для ЭВМ. [c.25]

Метод проб и ошибок, использованный Рудманом [5], состоит в произвольном выборе пар значений неизвестных во всем диапазоне возможных концентраций с последующим отбором тех пар, которые наилучшим образом соответствуют системе уравнений (8.37). Эта процедура требует много времени альтернативный метод, основанный на итерационной технике Ньютона-Рафсона был предложен Кауфманом и Бернштейном Ы. Их м етод состоит в выборе пар приблизительно равновесных, концентраций Х к Х с последующим расчетом более точных значений Х [ Х [c.202]

Поскольку нет уверенности, что сумма членов более высоких порядков, отсутствующих в (8.41), действительно мала, постольку для предотвращения возможного отклонения результатов от точных равновесных концентраций, описанная выше итерационная техника Ньютона-Рафсона применяется при фиксированных температурных интервалах. Эти тесты можно проводить при относительно небольшом количестве температур например через 5° так как исходные составы для каждой итерации довохшно близки к равновесным, итерационная процедура не приводит к существенному увеличению машинного времени. [c.203]

В колонных аппаратах за основу алгоритмов расчета по ступеням равновесия для многокомпонентных систем экстракции чаще всего принимают метод Ньютона—Рафсона, использующий кусоч-ио-линейную аппроксимацию нелинейных уравнений математической модели. Решение осуществляется матричным методом на интервале, где справедлива линеаризация. Описание алгоритма проектного расчета многокомпонентной экстракции по ступеням равновесия дано Рохе [55]. Данный алгоритм использован для решения задачи разделения смеси ацетона и этанола с помощью экстракции двумя растворителями — хлороформом и водой в колонне с 15 ступенями. Расчет многокомпонентного равновесия проводился по трехчленному уравнению Маргулеса. Описанный алгоритм имеет двойной цикл итераций внутренний итерационный цикл заключается в расчете профиля концентрации при заданных граничных условиях, внешний цикл заключается в коррекции составов продуктов на выходе из колонны, удовлетворяющих регламенту. Коррекция осуществлялась за счет изменения расходов растворителей. Для достижения сходимости внутреннего цикла требовалось от трех до семи итераций, тогда как для получения заданного состава понадобилось 14 коррекций по расходам растворителей. Высокая скорость сходимости метода подтверждена работой А. В. Измайлова и Ю. Г. Мицкевича [56]. [c.391]

Расчет следует начинать с входа в циркуляционную трубу, задавшись потоком жидкости, и продолжать вычисления, поочередно прибавляя и вычитая изменения давления. При попытке рассчитать процесс теплопередачи для первого ряда труб теплообменника возникает дополнительная трудность. Ввиду того что по условию задачи моделирования должны задаваться лишь условия на входе, выходная температура и эффективная движущая сила в этих трубах неизвестны. Поэтому необходимо выполнить двойную итерацию следует задать, во-первых, температуру газа на выходе и, во-вторых, температуру газовой смеси непосредственно за каждым рядом труб, чтобы можно было рассчитать эффективную разность температур в трубах. Приняв значение температуры газа на выходе, необходимо добиваться сходимости по температуре поочередно для каждого ряда труб. Таким образом, программа включает три основных итерационных цикла по массовой скорости потока воды, по выходной температуре газа и по средней температуре — движущей силе — для каждого ряда труб. Кроме того, имеются такие программы расчета средней температуры, с помощью которых можно определять различные физические свойства или получать решения других трансцендентных уравнений (например, уравнения Коулбрука для коэффициента трения в однофазном потоке, приведенные в работе Кауфмана [95]). К счастью, используя метод секущих по температурам, расчет выходной температуры можно осуществить за три-четыре итерации. Метод Ньютона — Рафсона, применяемый для обеспечения сходимости по скорости потока воды, требует от четырех до шести итераций, если приближенное значение потока не было известно из предыдущего цикла вычислений. Все прочие итерационные процедуры также основаны на методе сходимости Ньютона — Рафсона. Расчет общего перепада давления во всем контуре для одного приближения по скорости потока, выполняемый по этой программе на вычислительной машине IBM-7040, занимает примерно [c.193]

Программное обеспечение задачи расчета (колонн многокомпонентной ректификации и их комплексов состоит из следующих основных частей подсистема анализа физико-химических данных (подсистема расчета потоков-связей в комплексе колонн подсистемы расчета колонн и вывода результатов расчета. В основу метода расчета колонн положен потарелочный метод Тиле-Гедеса, сформулированный в мат ричной форме (системы уравнений математического описания приводятся к. тридиагональной форме). Для ускорения сходимости итерационных расчетов используется модифицированный метод 0-коррекции [265—268] или метод Ньютона-Рафсона [265— [c.72]

В работе 89] дано описание алгоритма проектного расчета многостадийных противоточных процессов. Метод основан на использовании понятия равновесной стадии, которой ставится в соответствие реальная ступень контакта фаз, причем конструкция контактного устройства подбирается таким образом, чтобы была обеспечена эффективность стадии, которая рассчитывается заранее. Указанный алгоритм не рассчитан на учет обратного перемешивания между стадиями, но позволяет рас-считыцать многокомпонентные системы с нелинейной равновесной зависимостью. В основу алгоритма положен метод Ньютона-Рафсона, использующий кусочно-линейную аппроксимацию нелинейных уравнений математической модели процесса, в которую входят ра вновесная зависимость, покомпонентный и общий материальные балансы на стадиях, суммирующие уравнения (сумма мольных долей всех компонентов на каждой стадии равна единице) и баланс энтальпий или энергетический баланс. Кусочно-линейная аппроксимация позволяет получить решение стандартным матричным методом в пределах интервала, в котором справедлива линеаризация. Данный алгоритм использован для решения задачи разделения смеси ацетона и этанола с помощью экстракции двум растворителями — хлороформом и водой В экстракционной колонне с 15 ступенями разделения. Расчет многокомпонентного равновесия проводился по трехчленному уравнению Маргулеса. Описанный алгоритм имеет двойной цикл итерации- внутренний итерационный цикл, который заключается в расчете профиля концентрации по обеим фазам при заданных расходах обоих растворителей, и внешний итерационный цикл, который заключается в выборе составов продуктов на выходе из колонны, удовлетворяющих регламенту, путем коррекции по расходам растворителей. Для достижения сходимости внутреннего итерационного цикла требуется от трех до семи итераций, тогда как для получения заданного состава продуктов требовалось 14 коррекций по расходам одного или обоих растворителей. [c.128]

Сходимость этого простого итерационного метода очень слаба для больших относительных значений X-, а когда значения Х иХ одного порядка, то этот метод может оказаться пе сходящимся при некотором выборе компонентов. Более сильную вычислительную процедуру дает метод Ньютона — Рафсона [7, стр. 178, 187]. Уравнепие (2.28) мон ет быть паписано в виде [c.73]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология