Решение задач и теоремы существования

Качественные свойства. Очевидно, что гиперболическая система (7) является симметрической (см. 7). Поэтому для нее справедливы все выводы, полученные для уравнений одномерного движения в 15. В частности, верны теоремы единственности решения задач Коши и Гурса, а также некоторых смешанных задач. Теорема существования гладкого решения. [c.264]

Отметим, что без наложения дополнительных ограничений, на параметры задачи (7) —(9) невозможно получить теоремы существования решений в целом . [c.105]

Подчеркнем, что эти теоремы (как, впрочем, большинство теорем существования) не дают метода решения задачи, но констатируют существование решения определенного вида при определенных условиях. Например, пусть Даны два явления I и II. Установлено, что эти явления подобны. Тогда должно выполняться условие я) = Я/ , / = 2, п, где Яу — числа подобия / — порядковый номер числа подобия (считается, что эти условия выполнимы в некотором интервале изменения числа [c.59]

В работах [I], [ 2] доказана теорема о безусловной стабилизации к стационарному решению ограниченных по норме 2+а решений задачи (1)- 3), то есть существование [c.145]

Теорема I.Ha всем интервале существования решение задачи (1)-(2) неотрицательно при неотрицательных начальных данных (4). [c.200]

Теорема 3. На всем интервале существования решение задачи (5) неотрицательно при неотрицательных начальных дан-шос (4). [c.200]

Так как а есть решение задачи 1 (р ), то в силу допущений 1, 3, 4 из теоремы Куна — Таккера [78] следует существование такого О, для которого будут выполнены следующие неравенства [c.350]

Глава 19. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 19.1. О роли компьютеров [c.129]

Гл. 19. Решение задач и теоремы существования [c.130]

В математике совокупность системы дифференциальных уравнений и начальных условий называется задачей Коши. Если ей соответствует некоторая физическая задача, то задача Коши имеет решение, притом единственное. Иными словами, для такой задачи справедлива теорема существования и единственности. Стоит ли в этих случаях ее доказывать [c.131]

В соответствии с общей теорией уравнений в частных производных [55 в областях гиперболичности существуют действительные характеристики. Напомним, что характеристики представляют собой многообразия, на которых система дифференциальных уравнений не может быть приведена к нормальному виду, т. е. не может быть разрешена относительно производных, выводящих из такого многообразия. Это препятствует применению теоремы Коши-Ковалевской, следовательно, решения задачи Коши с начальными данными на характеристическом многообразии, вообще говоря, не существует. Для его существования (которое в данном случае уже оказывается не единственным) необходимо и достаточно выполнения условий согласования начальных данных, которые называются условиями совместности. Интересно, что эти условия совместности являются не чем иным как характеристиками системы уравнений газовой динамики, рассматриваемой в переменных годографа, а условиями совместности последней, наоборот, служат уравнения характеристик в физической плоскости. [c.21]

В силу теоремы существования решения прямой задачи обтекания профиля в докритическом режиме (см. 1), множество решений задачи профилирования не пусто. На множестве решений задачи профилирования может быть поставлена та или иная задача оптимизации. Например, для полета в докритическом режиме с заданной дозвуковой скоростью можно отыскивать крыло с максимальной подъемной силой. [c.163]

Теорема существования н единственности решения задачи (1), (2). Априорная оценка. [c.39]

Доказано (см. М. А. Лаврентьев [4]), что на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем, распространяются многие основные факты теории конформных отображений. В том числе для них справедлива обобщенная теорема Римана, по которой любую односвязную область можно квазиконформно отобразить на каноническую область (круг, полосу и т. п.). Отсюда, в частности, вытекает, что теоремы существования решений задач обтекания тел потоками идеальной несжимаемой жидкости распространяются на случай газовых потоков, в которых ни внутри области, ни на границе не достигается скорость звука. [c.99]

Теорема существования решения задачи Коши, поставленной для системы (1) с начальными данными на гладкой пространству подобной кривой, справедлива (в малом, т. е. в некоторой окрестности начальной кривой), если начальные данные непрерывно дифференцируемы. [c.138]

Теоремы существования решения задачи обтекания справедливы во всем диапазоне входных данных (включая задание циркуляции Г в случае гладкого контура), гарантирующих неравенство це < с. [c.257]

В газовой динамике внешних и внутренних течений различают еще два класса задач прямую и обратную. Прямая задача состоит в определении ноля течения нри заданной форме обтекаемого тела (для внешних задач) или канала (ддя внутренних задач) и заданных граничных условиях. Прямая задача сводится в общем случае к краевой задаче, для которой, как правило, не доказаны теоремы существования п единственности. Обратная задача состоит в определении поля течения при условиях, заданных на некоторой поверхности, и условиях в начальном сечении. При этом форма обтекаемого тела (или канала) не задана и определяется в ироцессе решения. Обратная задача сводится к задаче Коши. В обратных задачах о течении за отошедшей ударной волной задается форма ударной волны и в процессе решения находится форма обтекаемого тела. В обратной задаче теории сонла задается распределение скорости, например, на оси сонла, а поверхность сопла определяется в процессе решения. [c.34]

С использованием леммы доказывается теорема существования и единственности решения задачи (2.7) - (2.8). [c.59]

Применительно к этой задаче условия теоремы П.З сводятся к требованию существования такой функции ф [i, х (i)]. Для которой на допустимом решении и (i), х (t) функция R при каждом t достигает абсолютного максимума по д и по и, как по независимым переменным. [c.128]

Согласно теоремам двойственности линейного программирования [56], существование решения прямой задачи (17) влечет существование двойственной задачи [c.203]

Доказательство. Прежде всего заметим, что из условия теоремы следует существование сильного решения ф t) задачи Коши [c.392]

В настоящее время для этой задачи теорема существования не доказана даже для уравнения Трикоми единственность решения для уравнения Чаплыгина — при достаточно малом значении была доказана Ф.И. Франклем [104]. (Для простейшей модели уравнения смешанного типа—так называемого уравнения Лаврентьева-Бицадзе — существование и единственность решений задачи сверхзвукового обтекания конечного [c.225]

Пусть u(x, t) — ограниченное в норме (Q) решение этой задачи, причем функция F(x, и, и)—гладкая, уравнение (18) нормально параболическое. В иредиоложении, что стационарная задача имеет не более чем счетное число решений, можно доказать существование lim м(х, i) = у(х), являющегося стационарным решением. В случае и = 1 справедлива теорема о стабилизации без каких-либо иредноложепий о структуре стационарных решений. [c.93]

Задача оптимизации состоит в определении управления, при котором критерий качества (4.567) достигает минимального значения. Используя известные теоремы о существовании и единственности решения задачи минимизации функционала (см., папример, приложение II в [15]), заключаем, что для существования и единственности решепия поставленпой задачи достаточно потребовать, чтобы [c.279]

Данный метод называется методом точечной релаксации. Он является сходящимся при вьгаолненпи ограничения (4.602), предположения о непрерывной дифференцируемости функционала У и условий теоремы существования и единственности. Эта теорема доказана в предположении, что задача (4.603) решается точно, однако на практике наиболее существенным моментом является проблема построения этого точного решения. [c.285]

Ддя квазилинейных систем получены априорные оценки решений в нормах лис первой краевой задачи,доказана теорема существования полохителышх решений, сформулирован и доказан принцип максимума. В линейном случае доказана позитивность мишшального собственного значения и найден алгоритм вычисления размерности пространства собственных функций в соответствии с топологией графа. [c.187]

Заметим, что существование непрерывной части спектра не при тиворечит теореме Эллиотта, так как 6i = 0 — естественная граница в смысле Феллера. Отметим также, что поскольку теорема Эллиотта неприменима, остается пока открытым весьма деликатный вопрос о том, образуют ли собственные функции полную систему в i[0, оо) или функции= р5(л )ф — в Li(0, оо). К этой важной проблеме мы еще вернемся в конце этого раздела. Все результаты относительно собственных значений и собственных функций УФП для модели Ферхюльста могут быть получены и другим способом [6.28], а именно решение задачи на собственные значения можно свести к решению уравнения Уиттекера с соответствующими граничными условиями. Действительно, полагая ) [c.199]

Задача безотрывного обтекания профиля с острой задней кромкой дозвуковым (на бесконечности) потоком совершенного газа была впервые рассмотрена М.В. Келдышем и Ф.И. Франклем [45]. Ими была доказана теорема существования и единственности решения задачи обтекания профиля потоком достаточно малой дозвуковой скорости, подчиняющегося условию Жуковского-Чаплыгина. Полученные в процессе доказательства строгие асимптотические оценки решения в окрестности бесконечно удаленной точки позволили обосновать справедливость теоремы Жуковского для совершенного газа. [c.134]

В теореме Келдыша-Франкля не была установлена связь между Мкр и верхней границей чисел Маха, при которых эта теорема правомерна. Эта связь, а точнее, полная теорема существования и единственности [138, 14Г гарантирует для каждого профиля с острой задней кромкой существование такого Мкр, что при О < Мо < Мкр существует единственное решение прямой задачи обтекания профиля, удовлетворяющее условию Жуковского-Чаплыгина, причем скорость непрерывно зависит от Мо . (В теореме Келдыша-Франкля эта зависимость аналитическая.) Максимальное число М на профиле стремится к нулю при О и к единице при Моо Мкр. При Моо > Мкр наступает сверхкритическое обтекание, характеризуемое появлением сверхзвуковых включений. В силу изменения типа уравнения в сверхзвуковых подобластях, прямая задача обтекания [c.134]

Действительно, метод Чаплыгина-Лайтхилла основан на идее непрерывного преобразования решения задачи обтекания профиля несжимаемой жидкостью в некоторое решение уравнений идеального газа, соответствующее обтеканию деформированного профиля. Если даже исходный профиль был оптимальным в потоке несжимаемой жидкости, то эта оптимальность нарушится при его перестроении, так что неизвестно, что лучше перестраивать профиль, либо оставить его неизменным для движения в сжимаемом газе — ведь как следует из теоремы существования [14 Г (см. 1), аэродинамические характеристики непрерывно зависят от М о. Пожалуй, единственное существенное преимущество метода Лайтхилла состоит в возможности профилирования крыла для полета в сверхкритическом режиме, но с непрерывным течением в местной сверхзвуковой зоне (без скачков уплотнения). [c.141]

Теория псевдоаналитических функций и квазиконформных отображений в принципе позволяет обобщить изложенный метод на случай дозвукового течения сжимаемого газа. В монографии [66] О это достигнуто путем доказательства существования обобщенного решения задачи Гильберта (содержащей задачу Дирихле) для квазилинейного равномерно эллиптического уравнения, описывающего квазиконформное отображение. Это отображение позволяет найти скорость набегающего потока и профиль крыла по заданному распределению скорости (при условии выполнения двух условий разрешимости, обеспечивающих замкнутость контура). По-видимому, тот же результат, но уже для классического решения, может быть получен на основе принципа подобия для псевдоаналитических функций, аналогично теореме существования дозвукового обтекания заданного профиля потоком достаточно малой дозвуковой скорости (см. 2). Псевдоаналитическая функция, выражающая сопряженную комплексную скорость Ш = и — гу, допускает представление [c.146]

Теорема существования и единственности решения задачи Трикоми рассматривалась К. И. Бабенко [93] для уравнения Трикоми ему удалось снять обычно накладываемое ограничение на форму контура в дозвуковой части вблизи звуковой линии (это условие требует по меньшей мере ортогональности контура звуковой линии). При этом решение обладает свойством, что его производные могут обращаться в бесконечность порядка ниже 2/3 (т.е. фи,Фу = 0(г + где > 0). Покажем, что это решение (точнее говоря, решение сформулированной выше задачи об угловой точки в струе) не может быть представлено в виде асимптотического ряда по решениям уравнения Трикоми (10) со степенными особенностями на звуковой линии. [c.216]

В 1, 2 рассматриваются классическая и обобщенные постановки краевых задач для уравнения теплопроводности, в 3 приводятся обобщенные постановки задач для основных уравнений математической физики, формулируются теоремы существования и единственности обобщенных решений. Более полное изложение этих вопросов содержится в люнографиях [74—76, 78— 80, 147, 151, 155] и статьях [43, 51, 77, 104, 105, 171]. [c.25]

В этой теореме можно заменить пространство любым множе-ство.м Ы С R , лишь бы данные (I) были аналитичны в окрестности М. Недостатком теоремы 1 является то, что она гарантирует существование решения задачи Коши только, как говорят, в малом по t в смысле ограничения [i < q(x). Однако, как выяснится в дальнейшем, та- [c.64]

Приведенная теорема по существу обобщает теорему 1.3 на неполуограниченные операторы А. Следующее утверждение обобщает ее на случай, когда неясно существование сильного решения задачи Коши (1.15). [c.394]

Т. И. Зеленяком предложен метод функционалов Ляпунова для доказательства стабилизации равномерно ограниченных в + (Q) решений краевых задач для квазилинейного параболического уравнения с одной пространственной переменной [51. Однако существование функционалов Ляпунова для систем параболических уравнений еще не обеспечивает, вообще говоря, свойство стабилизации нестационарных решений [19], и структура предельного множества решения может быть весьма сложной. В силу специфики задачи (7) —(9) и знания структуры множества п. т. д. р. (теорема 2) в рассматриваемом случае удается построить функционал Ляпунова явно и доказать стабилизацию решений. Отметим, что требование равномерной ограниченности решения в (Q) можно ослабить, заменив ограниченностью в (Q), Требование существования п. т. д. р. а можно также ослабить, заменив существованием положительной точки комплексного балансирования, как это сделано в работе [15] в случае ц,(и) = 1пм.. Однако нельзя полностью отказаться от требований, гарантирующих существование функционалов Ляпунова, так как известные уравнешш Лотка — Вольтерра и их модификации [4, 10] входят в класс уравнений (7) и обладают периодическими по t решениями. Поэтому для этих систем нет стабилизации решений. В качестве иллюстрации сказанного приведем модель из работ [4, 10, 20]. [c.111]

В рамках приведенных ограничений в виде аксиом и кинетики Марселена — Де Донде доказаны теоремы о стабилизации решений, о существовании и устойчивости стационарных решений — положительных точек детального равновесия. Сформулированы условия, обеспечивающие корректность задачи в малом и целом . Приведенные примеры показывают существенность этих условий для утверждений теорем, одновременно демонстрируя возможность описания известных физических законов и неизотермических систем в рамках данных моделей. Доказанные теоремы дают математическое обоснование известных физико-химических представлений о химических реакциях и процессах диффузии. [c.168]

Теорема двойственности, связывающая прямую и двойственную задачи и их решения, получает в этой интерпретации конкретный смысл. В частности, если исходная задача разрешима, то гарантируется существование onTHMaJfbHbix оценок ингредиентов. При этом максимальный возможный доход предприятия совпадает с минимальной суммарной оценкой всех ингредиентов. [c.196]

Допустим теперь, что имеются два различных вектора напряжений р (х) и р (х) на Z, таких, что соответствующие им перемещения на S совпадают. Тогда разность этих решений определяет некоторое поле перемещений в объеме V с нулевым вектором перемещений на S, вызванное нагрузкой Apf (x) = pjj. (j ) — pf (x) 0 на Z,. Существование такой нагрузки Apk (Jf) Ф 0 противоречит теореме Апьманси [12], которая утверждает, что в упругом теле, имеющем участок поверхности (даже сколь угодно малый) с равными нулю векторами напряжений и перемещений, напряжения отсутствуют во всем объеме тела. Следовательно, Др (л ) = О, и задача [c.64]

Существование такого перехода, которое следует из теоремы о неявных функциях, позволяет легко сформулировать необходи-ше и достаточные условия для условных экстреглумов. Под конструктивностью преобразования (3 ), имеется ввиду возможность практического вычисления первых и вторых производных от функции по переменным у, которые только и требуются для формулировки необходимых и достаточных условий экстремумов и для решения соответствующих задач на условный экстремум. [c.174]

Уравнение для отыскания собственных значений. Случай, когда нет собственных значений. Случай, когда любое число является собственным значением. Вычисление решений дифференциального уравнения в виде ряда по степеням параметра. Теорема о существовании бесчисленного множества собственных значений задачи Штур.ча—Лиувилля (начало). [c.421]

Примеры из физики всем известны. Так, вопрос о физическом существовании атомов был настолько далек от задач, решавшихся в физике позапрошлого века, что в прошлом веке многие объявили его неразрешимым и бессмысленным, а в начале нынешнего он успешно перешел в разряд окончательно решенных. Евклидовость геометрии реального мира (применимость теоремы Пифагора к физически существующим треугольникам) долгое время считалось настолько очевидной, что никаких вопросов не возникало. А сейчас, после Эйнштейна, мы уже знаем, что геометрия физического мира неевклидова. [c.16]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология