Колебания струны

В 1924 г. французский физик Луи де Бройль (р. 1892 г.) выдвинул дополнительную гипотезу, что все материальные объекты обладают волновыми свойствами. Де Бройль размышлял над моделью атома Бора и задавал себе вопрос-в каком из явлений природы естественнее всего происходит квантование энергии Несомненно, оно имеет место при колебаниях струны, закрепленной на обоих концах. Скрипичная струна может колебаться только с некоторыми определенными частотами она издает основной тон, когда вся колеблется как единое целое, а также обертоны с более короткими длинами волн. Колебание с длиной волны, при которой амплитуда не становится равной нулю одновременно на обоих концах закрепленной струны, не может осуществляться (рис. 8-15). (Точка струны, в которой амплитуда стоячего колебания равна нулю, называется узлом, а точка с максимальной амплитудой колебания-пучностью.) Таким образом, наличие особых граничных условий, требующих неподвижности крайних точек струны, приводит к квантованию колебаний (т. е. к отбору допустимых колебаний). [c.353]

Решение полученного дифференциального уравнения, в результате чего получают выражение общего вида для амплитуды. Для колебаний струны с закрепленными концами таким решением является синусоидальная стоячая волна. Пока что не накладывается никаких ограничений на длину волны или на частоту колебаний. [c.361]

Исключение всех решений уравнения, кроме тех, которые оставляют неподвижными концы струны. Это ограничение на допустимые решения волнового уравнения называется граничными условиями. На рис. 8-15, а показаны решения, удовлетворяющие граничным условиям о неподвижности концов струны на рис. 8-15,6 показаны решения, не удовлетворяющие таким условиям. Допустимы только те колебания струны, для которых длина волны определяется соотношением Х = 2а/п, т. е. v = п/2а, где п = 1, [c.361]

Таким образом, мы видим, что за квантование длин волн колебаний струны ответственно не само волновое уравнение, а граничные условия колебаний. [c.361]

Уравнение колебаний струны. Амплитуда колебания на расстоянии х от конца струны обозначается А(х). Дифференциальное уравнение движения струны имеет вид [c.362]

Синусоидальная функция, являющаяся решением уравнения колебаний струны, характеризуется одним целочисленным квантовым числом и = 1, [c.363]

Квантовая теория теплоемкости Дебая. В теории П. Дебая (1912) кристалл рассматривается не как дискретное тело, а как упругий континуум (однородная изотропная непрерывная упругая среда), участвующий в колебаниях со всеми возможными частотами. Тогда задача определения спектра твердого тела становится аналогичной задаче определения спектра колебаний струны. [c.73]

Различные виды колебаний струны проще всего характеризовать целыми числами — числом пучностей. Эти целые числа аналогичны квантовым числам. [c.59]

Найдено, что уравнение этого вида применимо почти ко всем формам волнового движения, начиная от колебания струны и кончая электромагнитным излучением. В трехмерном декартовом пространстве волновое уравнение будет иметь вид [c.44]

Уравнение Шредингера для стационарных состояний сходно с уравнением для колебания струны, закрепленной с двух концов. Состояние колеблющейся системы в этом случае представляет собой картину так называемых стоячих волн . Их можно получить, если, например, встряхнуть прикрепленную к стене веревку за свободный конец. Распределение амплитуд приобретает постоянный характер в результате сложения волны, бегущей от руки к стене, с волной, отраженной от стены. Возникает система узлов , в которых амплитуда равна нулю, и пучностей , в которых она достигает максимальной величины. [c.59]

Довольно грубую, но наглядную аналогию представляет собой квантован- ность колебаний закрепленной на своих концах струны (рис. 4.2). Видно, что возможны лишь такие колебания струны, длины волн которых X укладываются целое число раз п в удвоенную длину струны 21 [c.52]

Эти частные дифференциальные уравнения известны из теории колебаний струны. Общее решение, например, уравнения (692) записывается в виде [c.397]

Колебания струны и случайные поля 71 [c.1]

КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ И СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ [c.71]

Аналитические методы, развитые Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768—1830), сыграли важную роль в развитии прикладной математики Особенно важны они для трех приложений а) для изучения периодических решений физических задач, описываемых дифференциальными уравнениями, особенно уравнениями в частных производных, например, для изучения волновых колебаний струн, возбужденных щипком, или для передачи электромагнитных волн по волноводам или кабелям, б) как операционный способ решения дифференциальных уравнений, например, обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами можно перевести с помощью преобразования Фурье в алгебраические уравнения, в) для приближения непериодических функций. [c.33]

Шредингера аналогично уравнениям во.п-новых процессов. Поэтому целесообразно использовать наглядные аналогии , чтобы лучше уяснить себе различные особенности уравнения Шредингера. Такие наглядные аналогии будут рассмотрены в следующих разделах, где подробно разбираются одномерные, двухмерные и трехмерные механические колебания (колебания струны, мембраны и пылевого шара ), [c.185]

Рис. 223. К выводу уравнения колебания струны

В 1924 г. молодой французский физик Луи де Бройль выдвинул встречную гипотезу не только излучение обладает корпускулярными свойствами, но и материальные частицы обладают волновыми. Из теории колебаний известно, что колебания струны устойчивы во времени только тогда, когда на ее длине укладывается целое число полуволн, т. е. когда образуется стоячая волна. Де Бройль экстраполировал представления о стоячих волнах на боровскую модель атома, предположив, что электрон-волна может устойчиво существовать на орбите только в том случае, если длина его орбиты 2пг равна целочисленному кратному п от длины волны X 2пг = = пк. Совместное рассмотрение этого уравнения с первым постулатом Бора (4) приводит к формуле де Бройля для длины волны [c.77]

Для того чтобы представить себе электрон в виде трехмерной стоячей волны, остановимся сначала на более простой одномерной модели стоячей волны, в качестве которой можно взять струну, закрепленную на концах (рис. 2.5). Струна способна издавать звуки только определенных частот, так как на ее длине может уложиться лишь целое число (п) полуволн - это и есть квантование энергии колебаний струны. Для описания характера стоячих волн одномерной системы достаточно одного числа п, которое однозначно определяет длину волны и число узловых точек, в которых струна неподвижна, как и на закрепленных концах. [c.26]

Рис. 2.5. Колебания струны -одномерного осциллятора

Для любого уравнения волнового движения очень важную роль играет квадрат амплитуды волны, который, например, для уравнения колебания струны пропорционален ее энергии колебания, для энергии электромагнитного поля плотность энергии пропорциональна величине (Е + где Е — вектор электрической, а Н — магнитной составляющей электромагнитного поля [c.41]

Физически осмысленные решения уравнения Шредингера могут быть получены лишь при некоторых граничных условиях в качестве аналога можно рассмотреть колебания струны длиной Ь, закрепленной в двух точках Эти ограничения на допустимые колебания и являются граничными условиями Тогда возможны лишь колебания, для которых длина волны соответствует уравнению [c.37]

Уравнение (19) справедливо, например, для колебаний маятника. Но это же уравнение описывает и колебания струны, или периодические изменения плотности воздуха в звуковой волне, или электромагнитные колебания при условии, что рассматриваются простые колебания, т. е. такие, которые происходят с одной частотой и постоянной амплитудой. [c.116]

Задача о свободных колебаниях струны, закрепленной на концах. Рассмотрим однородную упругую струну, натянутую вдоль оси Охи закрепленную за два конца. Пусть в какой-то момент времени струна выводится из этого состояния покоя (например, щипком или нажимом в какой-либо ее точке) и затем внешнее механическое воздействие на струну прекращается. Струна начинает колебаться, и ее колебания будем называть свободными колебаниями. Предположим, что колебания происходят так, что каждая точка струны отклоняется по перпендикуляру к оси Ох и все эти перпендикуляры лежат в одной и той же плоскости. Будем, кроме того, изучать малые колебания струны, т. е. такие колебания, при которых наклон струны к оси Ох (т. е. угол между касательной к струне и осью Ох) остается все время очень малым. [c.227]

Если обозначить через и х, I) смещение (по перпендикуляру к оси Ох) точки струны с абсциссой х в любой момент времени то уравнение свободных малых колебаний струны имеем вид [c.227]

Таким образом, найдено решение уравнения свободного колебания струны, удовлетворяюш,ее указанным краевым и начальным условиям [c.230]

Находим коэффициенты ряда, определяющего решение уравнения колебаний струны [c.230]

Центровку выполняют (рис. 14.1, а) с помощью вертикально опущенной струны-отвеса, изготовленной из стальной проволоки диаметром 0,5 мм, с грузом массой 10-15 кг на конце. Для предотвращения колебания струны в процессе измерений груз перемещают в емкость с вязким маслом, установленную в горловине всасывающей трубы. Верхний конец струны закрепляют на изолированном кронштейне, установленном над фундаментными плитами нижней крестовины электродвигателя. Струну соединяют через чувствительный миллиамперметр или милливольтметр с одним из полюсов источника постоянного тока (сухих батареек), а другой полюс соединяют с центрируемыми корпусными настями насоса. Иногда вместо электроизмерительных приборов применяют радионаушники или электролампочки. [c.179]

Маловероятно, что полосы при 2105 и 2055 сл1 соответствуют антисимметричным и симметричным валентным колебаниям струн- [c.120]

Свойство сверхтекучести было обнаружено и в другом изотопе гелия Не . Сверхтекучий Не может находиться в одной из двух фаз А или В, обладающих различными магнитными и гидродинамическими свойствами. Переходы происходят при температуре Г 2—3 мК и давлении р от нуля до 33 атм. Характер упорядочения в Не гораздо сложнее, чем в Не, но и здесь можно говорить об исчезновении вязкости. Экспериментально обнаружено уменьшение коэффициента затухания колебаний струны, помещенной в жидкий Не [13]. [c.13]

Вследствие этого планетарная теория атома сменилась новым этапом в развитии учения о строении атомов — так называемой волновой механикой, в которой сохранилось рациональное зерно планетарной теории, но представление об обращении электронов по плоским, круговым или эллиптическим орбитам вокруг ядра было отброшено. Таким образом, законы движения электронов в атоме не аналогичны законам движения небесных тел (законы Кеплера), а находятся по крайней мере в формальной аналогии с законами колебаний струн и выражаются сходными уравнениями. Волновая механика отрицает при этом возможность построения наглядной модели в смысле зрительного образа атома, так как, вступая в мир микропроцессов , мы вступаем в мир явлений, качественно отлетных по своей природе от явлений макромира, [c.55]

Это явление сходно с образованием стоячих волн на струне, закрепленной на своих концах или на мембране, натянутой на обруч (барабан), но только в атоме оно происходит в пространстве трех измерений. Уравнение, определяющее распределение стоячих волн в атоме, сходно с уравнениями для колебаний струны или мембраны в том, что во всех этих случаях оно решается с помощью введения целочисленных параметров. В случае атома эти параметры и оказываются так называемыми квантовыми числами. [c.172]

В 1926 г. Эрвин Шрёдингер (1887-1961) предложил описывать движение микрочастиц при помощи выведенного им волнового уравнения. Нас не столько интересует математический вид уравнения Шрёдингера, сколько способ нахождения его рещений и извлечения из них необходимой информации. Поняв, как поступают при решении уравнения Шрёдингера, можно, даже не проводя самого решения, составить представление о причинах квантования и о смысле квантовых чисел. В данном разделе мы попытаемся объяснить общий метод решения дифференциальных уравнений движения, с которыми приходится встречаться в квантовой механике. Этот метод будет пояснен путем рассмотрения более простой аналогии-уравнения колебаний струны. [c.360]

Сначала составляют волновое уравнение общего вида для частицы-уравнение Шрёдингера, в которое входит функция i(/(x, у, z) ( /- греческая буква пси ), являющаяся аналогом амплитуды А(х) в нашей аналогии с колебаниями струны. Квадрат этой амплитудной функции [ определяет относительную плотность вероятности обнаружения частицы в точке с координатами (х, у, г). Это означает, что вероятность обнаружения частицы в небольшом элементе объема dv вокруг точки (х, у, г) определяется произведением t dv. [c.361]

Так как электрон обладает волновыми свойствами, его движение можно описать волновым уравнением, подобно тому, как описывают световые и звуковые волны, колебания струны. Такое уравнение было предложено р 1926 г. австрийским ученым Эрвином Шрёдингером и носит его имя. [c.29]

Систему уравнений (1.75) — (1-77) называют системой рекуррентных формул теории возмущений Рэлея—Шрёдингера, так как аналогичные уравнения возникают при использовании введенного еще Рэлеем метода расчета колебаний струны. [c.23]

Сформулируем основные требования к искомому уравнению. Прежде всего это волновое уравнение, и поэтому можно думать, что оно обладает по крайней мере некоторыми свойствами обычных волновых уравнений, описывающих, например, колебания струны скрипки, в данной книге рассматриваются в основном характеристики систем, не зависящие от времени. Будем исследовать допустимые уровни энергии атома или молекулы, игнорируя то обстоятельство, что вследствие испускания излучения или других процессов, меняющих энергию, уровень может существовать лишь короткое время. Таким образом, искомое уравнение не будет содержать времени. В частности, в него не будут входить производные по времени (в противоположность широкоизвестному математическому описанию волнового движения таких систем, как струна скрипки). Однако следует ожидать, что те величины, которые входили бы в классическое рассмотрение — кинетическая энергия частиц, отталкивание частиц с одноименными зарядами и притяжение с разноименными — должны [c.19]

Уравнению (2.7) и его решению было уделено столько внима-ния потому, что физическая картина волн материи, к описанию которой мы переходим, очень близка к рассмотренному случаю колебания струны. Уравнение для волн материи можно получить, просто заменив длину волны X в уравнении (2.7) импульсом р, пользуясь соотношением де Бройля (2.4). Для одной частицы, движущейся в одномерном пространстве х с импульсом Рх, волновая функция [которая по традиции обозначается греческой буквой -ф] удовлетворяет уравнению [c.21]

После того как идентифицированы и отнесены к определенным нормальным колебаниям все основные частоты, возможны два пути их применения. Во-первых, в принципе можно найти силовые постоянные молекулы. Это постоянные пропорциональности, определяющие частоты совершенно так же, как постоянная закона Гука определяет частоту колебания струны. На основании этих силовых постоянных можно сделать ряд выводов относительно электронного распределения и прочности различных связей. Во-вторых, можно вычислить величину, известную под названием функции распределения. Она показывает, как накапливается энергия молекулами данного соединения, и позволяет вычислять такие макроскопические величины, как свободная энергия, теплоемкость, энтропия и константы равновесия (см. стр. 186). [c.333]

Резонирующее лешочно-струнное сито (РЛСС) представляет собой просеивающую поверхность, состоящую из отдельных элементов лент-струн с периодическими выступами-зубцами с одной стороны ленты. Ленты струны устанавливаются с относительным натяжением 25-30 %. Конструктивные параметры и натяжение лент-струн выбирают таким образом, чтобы при работе грохота с материалом на рабочем органе обеспечивалась близость частоты основного тона свободных колебаний струн к частоте колебаний грохота. В результате амплитуда колебаний лент-сгрун возрастает в 2-3 раза по сравнению с амплитудой колебаний грохота и обеспечивает более интенсивное вибрационное воздействие на материал, способствующее расслоению по крупности материала. [c.7]

По формуле (46) определяются погрешности некоторых приборов и измерительных средств, основанные на измерении времени, частоты, теплового расширения, а также средств, погрешность которых определяется погрешностью исходных величин и коэффициентов, входящих в выражение для подсчета результатов в виде сомножителя. Сюда же следует отнести некоторые средства измерений с пропорциональными приспособлениями и с переменным пределом измерений или ценой деления (например, имеющие несколько диапазонов). К таким приборам и средствам измерений относятся тахоскопы, стробоскопы и тахометры, основанные на измерении частоты (например, тахометр ТСФУ) рычажные и ленточные весы динамометры основанные на измерении частоты собственных колебаний струны, на которую действует усилие частотомеры термометры сужающие устройства для измерения / расхода (без дифманометра). [c.85]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология