Генеральные средние величины

В этом выражении f(j ) — функция распределения вариант по вероятности попадания в интервал от д до л + dx-, параметр ц является среднеарифметическим (далее для краткости — средним) по всей совокупности измерений или генеральным средним-, при п - -> оо и отсутствии систематических ошибок ц становится равным истинной измеряемой величине. Отклонение x — л есть единичная абсолютная ошибка измерения параметр называют дисперсией, корень квадратный из дисперсии о — стандартным или среднеквадратичным отклонением-, чем о меньше, тем кучнее располагаются варианты около генерального среднего, тем уже вероятный интервал, в котором находится истинное значение х. Площадь под кривой Гаусса в пределах п = 1 до с равна единице. Так как измерения при п- оо неосуществимы, то неизвестны ни д., ни [c.6]

Строго говоря, этот предел и следует называть стандартным отклонением, а квадрат этой величины — дисперсией измерений. Таким образом, в условиях аналитического определения обычно находят выборочное среднее х, а не генеральное среднее ц, и выборочное стандартное отклонение 5, а не а. [c.127]

Пример 4. Определить, существует ли значимое различие между выборочной средней величиной при определении процентного содержания серы в каменном угле 2,10 2,12 2,13 2,15 2,15 и средней генеральной совокупности (для я = 80) ц = 2,15%. [c.200]

Если исследуемая величина X подчинена нормальному закону расиределения, то из генеральной совокупности берется объем п, с учетом генеральной средней х. Вероятность отклонения выборочной средней (х) от генеральной средней на заданную величину А, т. е. вероятность того, что выборочная средняя X попадает в интервал от ж—Д до х+А определяется интегралом вероятности [c.15]

Случайная величина X — выборочное среднее — есть оценка /х генерального среднего). [c.422]

Таким образом, математическое ожидание среднего значения X есть генеральное среднее /х исходной величины X. Также можно показать, что [c.423]

Для задачи, сформулированной в предыдущем примере, рассчитайте вероятность ошибки второго рода и мощность теста для выборки объемом п = 9 и 27. Примите уровень значимости а = 0,05 и предположите, что истинное значение генерального среднего равно 0,31 г (напоминаем, что в действительности эта величина никогда не бывает точно известна). [c.440]

Следовательно, средняя величина X не отличается значимо от средней ц генеральной совокупности. [c.291]

Учитывая случайный характер величины Дх, истинное значение признака X можно определить только с определенной (доверительной) вероятностью, характеризующей возможность попадания генеральной средней в симметричный доверительный интервал х— [c.92]

Для сжатого описания некоторых основных особенностей распределения вероятностей случайных величин служат числовые характеристики этих величин, наиболее употребительными из них являются математическое ожидание и дисперсия. Математическое ожидание является генеральной средней случайной величиной, т. е. это та точка, вокруг которой группируются возможные значения случайной величины. [c.114]

Полученные величины являются оценками для генерального среднего Ц4 и генеральной дисперсии у], которые, [c.153]

Если случайная величина есть вектор, например = z , 23,. . ., г (], она характеризуется вектором генеральных средних (х и дисперсионной матрицей В (г ж). Эта матрица является квадратной матрицей порядка п С элементами а . По определению [c.153]

Из уравнения (26-7) следует, что генеральная дисперсия является средним арифметическим площадей отклонений индивидуальных значений х, от генеральной средней ц. С другой стороны, при рассмотрении конечной выборки лучше использовать величину п—1, чем N случайных величин. Очевидно, для больших значений N несущественно, используется ли п—1 или п, но для небольшого числа наблюдений, которые особенно важны в аналитической химии, различие имеет значение, и мы должны выяснить причину этого. [c.584]

Более простой метод, который часто применяется для малого числа наблюдений, основан на определении доверительных границ для диапазона значений Я, представляющего собой разность между наибольшими и наименьшими величинами в выборке. Для определенной степени доверительной вероятности генеральная средняя находится в пределах [c.589]

Такая проверка имеет ограниченное применение, так как в ней считается известной генеральная средняя 1. Если хотят узнать отклонение от теоретической величины и если имеется нормальное распределение ошибок около теоретического значения, то теоретическое значение и есть генеральная средняя д.. Кроме того, если имеется относительно большое число данных, соответствующее п>30, то средняя из этой выборки может считаться оценкой 1, а средняя меньшего ряда может с ней адекватно сравниваться. Часто, однако, желательно сравнить средние двух относительно малых рядов из П и 2 наблюдений, средние которых соответственно х и Х2, если можно считать, что дисперсии внутри рядов равны дисперсиям при случайном отборе. Для контроля однородности дисперсии применяется / -критерий (см. ниже этот же раздел). Дисперсия для двух выборок следующая [c.592]

Обычно генеральная дисперсия G неизвестна и поэтому приходится использовать оценку s из ограниченного числа п наблюдений. Это требует введения критерия Стьюдента ( -критерия), который используется таким же образом, как и при проверке гипотезы, касающейся определения средней величины неизвестной совокупности. [c.609]

Предполагаем, что дисперсионный анализ проведен и что величины Sp s и являются оценками компонент дисперсии а , и для двух стадий отбора пробы и для определения. Эти компоненты составляют дисперсию оцениваемой генеральной средней. Таким образом [c.633]

Оценки параметров распределения. Уже говорилось (п. 1) о том, что одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины X по данным выборки. При этом в теоретических рассуждениях считают, что генеральная совокупность бесконечна. Это делается для того, чтобы можно было переходить к пределу при п —оо, где п — объем выборки. Для оценки параметров распределения X из данных выборки составляют выражения, которые должны служить оценками неизвестных параметров. Папример, X (п. 2) является оценкой генеральной средней, [c.305]

Среднее значение х называется выборочным средним в отличие от генерального среднего [г. Для среднего значения случайной величины употребляются также другие обозначения М х), Е х . (Фигурные скобки указывают на то, что здесь имеется в виду не функция от х, а число, соответствующее всей функции распределения.) [c.39]

Распределение ошибок для конкретной совокупности данных выражается двумя параметрами ц и а Генеральная средняя ц выражает значение измеряемой величины стандартное отклонение 0 выражает рассеяние и является поэтому показателем точности. [c.571]

Выборочное стандартное отклонение является важным для эксперимента как оценка искомого стандартного отклонения совокупности, которое при конечном числе измерений определить нельзя. При случайной выборке величина 5 с увеличением объема выборки все более и более приближается к а. Аналогично выборочная средняя X с увеличением объема случайной выборки все более приближается к генеральной средней ц. Хотя во многих практических работах стандартное отклонение из некоторого конечного числа наблюдений представляют как а, строго говоря, символ а следует сохранить для генеральной совокупности. [c.573]

Неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева используется в тех случаях, когда распределение результатов и случайных ошибок анализа заведомо отлично от нормального. С помощью этого неравенства удается получить загрубленные статистические оценки для генерального среднего по выборочному среднему Хп, если известна величина генеральной (о ) или по крайней мере выбо/рочной дисперсии (31). [c.84]

Непараметрическая статистика. Если о законе распределения случайной величины ничего не известно, некоторые оценки можно получить методами непараметрической статистикн. Таким методом, в частности, является метод построения Доверительного интервала для генерального среднего при помощи неравенства Че- [c.74]

В практических расчетах округляют мнол итель 4,46 до 5 (что соответствует (5 = 0,96). Отклонения с вероятностью р<0,04 будем считать практически невозможными. Отсюда следует каково бы ни было распределение генеральной совокупности случайной величины X с дисперсией отклонение от генерального среднего больше чем на 50 практически невозможно (см. формулу (11.120) длл оценки коэффициента эксцесса). [c.75]

В теории погрешностей доказывается, что если погрешности следуют закону распределения Гаусса, то наиболее вероятным и надежным значением измеряемой величины является математическое ожидание или среднее арифметическое полученных равноточных результатов измерений. Строго это положение относится к гипотетической генеральной совокупности, т. е. совокупности всех наблюдений, мыслимых при данных условиях. Арифметическое среднее этих наблюдений называют генеральным средним ц. В аналитической химии число параллельных определений обычно невелико и совокупность полученных результатов называют выборочной совокупностью или случайной выборкой. Сред-нее значение результатов случайной выборки называют в ы-борочным средним. Методами статистического анализа можно по результатам случайной выборки оценить параметры генеральной совокупности и таким образом найти наиболее вероятное значение содержания компонента в пробе. [c.126]

Однако наиболее распространена ситуация, когда объем выборки достаточно мал, например в силу ограниченного количества образца или больших затрат на выполнение одного определения. Тогда, в предположении, что величины Хх,Х2, Хп независимы и имеют одно и то же распределение сг ), можно считать, что величина Т = (X — имеет распределение (см. выше, <-рс1Спределение Стьюдента), и ргьссчитывать доверительный интервал для генерального среднего /х как [c.432]

По результатам опроса экспертов рассчитываются также коэффициент конкордации и дисперсия экспертных оценок и т. п. Но, несмотря на весь этот набор статистик, заданные значения е, V, а неправомерно интерпретировать как показатели точности и достоверности коэффициентов значимости единичных показателей качества (В ). Статистический смысл Е, V, а только в том, что они устанавливают допустимые количественные соотношения между выборочной средней экспертной оценкой и генеральной средней, характерной для генеральной совокупности экспертов (т. е. для бесконечного их числа). К точности же самих коэффициентов значимости Л, названные статистические характеристики не имеют отношения и не могут их обеспечить, как бы не ужесточались значения е и а. Они определяют лишь с вероятностью а меру расхождения е выборочной средней экспертной оценки 5, и генеральной средней. Но дело в том, что при подобном подходе нет объективных оснований истинности самой генеральной средней. Проблема оценки погрешности генеральной средней экспертной оценки уровней значимости В, относительно их истинных величин лежит в иной плоскости. Она заключается в установлении меры соответствия действительной доли изменения полезности единицы продукции при изменении ее /-ГО свойства величине В,, определенной экспертами. Поскольку эти соотношения очень сложны, то интуитивные оценки самых добросовестных и квалифицированных экспертов не в состоянии конкурировать с точностью инженерного расчета. Здесь нравомерно провести следующую параллель. Допустим, требуется определить мопшость двигателя внутреннего сгорания. Известно, что она зависит от числа цилиндров, [c.404]

Измерение разброса. Простейшая ме1ра разброса — это разность между наибольшим и наименьшим значением величин, найденным в некоторой выборке. Эта величина, однако, мало что говорит о форме распределения. Несомненно лучшей и наиболее удобной мерой разброса является дисперсия, которая представляет собой среднее квадратичное отклонение из всех наблюдений, где отклонение — разница между единичным наблюдением и генеральным средним [c.28]

К оценке полученных результатов можно было бы подойти и с других позиций. На основании большого экспериментального материала, вообш е говоря, известно, что коэффициент вариации, характеризующий ошибку воспроизводимости единичного спектрального определения, равен приблизительно 5%. Следовательно, в нашем случае мы можем полагать, что квадратичная ошибка в генеральной совокупности равна приблизительно 0,23%. Зная величину генеральной квадратичной ошибки, мы можем для установления доверительных границ воспользоваться нормальным распределением. В этом случае при доверительной вероятности а = 0,95, исходя из соотношения (4.21), мы получим значительно более узкие пределы для генерального среднего, совместимые с результатами нашего двукратного определения [c.87]

При достаточно большом количестве параллельных анализов п, когда выборочные параметры практически совпадают с генеральными, между величинами среднеквадратичной, оредне-вepoяtнoй и средней ошибок устанавливается однозначное соответствие [c.69]

Прогнозирование максимально-возможных значений разности потенциалов арматура — бетон или смещения потенциала ДС/, обусловленных изменениями на источниках блуждающих токов, выполним для наиболее распространенного случая, соответствующего росту нагрузки ближайшей тяговой подстанции в связи с интенсификацией движения и увеличением грузооборота. В этом случае изменяется (увеличивается) и среднее значение х разности потенциалов арматура — бетон. Пересчет среднего значения х, соответствующего току нагрузки 1и к средней величине X, соответствующей новому току нагрузки /2, выполняем с учетом уравнения регрессии X = а - - Ы . Коэффициенты а и 6 находим с помощью специальной обработки синхронных записей величин л и /1 [4]. Пусть X < / р, где С/кр — критическое значение, характеризующее опасность коррозии. Задача таким образом сводится к нахождению максимально возможного значения Ки в новом распределении со средним значением X, полученном наложением на исходное распределение нового экстремального распределения. В этом случае целесообразно воспользоваться обобщением Барричели. Суть его заключается в том, что при изменении генерального среднего новое распределение фв х) можно представить как композицию нормального распределения характеристического наибольшего и со средним значением X и стандартным (среднеквадратичным) отклонением 0 = = lhY2 и двойного экспоненциального распределения х со стандартным отклонением максимальной величины 0 = = я/(а У ). Обобщение Барричели применимо, если исходное распределение нормальное. [c.180]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология