Форм-сумма операторов

ФОРМ-СУММЫ ОПЕРАТОРОВ [c.60]

Так определенный оператор С называется форм-суммой операторов Л и В и обозначается через А В (точнее было бы обозначение [c.61]

Примеры использования форм-сумм операторов будут фигурировать в гл. 5.6. Сейчас мы лишь приведем один полезный иллюстративный пример. [c.62]

Замечание 2. Понятие форм-суммы может быть обобщено следующим образом. Предположим, что задан оператор Я+ гз % (53) Э Э / ь - 5)/ Я- с плотной в Н-1- областью определения, неотрицательный относительно Яо, т. е. (5>/, /)я 0 (/ 6 Ф (53)). (Можно было бы рассмотреть и случай полуограниченности 3 6 ( /, /)я а (/, /)я (/ Е Ф (53)).) Построим в пространстве Я,, форму [c.62]

Нетрудно доказать, что форма а + Ь Ъ а Ь) = Ъ ф)) допускает замыкание. Самосопряженный неотрицательный оператор С в Яо, отвечающий согласно равенству (3.14) этому замыканию, и есть требуемое обобщение форм-суммы А + В. [c.62]

Это неравенство приводит к (3.27) со сколь угодно малым р [О, 1) и поэтому форм-сумма А В определена. Для нее можно писать соотношение (3.28), показывающее, что в точке О происходит компенсация особенности оператора посредством особенности [c.63]

Таким образом, каждое собственное значение оператора дает вклад в полный спектр ЭПР линии поглощения или дисперсий в виде линии, которая сама может быть представлена в виде суммы линий поглощения и дисперсии лоренцевой формы. Причем центры этих составляющих линий расположены в точке относительно со , они имеют ширину (Х — Т ) и соответственно амплитуды и а . [c.235]

Оператор можно представить в матричной форме и в случае непрерывного спектра, заменяя суммы интегралами и вводя вместо индексов аргументы. [c.28]

Оно называется спектральным разложением оператора А. Смысл последнего соотношения таков. Всякий эрмитов оператор в конечномерном пространстве является суммой проекционных операторов, умноженных на его собственные числа. В векторной форме это же соотношение можно записать как [c.152]

Результат опять имеет стандартную форму коэффициенты, связывающие реакцию системы с воздействием на нее, представляются в виде суммы п (число внутренних параметров) однотипных членов, содержащих оператор й (И. Это — самая общая форма уравнений, к которым приводит термодинамическая теория релаксации, основанная на указанных выше допущениях. Иначе говоря, если релаксационные процессы в системе допускают термодинамическое описание при введении ограниченного числа внутренних переменных и если эти процессы идут как диффузионные, без инерционных явлений, то связь между малыми приращениями внешних, макроскопических переменных выражается дифференциальными уравнениями, имеющими операторную форму (11.23). [c.138]

Указанная экспоненциальная параметризация унитарной матрицы U не является единственно возможной, имеются и другие формы записи и . В приведенном выше примере матрица Т — сумма слагаемых вида tpqiEqp - Epq). Возможно введение преобразований вращения в пространство из трех, четырех и т.д. орбитальных функций, стурктура оператора Т будет в этом случае усложняться. [c.254]

В этом нетрудно убедиться, вычислив сумму всех членов в (1.23) операторы 5 , 1 даны ниже.] Представление оператора дип в форме (1.23) понадобится в гл. III, где будут рассматриваться процессы электрон-ядерной релаксации под влиянием изменяющегося во времени СТВ. [c.16]

Представленный вывод так же, как и предположения, на которых он основывается, не очень надежен. Выражения для полной энергии [(3.73) и (3.74)] явно неправильны. В орбитальном представлении полная электронная энергия не равна сумме орбитальных энергий. Из этой суммы необходимо вычесть усредненную энергию межэлектронного отталкивания [см. уравнения (2.204) и (2.205)] и прибавить к ней полную энергию отталкивания между ядрами. Предположения о том, что матричные элементы Н и Hij имеют постоянные значения, не зависящие от остальной части молекулы, также никак не обоснованы, кроме ссылки на интуицию. Впоследствии мы увидим, что интуиция может оказать дурную услугу [например, можно признать справедливым равенство (3.72), которое также оказывается неверным]. И, наконец, метод Хюккеля обычно связывают с методом ССП Хартри без учета спина, тогда как в этом методе одноэлектронные операторы Hj для отдельных электронов отнюдь не такие же, как в методе Хартри — Фока. Приведенный выше стандартный вывод оказывается, таким образом, непоследовательным хотя спин электрона в нем не учитывается, но используется такая форма одноэлектронного гамильтониана, которая приемлема только в том случае, когда спин электрона включен в рассмотрение (в правильной теории Н должен быть гамильтонианом Хартри — Фока, а не гамильтонианом Хартри см. разд. 2.13). [c.127]

Когда зависимость между напряжением и деформацией задается в форме уравнения между линейными дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами, а входная функция есть единичная функция, выходная функция получается в виде суммы экспонент. Экспериментально можно определить выходную функцию при заданной входной функции, т. е. найти сразу сумму [c.152]

Нормировочное соотношение (6.11), так же как и Н, представляется квадратичной формой. Таким образом, задача сводится, как было указано в 6.1, к поиску экстремальных значений квадратичной формы (6.9) на эллипсоиде (6.11) или, что то же самое, к одновременному приведению двух квадратичных форм (6.9) и (6.11) к сумме квадратов — иначе, к одновременной диагонализации двух матриц с элементами и Эти матрицы симметричны, т.е. З/ зц и к/ кц Первое очевидно из вида интегралов 31 , а второе — из эрмитовости оператора Н и убывания на бесконечности функций Хк. Для возможности диагонализации такой пары матриц необходимо, чтобы все собственные числа матрицы 8 с элемента- [c.240]

После того как магнитное поле доведено до максимальной однородности, т. е. получена нанлучшая разрешающая способность спектрометра, оператор контролирует фазу резонансного сигнала. Это значит, что он добивается такой его формы, которая бы отвечала кривой поглощения. В зависимости от соотношения фазы генератора и приемника, связанных через поглощающие магнитные ядра, может быть получена либо кривая поглощения, либо кривая дисперсии, либо их сумма. Кривая поглощения является более удобной формой записи спектра, особенно при наличии нескольких близко расположенных резонансных сигналов. Кривая поглощения получается в том случае, когда генератор опережает по фазе приемник на 90°. При неточной настройке на сигнал поглощения получается смесь сигналов поглощения и дисперсии. Это дает кривые несимметричной формы, у которых один из склонов опускается ниже осевой линии спектра. В этом случае положение максимума не точно соответствует резонансному значению частоты. Кроме того, такие сигналы нельзя точно проинтегрировать, т. е. находить площади, которые они очерчивают, и сравнивать их с числом поглощающих ядер. [c.174]

При этом предполагается, что уравнение, выражающее физический закон в его обычной форме, сохраняет смысл и остается справедливым и после замены физических величин соответствующими им операторами и введения волновой функции. Поэтому если для макроявлений сумма кинетической и потенциальной энергии равна полной энергии, то этот закон должен выполняться и на кван-тово-механическом уровне. Это утверждение не очевидно и является постулатом. [c.36]

Так как в процессе анализа масс-спектральные данные непрерывно регистрируют на магнитной ленте в цифровой форме, то их обработку но описанной программе поиска можно начинать сразу после завергпения газохроматографического процесса. Окончательные результаты обработки включают в себя графическое изображение неизвестного спектра и название стандартного соединения, спектр которого наиболее полно совпадает с неизвестным спектром [92]. Результатом может быть и отсутствие совпадений, когда значения всех средних отношений оказываются меньше чем 0,2, а значения всех сумм высот непарных ников превышают 2000. Если наилучшее значение среднего отношения отличается от следуюш е-го меньшего значения менее чем па 0,05, то в результатах обработки указывается на ненадежность полученной идентификации. (Сумму высот непарных пиков можно выражать в процентах по отношению к сумме высот пиков, имеюгцихся в обоих спектрах с точки зрения некоторых исследователей, это может иметь больший смысл.) В любом случае оператор может проверить те данные, которые использовались в вычислительной машине для выработки окончательного результата. Для этого среди стандартных спектров можно выбрать 3 спектра, наиболее близкие к неизвестному спектру в смысле средних отношений высот пиков, изобразить их графически и указать для каждого из них название соответствуюш его соединения, значение (критерий оценки при статистической обработке данных [92]) и значение суммы высот непарных циклов. По этим данным исследователь может оценить решение, принятое машиной, и в случае необходимости интерпретировать масс-спектр обычным образом, если в памяти машины пе оказалось необходимого спектра. [c.227]

Обработка ур-пия, выполняемая для получения комплексов, практически сводится к следующему 1) однородные операторы (т. е. суммы, отдельные слагаемые к-рых представляют собой производные одного и того же порядка и отличаются только входящими в их состав различными координатными осями или различньши составляющими одного и того же вектора) попарно соединяются в виде отношений 2) в числителе и знаменателе этих отношений сохраняется по одному слагаемому 3) уничтожаются все символы дифференцирования 4) выполняются алгебраич. действия. В результате такой процедуры получается простое степенное выражение (степенной комплекс) нулевой размерности. Именно эти степенные комплексы должны быть введены в конечные уравнения. Переменные, входящие в конечные ур-ния, также приводятся к безразмерной форме путем деления текущих значений на значения, заданные по условию (параметрич. значения). Таким образом, согласно П. т., решение всегда должно быть представлено в виде уравнения типа [c.54]

Предположим, что электронное основное состояние имеет только спиновое вырождение с кратностью р =25а+1. Тогда, если имеется р ядерных спиновых состояний, гамильтониан Нэфф будет (РвРп Хрзр )-матрицей. Эквивалентный спиновый гамильтониан будет описывать, таким образом, фиктивную спиновую систему с тем же полным вырождением для электронной части этой фиктивной системы возможны, следовательно, 25 +1 состояний, различающихся значениями проекций 8 —1,. .., —5 фиктивного полного спина Требуемый спиновый гамильтониан будем искать далее в виде суммы гамильтониана первого и второго порядков и Н х и посмотрим, можно ли найти такую форму из ядерных спиновых и фиктивных электронных спиновых операторов, чтобы [ср, (8.4.6)] [c.281]

В классической механике полная энергия Е системы, в которой потенциальная энергия и не зависит от времени, равна сумме V плюс Т, где Г — кинетическая энергия. Сумма Т V называется гамильтонианом, и классически он записывается в виде Н = Е — краткой формы закона сохранения энергии. Однако при переходе к квантовой механике под Н подразумевается оператор, производящий некоторое действие на волновую функцию и преобразующий ее в другую функцию. Например, волновое уравнение, не зависящее от времени, в наиболее простой форме выражается так [c.124]

Без частичной эстафеты структурных свойств генных и плазматических аминокислот протоплазма была бы ниже требований биологического уровня. Без строгости реакций аминокислот в ферментативном катализе протоплазма лишилась бы ранга партнера генного уровня в деятельности ряда генных операторов. Прежде всего были бы подорваны обратные связи между геномом и плазмоном и обоих с внешней средой. Наличие в плазме многих живых существ не только тех 20 аминокислот, которые входят в состав гена, но также нескольких или многих дополнительных для каждого вида, не противоречит нашему выводу. В плазме часто складываются требования введения дополнительных аминокислот, каждая из которых строго отвечает своему положению и метаболическому назначению. Поэтому у разных живых существ можно найти негенные аминокислоты, специфичные для протоплазмы, и в сумме они сейчас описаны в числе многих десятков. Это дань соответствующим требованиям отбора структурного материала на уровне протоплазмы, но лишь очень немногие из них входят в состав ферментов, снова повторяющих положение наиболее близкого к генам уровня. Разнообразие дополнительных плазматических аминокислот у разных видов есть свидетельство явной слабости этой формы отбора но сравнению с отбором генных и внутриферментных аминокислот. [c.84]

Чтобы убедиться в справедливости (56), следует подставить (53) в левую часть равенства, а (38), (47) и (54) — в правую. Затем в правую часть равенства следует подставить (44), (16.77) и (J6.78) (и аналогичные равенства с переставленными индексами 2, 3, 4) для того, чтобы во всех членах присутствовал оператор гГ- После этого можно сократить равенство на Г1 . Далее, учитывая (16.75), во всех членах нужно заменить произведения операторов типа Г Г на сумму произведений типа Г Г /. В тех членах, у которых в произведении типа Г Г индекс k не совпадает ни с /, ни с т, нужно совершить преобразование типа ГГГ = —ГГГ к форме Г Г /. Наконец, используя равенства Г =Г 1, Г —Г г 1, добиться того, чтобы во всех членах были только такие произведения операторов ГГГй [c.181]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология